物理のラザフォード散乱の解説途中で出てきた数式なのですが
∫ dx/sqrt(1-ax-x^2) = arctan( (x+a/2)/sqrt(1-ax-x^2) )
この不定積分について
私の解き方は以下のようになりました。
∫dx/sqrt(1-ax-x^2)
= ∫dx/sqrt( (1+(a/2)^2) - (x+a/2)^2 )
= arcsin( (x+a/2)/sqrt(1+(a/2)^2) )
= θ
(x+a/2)/sqrt(1+(a/2)^2) = y = sinθ= sqrt(1/(1+cotθ^2)
y^2 = 1/(1+cotθ^2)
1-y^2 = y^2*cotθ^2
tanθ^2 = y^2/(1-y^2)
θ = arctan( y/sqrt(1-y^2) ) = arctan( (x+a/2)/sqrt(1-ax-x^2) )
とまあ、かなりキツい方法です。

サクっと出てくる arcsin でのままでもいいだろうとも思うのですが・・・、
Wolfram先生も arctan で返してきます。 ( integrate 1/sqrt(1-ax-x^2) )
arctan だと根号の中に同じもの( 1-ax-x^2 )が出てくる事が何か鍵のような気もするのですがよく分かりません。
何かスマートな求め方があれば教えてください。