394さんの質問にお答えします。

まず関係というからには「何に関する何項関係か」を明示する必要があります。

　例：「nは素数である」は数nに関する１項関係である。n+3<m は数n,mに関する２項関係である。

そしてたとえば「数 n,m に関する２項関係が論理式Aによって表現される」という場合には、
A中に n,m に対応する自由変数記号 x,y があって、x,y に「数n,mを表す項」を代入した論理式のことを
論じる必要があります。
そこで件の悲惨なPDFですが、たとえば89ページの下から4〜3行目の

　定理11より、関係 Bew(「r」) は論理式 bew(『r』) によって表現される。

という部分に次の質問をすれば簡単に終わりかと思います。

関係 Bew(「r」) は何に関する何項関係ですか？
論理式 bew(『r』) 中の対応する自由変数記号はどれですか？
（注意：83〜84ページにあるように『r』は定数を表す項であって自由変数記号を含みません）