「任意の自然数 i,j,k について、i+j=k のとき、PAで ”i+j=k” が証明可能である」の間違いだろ。
もしくは「任意の自然数 i,j について、自然数 k が存在して、PAで ”i+j=k” が証明可能である」でも同じことだが。
i,j に対して i+j=k となる k が存在することは小学生でも知っている自明な話。