命題 523
A を可換環とする。
B と C を A-線型環(part1の97)とする。
D = B※C (>>550)とおく。
このとき A-双線型写像 μ：D×D → D で
μ(b※c、b’※c’) = bb’※cc’となるものが一意に存在する。

証明
写像 f：B×C×B×C → D を f(b、c、b’、c’) = bb’※cc’で定義する。
f は各変数に関して A-線型であるから
A-線型写像 λ：B※C※B※C → D があり、fλ(b※c※b’※c’) = bb’※cc’となる。
テンソル積の結合律から B※C※B※C は D※D と同一視できる。
よって、A-双線型写像 μ：D×D → D で
μ(b※c、b’※c’) = λ(b※c※b’※c’) = bb’※cc’となるものが存在する。
μ の一意性は D の元が b※c の形の元の和として表されることから明らかである。
証明終