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　　　数3できるひと証明手伝ってくれ　　　

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0001１３２人目の素数さん

2011/11/09(水) 19:33:47.87

↓これ証明したいけどできない
http://iup.2ch-library.com/i/i0471622-1320831584.jpg

lim[n→∞]{納r=0→n](nCr*{(n-1)^(n-r)}/n^n}=1

http://iup.2ch-library.com/i/i0471624-1320832007.jpg

lim[n→∞]{納r=1→n](nCr*{(n-1)^(n-r)}/n^n}=(e-1)/e

ヒントだけでもいいから教えて！

あと、自作問題だから、どっかの入試問題ではない

0002１３２人目の素数さん

2011/11/09(水) 19:40:44.21

嘘ついて宿題やってもらおうってか

本当に自作したのなら、この証明の要点がわからないはずないからな

0003１３２人目の素数さん

2011/11/09(水) 19:46:20.79

上納r=0→n](nCr*{(n-1)^(n-r)}=(1+n-1)^n=n^n

下lim[n→∞](1-1/n)^n=1/e

0004１３２人目の素数さん

2011/11/09(水) 19:53:01.60

>>2
まず、1/nの確率で起こる事象をn回やったときに最低１回は起こる確率Pnを
lim[n→∞]Pnのときで調べるとき、1-(1度も起こらない確率)だからこれを求めたら
P[∞]=(e-1)/e
でも、Pn=1回起こる確率＋2回起こる確率＋・・・n回起こる確率　でもでるはずだから、
このときのP[∞]が
http://iup.2ch-library.com/i/i0471624-1320832007.jpg
lim[n→∞]{納r=1→n](nCr*{(n-1)^(n-r)}/n^n}=(e-1)/e
となったカンジ
=1のはすべての確率の合計だから1のはず

0005KingMathematician ◆5lHaaEvFNc

2011/11/09(水) 19:57:03.31

lim_{n→∞}((1-1/n)^n)=1/e が成り立つ,これの証明が意外に難しい.
exp(x)=農{n=0}^{∞}x^n/n! で定義されるものとする.
明らかにexp(0)=1, また,この級数は冪級数で各点収束する(二項間の比が限りなく小さくなるのでそうなる)ので特に絶対値収束する.
exp(x+y)=農{n=0}^{∞}(x+y)^n/n!=農{n=0}^{∞}農{m=0}^{n}x^(n-m)y^m/(n-m)!/m!=農{n=0}^{∞}x^n/n!農{m=0}^{∞}y^m/m!=exp(x)exp(y).
ゆえにexp(-1)=exp(-1+1)/exp(1)=1/e, ここでe=exp(1).
lim_{n→∞}(1+x/n)^n=lim_{n→∞}農{m=0}^{n}x^m*n!/m!/(n-m)!/n^m=?exp(x).
あとはこの?をつけた部分を証明すればよい.

0006１３２人目の素数さん

2011/11/09(水) 20:01:46.56

>>3 >>5
上のは普通の区分求積？
もう少し詳しく知りたい

下のその式を使って>>4のP[∞]=(e-1)/eを出したから分かるんだが、Σの解消方法がわからん

0007１３２人目の素数さん

2011/11/09(水) 20:05:59.08

>>6
ただの二項定理

0008１３２人目の素数さん

2011/11/09(水) 20:12:40.26

>>7
詳しく
いまググったけど、今回のとどう組み合わせればいいかわかんない
ってかこれって高校レベル？

0009１３２人目の素数さん

2011/11/09(水) 20:23:39.69

詳しくも何も>>3で書いたことはずばり二項定理そのままなんだが
n^nはΣの外に出す

0010１３２人目の素数さん

2011/11/09(水) 20:25:20.28

何単発質問でスレ立ててんだよ
削除依頼出してこい

0011１３２人目の素数さん

2011/11/09(水) 20:35:49.83

>>8
難しい定理だけど一年生で習うよ

0012KingMathematician ◆5lHaaEvFNc

2011/11/09(水) 20:55:20.72

xを実数としnを|x|より大きい自然数とする.
lim_{n→∞}(1+x/n)^n=lim_{n→∞}農{m=0}^{n}x^m*n!/m!/(n-m)!/n^m=lim_{n→∞}農{m=0}^{n}x^m/m!*Π_{k=1}^{m}(1-(k-1)/n).
農{m=0}^{n}x^m/m!*Π_{k=1}^{m}(1-(k-1)/n) はnに関して単調増加であり,exp(x)より大きくはならず,exp(x)のどの部分和に対してもnが十分大きいときそれより大きくなる.
ゆえにlim_{n→∞}((1+x/n)^n)=exp(x).

問題とは関係ないが誰か次は複素数zに対してlim_{n→∞}((1+z/n)^n)=exp(z)を証明してみないか.

0013１３２人目の素数さん

2011/11/09(水) 20:56:29.47

>>9
×　n^nはΣの外に出す
○ 1/n^nはΣの外に出す
だった

0014KingMathematician ◆5lHaaEvFNc

2011/11/09(水) 21:12:06.57

どうやらxが負の数についてはexp(x)の部分和は奇数次のものを選ばなくてはならないようだ.

0015KingMathematician ◆5lHaaEvFNc

2011/11/09(水) 21:28:39.76

lim_{n→∞}((1+x/n)^n)の性質はexpの性質を調べることとは特に関係ないので,(1+x/n)^xの極限を調べるのはexpの性質を十分調べてからでも遅くはない.
(1+x/n)^n=exp(nln(1+x/n))=exp(ln(1+x(1/n))/(1/n))→exp(x)

0016１３２人目の素数さん

2011/11/09(水) 22:59:19.27

ローカルルールを守っていたいスレで回答はやめなさい

0017１３２人目の素数さん

2011/11/18(金) 18:19:19.41

電波テロ装置の戦争(始)
エンジニアと参加願います公安はサリンオウム信者の子供を40歳まで社会から隔離している
オウム信者が地方で現在も潜伏している
それは新興宗教を配下としている公安の仕事だ
発案で盗聴器を開発したら霊魂が寄って呼ぶ来た
<電波憑依>
スピリチャル全否定なら江原三輪氏、高橋佳子大川隆法氏は、幻聴で強制入院矛盾する日本宗教と精神科
<コードレス盗聴>
2004既に国民20%被害250～700台数中国工作員3～7000万円2005ソウルコピー2010ソウルイン医者アカギ絡む<盗聴証拠>
今年５月に日本の警視庁防課は被害者SDカード15分を保持した有る国民に出せ!!<創価幹部>
キタオカ1962年東北生は二十代で2人の女性をレイプ殺害して入信した創価本尊はこれだけで潰せる<<<韓国工作員鸛<<<創価公明党 <テロ装置>>東芝部品)>>ヤクザ<宗教<同和<<公安<<魂複<<官憲>日本終Googl検索

0018１３２人目の素数さん

2011/11/18(金) 18:21:30.73

魂は幾何学

誰か(アメリカ)気づいた
ソウルコピー機器

無差別です
日本は危険なのです
戦争だと言いたい

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