すみません，質問をまとめます．
チャーチルブラウン『複素関数入門』のp101（コーシーの積分公式）に，

曲線Cの上と内部でf(z)は正則であるとする．z_0がCの内部の点のとき，
中略
証明　f(z)はz=z_0で連続であるから，任意の正数εに対して，適当な正数δを選ぶと
　|z-z_0|<δ なるすべてのzに対して |f(z)-f(z_0)|<ε
が成り立つ．
したがって，ρをδより小さく，かつ，正の向きをもつ円C_0:|z-z_0|=ρがCの内部に含まれるくらい小さくとると，
　|z-z_0|=ρ なるすべてのzに対して |f(z)-f(z_0)|<ε
が成り立つことになる．

と書いてありますが，
　「|z-z_0|<δ なるすべてのzに対して |f(z)-f(z_0)|<ε
が成り立つ．」
と言っている時点で，
|z-z_0|<δ はCの内部に含まれていることを前提にしているはずなので，

証明　f(z)はz=z_0で連続であるから，任意の正数εに対して，適当な正数δを選ぶと
　|z-z_0|<δ なるすべてのzに対して |f(z)-f(z_0)|<ε
が成り立つ｛もちろん|z-z_0|<δ がCの内部に含まれるようにδを選ぶ．｝．
したがって，ρをδより小さくとると，
　|z-z_0|=ρ なるすべてのzに対して |f(z)-f(z_0)|<ε
が成り立つことになる．

と書き変えた方がよいのではないでしょうか？