群Gについて, その部分集合を有限個取りS_i⊆G(1≦i≦n)とするとき,
　それらの積S_1S_2…S_nを{s_1s_2…s_n | s_i∈S_i}で定義する.

命題「Gが可換群ならば, 上で定義した積はGの部分群になる」(以下Pと呼びます)が問題です.
私は以下の反例によりこの命題Pが偽であると判断しました.

　反例: 有理整数全体の集合Zに通常の意味の加算を考えるとこれは可換群であるから, GとしてZをとる.
　n=2としてS_1={1}, S_2={2}とおくと, S_1S_2={3}であるが, これはGの部分群でない.

以下のどれが正しいですか？
　1.上の議論は正しく, 命題Pは偽である.
　2.上の議論は正しくないが, 命題Pは偽である.
　3.上の議論は正しくなく, 命題Pは真である.
2ならば正しい反例を, 3ならばPの証明を, 合わせてお願いします.