ちょっと理解に苦しむまま集合への３０講を読んだ。６１３から感想を
乗せてしまって申し訳ないんですが、最後に１つ質問。
選択公理によって議論が巻き起こったと言う話があるようですが、そもそも
対角線論法は選択公理なしで行えますか？大まかな最低限の段階として

１自然数の集合が持つ元から、実数の集合が持つ元をただ一つ指定する。
２自然数の集合が持つ全ての元から、実数の集合の元をただ一つ指定する。
３自然数の集合が持つ全ての元から指定された実数の集合の元が、実数の集合
の元全てであるとすると、実数の集合が元として持たない実数が存在する事になり、
矛盾が生ずる。
４自然数の集合が持つ全ての元の個数（濃度）と、実数の集合が持つ全ての元の
個数（濃度）は異なる。

１の「実数の集合が持つ元をただ一つ指定する」、は選択公理なしで行えますか？
また
１の「自然数の集合が持つ元から」、という部分は、つまり自然数の集合が持つ
ただ一つの元からという事でしょうか（もし自然数の二つの元から指定していたら、
そのうちの一つによって実数の集合が持たない実数も指定できてしまうから）。
この場合、これは選択公理なしで行えますか？