lim_{n→∞}((1-1/n)^n)=1/e が成り立つ,これの証明が意外に難しい.
exp(x)=農{n=0}^{∞}x^n/n! で定義されるものとする.
明らかにexp(0)=1, また,この級数は冪級数で各点収束する(二項間の比が限りなく小さくなるのでそうなる)ので特に絶対値収束する.
exp(x+y)=農{n=0}^{∞}(x+y)^n/n!=農{n=0}^{∞}農{m=0}^{n}x^(n-m)y^m/(n-m)!/m!=農{n=0}^{∞}x^n/n!農{m=0}^{∞}y^m/m!=exp(x)exp(y).
ゆえにexp(-1)=exp(-1+1)/exp(1)=1/e, ここでe=exp(1).
lim_{n→∞}(1+x/n)^n=lim_{n→∞}農{m=0}^{n}x^m*n!/m!/(n-m)!/n^m=?exp(x).
あとはこの?をつけた部分を証明すればよい.