数学基礎論・数理論理学 その10
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0001１３２人目の素数さん
2011/10/29(土) 22:42:36.8619世紀末から20世紀半ばにかけて生まれ、発展した数学の一分野です。
現在では、証明論、再帰的関数論、構成的数学、モデル理論、公理的集合論など、
多くの分野に分かれ、極めて高度な純粋数学として発展を続けています。
（「数学基礎論」という言葉の使い方には、専門家でも若干の個人差があるようです。）
応用、ないし交流のある分野は、計算機科学の諸分野や、代数幾何学、
英米系哲学の一部などを含み、多岐にわたります。
（数学セミナー98年6月号、「数学基礎論の学び方」
ttp://www.math.tohoku.ac.jp/~tanaka/intro.html
或いは 岩波文庫「不完全性定理」 6.4 数学基礎論の数学化 などを参照）
従ってこのスレでは、基礎的な数学の質問はスレ違いとなります。
他のスレで御質問なさるようにお願いします。
前スレ
数学基礎論・数理論理学 その9
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1317639944/
0002１３２人目の素数さん
2011/10/29(土) 22:58:12.730003１３２人目の素数さん
2011/10/29(土) 23:07:02.010004１３２人目の素数さん
2011/10/29(土) 23:08:15.090005１３２人目の素数さん
2011/10/29(土) 23:27:39.240006１３２人目の素数さん
2011/10/30(日) 03:40:17.060007１３２人目の素数さん
2011/10/30(日) 05:56:52.63この先いつまで議論しても噛み合うようには思えない。
このスレタイで嫌だって奴だけで別のスレッドに移行すればいいんでない？
板の分割とかもあるわけだから、スレッドを二つに分けても問題ないでしょ。
新しいスレッドは基地外だらけになりそうだがなｗ
0008１３２人目の素数さん
2011/10/30(日) 08:18:03.13＞完全性定理の内容って
＞「理論が無矛盾ならモデルが存在する」（ただしこのモデルは超越的方法で作られる）
＞で、これから
＞ Aがどんなモデルでも真
＞ → ￢Aを満たすモデルは存在しない ①
＞ → もし超越的な方法を許したとしても￢Aのモデルは存在しない ②
＞ → ￢Aを仮定すると理論が矛盾する //定理の対偶
＞ → Aは証明可能
＞が成り立つってことだけど、
＞超越的な方法を認めない場合でも②は有効と言えるんだろうか？
超越的だか何だかは関係ない。
極大無矛盾集合の証明で論理式を並べているので
完全性定理の証明を形式化したとき論理式に選択公理が入ってるってこと。
0009１３２人目の素数さん
2011/10/30(日) 09:46:50.40論理学なのだから、哲学板か、情報学板へ
言った方が良いよ。
0010１３２人目の素数さん
2011/10/30(日) 10:04:58.75「論理式に選択公理が入ってる」って日本語がわからん。
完全性定理だけは1階述語論理一般で普遍的に成り立ってくれなければ
困るので、弱ケーニヒだかの超越的な手法を使えない。
0011１３２人目の素数さん
2011/10/30(日) 10:13:59.80数学基礎論、数理論理学が数学か否かについては
本スレッドではなく別途、スレッドを立てて
そこで議論していただくことを強く勧める。
0012１３２人目の素数さん
2011/10/30(日) 10:19:33.13一階述語論理の完全性定理は、一階述語論理上の定理ではなく
集合論（もしくは二階算術）の定理である。
逆数学においては弱いケーニヒの補題が成立するＷＫＬという
２階算術の体系で成立することが知られている、ということ。
とはいえ、本来はモデルを考えるのに、集合論を前提している。
0013１３２人目の素数さん
2011/10/30(日) 10:35:18.10という証明の手法は い つ で も 使える。これが完全性定理じゃないの？
項、論理式、証明といった再帰的に定義された具体物の存在について言っているので、
「実は集合論の上の定理でした」じゃ困る。
0014１３２人目の素数さん
2011/10/30(日) 10:37:15.31「ゲーデル数xは、PAの項である」を再帰的に表す算術上の述語
はどのようにして定義すればよいのでしょうか。
0015１３２人目の素数さん
2011/10/30(日) 10:41:31.14とはいえモデルってものはそのユニバースを集合としているわけで、
決して「集合論なんて知りません」というスタンスではない。
集合論という理論の中で成立している特定の定理を、どうすれば具体物に適用できるのか、
正当化できるのか、という質問です。
0016１３２人目の素数さん
2011/10/30(日) 11:01:53.49これは見かけ上の記述がRCA0でOKということ。
実際にこれらの同値性を証明する議論に
どういう体系(最低でも公理的集合論？)が必要かは
明確に述べられないと思う。
1階論理とその完全性定理をすべて公理的集合論(例えばZFC)で書いたとき、
完全性定理を意味する長大な論理式の中に、
選択公理から推論される何らかの論理式を使わなければ、
論理式を整列することはできないことは簡単に想像できる。
ところが論理式をゲーデル数化することで、この選択公理が不要になることもわかっている。
事実不完全性定理の対角定理で選択公理が不要なのはこの議論による。
0018１３２人目の素数さん
2011/10/30(日) 11:32:19.55PA上での完全性定理は田中さんの本で多少触れられている。
0019１３２人目の素数さん
2011/10/30(日) 12:03:48.40例えば、
ゲーデル数xがPAの項に該当することをIsTerm(x)とすれば、
IsTerm(x)：xが0∨xが無限個の変数∨xが項を引数に持つ関数
で定義される。
0020１３２人目の素数さん
2011/10/30(日) 12:08:31.63当然、完全性定理も同じ。12 も 13 もおかしい。
完全性定理は、普通はモデルという集合概念を使って述べられている。
そのまま、PA の定理にはならない。大体、普通の完全性定理は集合論
の形式言語で書かれてさえいない。
0021１３２人目の素数さん
2011/10/30(日) 12:26:27.48モデルも言語も両方形式化するんだよ
0022１３２人目の素数さん
2011/10/30(日) 12:30:07.65形式化というのは色々な選択しがある、そのことが不完全性定理のもと
であるのに、何のことわりもなく、そのようなことができると思って
いるのは、数理論理学をよくわかっていない証拠だ。
0023１３２人目の素数さん
2011/10/30(日) 13:32:17.921階論理とかってのはコンセンサスなのでは？
現時点で代替的な手段がまったくないから。
数学に必要な論理的構造は1階論理でOK、というのは前提としてよいと思う。
数学の中には1階論理で記述不可能な命題もあるけれど、
それらは同値の命題に置き換えることで記述可能になっている。
また普通数学をやるときには素朴集合論の命題をミニマムな前提としてやるから、
素朴集合論の命題がすべて正当化できる論理なら間違いないと思う。
002412
2011/10/30(日) 13:39:01.69＞「任意のモデルでAが成り立つ。よってAは定理(証明が存在する)」
＞という証明の手法は い つ で も 使える。
＞これが完全性定理じゃないの？
２行目がおかしい。
理論Tにおいて、Aという命題を証明するのに
「理論Tの任意のモデルでAが成り立つ」
という方法は使えない。
例えばTがPAの場合とか。
002512
2011/10/30(日) 13:45:22.21＞弱ケーニッヒ補題と1階論理の完全性定理の同値性はRCA0だけで書ける。
＞これは見かけ上の記述がRCA0でOKということ。
RCA0は二階算術。つまり自然数の集合について記述できる。
「弱い集合論」と思えばいい。
一階算術では、自然数については記述できるが、
その集まりについては記述できない。
＞実際にこれらの同値性を証明する議論に
＞どういう体系(最低でも公理的集合論？)が必要かは
＞明確に述べられないと思う。
集合を扱える必要はある。ZFCである必要はないが。
0026１３２人目の素数さん
2011/10/30(日) 13:48:56.22・PAでは組合せ論の命題ではみ出るのが結構ある。
・Z2では実解析や関数解析周辺ではみ出るのが結構ある。
・ZFCではゲイル・スチュワートの定理など無限ゲーム系命題がはみ出る。
・1階述語論理では書けず、しかも同値命題が発見されていないものあり。
・シェラーはZFC＝数学説指示。
・ZFCに様々な公理を付けると2^ω＝ω2となることが多い。
002712
2011/10/30(日) 13:50:24.04＞一般に、数学の定理は集合論の定理でも、
＞自然数論の定理でもない。
＞当然、完全性定理も同じ。
一般の数学者が、集合論を意識しないのは随意だが
大抵のものは集合論の定理となる。
完全性定理を記述する際には集合の概念が必要。
＞完全性定理は、普通はモデルという集合概念を
＞使って述べられている。
＞そのまま、PA の定理にはならない。
その通り。>>10は、ある理論Tの完全性定理は
Tもしくはそれより弱い理論の定理だと誤解
している。
002812
2011/10/30(日) 13:56:59.90モデルは、一階論理上では直接扱えないが。
少なくとも、集合を扱える理論が必要。
そのような理論を、一階論理上の公理系として
実現することはできるが。
002912
2011/10/30(日) 14:08:37.52＞完全性定理を意味する長大な論理式の中に、
＞選択公理から推論される何らかの論理式を使わなければ、
＞論理式を整列することはできないことは簡単に想像できる。
日本語の文章になっていないと思われる。
完全性定理の証明において、論理式の整列が必要であり、
そのために、選択公理が必要という意味か？
＞ところが論理式をゲーデル数化することで、
＞この選択公理が不要になることもわかっている。
＞事実不完全性定理の対角定理で
＞選択公理が不要なのはこの議論による。
これまた意味不明。
ゲーデル数化によって選択公理なしに完全性定理が証明できる
といっているのか？それは初耳だ。あなたが証明したのなら
ぜひ論文を書いて、専門誌に発表したほうがいい。
003012
2011/10/30(日) 14:11:40.14＞集合論という理論の中で成立している特定の定理を、
＞どうすれば具体物に適用できるのか、正当化できるのか
もし15=13で、
「理論Tの任意のモデルでAが成り立つ」
という手法を理論Tで使うことが正当化できるのか
という意味なら、そもそもそういう目的で考えられた
ものではないというしかない。
003112
2011/10/30(日) 14:16:41.51>「ゲーデル数xは、PAの項である」を再帰的に表す算術上の述語
>はどのようにして定義すればよいのでしょうか。
それは、PAの項をいかなる形で数に翻訳するかによる。
もちろんやり方は一つではない。
003212
2011/10/30(日) 14:22:50.24>普通数学をやるときには素朴集合論の命題を
>ミニマムな前提としてやるから、素朴集合論の命題が
>すべて正当化できる論理なら間違いないと思う。
「素朴集合論」という言葉が指し示す理論が明確でない。
おそらくラッセルのパラドックスが起きるようなものではない
だろうが、その場合の公理系が明確ではない。
例えば、フレンケルの置換公理を採用せず、そのかわりに
分出公理を採用するというようなものだろうか？。
0033１３２人目の素数さん
2011/10/30(日) 14:29:17.25レスありがとうございます。
xが項を引数に持つ関数
具体的には、どのように表すのですか？
0034１３２人目の素数さん
2011/10/30(日) 14:33:09.27PAの各記号に一対一で自然数を対応させて、それを素数の指数に当ててやる方法で考えた場合は、どうなるんでしょうか？
0035１３２人目の素数さん
2011/10/30(日) 14:33:34.82> 一般の数学者が、集合論を意識しないのは随意だが
> 大抵のものは集合論の定理となる。
> 完全性定理を記述する際には集合の概念が必要。
これらには、形式化とは何かということの考察が抜けている。何をどう表現
するかを考察すれば、最後の「集合の概念」というのは形式化された集合論
のことではないことに気がつくはずだ。
0036１３２人目の素数さん
2011/10/30(日) 14:42:41.82それ言ったらロジックなんて何もはじまんないと思うけど。
0038１３２人目の素数さん
2011/10/30(日) 14:52:05.30:= x=/0/
または ヨn<x (IsTerm(n)かつ/S/*par(n))
または ヨm<x ヨn<x ［IsTerm(m)かつIsTerm(n)かつ(par(m)*/+/*par(n)または par(m)*/・/*par(n) )］
とありました。
ただし、/x/はxのゲーデル数、x*yはxとyを連結させたゲーデル数を、par(x)は/(/ * x * /)/とします。
これは正しい定義になってるのでしょうか？
・再帰的な定義になっている
・" )(+-0S(0) "などというPAの項にはならないテキトーな記号列のゲーデル数は、IsTermでも真にならない。
この二点がよくわかりません。
003912
2011/10/30(日) 14:54:31.74＞完全性定理の証明を形式化したとき
＞論理式に選択公理が入ってるってこと。
この人の「形式化」という言葉の使用法は独特ですね。
どうも、数学の命題を必要な前提条件をつけた上で
一階述語論理の論理式で書き表す行為を「形式化」
とよんでいるようです。
それはともかく、この言葉、実際は不要ですね。
なぜなら単純に
「完全性定理を証明するのに選択公理が必要」
と書けばいいだけなので。
0041１３２人目の素数さん
2011/10/30(日) 15:03:22.33公理系あるいは、論理式が整列されていない場合で、PA, ZFC など自然な公理
系に関する完全性定理には不必要だ。形式化したときという意味が不明。
>> 37
形式化を考えないなら、18 にあるような PA での完全性定理という表現は
ナンセンスになる。
0042１３２人目の素数さん
2011/10/30(日) 15:05:48.23ある関数fが再帰的
⇔初期関数であるか、または再帰的関数から関数合成で得られた、または再帰的関数から原始帰納法でえられた、または再帰的関数から最小化でえられた関数
ある述語が再帰的
⇔特性関数が再帰的関数である。
と理解してます。
0043１３２人目の素数さん
2011/10/30(日) 15:10:32.52・IsTermの定義にIsTermが出てくるから
・意味をなさない記号列はゲーデル数化していないから
004412
2011/10/30(日) 15:12:48.17＞よく知られたことだが、（中略）
＞PA, ZFC など自然な公理系に関する
＞完全性定理には（選択公理は）不必要だ。
いつ、どこでお知りになられましたか？
この件に関して「よく知っている」のは
あなた一人である可能性が高いので。
0045１３２人目の素数さん
2011/10/30(日) 15:14:06.58上の議論の完全性って1階論理の話じゃないだろうか。
004612
2011/10/30(日) 15:14:47.94ではｆの定義が、再帰の定義に沿っているかどうか
確認していただけますか？
>>43
＞・意味をなさない記号列はゲーデル数化していないから
間違ってますね。
0047１３２人目の素数さん
2011/10/30(日) 15:15:59.23それらの体系には無限個の公理が存在しますがどうやって整列させますか？
004843
2011/10/30(日) 15:19:47.81再帰的定義で項が閉じてるから
項じゃないものは当然入ってきませんね
004912
2011/10/30(日) 15:21:32.34＞形式化を考えないなら、
41＝35＝8 でしょうか？
>>8のいわれる「形式化」は「公理の明示」の意味ですね。
もちろん、いかなる公理に基づいているかは明示する必要があります。
（もっとも、これを「形式化」という人はあなただけですが）
>>18のいわれる証明は知らないので、なんともいえません。
0050１３２人目の素数さん
2011/10/30(日) 15:28:42.80>>44
よく知られていることは、初めに与えられた 述語、関数記号が整列されて
いる場合、論理式は有限列であるから、長さ n に関する帰納法で、おのおの
の n についての整列を定義することができ、これらの和が、論理式全体の整列
を与える。
0051１３２人目の素数さん
2011/10/30(日) 15:31:16.68当り前だが、8 は別人だよ。それより 50 をよく勉強しなさい。
005212
2011/10/30(日) 15:40:07.63＞初めに与えられた 述語、関数記号が整列されている場合、
で、PAやZFCでは、述語、関数記号が整列されていることは
「よく知られている」のですか？
よく御存知とはおもいますが、関数記号の中には定数記号も含まれます。
定数記号も整列可能である、と断言できるのですね？
005312
2011/10/30(日) 15:42:06.10＞当り前だが、8 は別人だよ。
書いている当人にとっては当り前でしょうが
それ以外の人にとってはそうではないんですよ。
このことが、アスペルガー症候群の人には
理解しがたいといわれていますが。
005412
2011/10/30(日) 15:45:32.98＞50 をよく勉強しなさい。
>>50の前提条件である
「初めに与えられた 述語、関数記号が整列されている場合」
にはその通りでしょう。重要なのは上記の前提条件は
PAやZFCにおいて成立するのか？という点です。
>>52にも書きましたが、関数記号の中には定数記号も含まれます。
定数記号も整列可能である、と断言できるのですね？
0055１３２人目の素数さん
2011/10/30(日) 15:55:24.82以外は変数記号と論理記号だけ。
PA の定数記号は 0 だけ。PA の関数記号は S だけ。
当たり前というのは、50 のようにすっきり書ける人と 8 のようにごてごて
書いている人の違いはわかるだろうという意味だが、52 のようなことを書いて
いる人にはわからないかもしれないね。
0056１３２人目の素数さん
2011/10/30(日) 16:03:46.11変数記号は、自然数によって番号付けられているから、整列されている。
もう少しついでに書いておこう。ゲーデル数を対応させて、有限列を自然数
に対応させることがわかれば、すべての文字列に自然数が対応し、これは単射
だから整列されていることは明らか。50に書いてあるのは、可算でなくても
整列されていればよいということ。
005712
2011/10/30(日) 16:33:12.46なるほど。定数記号に関しては明らかでした。
ところで>>8も引用は長いですが、
文章は三行なので「ごてごて」とは思えません。
したがってやはり自明とはいえません。
005812
2011/10/30(日) 16:46:44.25とはいえ、モデルの各元に対して、元々の理論の中に存在しない
定数記号を付加することが可能であるので、その場合、モデルの
濃度によっては、整列するために選択公理が必要でしょう。
005912
2011/10/30(日) 16:54:58.46＞ゲーデル数を対応させて、有限列を自然数に対応させることがわかれば、
＞すべての文字列に自然数が対応し、これは単射だから整列されていることは
＞明らか。
＞50に書いてあるのは、可算でなくても整列されていればよいということ。
自然数だから整列可能、といいたいようですが、それは自明ですか？
一階述語論理上で公理化された自然数論のモデルは範疇的ではありません。
当然、非標準的なモデルもありますよ。
0060１３２人目の素数さん
2011/10/30(日) 17:02:39.81いい加減にしたらよい。44のようなことを書いたことが恥ずかしい
と思ったらどうかね。
自然数論のモデルというのなら、もちろん、整列できないモデルさえ
つくれる。しかし、今、完全性定理を証明しようとしているので、
そんなものが問題にならないのは明らかだ。要するに偉そうに、答え
たり、しているが、ちっともわかっていなかったということだ。
恥ずかしいと思うことを、初めにしたらよい。
0061１３２人目の素数さん
2011/10/30(日) 17:11:13.56＞44のようなことを書いたことが恥ずかしいと思ったらどうかね。
あなたが41で「可算（濃度）モデルにおける完全性定理」
と書いていれば、そういうこともいえたであろうが・・・
＞自然数論のモデルというのなら、もちろん、
＞整列できないモデルさえ つくれる。
＞しかし、今、完全性定理を証明しようとしているので、
＞そんなものが問題にならないのは明らかだ。
完全性定理には、モデルの濃度の制限はない。
＞要するに偉そうに、答えたり、しているが、
＞ちっともわかっていなかったということだ。
「偉そうに」と思ったのは貴方の勝手。
あなたもモデルの濃度を全く考慮していなかった。
つまりわかっていなかった。
あなたは、わからないことは恥と思うのであれば
まず自分自身を恥じたらよい。
もっとも、そういう考え方は狂っている、と私は思うが。
0062１３２人目の素数さん
2011/10/30(日) 17:15:13.99選択公理を除こうとする理由が理解できない。
0063１３２人目の素数さん
2011/10/30(日) 17:30:18.48>>60
＞いい加減にしたらよい。
＞恥ずかしいと思うことを、初めにしたらよい。
こんなおかしな喋り方をする
アニメのキャラクターでも
いるのかね？
006442
2011/10/30(日) 17:48:15.19>ではｆの定義が、再帰の定義に沿っているかどうか
>確認していただけますか？
IsTermの特性関数が再帰的関数になるか考えてましたが、やっぱりまだ分かりません。(直感では、IsTermが再帰的であること、計算可能であることは分かります。)
IsTerm(x)の定義の中に、m<xなるmに対して再びIsTerm(m)が出てきてるので、特性関数は原始帰納法によって一部定義されであろうことまでは分かるのですが、、、。
もしかして、IsTermの特性関数は累積帰納法で表しますか？
00658
2011/10/30(日) 18:07:39.86足りない部分について補足しますね＾＾；
>>29
ゲーデル数は全順序になるので、
整列可能定理が不要になるのです。
>>39>>49
私は形式化という言葉をかなり広い意味で使っています。
確かに誤解が多い書き方だったと思いますね。
>>64
再帰的関数と再帰的述語だけでできた論理式は再帰的と考えて良いですよ。
定義からやり直すと煩雑すぎます。
006615
2011/10/30(日) 18:22:01.69論理式が整列されてるってことでなぜ救えるのかわかりませんね。
>>50
> これらの和が、論理式全体の整列を与える。
証明というものを具体的な対象物として見る場合、これはちょっと受け入れられない論法ですね。
>>60
> しかし、今、完全性定理を証明しようとしているので、そんなものが問題にならないのは明らかだ。
これは了解
>>61
> 完全性定理には、モデルの濃度の制限はない。
これは誤解していると思う。
00678
2011/10/30(日) 18:49:24.69だよな、そもそも1階論理の完全性の話してんのにな。
それにはじめてに論理式に識別番号つけて整列させてんなら
言語定義すんのに整列可能定理が必要ｗ
しわを伸ばしてみたら、しわの位置が変わっただけｗ
006842
2011/10/30(日) 19:41:37.61>再帰的関数と再帰的述語だけでできた論理式は再帰的と考えて良いですよ。
定義しようとしている述語が、別の述語を使って定義されていれよいのですか、今考えているIsTerm は定義中に再びIsTermが現れているのが問題なのです。もっといえば、そうである以上原始帰納法を使って定義できるはずなのですが、それがなかなか分からないのです。
ちなみに今、考えているのは論理式ではなく形式化されていない算術の述語なのですが。
006915
2011/10/30(日) 20:15:11.07完全性定理に限っては普遍的に成り立ってくれなきゃ困るんだよ。
「超越的な方法を認めなくても結果的に有効」であって欲しいのです。
0070１３２人目の素数さん
2011/10/30(日) 20:20:18.99Proof(x,y):=yはゲーデル数xの論理式の証明である
が再帰的述語であることは理解していますか？
0071１３２人目の素数さん
2011/10/30(日) 20:21:54.460072１３２人目の素数さん
2011/10/30(日) 20:37:40.00よく分かりませんが、あなたのその願いがいつか叶うことを祈っておきます
007342
2011/10/30(日) 20:43:22.86再帰的になるということは、各文献で目にしていますが、確認はしていません。
なので、現在はproof(x,y)が本当に再帰的な述語であるかどうかを確認するため、これを構成する際に必要な諸々の述語を再帰的かどうか確認しています。
とまぁ、この過程で今「ゲーデル数xはPAの項である。」でどんづまっています。
0074１３２人目の素数さん
2011/10/30(日) 20:43:44.52WKL が PRA 上の保存拡大だから「結果的に有効」なんじゃない？
0075１３２人目の素数さん
2011/10/30(日) 20:53:29.84>>74
「超越的な方法」とはPRAそのものだろ。
0076１３２人目の素数さん
2011/10/30(日) 20:59:37.82チミたちには難しすぎるようだが、選択公理が必要なのは、一般的な
設定の場合で、具体的なもの、例えば、PA, ZFC では論理式は、自然な
方法で整列できるのだよ。
0077１３２人目の素数さん
2011/10/30(日) 21:03:46.06論理式Aが証明可能であるということの定義は
Aに至る論理式の有限列が存在して、その列の各項が公理か、以前の論理式から導かれること
というのは理解していますか？
もし、理解していればそれと同じような感じで
有限記号列Tが項である⇔
Tに至る有限記号列の有限列が存在して、……
と表せるのは理解できますか？
007869
2011/10/30(日) 21:06:17.15オレは別に「整列」とは言ってないが、お前ほんとに具体的なものについて語ってるか？
項、式、証明ってほんとに具体的なものなんだぞ？
0079１３２人目の素数さん
2011/10/30(日) 21:20:37.41もろに対数学用述語論理だかんね
命題論理の完全性定理だけ考えりゃええんやないの？
それに論理体系を集合論で記述せにゃあかんこともないやろ
そもそも初期の頃は高階述語論理がスタンダードやて
その後に1階論理にしぼらな決定可能な完全性こしらえた証明体系つくれへんし
LS定理やらも意味もたへんさかい現状の1階論理さ注目されたんど
わいはエルブラン領域でスコーレム＝エルブランの完全性定理使っちくりゃ
-----エルブランは有限主義で選択公理嫌いでさかい信頼できんど------
ヘンキンさにペコペコ頭下げといて極大集合こしらえる必要もあらへんやろ
まぁ論理プログラミングさまさまやないけ
0080１３２人目の素数さん
2011/10/30(日) 21:31:31.690081１３２人目の素数さん
2011/10/30(日) 23:16:26.46各家庭には様々な種類の電化製品が設置されている。
そしていくつかの発電施設が存在している。
例えば、あなたは今部屋の電灯を点けたとする。
このとき発電施設からいくつかの電線やハブや変圧器を
辿って行けばあなたの電灯に到達することは確実だ。
電灯が点けば真、発電施設が公理、ハブや変圧器が推論規則、
発電施設から電灯までの電線が証明だ。
電灯が点くなら、発電施設から電灯まで辿る電線がある。
これが完全性定理の内実である。
008242
2011/10/30(日) 23:25:54.39もととなるものと、それをもとにして生成する規則の二つがあればよいということでしょうか？
形式的体系でいえば、もととなるのは公理で、生成規則は推論規則になります。
項でいえば、0と変数がもとなるもので、Sと+と・が生成規則になると。
0083１３２人目の素数さん
2011/10/30(日) 23:36:10.57はい、そういうことです
今、ビデオ見てるんで一旦落ちます
008442
2011/10/30(日) 23:44:06.37私が理解できないのは、
1. 形式的体系PAの各記号を自然数に一対一対応させる。
2. PAの記号からなる有限列(項や論理式)を、ある自然数に一対一対応させる。(エンコードの方法は、素因数分解を利用した関数とする。)
3. PAの記号からなる有限列(項や論理式)の有限列(証明のこと)を、上と同じ方法で自然数に一対一に対応させる。
4. 以上の考えをベースにして、形式的体系に関する概念を、算術上の述語として表現する。
5. 述語 IsTerm (x)「xは形式的体系PAの項である。」
⇔ x=/0/
または ヨn<x (IsTerm(n)かつx=/S/*par(n))
または ヨm<x ヨn<x ［IsTerm(m)かつIsTerm(n)かつ(x=par(m)*/+/*par(n)または x=par(m)*/・/*par(n) )］
このように考えた上で、私がわからないのは、
・5の定義は正しいのか
・正しいとしたら、5におけるIsTerm の特性関数はどのようになものになるのか
の二点です。
どうか教えてください。
0085１３２人目の素数さん
2011/10/31(月) 00:46:40.15今戻りました
項Tに対して、Tに至るまでの記号列の列T1,T2,...,Tn=Tを考える
これを項Tを生成する列と呼ぶことにして、この列にゲーデル数を対応させる
yはゲーデル数xの項を生成する列のゲーデル数であることを表す述語をMakeTerm(x,y)とでもしておく
項の生成の仕方より列に現れるT1,T2,...,Tnのゲーデル数はTのゲーデル数以下なので
xに対してyはある関数g(x)で上から抑えられるはず
そのときIsTerm(x) :=∃y<g(x) (MakeTerm(x,y)) と表される
これでわかりますか？
008642
2011/10/31(月) 01:03:17.00レスありがとうございます。
仰ってることは(たぶん)分かっております。
私が知りたいのは、ではそれを具体的にどうやって再帰的関数(および述語)の形で表すのか、ということです。85さんの説明でいえば、MakeTermは、ではどうやって定義されるのでしょうか。おそらくMakeTerm の特性関数は原始帰納法の形、つまり
f(0)=g(x)
f(x+1)=h(x,f(x))
という形になると思うのですが、その具体的構成方法を知りたいのです。
これを定義するには、準備としていくつかの関数と述語を定義しないとだめだということは分かってますが。。。
0087１３２人目の素数さん
2011/10/31(月) 01:22:01.06特性関数考えるより具体的にMakeTermがどう表現されるか考えた方が早いですよ
T1,T2,...,Tn=TがTを生成する列である⇔∀p=1,2,...,n [Tp=0∨∃q<p {Tp=S(Tq)} ∨∃r<p ∃s<p {Tp=(Tr)+(Ts) ∨ Tp=(Tr)*(Ts)}]
あとはこれをゲーデル数に書き換えればOK
0088１３２人目の素数さん
2011/10/31(月) 01:26:58.78すまん最後に ∧ Tn=T が抜けてた
0089１３２人目の素数さん
2011/10/31(月) 01:32:21.660090１３２人目の素数さん
2011/10/31(月) 01:52:22.65009142
2011/10/31(月) 02:08:52.15理解力がなく申し訳ないです。
身近に教えてくれる人がいればいいのですが、なにぶん独学なもので。。。
また明日しっかり考えてみようと思います。今日はご丁寧にありがとうございました。
009242
2011/10/31(月) 03:50:15.46累積帰納法で得られた関数は、再帰的関数である。
ということを証明できれば、私の疑問点は解決できることがわかりました。
0093１３２人目の素数さん
2011/10/31(月) 04:52:16.35009412
2011/10/31(月) 07:02:50.15>別に数理論理学が数学の基礎付けに関わらなくても全然構わないんだけど、
>完全性定理に限っては普遍的に成り立ってくれなきゃ困るんだよ。
「普遍的に成り立つ」という言葉で、
どういうことを期待しているのか不明。
>「超越的な方法を認めなくても結果的に有効」であって欲しいのです。
モデル理論は超越的であると私は思いますが、
あなたは、なぜ、違うと思うのでしょうか？
009512
2011/10/31(月) 07:05:41.79>>58 の
＞モデルの各元に対して、元々の理論の中に存在しない定数記号を
＞付加することが可能であるので、その場合、モデルの濃度によっては、
＞整列するために選択公理が必要でしょう。
を理解できなかったようですが、付加はできないと思ってますか？
そう思う理由はなんですか？付加できるとは聞いていないからですか？
00978
2011/10/31(月) 08:12:47.78＞> しかし、今、完全性定理を証明しようとしているので、そんなものが問題にならないのは明らかだ。
＞これは了解
いえここへのレスです。
0098１３２人目の素数さん
2011/10/31(月) 08:33:10.20g(x)が再帰的関数、P(x,y)が再帰的述語のとき、∃y<g(x) P(x,y) も再帰的述語になるということはご存知ですか？
Prove(x) (⇔ヨyproof(x,y) ) の場合、yを上から抑えるg(x)が存在しません
例えば、論理式Aを証明する過程でむちゃくちゃ長い論理式を経由しなければならない場合もあるかもしれないのです
一方、項の定義では、生成規則は必ず生成前のより生成後の方が記号列の長さが大きくなるように作られています
したがって、項Tを生成する列T1,T2,...,Tnで n≦(Tの長さ)、かつ∀p=1,2,...,n Tp≦Tとなるようなものを具体的に作ることが可能です
よって、yを上から抑えるg(x)が存在することになり、結果IsTerm(x)も再帰的になるのです
0100１３２人目の素数さん
2011/10/31(月) 22:49:21.54∃y<g(x) P(x,y)
⇔ Π_[y<g(x)] f(x,y)＝0
≡ f(x,g(x))・Π_[y<g(x)-1] f(x,y)＝0
≡ f(x,g(x))・f(x,g(x)-1)・Π_[y<g(x)-2] f(x,y)＝0
：
：
≡ f(x,g(x))・f(x,g(x)-1)・...・f(x,g(x)-g(x))＝0
∃y<g(x) P(x,y)∊PR □
0101１３２人目の素数さん
2011/11/01(火) 00:04:23.72どうもまわりくどい書き方だな。
モデル理論は超越的だとオレも思うし、違うなんて言ってないよ。
「普遍的に成り立つ」という言葉は普通の意味にとってくれ。
完全性定理が普遍的には成り立たないとしたら何がおこるんだろうか。
AがTで妥当であり、T[￢A]もT[A]も矛盾していない、
実例を作れたらな。
0102１３２人目の素数さん
2011/11/01(火) 01:46:19.25論理学では論理を形式化して考察していきますが、
メタな論理としてどこまでのレベルのものを許すのかということは考慮されるんでしょうか？
たとえば述語論理の体系では集合の概念を用いて理論が展開されますが、
より初等的な概念で展開することは可能でしょうか？
0103１３２人目の素数さん
2011/11/01(火) 03:21:57.74考慮するときもある。
が、しかし、入門的な教科書ではそれは一旦脇に置いておく書き方をするのが普通。
もっと高度なことをやるときには考慮しないといけなくなるけれど、
そういうことをやる為にはまず脇に置いた議論をきちんと理解していることが前提となる。
0104１３２人目の素数さん
2011/11/01(火) 06:12:25.61もよくわかっていないようなので書いておこう。
述語論理の完全性という場合、述語論理をどう述べるかということがある。
述語記号、関数記号、定数記号が自然数で番号が付けられているかどうか？
あるいは順序数で番号付けられているかどうか？
次に完全性定理をどのように述べているかを調べる。例えば、無矛盾な公理
系に対してと書いてあるような場合、一般には、述語論理は、この公理系の
言語を含むものに拡大されていることになる。
これらのことが、完全性定理が選択公理と関係するかどうかの鍵である。
最初に書いた自然数で番号付けられた言語からはみ出なければ、選択公理
は不要なのだ。
0105１３２人目の素数さん
2011/11/01(火) 06:37:38.03>一般には、述語論理は、この公理系の言語を含むものに拡大されていることになる。
それはその通りだし、可算な言語からはみ出ないと限定してもいいけど、
その場合でも、自明で基礎的な算術だけで証明できるわけじゃないでしょ？
010612
2011/11/01(火) 07:19:22.56>>94 >「普遍的に成り立つ」という言葉で、どういうことを期待しているのか不明。
>>101 >「普遍的に成り立つ」という言葉は普通の意味にとってくれ。
「普遍的に成り立つ」という言い方は普通しませんので
”普通の意味”というのは意味不明です。
010712
2011/11/01(火) 07:21:40.31＞完全性定理が普遍的には成り立たないとしたら何がおこるんだろうか。
＞AがTで妥当であり、T[￢A]もT[A]も矛盾していない、実例を作れたらな。
「妥当」という言葉の定義は御存知ですか？
AがTで妥当であって、￢AもTで妥当である、という場合も存在しますよ。
010812
2011/11/01(火) 07:27:06.40>一般には、述語論理は、この公理系の言語を含むものに拡大されていることになる。
>>105
>それはその通りだし、可算な言語からはみ出ないと限定してもいいけど、
>その場合でも、自明で基礎的な算術だけで証明できるわけじゃないでしょ？
104は、論理式の整列と選択公理の関係しか見ていないようだが、
別の点にも注目する必要がある。
モデルを構築する際に、無矛盾性（妥当性、充足可能性を
チェックしているが、述語論理の決定不能性定理からいえば、
無矛盾（妥当、充足可能）か否かを判定できるアルゴリズム
は存在しない。
0109１３２人目の素数さん
2011/11/01(火) 08:01:07.64101ではないが、
T|=A⇔Tの任意のモデルにおいて、Aは真 ということだよな？
もし、T|=魵だとしたら、Tの任意のモデルで魵も真ということ。
ということは、Tの任意のモデルで、Aも魵も真。こんなのってないよ、ありえないよ。
0110１３２人目の素数さん
2011/11/01(火) 13:00:33.75定義の仕方、およびそれが再帰的になっていることはしっかり確認できました。ありがとうございます。
上から抑えるためのg(x)って具体的にはどんなものになりますか？
参考書には、g (x)=(p_len(x)＾2)＾x・len (x)＾2
とありましたが、どうしてこれが抑えるために十分なのかがわかりません。
0111１３２人目の素数さん
2011/11/01(火) 14:10:23.41それはゲーデル数の定義によるから何ともいえんよ……
0112１３２人目の素数さん
2011/11/01(火) 21:39:34.80普遍的にね。
0113１３２人目の素数さん
2011/11/01(火) 22:09:33.16Tをゲーデル数xの項として、Tを生成する列をT1,T2,...,Tnとする。Tの長さはlen(x)で表される
例えばT=(S1)+(S2)の形であれば、Tを生成する列の中にS1とS2があるはず。そうすると列の長さnは2^len(x)以下である
（>>98で n≦(Tの長さ)と書いたが間違いでした。すみません）また、T1,T2,...,Tnのゲーデル数はx以下である
よって列のゲーデル数は(p_1)^x・(p_2)^x…(p_len(x)^2)^x≦(p_len(x)^2)^x・len (x)＾2で抑えられる
0114１３２人目の素数さん
2011/11/01(火) 22:16:15.70ミス
×そうすると列の長さnは2^len(x)以下である
○そうすると列の長さnはlen(x)^2以下である
0115１３２人目の素数さん
2011/11/01(火) 23:20:51.62普通の1階論理ってなに？
関数や述語などが有限個であれば普通？
普遍的に成り立つって、追加の前提や仮定がまるっきり無用なの？
0116１３２人目の素数さん
2011/11/01(火) 23:42:31.83普遍的において何を仮定しているのか不明ですけど、
そもそも述語論理での完全性定理は、
「ほとんどの証明体系で成り立たない」です。
例えば普通の真偽値では |＝￢A→(A→B) です。
証明体系を以下で定義します。
公理型 A→A
推論規則 MP
このとき |＝￢A→(A→B) ⇒ |-/-￢A→(A→B) です、何もできません。
つまり述語論理の中で完全な証明体系を探しているのであって、
述語論理は完全じゃないです。
本によってはLKの完全性定理とかNJの完全性とかちゃんと書いています。
0117１３２人目の素数さん
2011/11/01(火) 23:52:04.970118１３２人目の素数さん
2011/11/02(水) 00:01:10.42011912
2011/11/02(水) 07:08:29.92>T|=A⇔Tの任意のモデルにおいて、Aは真 ということだよな？
ああ、妥当を充足可能と同義だと思っていたが、誤解だった。
その場合
「AがTで無矛盾」というのは
「AがTで充足可能」という意味で、
「AがTで妥当」とは違う。
012012
2011/11/02(水) 07:12:22.84>普通の1階論理なら完全性は成り立つよ。
>普遍的にね。
その場合の完全性は
「1階論理のどのモデルでも真な命題
（つまり1階論理で妥当な命題)なら
1階論理で証明可能」
という意味。
012112
2011/11/02(水) 07:17:43.40「述語論理の命題Pは、かならず
P自身かその否定￢Pのいずれか
が証明可能」
と思っている人がいるが誤り。
論理の完全性は、理論の完全性とは意味が異なる。
ところで
「無矛盾で完全な理論T、つまり、理論Tが、
命題Pかその否定￢Pのいずれかを必ず証明出来る
場合には、モデルが存在する」、
という命題はWKL0ではなくRCA0で証明可能。
0122８
2011/11/02(水) 08:13:31.03>>69が訊きたいのはかなり原理的なレベルの話だと思うのです。
完全性定理は「数学に使える位まともな論理」だけで成り立つということです。
例の述語論理の決定不能定理も、Qが展開できる程度の証明体系に限定されますから。
ところでWKL0⇒リンデンバウムの補題⇒完全性定理ですが、
>>69が問題にしているのは可算な述語論理の言語の完全性定理の
RCA0への翻訳だと思いますよ、つまりチャーチの提唱レベルの話でしょう。
0123１３２人目の素数さん
2011/11/02(水) 09:34:34.03原理的というには、話をせまくしすぎている。
0124１３２人目の素数さん
2011/11/02(水) 09:38:20.21こういうものは、基本的に
公理の数をいくら減らせるか、という話なので、
大きな目標なり企みなりがあってこそのもので、
そうでなければ、スケールの小さなテーマに終わってしまう。
0125１３２人目の素数さん
2011/11/02(水) 13:20:55.22迷っているんだが、もう読んだ人どうよ？
0126１３２人目の素数さん
2011/11/02(水) 13:30:58.770127１３２人目の素数さん
2011/11/02(水) 19:16:02.80基本的に読み物ね。
具体的な数学的内容は全くないです。
不完全性定理の社会的視点ですね。
新書のゲーデルの哲学とかのもう少し詳細なものですかね。
0128１３２人目の素数さん
2011/11/02(水) 19:22:46.29ありがとう。数学的内容がないということなのでやめときます。
（さっき訳者あとがきPDFを見たらそうでもないように見えたが）
0129あのこうちやんは始皇帝だった
2011/11/02(水) 19:29:37.64お前、早く、社会人にならないと、取り返しがつかないことになるぞ！
0130１３２人目の素数さん
2011/11/02(水) 19:55:42.020131１３２人目の素数さん
2011/11/02(水) 20:03:02.10数学的内容というのは語弊があった。
定義・定理・証明みたいな流れがないってこと。
不完全性定理の解説については岩波文庫の例の本の解説と同じレベル。
0132１３２人目の素数さん
2011/11/02(水) 20:51:55.88了解。ありがとう。
01338
2011/11/02(水) 22:34:43.031派ではない、Simpsonの本しか読んだことない。
>>132
ただしゲーデルの定理とかいう本はまともな本。
「どんな体系で不完全が成り立つんだろ」
「決定不能とかって不完全性とどう関係してるんだろ」
「自己言及ってどんな種類があるんだろ」
みたいな疑問があったら読んでみるといいのでは？
既に不完全性定理を知っている人は
立ち読みか図書館で興味あるとこに目を通すだけで充分。
0134１３２人目の素数さん
2011/11/03(木) 00:25:00.08分類を証明する手段が数学をゆたかにするっていうこともあるよね。
0135１３２人目の素数さん
2011/11/03(木) 01:52:39.31であることにある。
0136１３２人目の素数さん
2011/11/03(木) 04:24:21.8201378
2011/11/03(木) 06:36:37.24例の2階算術の部分体系も様々なチューリングマシンで置き換えられるし。
純粋に好奇心をそそられる研究だと思うけど。
0138１３２人目の素数さん
2011/11/03(木) 08:44:09.190139１３２人目の素数さん
2011/11/03(木) 08:51:45.25三次、４次、とつづく研究をするか？
ある定理を証明するのに、ある公理系が必要十分であることを証明できたら、
次に、そのメタ証明を証明するのに、必要十分な公理系を証明する、
そのメタメタ証明を、、、
あ、私は135とは別人ね
0140１３２人目の素数さん
2011/11/03(木) 08:52:33.58>完全性定理は
>「数学に使える位まともな論理」
>だけで成り立つということです。
ん？集合論は数学には使えないトンデモ論理だといいたがってる？
もしかして8は有限主義者？クロネッカーの生まれ変わり？
0141１３２人目の素数さん
2011/11/03(木) 08:57:37.20> ところでWKL0⇒リンデンバウムの補題⇒完全性定理ですが、
> >>69が問題にしているのは可算な述語論理の言語の完全性定理の
> RCA0への翻訳だと思いますよ、つまりチャーチの提唱レベルの話でしょう。
言語を可算に制限しても、理論が完全でない場合、
RCA0ではダメだよ。
0142１３２人目の素数さん
2011/11/03(木) 09:08:24.32>逆数学が狭いといわれるのは、
>･･･研究対象が二次的であることにある。
そもそも「二次的」という言葉を
どういう意味で用いているのか不明。
数学の成果を「一次的」として、
その数学の前提をどれほど弱められるかが
「二次的」だということか？
もしそうなら、別に狭いともつまらんとも思わんが。
0143１３２人目の素数さん
2011/11/03(木) 09:52:04.05>定義・定理・証明みたいな流れがない
それ、「流れ」じゃなく「スタイル」だろ。
フランセーンの本は数学書ではないよ。
読者層は数学科の学生ではなく数学に興味をもつ一般人だから。
とはいえ、いい加減なものかといえば全然違うけどね。
むしろ、数学科を出た人間も目からウロコが落ちる話が沢山書いてある。
岩波文庫「不完全性定理」とはまた違った意味で読み応えがある。
0144１３２人目の素数さん
2011/11/03(木) 11:20:08.8401458
2011/11/03(木) 12:41:34.25いいたがっていない。
集合論がどういった証明体系の述語論理の上にあるのか
普通は明示されないが、おそらく完全な述語論理の上で
つくられているので問題なし。
>>141
理論の完全の所を詳しくお願いします。
0146１３２人目の素数さん
2011/11/03(木) 13:17:56.41>>141は完全の意を取り違えてるだけだから質問しても無駄だろう
0147１３２人目の素数さん
2011/11/03(木) 14:23:15.33＞集合論がどういった証明体系の述語論理の上にあるのか
＞普通は明示されないが、おそらく完全な述語論理の上で
＞つくられているので問題なし。
8のいう「完全」の定義とは？
0148１３２人目の素数さん
2011/11/03(木) 15:27:59.99使っていいのは定規とコンパスだけか？
それとも２次曲線は描けるとするか？
使える道具はいろいろ仮定できるが、それらを組み合わせて「実際に」描画するのは
具体的で有限なプロセスでなければならぬ。
0149１３２人目の素数さん
2011/11/03(木) 16:20:22.38なにやら唐突な書き込みだが、
過去の書き込みへの返答なのか？
0150１３２人目の素数さん
2011/11/03(木) 16:26:05.530151１３２人目の素数さん
2011/11/03(木) 16:27:03.44わざわざそれが代数的な解法を持つかどうか考えるのも二次的だな。
角の三等分は存在することが分かっているのに、作図できないことを示すのも二次的だ。
つまりガロア理論の金字塔的といわれる結果は重要度が低いのね。
0152150
2011/11/03(木) 16:31:17.57ところで命題論理で￢、→、∧、∨だけでは
2値論理をすべて網羅することはできないみたいですね。
＝を付け加えてようやく16パターンが完成する。
0153１３２人目の素数さん
2011/11/03(木) 16:42:28.85PAが不完全にもかかわらず、偽命題がPAで証明可能を意味する文を
PAの中で証明しようとしている。に対してはその理屈は成り立つ。
しかし逆数学が研究しているのは計算可能性の次数や算術や再起関数の階層であって、
今証明されている数学の定理をどれだけ少ない公理で証明できるかを研究しているわけではない。
0154１３２人目の素数さん
2011/11/03(木) 16:43:36.63＞代数学の基本定理ですべての代数方程式に解があることが分かっているのに、
＞わざわざそれが代数的な解法を持つかどうか考えるのも二次的だな。
逆数学の話なら、「代数的な解法を持つかどうか考える」
という理解が間違ってる。
代数的な解の存在が、いかなる前提によって証明されるのか
を考えている。
0155１３２人目の素数さん
2011/11/03(木) 16:49:48.77解の存在証明が一次的
解法の存在が二次的
といいたいわけね。
そういう意味でいうと、
無矛盾性の証明不能性は一次的
命題の決定不可能性は二次的
ってことかい？
0156１３２人目の素数さん
2011/11/03(木) 16:49:51.40その次には、その証明のためにはどんな前提が必要なのか、考えるのですね。
わかりまつ
0157１３２人目の素数さん
2011/11/03(木) 16:51:13.61逆数学が逆数学だから重要でない、と言っているに等しいが。
二次的だから重要でないのなら同じく二次的な代数的解法の不存在も重要ではないことになる。
0158１３２人目の素数さん
2011/11/03(木) 16:51:33.320159１３２人目の素数さん
2011/11/03(木) 16:53:44.43ん？「代数解の存在を証明するのに必要な前提」は証明しないよ。
ミュンヒハウゼン（あるいはアグリッパ）のトリレンマって知ってる？
全ての命題に証明を求めるなら無限背進か循環論法に陥る。
独断は排除できないよ。
0160１３２人目の素数さん
2011/11/03(木) 16:57:21.32理論のごく一部です。数の演算に関する本質的洞察を
含み、数学全土に応用があります。
本当にガロア理論勉強した事あります？
0161１３２人目の素数さん
2011/11/03(木) 17:00:11.57「それ」とは>>153のコメント？
「計算可能性の次数や算術や再帰関数の階層」は一つの尺度に過ぎない。
例えばRCA0とWKL0の違いは何なのか、理解しないのなら意味がない。
二次的かどうかが問題なわけではないだろう。
代数的解法の存在も、代数的解法による解の意味が重要。
0162１３２人目の素数さん
2011/11/03(木) 17:00:32.020163１３２人目の素数さん
2011/11/03(木) 17:04:21.38＞数の演算に関する本質的洞察
では、ガロア理論によって明らかになった、
「数の演算の本質」とはズバリ何？
あなた本当にガロア理論理解できてます？
教科書の記述を丸ごと記憶するのは勉強と違うよ。
0164１３２人目の素数さん
2011/11/03(木) 17:05:03.230165１３２人目の素数さん
2011/11/03(木) 17:07:07.820166153
2011/11/03(木) 17:14:05.37確かに次数やクラスは1つの視点ですね。
0167１３２人目の素数さん
2011/11/03(木) 17:22:16.38具体的に説明されたい。
01688
2011/11/03(木) 19:15:30.11複雑だけど￢と→だけできる。
￢(A→￢B)
￢(A→B)
￢(￢A→￢B)
￢(￢A→B)
の4つで1パターンで真になる命題が網羅できるので、
これの否定で3パターン真で命題が網羅できて、
4つの内2つを組み合わせて2パターンで真になる命題を網羅する。
4つ全部を組み合わせて恒真、その否定で偽をつくる。
これで16パターンが網羅できる。
0169１３２人目の素数さん
2011/11/03(木) 19:49:36.91証明可能性を描画可能性になぞらえているのか？
コッホ曲線をどうやって描画する？
0170１３２人目の素数さん
2011/11/03(木) 20:22:00.87本質とは、
ある集合の構造を調べるときに、その集合を直接調べるのではなく、
その集合からその集合への写像の族を考え、
その族の構造を調べることが有効である。
ということ。それ以降の数学のあらゆる所で出てくる重要な考え。
0171１３２人目の素数さん
2011/11/03(木) 21:16:48.67わざわざガロア理論とか数の演算の本質とかいうから
実に高尚極まりない整数論の奥義を語るかと思えば
数学のどこでもでてくるヌルい一般論じゃんｗ
0172１３２人目の素数さん
2011/11/03(木) 21:22:30.85>>151が、ガロア理論を誤解して過小評価していたので、
ガロア理論の本質論が出たまで。
そう、今ではいたるところに普及した
重要な考え。
0173１３２人目の素数さん
2011/11/03(木) 21:36:59.04ガロア理論の本質でもなんでもない。
例えば、ガロア理論→幾何学、集合→空間、写像→変換と置き換え
「幾何学の本質とは
空間の構造を調べるのに、空間を直接調べるのではなく
空間から空間への変換の族を考え、
その族の構造を調べることが有効だということ」
といっても通じてしまう。
こんなヌルイ一般論を重要というのは・・・馬鹿ｗ
0174１３２人目の素数さん
2011/11/03(木) 21:37:49.72その4つの式の最初に￢をつける意味は？
0175１３２人目の素数さん
2011/11/03(木) 21:46:35.36￢(A→￢B)＝A&B
￢(A→B)＝A＆￢B
￢(￢A→￢B)＝￢A&B
￢(￢A→B)＝￢A&￢B
と思われ。
0176１３２人目の素数さん
2011/11/03(木) 21:50:53.37「複素数は本来、数じゃ無い！」
とわめいていた数学者(？)がいた。
実数ではなく複素数、というところが素人っぽくて面白い。
どうも、全順序集合でないと、本来の数ではないらしいｗ
0177１３２人目の素数さん
2011/11/03(木) 21:55:30.41円周群の要素を数と呼ばないのは、どう言い訳しても手抜かりである。
0179１３２人目の素数さん
2011/11/03(木) 22:04:44.770180８
2011/11/03(木) 23:21:16.14A○Bを￢(A∧B)、
A◎Bを￢(A∨B)で定義すれば
どちらも2項述語1つだけで真理値表をすべて満たす。
A○Bの否定が(A○B)○(A○B)になったりする。
代数の演算を考えれば自明だが。
0181１３２人目の素数さん
2011/11/03(木) 23:21:35.62ガロア理論の重要なところの一つはその一般化できる構造なんじゃないの？
ガロア理論の説明で良く幾何学の証明不可能性の話が出てくるから
そうなんだと思ってたけど。
0182１３２人目の素数さん
2011/11/04(金) 04:35:29.49ほんじゃガロア理論のごく一部であるところの
代数解の不存在云々（アーベルの定理？）は
二次的なので重要でないってことでおk?
つーか、ガロア理論の一部とか思ってるの？
一部ではなくて、単に金字塔的な応用例ってだけだろｗ
君こそ勉強しなおしてきたらどうだい？
0183１３２人目の素数さん
2011/11/04(金) 05:04:11.68実数ってのがそもそも「数」ではない。実数で表されるものは「量」だ。
従って「数学」という名称は名が体を表していない。「量学」と改称すべきである。
0184１３２人目の素数さん
2011/11/04(金) 06:36:50.32量と数と実数の関係をはっきり述べないと議論にならない
0185１３２人目の素数さん
2011/11/04(金) 07:13:03.86こんな定義だそうだ：
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1317089920/21
0186１３２人目の素数さん
2011/11/04(金) 08:02:31.27要するに
離散量＝自然数＝真の数
連続量＝実数＝数でない
といいたいわけか。
なんか窮屈だな。
窮屈を好むのはやっぱ精神異常？
0187１３２人目の素数さん
2011/11/04(金) 08:04:26.33自然数も有理数も実数も複素数も四元数も数。
それどころかベクトル空間の元も数。だから関数も数。
ええい、もう、集合も数とよんだらええがなｗ
0188１３２人目の素数さん
2011/11/04(金) 08:13:49.78つまり日本語の「数」は、本来連続量には使われない。
連続量である実数に「数」とつけるのはテクニカルタームでだけだ。
0189１３２人目の素数さん
2011/11/04(金) 08:14:59.70数学は集合論だってことだなｗ。
ということで、数学板を集合論板に改名すべしｗ
0190１３２人目の素数さん
2011/11/04(金) 08:18:33.42もうええよ、数学も量学もせますぎ。
今の数学は全て集合論だからｗ
♪これも集合、あれも集合
たぶん集合、きっと集合
0191１３２人目の素数さん
2011/11/04(金) 08:23:09.84というと、圏論ヲタから
「圏の重要性を全く無視している！」
といわれそうだな。
それなら、まあ、圏論の立場も立てて
数学板を集合論・圏論板に変えるのはどうだ？ｗ
0192１３２人目の素数さん
2011/11/04(金) 09:27:38.04集合(体)の構造を調べたい時に、
その集合上の写像の族(変換群)の
族としての構造(群構造)を調べるという所。
個々の写像が具体的にどの元をどの元に
移すかどうかは忘れて、写像の族が織り成す
性質(群としての性質)を調べるという所。
ここに既に圏論の考えがある。
0193１３２人目の素数さん
2011/11/04(金) 09:59:33.66代数方程式に絡めて、もう少し詳しく書く。
有理数係数代数方程式に代数解があるということは、
有理数体に解を付加した体が、
有理数体に1の冪根を付加した体の
部分体になっていること。(本当は嘘だが遠くない)
だから、ある体はある体を部分体をもつか？
という問題になる。
体上の(自然な)変換群を考えると、
部分体と部分変換群との間に自然な対応がつく。
(ここがガロア理論の胆。以下は代数的な話)
有理数体に冪根を添加したという特別な体に対し、その体の変換群は、冪根の性質からある制約をうける。その制約は、部分変換群へも伝播し、対応する部分体へも伝播する。
この部分体が、有理数体に代数方程式の解を添加した体なら、その制約は、
その代数方程式へも伝播する。
五次以上の代数方程式では、この制約を外れるものが出る。
こういうシナリオです。
0194１３２人目の素数さん
2011/11/04(金) 20:05:57.67ある定理や理論にどの公理がどの程度本質的に効いてくるのか
ってことが分かるってのがメインで、基本的にはそれ自体から
数学のレベルで新しい定理が出てくるってわけじゃない
（メタレベルで数学がより分かるようになるだけ）って意味じゃねーの？
0195１３２人目の素数さん
2011/11/04(金) 21:07:21.610196１３２人目の素数さん
2011/11/04(金) 21:48:52.44逆数学が逆数学自体を研究対象にしたところで、それが数学からみて
二次的な存在であることは変わらない（というかむしろ三次的存在になってしまう）
のではないの？
0197１３２人目の素数さん
2011/11/04(金) 21:53:55.21そういうことを言いたいのであれば、最初からそう言えばいい。
例のアホは、そんな詳しいことは言ってない。
「逆数学は二次的だ」としか言ってない。だから
A：じゃあガロア理論も二次的だな。
B：何を言うか。お前はガロア理論を分かってない。
とかいうワケの分からない方向に進むのだ。Aが言っていることは
「お前の言う いい加減な "二次的" に従えば、ガロア理論だって
二次的になってしまうぞ。それでいいのか？」
ということである。すなわち、Aの発言の本質は
「 "二次的" とは何なのか詳しく説明しろ 」
ということであり、Aが問題にしているのは "二次的" の定義である。
従って、A自身はガロア理論のことを "二次的" だとは思ってない。
Aは、"二次的" という内容を皮肉っているだけである。
実際、>>151の書き方は明らかにこのような意図に読める。
よって、Bのような返答は見当違いであり、正しい返答の仕方は
「 いや、二次的とはこういう意味だ。ガロア理論はこの意味で二次的では無い 」
というものでなければならない。"二次的" の定義に触れない返答は意味が無く、
話がこじれるだけである。
0198１３２人目の素数さん
2011/11/04(金) 21:57:25.730199１３２人目の素数さん
2011/11/04(金) 21:59:57.78まで読んだ
0200１３２人目の素数さん
2011/11/04(金) 22:02:01.64いくら煽っても、例のアホが何も言ってないことには変わらない。
今の段階で分かっていることは
・例のアホ本人による、「逆数学は二次的だ」の説明が未だに無い。何も言ってないのと同じ。
・別人である>>194による、「二次的だ」の見解は登場している。
ということにすぎない。
0201１３２人目の素数さん
2011/11/04(金) 22:06:55.85一人居るってことはずっと変わらんということにすぎない。
0202１３２人目の素数さん
2011/11/04(金) 22:24:51.74圏論スレのころから内容が全く無い。
0203１３２人目の素数さん
2011/11/04(金) 22:29:58.480204１３２人目の素数さん
2011/11/04(金) 22:47:08.09当の本人は何も定義しないし、何も主張しない。
他人の話にケチつけてれば自分の立場が
崩れないと考えている。完全なアホ。
自分がアホ出ないことを主張してみな。
0205１３２人目の素数さん
2011/11/04(金) 22:52:44.88第三者(特に若者)がみてこっちに分がありそうだと
思ってくれればそれでじゅうぶん。
0206１３２人目の素数さん
2011/11/04(金) 23:08:22.36君には分がないよ。
よく考えればわかるので説明はしない。
0207１３２人目の素数さん
2011/11/04(金) 23:29:45.39逆数学を最初に批判したのは私じゃない。
でも充分私には言いたいことは伝わった。
私は彼に分があると思った
0208１３２人目の素数さん
2011/11/05(土) 01:19:12.75代数的解法があるかどうかはメタレベルではなく数学の問題だと？
ある定理や理論にどの公理がどの程度本質的に効いてくるのかは二次的で
ある解を求めるのにどういう手法（代数的か超越的か）が本質的に必要かは一次的なのか？
随分と恣意的な境界線だこと。というか逆数学を二次的にするための定義だな。
「二次的とは逆数学のようであること」と言っているのと大差ない。
0209１３２人目の素数さん
2011/11/05(土) 02:09:51.060210１３２人目の素数さん
2011/11/05(土) 02:16:07.400211１３２人目の素数さん
2011/11/05(土) 03:16:55.47連続体仮説を公理に入れるか入れないかはメタ数学の話で、
重力を含む超統一理論があるかどうかってのは物理学の話で、
……etc.
って中で、数学のレベルでの話以外は数学にとっては二次的三次的なもんだろ。
どんだけ頭沸いてるんだか。
0212１３２人目の素数さん
2011/11/05(土) 03:23:28.110213１３２人目の素数さん
2011/11/05(土) 03:35:16.66それって「逆数学は重要でないから重要でない」とか言っているのと同じだから。
真面目に議論する気がないなら出て行ってね。
0214１３２人目の素数さん
2011/11/05(土) 03:38:54.08逆数学は逆数学で、
逆数学からすれば数学も物理も国文学も等しく二次的三次的だ
と言っているのに、君こそまじめに話する気がはじめからないんだろ？
0215１３２人目の素数さん
2011/11/05(土) 03:41:12.51んなわけないだろ、ドンだけ頭悪いんだこの阿呆は
0216１３２人目の素数さん
2011/11/05(土) 03:42:03.55つか、>>213は二次的＝重要でないとか、言ってるも同然なんだが、
んなわけないだろ、ドンだけ頭悪いんだこの阿呆は
0217１３２人目の素数さん
2011/11/05(土) 04:13:40.16にじ‐てき【二次的】
［形動］主となる物事に対して、それに付随する関係にあるさま。また、ある物事から派生したもので、それほど重要でないさま。副次的。「―な災害」「―な問題」
0218１３２人目の素数さん
2011/11/05(土) 04:18:53.04２．また、ある物事から派生したもので、それほど重要でないさま。
３、副次的。
ってのは意味が並立なわけだが。
0219１３２人目の素数さん
2011/11/05(土) 04:19:44.540220１３２人目の素数さん
2011/11/05(土) 04:21:54.87逆数学は二次的 と最初に言ったのは>>135
二次的＝狭い と最初に言ったのも>>135
二次的＝重要度が減る と最初に言ったのは>>139
>>135にとっては、逆数学は二次的で、狭い
>>139にとっては、逆数学は二次的で、重要度が減る
二次的だとなぜ重要度が減るのか、あるいは、
二次的だとなぜ重要でないのか、そのことに答えたレスはまだない
二次的だとなぜ狭いのか、そのことに答えたレスもまだない
とりあえず、スレを見渡す限りは、二次的だと重要でないという考え方は
マイナーのようである
0221１３２人目の素数さん
2011/11/05(土) 04:24:29.24従ってそれを「んなわけないだろ」と言っている奴こそ辞書が読めないんだな
0222１３２人目の素数さん
2011/11/05(土) 04:26:00.30そうか、最初から重要でない意味が含まれているのか
0223１３２人目の素数さん
2011/11/05(土) 04:27:53.940224１３２人目の素数さん
2011/11/05(土) 05:05:00.64並立なんだから、他の意味で言っている場合を完全無視して
「二次的＝重要でない」と言ってると主張するのは、
幼稚園児にも笑われるレベルの阿呆だ。
0225１３２人目の素数さん
2011/11/05(土) 05:09:13.82「んなわけないだろ」だろと全面否定した人間は
幼稚園児に笑われるレベルだろ
0226１３２人目の素数さん
2011/11/05(土) 05:14:54.56しかるに139が「二次的であれば重要度が減る。」と述べている。
更に逆数学批判派は同語反復的な主張が多数であった。
かような文脈において、二次的＝重要でない、という解釈は
139の発言をまさに同語反復とするものであり、
この文脈において最も適切な「二次的」の解釈であると考えられるのである。
0227１３２人目の素数さん
2011/11/05(土) 05:17:26.03全く逆数学批判派ではないぞ。そこまで興味を持っても居ないが。
0228１３２人目の素数さん
2011/11/05(土) 05:18:16.080229１３２人目の素数さん
2011/11/05(土) 05:32:12.010230１３２人目の素数さん
2011/11/05(土) 05:47:21.72お、辞書の読み方では勝ち目がないと悟って論点のすり替え？
しかし残念だが>>226の主張は「重要度が減る」と「重要でない」の同値は必要ない。
後者から前者への implication さえあればいい。
0231１３２人目の素数さん
2011/11/05(土) 08:01:47.04例えばRCA0とWKL0の違いが明らかになったのは面白い。
前者は明らかに構成的だが、後者は何らかの超越的な仮定がある。
こういうことに対して何の面白みも感じない人は
数学的感覚が鈍磨しているといっていい。
0232１３２人目の素数さん
2011/11/05(土) 09:09:38.10ないしはスケールの大きな数学を知らない
0233１３２人目の素数さん
2011/11/05(土) 10:21:18.06数学なんかやらないｗ
微細構造を好む人がやるのが数学。
0234１３２人目の素数さん
2011/11/05(土) 10:28:58.83全数学を包括しかき回すほどの規模。
21世紀の主流は計算論＋理論計算機＋集合論
0235１３２人目の素数さん
2011/11/05(土) 10:35:20.73別に壮大だとは思わない。
そもそも壮大だからスゲーとはおもわんし。
なにかといえば大きさを求める奴は
きっと●ん●んが小さいんだろうｗ
いっとくけど、♀の＊＊＊は鈍感だから
入れたって正確な大きさなんかわかりゃ
せんってｗ
0236１３２人目の素数さん
2011/11/05(土) 12:13:54.61本来逆数学のような計算論の視点が1次的で、
これまでの数学が2次的なものなのだが。
ユークリド言論が1次的で非ユークリッドが2次とか言っているようなものw
0237１３２人目の素数さん
2011/11/05(土) 12:18:44.87これ興味あるからもうすこし聞かせて。
オレは、本当にそうであればよいと思う者だが、今の計算論や理論計算機にそんな兆候があるか？
何あるいは何処がその兆候だと思うんだ？
0238１３２人目の素数さん
2011/11/05(土) 12:23:15.54無限と同じぐらいの深淵じゃないの？
可算数と非可算数の境界の話だよね？
0239１３２人目の素数さん
2011/11/05(土) 13:58:14.73逆数学にとって数学が二次的な対象でしかないことは誰も否定して無いと思うが。
0240１３２人目の素数さん
2011/11/05(土) 14:49:37.41逆数学は、直接、数学の成果を得る活動ではないが
その結果が、数学でないかといえば、そんなことはないから
結局、フツウの数学と変わるところはない。
0241１３２人目の素数さん
2011/11/05(土) 17:17:43.15自分で「フツウの数学」と区別しておいてそれは詭弁ではあるまいか。
0242１３２人目の素数さん
2011/11/05(土) 17:25:08.36要は対象の選び方の違いにすぎない。
こんなことに難癖をつける奴は●違いだろう。
0243１３２人目の素数さん
2011/11/05(土) 19:00:04.00述語論理ですが、
言語Lってのは
論理的述語記号∧、∨、￢、→、∀、∃
変数記号x1、x2、x3、...
関数変数記号F1、F2、F3、...
述語変数記号R1、R2、R3、...
の記号の組合せの事ですよね。
この記号の組合せの総数、つまり2^Lの中で、
変数記号、引数に項をとる関数の形をしたものが項ですよね。
項の集まりをTermとすればTerm⊆2^Lになりますよね。
引数に項をとる述語と、述語を引数にとる論理的述語が論理式ですよね。
論理式の集まりをFlmとすればFlm⊆2^L。
0244１３２人目の素数さん
2011/11/05(土) 20:50:08.36これらをTerm(L)やFlm(L)と書き換えよう。
M(L)という対が＜M,Pri,Fnc,m,v＞と定義される。
Mは集合。
Priは定義域がMを動く述語の集合。
Fncは定義域・値域がMを動く関数の集合。
mは定義域が定数記号ならば値域がM、
定義域が述語定数記号ならば値域がPri、
定義域が関数定数記号ならば値域がFnc、
となる全単射関数。
vはFlm(L)から{0,1}への関数。
さてここまで来れば私の主張したい内容が想像つくだろう。
つまり、「論理的述語記号だけ特別扱いするのは卑怯ではないだろうか？」
0245１３２人目の素数さん
2011/11/05(土) 21:23:51.57＞「論理的述語記号だけ特別扱いするのは卑怯ではないだろうか？」
上記の文章は理解できない。
もし、
「論理記号によって書かれた述語だけを
述語として認めるのはおかしいだろう？」
といいたいのであれば、全くその通りである。
実は一階述語論理と二階述語論理の違いはそこにある。
一階述語論理では、論理式として書けるものしか拘束できない。
しかしながら、二階述語論理では、述語全体を束縛する演算子
として∀、∃を用いることができる。
0246１３２人目の素数さん
2011/11/05(土) 21:33:28.20基礎論って、妖怪人間ならぬ妖怪数学みたいなものか？
普通の人間や数学は、日夜、立派な人間や立派な数学になりたいと
切磋琢磨しているのに、
普通の人間か数学になりたい、それで充分だからならせてくれと。
0247１３２人目の素数さん
2011/11/05(土) 22:09:00.71論理的述語記号は通常、
A B A∧B
------------
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
のような真理値が定義されているのだが、
これはいささか早計ではないだろうか。
これが前提となるのは非常に不快である。
そこで論理的述語記号を関数や述語と同様に、
論理的述語変数と論理的述語定数に分離して考えてはどうだろうか。
つまり論理的述語記号∧、∨、￢、→、∀、∃ を
論理的述語変数L1、L2、L3、...
にすげ替えてしまうのである。
同時に論理式の定義を以下のように拡張する。
・引数に項をとる述語。
・引数に引数に述語か論理的述語をとる論理的述語。
0248１３２人目の素数さん
2011/11/05(土) 22:27:27.03同意。
逆数学や基礎論と数学は別物。
別物なんだから、価値観が違う。
基礎論にとっては、代数方程式論より逆数学のほうが重要かもしれないが、
数学にとっては、代数方程式論の方がはるかに大事。
価値観が違うんだから、はっきり分けるべき。
数学は数学。論理学は論理学。
刃物をつかっているという点では同じでも、
サムライと板前くらい違う。目的も価値観も違う。
0249１３２人目の素数さん
2011/11/05(土) 22:32:31.65まったくそのとおりである、私はさらにその考えを推し進めようとしている。
注意すべきは論理的述語は引数に直接項をとることができない。
これは既存の1階述語論理と同様である。
（いや、∀と∃の存在保証が失われた今、1階というのは意味をなさない言い方か。）
さて、今述語論理の言語は以下の述語を持つ。
論理的述語変数 L0、L1、L2、...
論理的述語定数 -
非論理的述語変数 R1、R2、R3...
非論理的述語定数 -
ここで論理式の定義と比較したとき、ある事実に気が付くだろう。
論理式の非論理的述語は引数に項をとる。
論理式の論理的述語は引数に非論理的述語と論理的述語をとる。
つまり項で非論理的述語の真偽が決まり、非論理的述語で論理的述語の真偽が決定する。
0250１３２人目の素数さん
2011/11/05(土) 22:54:57.82論理的述語を2階の述語と考えると、
当然3階4階...n階と階層化をすすめたくなる。
重要なのは、n階の述語は引数にn階以下の述語をとるということ。
そして1階だけが極小の述語となり、引数に項しかとれない。
述語はどの階層でも真偽が決定するが、項は単独では真偽決定できない。
0251１３２人目の素数さん
2011/11/05(土) 23:29:23.60{Pri_n(L)}n∊N とでもして述語を階層ごとに分けとけばよいだけだ。
さて言語Lの論理式は今や以下の定義となる。
・項を引数に持つ1階述語。
・n階以下の述語を引数に持つn階述語。ただしn≧2。
こうすると構造の側はどのように真偽を判定するのか。
なおn階の述語すべてのアリティの個数制限をなくす。
0252１３２人目の素数さん
2011/11/05(土) 23:45:50.00どういった場合においてもここまで一般化された
言語では任意の証明体系で完全性定理が成り立つ。
というより論理記号がないため恒真が意味をなさない。
こう考えると1階述語論理とは、
述語が2階までで、
2階の述語定数記号が各アリティ2の∧、∨、￢、→、∀、∃ である。
ここで通常の1階論理と同じような真理値を2階の述語に与えれば良い。
（勿論構造の側の解釈を与える全単射の関数mもn階分に対応している。）
また、高階述語論理や様相論理も自由に展開できることを確かめたれたい。
了
0253１３２人目の素数さん
2011/11/06(日) 02:12:56.620254１３２人目の素数さん
2011/11/06(日) 02:14:56.350255１３２人目の素数さん
2011/11/06(日) 02:18:17.96何で数学の証明とか解説ってやたら難しい事書くんだろう。人間が人間に説明するんだから(ry
0256１３２人目の素数さん
2011/11/06(日) 03:51:17.42解釈の方法を限定するためじゃね。
自然言語で意味が一意になるように書くと、更に長くなるよ。
試しに選択公理を論理式と自然言語で書いて見比べてみたら。
0257１３２人目の素数さん
2011/11/06(日) 07:15:28.38普通の教科書の書き方をパロッてるんだろう
0258１３２人目の素数さん
2011/11/06(日) 08:11:19.75何がいいたいのか意味不明。
そもそも代数方程式でも解の存在が大事だという人と
解の性質が大事だという人がいるだろう。
数学の中で分野わけすればいいだけのこと。
整数論至上主義者は、整数論のために
関数解析を「数学ではない」といって
切るつもりか？
0259１３２人目の素数さん
2011/11/06(日) 08:18:45.68ゲーデルのLを知らんのか？
あれはまさに無限階論理といってもいいわけだが。
しかし、全ての階をいっしょくたにできるような
最上階というものは存在しない。
0260１３２人目の素数さん
2011/11/06(日) 08:53:31.44前回、真偽の決定可能な論理式は1階以上の述語とした。
一方でn階の述語はそれ以下の階層の述語を引数にとるとした。
ここで項も論理式に加えてしまうのが合理的だと思わないだろうか。
また2階以上の階層の真偽が同様に決定するのも不自然だ。
はじめてに論理式の定義を以下のように書き換える。
・従来の変数は0階の論理式である。
・従来の関数は1階の論理式である。
・従来の述語は2階の論理式である。
・従来の論理的述語は3階の論理式である。
さらに
・n階の論理式はそれ以下の論理式を引数に持つ。
ここで問題が発生する。f(x)∧y、a＜(b＜c) のようなものが発生する。
これは容易に解決する。
0261１３２人目の素数さん
2011/11/06(日) 09:41:26.91ある段階で導入する可能性もある。
かつて関数vは論理式と真理値を関連付けていた。
これは解釈という考え方で一般化することが可能である。
例えば、従来のx＜y∧y＜zという論理式を考える。
x＜y∧y＜zの真理値は、x＜yとy＜zの真理値によって決定する。
ここでx＜y∧y＜zの真理値とx＜yとy＜zの真理値は実は違うものだと考える。
そして真理値というよりは、例えば集合{t0,t1}を値が動くと考える。
一方f(x)やg(y)は構造の領域Mを動いている。
3階以上の述語も同様にふるまう。
ここで各階の論理式は解釈により集合へ対応付けられる。
各階の論理式に対応する集合は、M0、M1、M2、...とでも定義しておけばよい。
例えばPAの標準モデルは、
M0＝N、M1＝N、M2＝{0,1}、M3＝{0,1}となるだろう。
ここで先ほどのf(x)∧y、a＜(b＜c)。
f(x)∧yだが、f(x)はM1、yはM0に対応付けられる。
∧は{t0,t1}に対応付けられている。
ここで∧を解釈する関数の定義域が{t0,t1}だけならば、
それ以外の不正な値を定義不能としてはじくことが出来る。
つまり、f(x)∧y、a＜(b＜c)などは決定不能になる。
もちろんM0＝M1＝M2＝...と定義することで
意図的に関数値や定義域を混同させることも可能だ。
つまり完全性定理での論理式が、決定可能な論理式に制限されるだけだ。
0262１３２人目の素数さん
2011/11/06(日) 09:55:54.14モデルの定義も変えねばなるまい。
矛盾許容論理などを考えればモデルとは、
ある言語のすべての論理式を定義可能な領域を持つ構造。
これにより先ほどの完全性定理は再び従来通りの論理式に対するものとなる。
0263１３２人目の素数さん
2011/11/06(日) 10:06:41.41お前アホか。全部既知のことを今頃お勉強が終わったということ。
それからn階なんて言っている時点で古過ぎ。循環だってあるんだから。
0264１３２人目の素数さん
2011/11/06(日) 10:34:01.28ご立腹かね？ワトソンくん！
0265１３２人目の素数さん
2011/11/06(日) 16:26:20.00物理なんかの測定から理論を抽出するところに逆数学的なものを感じるんだけど、
逆数学にそういった応用例とかないのかしらん？
0266１３２人目の素数さん
2011/11/06(日) 16:43:51.03トンデモ？
0267１３２人目の素数さん
2011/11/06(日) 17:16:49.63すでに知られていることを独自の発想のように書いてるスレ潰し
0268１３２人目の素数さん
2011/11/06(日) 17:19:39.30既知？全く荒唐無稽の既知外だろｗ
0269１３２人目の素数さん
2011/11/06(日) 17:32:12.02数学はひとつなの。
関数解析にとっても代数方程式は重要なの。
整数論と関数解析は分けることができないの。
向かう方向はおなじだから。
だが、逆数学はわけることができる。
価値観が違うんだから、どうどうと違う学問だと
なのって、数学の外で一国をつくればよい。
関数解析と整数論が違う学問だと思うのは、
きっと、現在の教育を途中で投げ出すと、
そういう感覚を覚えるようになってしまっているのが
原因。
0270１３２人目の素数さん
2011/11/06(日) 17:43:37.04束、位相、代数が基盤だろ。
0271１３２人目の素数さん
2011/11/06(日) 17:48:05.830272１３２人目の素数さん
2011/11/06(日) 18:02:19.72研究してるの？
0273１３２人目の素数さん
2011/11/06(日) 18:20:57.12ここ最近の研究事情がどうなってるのかわからん。
0274１３２人目の素数さん
2011/11/06(日) 18:23:49.45＞数学の外で一国をつくればよい。
ずいぶん壮大なことをのたまっているようだが、今の体制で
本当にそのようなことを実現するなら、政治的な力が必要だな。
内部から変化することはありえないから。
こんなところで愚痴ってないで、お前が先頭に立って
排斥運動の1つでもやってみたらどうだねｗ
0275１３２人目の素数さん
2011/11/06(日) 18:28:10.07雑学の総称？
0276１３２人目の素数さん
2011/11/06(日) 18:48:03.530277１３２人目の素数さん
2011/11/06(日) 19:35:09.95アニメやゲームはそういう感じで使われているね
0278１３２人目の素数さん
2011/11/06(日) 21:24:26.00基礎的な定理には初等的な証明、理解の仕方があるのは、
代数だって変わらんでしょ。けどそれじゃ数学的構造理解しているとは言えない。
0279１３２人目の素数さん
2011/11/06(日) 21:38:02.64あなたのスタイルがちょっと古かったりおおげさだったりするのが皆の癇にさわって
いるだけかも。既知かも知れんが、学生だとすればなかなか力ある。
しつこくがんばれば将来性あるよ。めげるな。
0280１３２人目の素数さん
2011/11/06(日) 22:05:42.78オススメの基礎論学習コースある？
学習者は代数専攻の数学修士として。
0281１３２人目の素数さん
2011/11/07(月) 05:44:38.12人を駄目にする褒め方をしてはいけない
0282１３２人目の素数さん
2011/11/07(月) 05:50:42.760283１３２人目の素数さん
2011/11/07(月) 07:16:52.39全然見当違い。
そもそも論理式の値が真偽値でないとする発想が既知外。
てゆーか自画自賛だろ。トンデモがよくやる手だｗ
0284１３２人目の素数さん
2011/11/07(月) 07:52:43.550285１３２人目の素数さん
2011/11/07(月) 08:00:25.69小さい数から大きな数を減じてみようとしたり。
0286１３２人目の素数さん
2011/11/07(月) 10:17:53.15それを今やって大発見だと思う人がいたら可哀相な人だよね。
0287１３２人目の素数さん
2011/11/07(月) 10:28:23.70>>280 とか、
真面目な質問に答える能力のある人はいないの？
0288１３２人目の素数さん
2011/11/07(月) 11:13:58.64といっても俺も素人なんであんまり真に受けないでね。
さしあたり完全性定理とか不完全性定理を知りたいなら、
朝倉 現代基礎数学 15 数理論理学 鹿島亮著
を読んで、証明とか説明に不足を感じたら
J.R.Shoenfied著のMathematical Logic
を読めばいいと思う。
モデル理論の代数幾何への応用とかは知らないんで。
0289１３２人目の素数さん
2011/11/07(月) 11:50:14.30勉強しました。その次にくるのは何がよいでしょうか？
0290１３２人目の素数さん
2011/11/07(月) 17:31:06.56エンダートンを読了したのならば数理論理学に関して一通りの基礎は身に付いたはずなので
次は自分が特に興味のあるテーマのモノグラフやサーベイに進むのが良いでしょう。
0291１３２人目の素数さん
2011/11/07(月) 18:52:20.60別にモデル論の知識は無くても読めるように書いてあるよ
基礎論全般の勉強なら新井敏康の数学基礎論が良いよ
包括的な入門書の中では一番レベルが高いんじゃないかな
0292１３２人目の素数さん
2011/11/07(月) 20:37:37.55仕方ないからこれにしよう・・・
Lectures in Logic and Set Theory: Volume 1, Mathematical Logic (Cambridge Studies in Advanced Mathematics) [ペーパーバック]
George Tourlakis (著)
0293１３２人目の素数さん
2011/11/07(月) 20:49:01.48へえ、モデル理論仕込まなくても読めるんですか。
アリ。
0294１３２人目の素数さん
2011/11/07(月) 21:15:27.88江田の数理論理学、これは絶対おススメ。
0295１３２人目の素数さん
2011/11/07(月) 22:10:14.580296１３２人目の素数さん
2011/11/07(月) 22:48:43.42APPLIED LOGIC SERIESとかCambridge University Pressのコンピュータサイエンスの
論理シリーズは良書が多いねぇ
0297１３２人目の素数さん
2011/11/07(月) 23:32:17.19生協で見たことあるが、そんな特徴ある本なの？
読んでみないと分からんもんだね。
0298１３２人目の素数さん
2011/11/08(火) 17:18:48.13基礎論的には。
0299１３２人目の素数さん
2011/11/08(火) 18:05:45.720300１３２人目の素数さん
2011/11/08(火) 18:10:42.830301１３２人目の素数さん
2011/11/08(火) 18:54:12.25直観主義で再現するみたいなパワポ見たことあるよ
0302１３２人目の素数さん
2011/11/08(火) 20:17:17.360303１３２人目の素数さん
2011/11/08(火) 21:46:59.040304１３２人目の素数さん
2011/11/08(火) 21:53:03.38目標は新たな計算機の創造
うひ
0305１３２人目の素数さん
2011/11/08(火) 22:39:11.920306１３２人目の素数さん
2011/11/08(火) 22:49:07.150307１３２人目の素数さん
2011/11/08(火) 23:36:34.25「∀xP(x)が真」を、「P(0)が真＆P(1)が真＆P(2)が真」
と置き換えて解釈をする流儀。
モデルの側の領域と無関係と考えるような意味論。
ただ強完全性とコンパクト定理が成り立たない。
0308１３２人目の素数さん
2011/11/09(水) 00:09:01.98なるほど。解説ありがとうございます。
>モデルの側の領域と無関係と考えるような意味論。
領域と無関係というのは、領域自体考えに入れないということですか？
たとえば、普通ならP(0)が真 iff V(0)∈V(P)と考えると思うのですが、上の意味論ではP(0)の真理値はどうやって決まるのでしょうか？
0309１３２人目の素数さん
2011/11/09(水) 08:14:34.34P(x)のモデルMでの解釈が{2,3}で、
言語の定数記号がa,b、
そのMでの解釈がそれぞれ2と3だとする。
このとき代入したもの
P(a/x)とP(b/x)を解釈すると両方真。
つまり∀xP(x)が真。
ところがモデルMの領域全体がどうなっているかは不明！
0310１３２人目の素数さん
2011/11/09(水) 13:40:46.76そういうことでしたか、よく分かりました。
0311１３２人目の素数さん
2011/11/10(木) 15:23:53.160312１３２人目の素数さん
2011/11/10(木) 15:25:57.130313１３２人目の素数さん
2011/11/10(木) 16:50:53.130314１３２人目の素数さん
2011/11/10(木) 18:28:52.130315１３２人目の素数さん
2011/11/10(木) 18:47:35.69そりゃ集合論抜きでロジック構築する方法だろ＾＾；
0316１３２人目の素数さん
2011/11/10(木) 19:42:13.85今時（ロジックの中でも）時代遅れで、
研究者はほとんどそんなこと気にしちゃいない
0317１３２人目の素数さん
2011/11/10(木) 19:55:31.550318１３２人目の素数さん
2011/11/10(木) 20:20:19.960319１３２人目の素数さん
2011/11/10(木) 20:33:33.69その5辺りから読んでるんだから
0320１３２人目の素数さん
2011/11/10(木) 20:34:33.650321１３２人目の素数さん
2011/11/10(木) 20:39:10.71洗濯小売はどうなったのか？
0322１３２人目の素数さん
2011/11/10(木) 22:44:01.560323１３２人目の素数さん
2011/11/10(木) 22:47:13.210324１３２人目の素数さん
2011/11/10(木) 22:58:40.05コンピュータサイエンスに移ったよ。
洋書のCSシリーズのが充実している。
0325１３２人目の素数さん
2011/11/10(木) 22:59:07.720326１３２人目の素数さん
2011/11/11(金) 09:49:01.53PA|- Pr(【φ】)→Pr(Pr(【φ】))
をどうやって証明するのかがわかりません。
不完全性定理ってなかなか難しいですね。
0327１３２人目の素数さん
2011/11/11(金) 19:49:22.09Σ1文φについてPA|-φ→Pr(【φ】)
0328１３２人目の素数さん
2011/11/11(金) 21:57:15.05定義に関する帰納法で証明すればいいんですかね？
φが原子論理式のとき
φが�ｵのとき
φが、、、、
んーいまいちまだ分からないんですが。
0329１３２人目の素数さん
2011/11/11(金) 22:14:05.71PA|- ∀x∀y(x=y→Pr(【x=y】))
はどうやって証明するんでしょうか？
0330１３２人目の素数さん
2011/11/11(金) 22:56:20.05PAの定義や証明体系に依存する。
0331１３２人目の素数さん
2011/11/12(土) 01:49:07.93たしかにそうですね、、、定義も書かずすみませんでした。
ところで、第二不完全性定理を証明する際に使われる導出性条件(derivability conditions)というのが３つありますよね。
D1 PA|- φ→Pr(【φ】)
D2 略
D3 PA|- Pr(【φ】)→ Pr(【 Pr(【φ】) 】)
このうちのD1とD3は何が異なるのでしょうか？ Pr(【ψ】)をD1のφとして考えれば、 D3はD1に含まれる気がするのですが。
0332１３２人目の素数さん
2011/11/12(土) 03:39:12.710333１３２人目の素数さん
2011/11/12(土) 06:54:09.56D1はPA|-φならばPA|-Pr(【φ】) だと思いますよ。
0334１３２人目の素数さん
2011/11/12(土) 09:05:16.200335１３２人目の素数さん
2011/11/12(土) 09:38:08.20次の論理法則を証明せよ：－
「前提が偽であることは帰結も偽であることを何ら保証するものではない。」
0336１３２人目の素数さん
2011/11/12(土) 12:01:57.630337１３２人目の素数さん
2011/11/12(土) 12:37:56.98２ |-A ⇔ |-B
1と2って同値でしょうか？
0338１３２人目の素数さん
2011/11/12(土) 13:28:48.48|-A←→B
|-A→B∧B→A
|-A→B------(1)
|-B→A------(2)
もし|-Aなら(1)とMPで|-B、|-A⇒|-B
もし|-Bなら(2)とMPで|-A、|-B⇒|-A
よって |-A ⇔ |-B。
逆に２から１は一般に出ない。
0339１３２人目の素数さん
2011/11/12(土) 16:46:34.16助かりました、ありがとうございます。
0340１３２人目の素数さん
2011/11/12(土) 17:06:01.89＞関数解析にとっても代数方程式は重要なの。
＞整数論と関数解析は分けることができないの。
この屁理屈だと、数学と物理学も分けることができない、となる。
物理学にとっても、数学は重要であるからだｗ
もちろん、他の学問でも同じことだが。
＞向かう方向はおなじだから。
具体的に、どこだいｗｗｗｗｗｗｗ
0341１３２人目の素数さん
2011/11/12(土) 21:19:30.75どこが屁理屈なのかわからない
0342１３２人目の素数さん
2011/11/12(土) 21:22:49.41つまり、数学と物理学は分けることができない、と
0343１３２人目の素数さん
2011/11/12(土) 22:55:45.500344１３２人目の素数さん
2011/11/12(土) 22:58:56.9754: 11/09(水)21:06 AAS
猫がカンボジア国籍取得。五輪に前進。
57: 11/12(土)09:51 AAS
猫 五輪確定？カンボジア3選手が選考レース辞退
来年のロンドン五輪男子マラソンを目指し、カンボジア国籍を取得した猫が出場する五輪選考レース「東南アジア競技大会」(16日、ｲﾝﾄﾞﾈｼｱ)を出走予定の同国代表3選手が辞退｡同レースに出走する同国選手は猫のみになった｡
0345１３２人目の素数さん
2011/11/13(日) 05:08:28.07数理物理学抜きの数学は考えられないな
0346１３２人目の素数さん
2011/11/13(日) 10:25:14.55数理論理学抜きの数学も考えられんよ
0347345
2011/11/13(日) 11:21:31.05全く同意する。
数理論理学は数学の重要な分野だと思う。
0348１３２人目の素数さん
2011/11/13(日) 11:54:52.990349１３２人目の素数さん
2011/11/13(日) 12:00:45.38アダルトビデオは映像芸術の欠くべからざるジャンルだ。
0350１３２人目の素数さん
2011/11/13(日) 12:06:48.71でも、数学と論理学は分けられる。
数学と物理を僧侶と牧師に例えるなら
基礎論はただの禿げてる人。
見かけは僧侶に近いが考えていることは違う
僧侶と牧師は見かけは違うしスタイルも違うが
考えている方向性は同じ
0351官軍（一兵卒）(＾o＾)
2011/11/13(日) 12:42:52.49(Ｐ⊃Ｑ)⊃(￢Ｑ⊃￢Ｐ) は tautology であり。
“(ＰならばＱである)ならば、(ＱでないならばＰではない)”が成立する。
しかし、[Ｐ⊃(ＱＶＲ)]⊃[(Ｐ⊃Ｑ)Ｖ(Ｐ⊃Ｒ)] は tautology であるのに
“ＰならばＱかＲであるならば、ＰならばＱかまたはＰならばＲである”は
成立しない。
0352１３２人目の素数さん
2011/11/13(日) 12:44:46.23ことがら Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ が在り、これらについて次の２つの関係が成り立って
いるものとする。
(ｲ) Ａであれば、Ｂか又はＣである。
(ﾛ) Ｄであれば、ＢでもＣでもない。
このとき、以下の主張 (1) ～ (8) のうち正しいものを列挙せよ。尚、解法も述べよ。
(1) Ｄでなければ、Ａではない。
(2) Ｃであれば、Ｄではない。
(3) Ａでなければ、Ｄでないか又はＢではない。
(4) Ａでなければ、Ｄではない。
(5) Ｂでなければ、Ａでないか又はＤである。
(6) Ｂでなければ、Ａでないか又はＣである。
(7) Ｂであれば、Ｃではなく、Ｄでもない。
(8) ［Ｂでなければ、Ｄではない］か又は［Ｄでなければ、Ｂではない］
0353１３２人目の素数さん
2011/11/13(日) 14:58:00.910354１３２人目の素数さん
2011/11/13(日) 15:32:57.93＞数学と物理の一部は分けられない。
一部とは具体的に何を指すか？
もし「理論物理学」を指すならあなたが間違っている。
理論物理学は、物理であって数学ではない。
なぜなら理論物理学も物理現象を扱うからである。
理論物理学は数学のように証明によって
その真偽が決まるわけではない。
0355１３２人目の素数さん
2011/11/13(日) 15:37:15.51＞でも、数学と論理学は分けられる。
物理において数学が使われているように
数学において論理が使われているだけだ
というのであれば、もちろん分けられる。
し・か・し、論理の数学的研究は、道具の使い方の研究ではない。
論理そのものの数学的構造を調べることにある。
したがって、数学の証明には全く役に立たないことは多々ある。
証明に役立たない論理の研究は無意味だというのは
物理に役立たない数学の研究は無意味だというのと
同程度に見識が狭い。
0356１３２人目の素数さん
2011/11/13(日) 15:43:41.36>（数学と物理は）
>見かけは違うしスタイルも違うが
>考えている方向性は同じ
と思ってるなら数学も物理も分かってない。
数学では、ユークリッド幾何も非ユークリッド幾何も意味がある。
しかし物理学では、ニュートン力学と相対論の両方が意味がある、
ということはない。意味があるのは物理現象と整合する理論だけだ。
ちなみに、ニュートン力学の速度の合成はユークリッド的
相対論の速度の合成はクラインの円盤の変換として
実現できるので非ユークリッド的である。
0357１３２人目の素数さん
2011/11/13(日) 15:53:35.40物理学でも、
ニュートン力学と相対論は、両方意味があるよ。
状況に応じて使い分けられている。
0358１３２人目の素数さん
2011/11/13(日) 15:56:21.05>（基礎論は見かけは数学に近いが)考えていることは違う
まず基礎論という言葉は論理学を指すものではないから
論理学という意味で言っているのならば、明確に間違っている。
さて、>>356で、「物理的世界」のように
「数学的世界」があるわけではないことを
ユークリッド幾何と非ユークリッド幾何の
例で示した。
数理論理学の研究から、多種多様な数学の存在が示される。
もし、数学と物理は「唯一無二の世界」を探求する点で似ており、
論理学は「多種多様な可能世界」を想定する点で異なるというなら
その人は、数学を誤解している。数学は「多種多様」なのであって
数理論理学はその事実を示しているに過ぎない。
0359１３２人目の素数さん
2011/11/13(日) 15:58:14.42ニュートン力学は単に「方便」として用いられているにすぎない。
非ユークリッド幾何もごく小さい箇所では、ユークリッド的であると
みなせるのと同様な意味で、だ。
しかし、そのことは、ニュートン力学が
物理的に「正しい」ことを意味しない。
0360１３２人目の素数さん
2011/11/13(日) 16:05:43.86物理に正しいも間違いもないよ。
全てはモデルなんだから。
真実があるとしたら、それは神のみが知りうる。
それが物理学のとる立場だ。
大学生になったら、そういうことを意識してくださいね！
0361１３２人目の素数さん
2011/11/13(日) 16:35:17.23ニュートン力学は、正しいよ。
通常の状態では、相対論と一致するとてもよい近似理論。
精度の高さと計算効率の良さから、今でも使われている。
というより、ほとんどニュートン力学だよ。
相対論が必要になるのは、かなり特殊な状況だ。
0362１３２人目の素数さん
2011/11/13(日) 16:52:36.52GPSで使うぞい
0363猫 ◆MuKUnGPXAY
2011/11/13(日) 18:28:46.96自然ですね。ソレは取りも直さず物理理論の正当性は（数学的な厳密性
ではなくて）実験結果との整合性に依って担保されるからであり、また
実験から得られる数値データには必ず誤差が含まれるという事実にも注
意が必要ですね。でも数学に於ける主張には如何なる適応限界も存在し
ません。ソレは『その命題が成立する条件が全て明確にされてる』から
ですね。
猫
0364１３２人目の素数さん
2011/11/13(日) 18:33:16.64相対論は電磁気学の一部だろ。電磁気学は認めない立場とかそういう特殊な方？
0365１３２人目の素数さん
2011/11/13(日) 18:34:41.320366１３２人目の素数さん
2011/11/13(日) 18:36:26.66まずはΣ1完全性定理を
ゲーデル数で算術化するところから考えよう。
0367１３２人目の素数さん
2011/11/13(日) 18:46:39.06電磁気学は、相対論の前に出来ていると思いますよ？
相対論なしでも電磁気学はなりたつと思います。
もちろん相対論とも矛盾しないですが。
0368１３２人目の素数さん
2011/11/13(日) 19:11:30.37特殊相対性理論の関係もわからないんですねえ。
0369１３２人目の素数さん
2011/11/13(日) 20:09:28.34「動いている物体の電気力学」で、電磁気学のうち取り扱いがいい加減だった
相対運動をする場合の理論なんだよ。
実は伸び縮みするとか結構どうでもいい話。
ウケがいいからクローズアップされるだけで。
0370１３２人目の素数さん
2011/11/13(日) 21:38:20.80逆数学にそういった応用例とかないのかしらん？
0371１３２人目の素数さん
2011/11/13(日) 21:57:42.68そーゆーのは「抽象」っていう。
0372１３２人目の素数さん
2011/11/13(日) 22:01:47.420373１３２人目の素数さん
2011/11/13(日) 22:07:48.800374１３２人目の素数さん
2011/11/13(日) 22:12:27.72参考にしないほうが良いよ。
0375１３２人目の素数さん
2011/11/13(日) 22:35:30.31形式化されていない1完全性定理なら証明できました。が、形式化されたそれを証明する方法がよくわかりません。
ところで、私は前原先生の本をベースに勉強しています。
以下のページでは、前原先生の証明を土台にして第二不完全性定理を証明しているみたいなんですが、これって正しいですか？
http://miuse.mie-u.ac.jp/bitstream/10076/6295/1/AN100450900050008.PDF
0376１３２人目の素数さん
2011/11/13(日) 22:38:53.70とくに定理12以降の部分についてです。これなら私にも理解できそうなんですが、
他の文献と比べて記述があっさりしている気がして本当に正しいのか不安に思ってしまいました。
0377１３２人目の素数さん
2011/11/14(月) 00:39:36.38自分なりに考えてみたのですが、以下の証明って正しいでしょうか。
表現定理より、再帰的述語ならばPAで数値別に表現可能である。
r is recursive ⇒ PA|-R
また、
PA|-R ⇒ PA|-Pr(【R】)
は証明できる。
したがって、
r is recursive ⇒ PA|-Pr(【R】)
また、証明できる論理式に対して仮定を増やしても、その論理式は証明できるので、
PA|-R→Pr(【R】)
は証明できる。
ゆえに、
r is recursive ⇒ PA|-R→Pr(【R】)
0378１３２人目の素数さん
2011/11/14(月) 01:18:05.53間違えがある。
rが再帰的、つまり表現可能とは、
r⇒PA|-R
￢r⇒PA|-￢R
の2つが満たされること。
rが再帰的⇒PA|-Rにならない。
そしてそのPDFは証明の誤りや脱字や
定義の足らない部分が多数含まれている、
読まないほうが良い。
0379１３２人目の素数さん
2011/11/14(月) 05:08:59.80ことがら Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ が在り、これらについて次の２つの関係が成り立って
いるものとする。
(ｲ) Ａであれば、Ｂか又はＣである。
(ﾛ) Ｄであれば、ＢでもＣでもない。
このとき、以下の主張 (1) ～ (8) のうち正しいものを列挙せよ。尚、解法も述べよ。
(1) Ｄでなければ、Ａではない。
(2) Ｃであれば、Ｄではない。
(3) Ａでなければ、Ｄでないか又はＢではない。
(4) Ａでなければ、Ｄではない。
(5) Ｂでなければ、Ａでないか又はＤである。
(6) Ｂでなければ、Ａでないか又はＣである。
(7) Ｂであれば、Ｃではなく、Ｄでもない。
(8) ［Ｂでなければ、Ｄではない］か又は［Ｄでなければ、Ｂではない］
0380１３２人目の素数さん
2011/11/14(月) 05:10:34.13論理法則とはそも何ぞや？
0381１３２人目の素数さん
2011/11/14(月) 08:52:14.54そういうのは数理論理学ではなくて論理学がやることだね
0382１３２人目の素数さん
2011/11/14(月) 09:15:32.61数理論理学（＝記号論理学）と論理学とはどう違うのさ？ ヽ(^。^)ノ
0383１３２人目の素数さん
2011/11/14(月) 10:16:00.810384１３２人目の素数さん
2011/11/14(月) 10:21:26.090385１３２人目の素数さん
2011/11/14(月) 14:53:23.90＞
＞論理法則とはそも何ぞや？
論理法則＝トートロジー
0386１３２人目の素数さん
2011/11/14(月) 18:44:59.32モデル論使えば一発なんやけどな
0387１３２人目の素数さん
2011/11/14(月) 19:42:18.190388１３２人目の素数さん
2011/11/14(月) 19:43:51.280389１３２人目の素数さん
2011/11/14(月) 20:28:44.060390１３２人目の素数さん
2011/11/14(月) 21:55:34.44何と何が対応しているんだ？
対角線論法じたいは、数学ガールで分かった。しかし不完全性定理はあの本でもイミフだった。
0391１３２人目の素数さん
2011/11/14(月) 22:14:05.98￢を付けても付けなくても証明不可能なものが存在すると主張する定理。
この論理式はゲーデル文と言われ、対角線論法はゲーデル文をつくる際に必要。
対角化定理(不動点定理)自体は数学のあらゆる場所に登場する。
チューリング機械の停止判定問題が否定的に解ける件などもこれが原因。
0392１３２人目の素数さん
2011/11/14(月) 23:01:20.98ヴェルタース・オリジナルみたいなもん？
0393１３２人目の素数さん
2011/11/15(火) 00:22:52.63「不完全性定理と対角線論法の関係」という話だと、もうちょっと突っ込んだ考えが必要。
Webだとこれが良くまとまっていると思う。
(pdf)自己言及の論理と計算
ttp://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~hassei/selfref2006.pdf
0394１３２人目の素数さん
2011/11/15(火) 01:46:48.53>間違えがある。
>rが再帰的、つまり表現可能とは、
>r⇒PA|-R
>￢r⇒PA|-￢R
>の2つが満たされること。
>rが再帰的⇒PA|-Rにならない。
仰る通りです。私が間違ってました。
>そしてそのPDFは証明の誤りや脱字や
>定義の足らない部分が多数含まれている、
>読まないほうが良い。
たしかに、題からしてすごい間違いを犯してますね。
ただ、私の気になる第二不完全性定理の箇所に関しては、私には誤りが見つかりませんでした。そして、非常に分かりやすい証明でした。
具体的にどこが誤っているか教えていただけませんか？
よろしくお願いします。
0395１３２人目の素数さん
2011/11/15(火) 07:24:03.09知りません///
>>393
良くかけてるとおもう
>>394
誤りがあるか否かが問題ではない
誤りがると信じるか否かが問題である
0396１３２人目の素数さん
2011/11/15(火) 14:45:36.71http://www.springerlink.com/content/h881p406u0378850/fulltext.pdf
0397１３２人目の素数さん
2011/11/15(火) 21:28:16.27http://www.age.ne.jp/x/eurms/GDL.html#00
0398１３２人目の素数さん
2011/11/15(火) 22:03:40.15>逆に２から１は一般に出ない。
具体的な反例は？
0400１３２人目の素数さん
2011/11/15(火) 22:58:52.360401１３２人目の素数さん
2011/11/15(火) 23:01:53.16数学についてはもちろんおっしゃるとおりですが，物理理論にとって実験結果
との整合は実は単なる結果であって，その理論の単純さや美しさこそが正当性
の根拠なのではないでしょうか（たとえば特殊相対論）．
そろそろ２１世紀の科学哲学が必要なのでは？
0402１３２人目の素数さん
2011/11/15(火) 23:07:07.64特殊相対性理論では、マイケルソン・モーリーの実験の意味を考えるのが、
アインシュタインの研究の動機。
0403１３２人目の素数さん
2011/11/15(火) 23:17:36.97知ってのとおり天動説だって観測との整合性はあった．
アインシュタインはマイケルソンモーリーの実験を知らなかったという
説もある（それは十分あり得ることだろう）．
このあたりはこの板のみなさんにはいうまでもないだろうが．
0404１３２人目の素数さん
2011/11/15(火) 23:21:18.86俺が彼氏にフェラチオしてるときはもっと激しくジュパジュパ音を出してあげてるよ
0405１３２人目の素数さん
2011/11/15(火) 23:22:45.710406１３２人目の素数さん
2011/11/15(火) 23:27:08.83単純さなら，相当程度客観的に評価できるんでないかい．
0407１３２人目の素数さん
2011/11/15(火) 23:37:59.91本当に間違っているか不明。
余り信じないほうが良い。
ゲーデルの証明は複雑で、粗探しは大変そう。
そのPDF書いた人もself-containedじゃないと
ことわりを入れてるのでなおさら難しい...。
不完全性定理は有限の立場、つまり2項述語∊を使ってよいなら、
集合論を経由してかなりシンプルに証明できる。
0408１３２人目の素数さん
2011/11/15(火) 23:38:50.87不完全性定理は有限の立場、
↓
不完全性定理は有限の立場を出て、
0409１３２人目の素数さん
2011/11/15(火) 23:43:22.09演繹定理って、
Γ,A|-B ⇒ Γ|-A→B
のことだよね？
Γ|-A ⇒ Γ|-B
とは、違うのでは？
0410１３２人目の素数さん
2011/11/15(火) 23:54:38.09|-A⇔|-B を仮定。
|-A⇒|-B について考えると、
|-A より {B}|-A
演繹定理を使って
|-B→A-------(1)
逆に|-B⇒|-A について考えると、
|-A→B-------(2)
(1),(2)から |-A←→B □
0411１３２人目の素数さん
2011/11/15(火) 23:58:26.37真摯なコメントありがとうございます。
>不完全性定理は有限の立場、つまり2項述語�gってよいなら、
>集合論を経由してかなりシンプルに証明できる。
様相論理を使う証明のことですか？
もう導出性条件の有限な証明を理解するのは諦めようかな、、、。
0412１３２人目の素数さん
2011/11/16(水) 00:06:41.74まちがっとるやろ．
それは，|-Aかつ|-Bから|-A←→Bを出しとるんや．
0413１３２人目の素数さん
2011/11/16(水) 00:07:10.52>|-A より {B}|-A
ここは、
|-A⇒|-B より、 {B}|-A⇒|-B
としか、言えないのでは？なので、以下も
>演繹定理を使って
>|-B→A-------(1)
|-B→A⇒|-B
としか言えないと思いますが。
0415１３２人目の素数さん
2011/11/16(水) 07:50:18.61公理的集合論を使った証明ですね。
補題：集合論は集合モデルの存在を証明できない、
を使ってPAの第2不完全性を証明。
第1はRE集合での証明がシンプルで見通しが良い。
詳細な論理式についての議論を省ける。
ただし集合が胡散臭いなら無理...。
0416１３２人目の素数さん
2011/11/16(水) 19:33:17.57クリプキの定理とか数学史を塗り替えるものだし。
0417１３２人目の素数さん
2011/11/16(水) 20:22:30.89まず関係というからには「何に関する何項関係か」を明示する必要があります。
例：「nは素数である」は数nに関する１項関係である。n+3<m は数n,mに関する２項関係である。
そしてたとえば「数 n,m に関する２項関係が論理式Aによって表現される」という場合には、
A中に n,m に対応する自由変数記号 x,y があって、x,y に「数n,mを表す項」を代入した論理式のことを
論じる必要があります。
そこで件の悲惨なPDFですが、たとえば89ページの下から4～3行目の
定理11より、関係 Bew(「r」) は論理式 bew(『r』) によって表現される。
という部分に次の質問をすれば簡単に終わりかと思います。
関係 Bew(「r」) は何に関する何項関係ですか？
論理式 bew(『r』) 中の対応する自由変数記号はどれですか？
（注意：83～84ページにあるように『r』は定数を表す項であって自由変数記号を含みません）
0418１３２人目の素数さん
2011/11/16(水) 22:19:31.52解説ありがとうございます。
納得しました。たしかに、皆様の仰る通り、このpdfは間違いがけっこうありました。たとえば、 他にも、pp91の(15.6)から(15.7)にかけての箇所も誤りですよね？
417さんのおかげで、より深い理解が得られました。ありがとうございます。
0419１３２人目の素数さん
2011/11/16(水) 22:31:12.25追記
もし、第二不完全性定理の証明について解説しているネット上の資料をご存知でしたら、教えていただけませんか？
言語は英語でも構いません。それと、証明の方法は、様相論理等によるものではなく、第一不完全性定理の証明を形式化してする証明によるものでお願い致します。
、、、なんかものすごい厚かましいですね、すみません。
0420１３２人目の素数さん
2011/11/17(木) 00:13:52.72ttp://phil.gu.se/logic/uppsatser/blanck_logd.pdf
余談だが可証性述語を様相演算子に置き換えることで、
第2不完全性定理は証明できない。
そもそもの3つの可導性条件を満たすことを示すのが
この証明の最大の難所なわけで、これは第1不完全性定理の
算術化を避けては通れない。
しかしこの算術化を厳密に行うテキストはほとんど皆無で、
大抵は3つの条件を事実として認めるか、アウトラインを述べるにとどまる。
かつてNatarajan Shankarは定理自動証明機械を用いて完全な証明を試みたが、
そのプログラム中にはエラーが発見された...。
またBoolosははじめから様相論理で算術を展開したが、
これは強い体系のため、第2不完全性定理よりも弱い定理になることが指摘されてしまう...。
0421１３２人目の素数さん
2011/11/17(木) 04:41:25.90次の問題にこたえよ。 解答のみならず、解法も記せ。
【問題】ことがら Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ があり、これらについて 次の２つの
関係が成り立っているものとする。
（ｲi Ａであれば、Ｂか又はＣである
（ﾛ）Ｄであれば、ＢでもＣでもない
このとき、以下の主張（１）～（７）のうち正しいものを列挙せよ。
（１）Ｄでなければ、Ａではない
（２）Ｃでなければ、Ｄではない
（３）Ａでなければ、Ｄでないか又はＢではない
（４）Ａでなければ、Ｄではない
（５）Ｂでなければ、Ａでないか又はＤである
（６）Ｂでなければ、Ａでないか又はＣである
（７）Ｂであれば、Ｃではなく、Ｄでもない
、
0422１３２人目の素数さん
2011/11/17(木) 11:19:21.45論理学スレか質問スレでやれ
0423１３２人目の素数さん
2011/11/17(木) 15:35:49.540424１３２人目の素数さん
2011/11/17(木) 16:31:46.49参考資料と解説ありがとうございます。資料は後ほどじっくり読んでみたいと思います。
やはりderivability conditions の証明は相当に難しいのですね。
すみません、まだ疑問があります。以下の推論はどこがおかしいでしょうか。以下を認めるとD1からD3がでてきてしまうのですが。
D1より
PA|- A ならば PA|-Pr(【A】)
また、
PA,A|- A
ゆえに、
PA,A|- Pr(【A】)
演繹定理より、
PA|- A→ Pr(【A】)
0425１３２人目の素数さん
2011/11/17(木) 18:39:44.83＞PA|- A ならば PA|-Pr(【A】)
＞また、
＞PA,A|- A
＞ゆえに、
＞PA,A|- Pr(【A】)
ここがおかしい。
PA,A|-A のとき、
A|-A かつ PA|-/-A があり得る。
0426１３２人目の素数さん
2011/11/17(木) 19:38:25.07>PA,A|-A のとき、
>A|-A かつ PA|-/-A があり得る。
すみません、、まだよく分からないのですが、
PA|-/-Aのときは、Prの定義より、PA,Aから Pr(【A】)は証明できないということでしょうか。
0427１３２人目の素数さん
2011/11/17(木) 19:58:19.69証明の前にわかっていること。
PA|-A が成り立つとき、PA|-Pr(【A】) を結論してよい。
証明の仮定。
PA,A|-A
例えばAがPAから独立とする。
するとPA|-/-A。
このとき、PA|-Pr(【A】)もしくはPA|-/-Pr(【A】)。
ここで、PA|-/-Pr(【A】)の場合を考える。
すると、A|-Pr(【A】)もしくはA|-/-Pr(【A】)。
さらに、A|-/-Pr(【A】)の場合を考えると、
PA,A|-/-Pr(【A】)
0428１３２人目の素数さん
2011/11/17(木) 21:36:37.32よくわかりました。丁寧な解説ありがとうございます。
0429１３２人目の素数さん
2011/11/17(木) 23:01:37.14ほんとにわかった？
Pr述語が途中ですり替わっているだけでしょ？
424はきちんと書けば、つぎのようになるでしょ。
D1より
PA|- A ならば PA|-Pr( PA,【A】)
また、
PA,A|- A
ゆえに、
PA,A|- Pr( PA+A,【A】)
演繹定理より、
PA|- A→ Pr( PA+A,【A】)
つまり、この最後が Pr( PA,【A】) でなければD3は出てこないでしょ？
Pr( PA+A,【A】) はまあ自明だよね。
0430官軍（一兵卒）(＾o＾)
2011/11/18(金) 02:03:43.06＞演繹定理より
ﾜﾛﾀYO
0431１３２人目の素数さん
2011/11/18(金) 14:31:35.38エンジニアと参加願います公安はサリンオウム信者の子供を40歳まで社会から隔離している
オウム信者が地方で現在も潜伏している
それは新興宗教を配下としている公安の仕事だ
発案で盗聴器を開発したら霊魂が寄って呼ぶ来た
<電波憑依>
スピリチャル全否定なら江原三輪氏、高橋佳子大川隆法氏は、幻聴で強制入院矛盾する日本宗教と精神科
<コードレス盗聴>
2004既に国民20%被害250～700台数中国工作員3～7000万円2005ソウルコピー2010ソウルイン医者アカギ絡む<盗聴証拠>
今年５月に日本の警視庁防課は被害者SDカード15分を保持した有る国民に出せ!!<創価幹部>
キタオカ1962年東北生は二十代で2人の女性をレイプ殺害して入信した創価本尊はこれだけで潰せる<<<韓国工作員鸛<<<創価公明党 <テロ装置>>東芝部品)>>ヤクザ<宗教<同和<<公安<<魂複<<官憲>日本終Googl検索
0432１３２人目の素数さん
2011/11/18(金) 16:17:35.18誰か(アメリカ)気づいた
ソウルコピー機器
テロ装置の再読願います
0433１３２人目の素数さん
2011/11/18(金) 22:31:02.80古代の人、未来の人、遠い外国の人、もしかしたら
宇宙人とさえも交信可能な、コミュニケーション素材。
でも基礎論は今の限定された人々のあいだだけだな。
0434１３２人目の素数さん
2011/11/18(金) 22:33:47.42って言葉知ってるか？ｗ
0435１３２人目の素数さん
2011/11/22(火) 02:57:04.13代数的整数の定義は、必然的に選ばれたものだとでも？
0436１３２人目の素数さん
2011/11/22(火) 19:12:38.480437１３２人目の素数さん
2011/11/22(火) 20:30:32.850438１３２人目の素数さん
2011/11/23(水) 02:47:31.190439１３２人目の素数さん
2011/11/23(水) 09:46:17.55自然数も実数と同様に人の作ったウソである
0440１３２人目の素数さん
2011/11/23(水) 10:13:50.48ウソという言葉に否定的なニュアンスを勝手に感じてはならないわけですね。
0441１３２人目の素数さん
2011/11/23(水) 11:09:09.690442１３２人目の素数さん
2011/11/23(水) 12:34:43.780443１３２人目の素数さん
2011/11/23(水) 12:44:02.850444１３２人目の素数さん
2011/11/23(水) 13:35:33.45数学はつまるところ数量の科学でしょ？といったら笑われたｗ
構造・作用・空間の科学だと。
でもそういう概念も数量記号化不可能なものなら数学ではないんじゃ・・・
0445１３２人目の素数さん
2011/11/23(水) 13:37:34.74あったとしてもそれはある公理系をもった記号論理学にすぎなくなるのでは。
0446１３２人目の素数さん
2011/11/23(水) 14:18:31.81そうすると類別も対応も嘘になるから何にもできなくなると思う。
0447１３２人目の素数さん
2011/11/23(水) 14:55:53.340448１３２人目の素数さん
2011/11/23(水) 15:12:46.43自然数に対する興味は知性的な頭脳集団の存続する限り
残るだろう。
素数はどれくらいあるか？(リーマン予想)
不定方程式に整数解はあるか？(フェルマー予想)
そして素晴らしいことには、この二つの問いには
19世紀以来、継続的に散発的でない進展があるということ。
0449１３２人目の素数さん
2011/11/23(水) 15:17:52.53もともとの意味の幾何学(クライン以前)は、継続的な進展は途絶え、
数学としての深みのある問題はなくなってしまったので、
数論の進展も永久に残るかどうかは分からない。しかし、
それは数学ないし知性自体の死を意味するかもしれない。
0450１３２人目の素数さん
2011/11/23(水) 15:49:07.89座標を前にしてRの直積、写像、ベキ乗について考えてるとなんだか
わけがわからなくなってくる。それぞれが原子、運動、空間の範囲
みたいに見えてくる。しかしそうするとそもそも集合って何って思え
てきて頭が死ぬ！
0451１３２人目の素数さん
2011/11/23(水) 16:13:15.630452１３２人目の素数さん
2011/11/23(水) 17:29:15.38「クライン以前の幾何学」（初等幾何）というのは
「ガロア以前の代数学」（初等代数）というのと
同程度の意味しかない。
クライン以降、幾何学はリー群論に進化してしまった。
0453１３２人目の素数さん
2011/11/23(水) 17:34:03.03ある人に、集合とは何か？と聞かれたので、
「｛｝と，だけで表わせるもの」
と答えてやった。
{},{{}},{{},{{}}},･･･
上記の最初の３つの集合は、それぞれ
自然数の０，１，２に対応する。
0454１３２人目の素数さん
2011/11/23(水) 17:37:59.01＞そうすると類別も対応も嘘になるから
どうも私の発言を誤解しているようだが、
私は０とか１とか２とかいう数がウソ（つまりフィクション）
だといったのではない。
それらをひっくるめた概念としての自然数というものが
ウソ（つまりフィクション）だといったのである。
例えば数学的帰納法というのは、あくまで願望にすぎない。
0455１３２人目の素数さん
2011/11/23(水) 17:39:28.89人間の思考パターンの表現
数学が研究しているのは、脳という神経組織の振る舞い。
0456１３２人目の素数さん
2011/11/23(水) 18:03:22.65可視化へ進みすぎじゃあないか
前に少しグラフを習ったので、それだと考えると「見える」んだけどなあと思った。
つまり座標成分を点、写像は線と考えればいい。（完全）二部グラフならそれぞれの数が
そのまま一致する。特に意味が無いけど、、
0457１３２人目の素数さん
2011/11/23(水) 18:08:30.09それは余り説明になっていない。
それにその書き方は一部の集合論の流儀にすぎない。
0458１３２人目の素数さん
2011/11/23(水) 18:38:53.26点と線で視覚化できる集合写像はごく一部にすぎないけど。
0459１３２人目の素数さん
2011/11/23(水) 18:59:57.61まあいいじゃん、聞いてきた相手もちゃんとした説明が欲しいんじゃないだろうし。
0460１３２人目の素数さん
2011/11/23(水) 20:44:22.77しかし数論の場合は、ガロア以前の問題を
ガロア以後の研究が解決し続けているのに対し、
幾何学は、問題自体を捨て去った。
捨てずに追いかけ続けたのが、和算。
日本人の性質を表しているようだ。
因みに幾何学という語が日本で使われ出したのは
明治以降。
0461１３２人目の素数さん
2011/11/23(水) 21:05:08.00難しい問題がなくなったからではない。
難しい問題の全てが解決されないか、
解決されても散発的な解法しか発見されなくなったから。
0462１３２人目の素数さん
2011/11/23(水) 21:07:40.13そういう意味では進展は無いわけではないし
研究も全くなくなったわけではない。
しかし、発見された解法はどれも美しくない。
0463１３２人目の素数さん
2011/11/23(水) 23:27:01.850464１３２人目の素数さん
2011/11/24(木) 06:33:55.54＞幾何学は、問題自体を捨て去った。
とは思わんね。幾何学を合同変換群における不変式論と
定義しなおしてしまった時点で、不変式かどうか判定
すればすむ問題は、もはや問題ではない。
0465１３２人目の素数さん
2011/11/24(木) 06:39:59.15残念だが、ZFCでは集合論に集合以外のものは出てこない。
つまり{}と,以外で書き表さねばならないようなものは出てこない。
もちろん、内包的な定義は存在する。
しかし、これを外延的に表わせたとするなら
やはり{}と,しか出てこない。
自然数であれ実数であれ複素数であれ、集合である。
すべて{}と,で表わせる。面倒だから省略記法で誤魔化してるだけだ。
0466１３２人目の素数さん
2011/11/24(木) 07:01:01.81一部の集合論がZFCだって言ってるんだけど。
0467１３２人目の素数さん
2011/11/24(木) 07:07:32.62一部というには、大きすぎるような。Axiom of Foundation が特殊
といいたいということでも、ちょっとなぁ。
0468１３２人目の素数さん
2011/11/24(木) 07:43:18.26しかし{}と,だけで書けるってのおかしい。
非可算無限個の集合を紙の上にかけるなら元々ZFCなんていらないし。
0469１３２人目の素数さん
2011/11/24(木) 10:43:13.01初等幾何の全ての問題が捨て去られたわけではないね。
ケプラー予想などを除く最も主要だった問題群は、
今や代数幾何学という分野名で数論と密接に関連して
研究され続けていると。
0470１３２人目の素数さん
2011/11/24(木) 11:00:32.48問題を昇華する過程で、結局古典的問題は
原型をとどめたままでも面白いものは無くなり、
結局捨て去られてしまったのだと思う。
円を有限分割して同体積の正方形に
できないことは、まだ証明されてから
一世期たっていないはずだが、
ケプラー予想ほどではないけど、あまり評価されてないと思う。
0471１３２人目の素数さん
2011/11/24(木) 11:34:46.08還元したというより、群や不変式という
代数学の言葉を使って、幾何学の意味の
拡大を行ったというほうが正しいだろう。
それまで幾何学と思われなかったことまで
幾何学という言葉で綺麗にくくれると。
16世紀にデカルトがすでにユークリッド幾何学を
方程式論に還元できることは言っていた。
しかし、それでも和算家は、
幾何は幾何として研究していたわけで。
0472１３２人目の素数さん
2011/11/24(木) 13:37:31.720473１３２人目の素数さん
2011/11/24(木) 18:26:00.68その場合は証明の定義を変更する必要があると
0474１３２人目の素数さん
2011/11/24(木) 18:27:11.10ミスしました。
第一不完全性定理の仮定はω無矛盾でなく無矛盾でよいと聞きますが、
その場合は証明の定義を変更する必要があるとwikipediaにはあります。
しかしそれでは定理の一般化とは言えないのではないでしょうか？
0475１３２人目の素数さん
2011/11/24(木) 18:35:59.28証明読め。
0476１３２人目の素数さん
2011/11/24(木) 18:38:22.54新井敏康の本では証明の定義を変えているという訳ではないようです。
wikipediaの記述が間違いなのでしょうか？
0477１３２人目の素数さん
2011/11/24(木) 18:50:53.340478１３２人目の素数さん
2011/11/24(木) 20:26:01.91証明の定義というより可証性述語の定義。
今新井の本をちらっと見たけど
第一不完全性定理の証明の前に
算術化を行ってProv(a,b)を定義していて、
第一不完全性定理でロッサー述語を一気に導入して証明してた。
ロッサー述語は定理の条件のω無矛盾が無矛盾に広げられる。
ゲーデルも論文出したときは無矛盾にしたかったらしいよ。
0479１３２人目の素数さん
2011/11/24(木) 20:30:45.57ということは、純粋な一般化ということでいいのでしょうか？
証明の中でPrの定義を変更していますが、証明する事柄にPrは現れないので。
0480１３２人目の素数さん
2011/11/24(木) 21:13:54.220481１３２人目の素数さん
2011/11/24(木) 21:15:53.770482１３２人目の素数さん
2011/11/24(木) 21:37:03.43純粋な一般化とは何だろうか？
0483１３２人目の素数さん
2011/11/24(木) 21:41:54.66「ω無矛盾な公理系には証明も反証も不可能な論理式が存在する」という定理を
「無矛盾な公理系には証明も反証も不可能な論理式が存在する」という形に一般化されますが、
この時の「証明」の定義は前者と後者で別物なのでしょうか？
新井敏康「数学基礎論」を読む限りでは両者における「証明」の定義は同じ物のようですが、
0484１３２人目の素数さん
2011/11/24(木) 21:43:16.480485１３２人目の素数さん
2011/11/24(木) 21:51:41.380486１３２人目の素数さん
2011/11/24(木) 21:56:15.96それが解れば周辺論文もそんなに難しくないことがわかる。
広中やワイルズやペレルマンの論文よりずっと読みやすいぞ、内容も平易だし。
0487１３２人目の素数さん
2011/11/24(木) 21:57:58.47証明を読めば解る
0488１３２人目の素数さん
2011/11/24(木) 22:06:24.94同じ。
>>485
対角定理で証明も反証もできない論理式をつくる。
0490483
2011/11/24(木) 22:18:31.37もうひとつわからない部分があります。
新井敏康「数学基礎論」においてderivability conditionsのうちの
(D2)Pr(【A→B】)∧Pr(【A】)→Pr(【B】)
を証明してありますがよく分かりません。
考えている公理系をPAというものとして、PAの標準モデルが存在することを用いて
原始再帰的関数の問題に帰着させて証明するのではいけないのでしょうか？
0492１３２人目の素数さん
2011/11/24(木) 22:31:42.84教科書を燃やして数学を勉強するのを諦めた方がいい
0493１３２人目の素数さん
2011/11/24(木) 22:41:44.91よく言っていることが理解できないけど
それで証明できるなら別に良いと思う。
0494１３２人目の素数さん
2011/11/24(木) 22:44:30.60価値が全然違う。
0495１３２人目の素数さん
2011/11/24(木) 22:44:33.770496１３２人目の素数さん
2011/11/24(木) 22:45:45.54価値なんぞ較べてないだろ
難易度が違うと言っている。
0497１３２人目の素数さん
2011/11/24(木) 22:49:20.700498１３２人目の素数さん
2011/11/24(木) 23:00:28.77ペレルマンのが一番難解かもね。
それに較べたら予備知識ほぼゼロでも理解できるんだからゲーデルの論文なんて
有り難すぎて涙が出るくらいだ。
0499１３２人目の素数さん
2011/11/24(木) 23:19:46.190500１３２人目の素数さん
2011/11/24(木) 23:24:52.14でもあれが数学の証明でないなら、俺は数学の証明を読んだことがないな。
あれくらい諄い数学の証明はそうそうないぞ。
0501猫にコネは不必要 ◆MuKUnGPXAY
2011/11/25(金) 00:20:49.81猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。
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猫
0502１３２人目の素数さん
2011/11/25(金) 00:22:29.22猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。猫は痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。痴漢をしました。
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芳雄
0503１３２人目の素数さん
2011/11/25(金) 07:12:33.12wikipediaにちゃんと
「命題の証明より小さな、否定命題の証明が存在しないという性質を追加」
って書いてあるじゃん。これが(ロッサーの方法の)全てだよ。
ところで、「矛盾の証明が存在しない」はPAで証明できないが
「すべての矛盾の証明について、
これより小さな矛盾の否定の証明が存在する」
はPAで証明できる。もし「矛盾の証明が存在しない」ならば確かに
「すべての矛盾の証明について、
これより小さな矛盾の否定の証明が存在する」
が、逆は真ではない。したがって、このことは、第二不完全性定理に
何ら疑念を生じさせるものではない。
0504１３２人目の素数さん
2011/11/25(金) 08:37:39.570505１３２人目の素数さん
2011/11/25(金) 08:43:33.93そうだね。
高校数学すらほとんど使っていない。
帰納法くらいか。
数学というよりパズル。
0506１３２人目の素数さん
2011/11/25(金) 09:21:51.82しかし僕の持っている本では証明の定義は変えてありません。
あくまで定理を示す中で証明可能性述語を変形したものを
用いるのみで、定理のステートメントにおける「証明」の定義は
ゲーデルのものとロッサーのもので 変わっていません。
0507１３２人目の素数さん
2011/11/25(金) 10:02:59.16その「持ってる本」を明示しなよ。伏せる必要ないだろ？
0509１３２人目の素数さん
2011/11/25(金) 22:01:31.69それは通常ｎ番目の自然数と解釈されるような
推移的集合しか記述しない。
0510１３２人目の素数さん
2011/11/25(金) 22:15:17.390511１３２人目の素数さん
2011/11/25(金) 22:51:17.77定理で示される証明と
可証性述語が表現する証明はちげーよ
0513１３２人目の素数さん
2011/11/26(土) 01:04:28.23可証性述語はその証明も反証もできない論理式探すためのどーぐ
何を意味してるかなんてかんけーねー
0514１３２人目の素数さん
2011/11/26(土) 02:50:11.55車種・車メーカー板に居る人？
0515１３２人目の素数さん
2011/11/26(土) 16:29:29.28＞あくまで定理を示す中で証明可能性述語を変形したものを用いる
「その変形を、新しい証明の定義とする」と読めない奴は池沼。
0516１３２人目の素数さん
2011/11/26(土) 18:33:06.39ということが問題なのだ。いかなる本にも、証明は書いてないのだ。
このような、方法で、証明ができるということが書いてあるのだ。
この違いは専門家とよく話さないとわからないもので、このような
ところで説明されてわかることではない。
0517１３２人目の素数さん
2011/11/26(土) 20:07:34.59専門家と話す事なんかない。
数学としてはエレメンタリーな組み合わせ論の証明にすぎない
0518１３２人目の素数さん
2011/11/26(土) 20:09:09.83数学としてみたら二流以下の結果
0519１３２人目の素数さん
2011/11/26(土) 20:21:06.160520１３２人目の素数さん
2011/11/26(土) 20:51:50.700521１３２人目の素数さん
2011/11/26(土) 20:55:04.45研究からの要請があって、一般化されてきたのであって、
単にいじくりまわしていたわけじゃ無い。
0522１３２人目の素数さん
2011/11/26(土) 21:04:32.09証明の定義自体は何もかわってないはず。
0523１３２人目の素数さん
2011/11/26(土) 21:07:30.84一応新井の本には証明が全部入ってる。
ただし冪関数ありのPAだけど。
0524１３２人目の素数さん
2011/11/26(土) 21:39:39.54３章を読み終わっているなら聞きたいんだが、
P101の補題3.3.2は証明になっていないと思うんだが、どう？
0525１３２人目の素数さん
2011/11/26(土) 21:54:48.30それは出鱈目が過ぎる
0526１３２人目の素数さん
2011/11/26(土) 22:01:08.850527１３２人目の素数さん
2011/11/26(土) 22:02:04.34>>525 どう出鱈目？
0528１３２人目の素数さん
2011/11/26(土) 22:54:15.96フェルマー予想界隈の「要請」から一般化されたとか歴史的におかしいだろ。
0529１３２人目の素数さん
2011/11/26(土) 23:14:52.57証明できるかという方面の研究はあるよ
まあ割と些事だけどね
でも518はどうせP=?NP問題とかも
数学としてはエレメンタリーな二流の問題とか言って
切って捨てるんだろうな
0530１３２人目の素数さん
2011/11/26(土) 23:25:41.21確かに何をやっているのか理解できない。
「でよい。 ■」って何だよｗ
0531１３２人目の素数さん
2011/11/26(土) 23:37:03.89全ての整数が四つの平方数の和で表されるという定理がある。
この種の問題(フェルマー予想はp乗数の和の問題)を初めとして
重要な応用を目指して一般化されてきた。
無目的に一般化してきたわけでは無い。
0532１３２人目の素数さん
2011/11/26(土) 23:39:27.44前半。些事、そうですね。
後半。それは解けてみてからでなくては
わからないけれど、今までの状況からすると
その可能性はかなり高いですね。
0533１３２人目の素数さん
2011/11/27(日) 00:02:56.01やっぱりそうだよね。
どうも破綻していると思えてならない
0534１３２人目の素数さん
2011/11/27(日) 00:42:06.34ルジャンドルによる四平方定理の証明は1770年。
平方剰余の相互法則を証明したガウスが生まれる前のこと。
0535１３２人目の素数さん
2011/11/27(日) 01:18:37.6019世紀にディリクレが埋めたけど。
0536１３２人目の素数さん
2011/11/27(日) 01:21:34.41証明出来るし、相互法則の一般化でより深い整数論の定理がいろいろ証明できるのよ。
0537１３２人目の素数さん
2011/11/27(日) 01:44:25.69平方剰余の相互法則は、何も無いところから
いきなりガウスが見つけたものじゃなくて、
ルジャンドルの平方和の研究の中に
その芽があるんです。相互法則のステートメントで
使うカッコをルジャンドル記号と言うでしょ。
0538１３２人目の素数さん
2011/11/27(日) 04:00:55.62相互法則を発見したのはオイラーじゃなかったっけ？
0539１３２人目の素数さん
2011/11/27(日) 05:41:22.25普通の数学の定理と異なっている内容であることに気がついていない
証拠なのだ。
第一不完全性定理とは、全く性質が異なっていることに気がつくべき
なのだが、普通気がつかない。
0541１３２人目の素数さん
2011/11/27(日) 07:18:09.67圏論と論理学の関係について教えてください
清水によれば圏は普遍論理だそうですが
0542１３２人目の素数さん
2011/11/27(日) 08:31:32.56ぶっちゃけ、第一より第二が大事！と発狂する奴は
「無矛盾厨」なる人格障害の可能性が大。
>>529の研究の中には、以前、紹介があった自己検証体系も
含まれると思われるが、あれはあれでちょと面白い。
どうでもいいが平方剰余の相互法則のような
エレメンタリーな「算数」をありがたがる
小学生は無限を扱うこのスレッドには
立ち入らないでいただきたい。
0543１３２人目の素数さん
2011/11/27(日) 08:37:22.48数学として認めたくない人はいる。大抵は爺ィだが。
0544１３２人目の素数さん
2011/11/27(日) 09:59:03.95483 にこんなところで訊くなといっているだけ。
0545１３２人目の素数さん
2011/11/27(日) 12:40:59.08ままでは終わらない、とても深い理論。
代数屋はもちろん、幾何でも解析でも
こんなことは常識なのに、基礎論屋とはやっぱり
感覚が違うなと感じる。
常識をわきまえたうえであえて傍流に入ると言うなら
まだわかるが、常識を最初から認識してない。
数学で無い別の価値観をもった非数学分野だと
いうなら、それでいいんだけど。
0546１３２人目の素数さん
2011/11/27(日) 14:03:31.53自演乙
0547１３２人目の素数さん
2011/11/27(日) 15:37:47.45平方剰余の相互法則は、幾何や解析どころか
代数でも自分の研究とは無関係と思う人は数多い。
これこそ常識であって、545の考えは他の数学者には
通用しない「俺様常識」に過ぎない。
0548１３２人目の素数さん
2011/11/27(日) 16:26:01.98そんな事はない。
そんな事言ってるのは、せいぜい、数学の流れを見る余裕も無く、
学位や就職の為だけの論文作成作業におわれている
底辺院生か底辺ポスドクぐらいだろ。
0549１３２人目の素数さん
2011/11/27(日) 16:32:04.61かなり広義の意味であって、志の低い人たち。
歴史に名を残す様な数学者は一人もはいっていないと思う。
0550１３２人目の素数さん
2011/11/27(日) 16:33:17.100551１３２人目の素数さん
2011/11/27(日) 16:39:40.24代数とか幾何とか解析とか数論とか、分けてなんかいないよ。
何でも使うから。
0552１３２人目の素数さん
2011/11/27(日) 16:51:54.560553１３２人目の素数さん
2011/11/27(日) 17:04:33.97使うだけで、基礎論の研究は使わ無い。
というか、基礎論の重要な成果のほとんどは
もともと普通の数学者が作った。彼らを後世が
どう呼ぶかは後世の人が決めたのであって、
やってる数学者本人は、自分の専門分野なんて
気にしてない。
基礎論からキャリアをはじめて基礎論屋を
名乗っている人のやってる研究はみんな役に立たない。
(一部の役に立てようとして研究しているものは除いて)
0554１３２人目の素数さん
2011/11/27(日) 18:55:45.54これは∧と∨を同一視したものです。
またリテラルはAと￢Aを同一視します。
これは圏論との関連もあって非常に重要な位置を
数学基礎論において担っていますね。
数論はモノイダル論理で書き換えることができます。
例の平方剰余の相互法則もモノイダル論理の一推論規則にすぎないです。
0555１３２人目の素数さん
2011/11/27(日) 19:51:33.510556１３２人目の素数さん
2011/11/27(日) 19:58:40.230557１３２人目の素数さん
2011/11/27(日) 20:23:24.33まずモノダイル論理はすべての計算モデルで解釈可能です。
次に非常にシンプルでコンパクト閉圏と対応しており、
数学全体の記述をすることも可能です。
おそらくモノダイル論理が導入されたのは
ジラールによる線形論理の研究がはじめてでしょうが、
今では言語哲学、分析哲学、計算機科学、公理的集合論といった
あらゆる世界で運用されるようになっています。
クミルの竪琴とよばれる推論規則などは
修正クリプキ構造T1-Stepを張ったデントライトの海で
展開される特殊なモノダイル論理で、ジュークの宇宙を再現することができますね。
特にフィッシャーのSSS_ΩやF0-代数との関連で注目されています。
0558１３２人目の素数さん
2011/11/27(日) 21:18:49.35まず、基礎論の重要かつ基本的な成果はゲーデルによって挙げられた。
述語論理の完全性定理、自然数論の不完全性定理、選択公理の相対無矛盾性etc．
「普通の数学者」が基礎論以外の数学でも成果を挙げている、という意味なら
ゲーデルが基礎論以外の数学で挙げた重要な成果を一つでいいから教えてほしい。
0559１３２人目の素数さん
2011/11/27(日) 21:20:42.82ゲーデル解
0560１３２人目の素数さん
2011/11/27(日) 21:22:52.18残念ながら、その成果は、ゲーデルが論理学においてあげた
華々しい成果に比べると大したことがない。
0561１３２人目の素数さん
2011/11/27(日) 21:26:19.72数学者ではない、と思う
0562１３２人目の素数さん
2011/11/27(日) 22:05:06.090563１３２人目の素数さん
2011/11/27(日) 22:06:38.160564１３２人目の素数さん
2011/11/27(日) 22:16:57.58理論物理や数論幾何で頻出するユニポテント群の
構造解析にマスセル-ドーソンの創造なんていう
解釈可能世界を導入する際にユニ楽園という
議論領域の全体を動くような広義圏論のステンレステンソル代数の
一つのアイディアとなるってことですね。
パースのアイディアは存在の海なんて煩雑なものだから。
0565１３２人目の素数さん
2011/11/27(日) 22:22:34.160566１３２人目の素数さん
2011/11/27(日) 22:24:23.93ブール代数の構成を可能にした「区別」という、
マトゥラーナ＝ヴァレラ図式による拡大可能な
システムの自己観察機能による再循環になってる。
例えば「横断」による算法、これは自己同型写像による対象aの分布関数
R：Spec(農N0)；B(a,ε)→Vll(-<>r)
を意味するもので、primary algebra の公理からアイオーンの時間の固体化、
即ちリンデンバウム補数の位相が閉であること(ArrX/R)、
また複素散乱ウカシェベッチ型ベクトルの縮減対応から得られる
「埋め込み」が線型写像であること⇔Θ：ξ(Asc(3))ΛΓ(A_0)→Γ(A_0)の作用が存在する。
直線的被覆が「シミュラークルの質料」というXの規定なんかが有名。
0567１３２人目の素数さん
2011/11/27(日) 22:28:12.64一般Tate仮説の∃￢%がKe(C*)の底鎖列として定義される場合に、
任意カントール空間の実効的閉集合世界のMedvedev次数構造が
immunityは以下の可換図式と同値。
s → bl → bel → I
↓ ↓
b → tl → w
つまりVintage代数がストーン双対ってこと。
あとは、identification in the limit をベール空間の集合へ一般化した
学習還元可能性。学習は以下のようなもの。
心象自制有界学習(P ≦bl Q)：
(∃ψ)(∃c)(8g 2 Q) [limn(gn)(g) 2 P
& #fn :(g n) , (g n + 1)g < c]:
誤謬有界学習(P ≦bel Q)：
(∃ψ)(∃c)(8g 2 Q) [limn(gn)(g) 2 P
& #f(g n) : n 2 !g < c]:
剰余類学習(P ≦tl Q)：
(∃ψ,;;;;,ψ_k )(∀g∈ Q)(∃m ≦ k) limnψm(gn)(g) ∈ P:
あるいは、ジュリア閉集合が、
(∀m) P ∧ Im ≠∮となるような
有理区間の計算可能な枚挙fImg が存在しないとき。
0568１３２人目の素数さん
2011/11/27(日) 22:29:33.79セリーの合弁写像Fmin：など、アームストロングの公理系による裏付け、
ドゥルーズのindetermineとideeの分裂など・・・。
最近では以下のようなボニファスの記述(無限還元公理)がある。
Tc1：aを中心とした推論可能域をｒをa；ｒと記述する
Tc2：消滅を∃￢%とする
Tc3：∃￢%のヒルデガルド対応は∃%である
Tc4：∃%の次は0；ｒとする
Tc5：0；ｒ→1；ｒの対応でModanponetが一階無効
0569１３２人目の素数さん
2011/11/27(日) 22:30:40.26ギヨーム理論が数詞と内部空間をゼロ複数、S単数などの空間的配置で
形態論に内在する意味の精神過程を捉えるエルチュードだとは自明。
P; Q 2 ω＾ω だから、P がQ にculervent還元(P s Q) とは、
ある双対アルゴリズム が存在して，任意のg 2 Q に対して
(g) 2 P となるときを指すから、T の定理とL反駁の
分離関数全体の集合Sep(T) はr.e.separating class
と呼ばれる特殊な実効埋蔵閉集合になる。
つまり完備側芽のTerr分解X_0[－，]：が以下のように変形される。
Ps j= (8x; y)(9z)(x < y ! x < z < y).
(9e0; : : : ; ek )(8g 2 Q)(9m k) em(g) 2 P
これがセリーの合弁写像と同型である。
0570１３２人目の素数さん
2011/11/27(日) 22:38:25.640571１３２人目の素数さん
2011/11/27(日) 22:43:35.020572１３２人目の素数さん
2011/11/27(日) 22:49:54.30カルトと批判すればOKとｗ
0573１３２人目の素数さん
2011/11/27(日) 23:21:58.96止めろ。アホ！
0574１３２人目の素数さん
2011/11/28(月) 00:05:28.92ｗをつければ高みに立てると思っているのだろうか
0575１３２人目の素数さん
2011/11/28(月) 02:29:48.13ついていけなくて悪いが……モノダイル論理ってもしかして双対を扱えるの？
もしそうならちょっと興味があるなぁ。
0576１３２人目の素数さん
2011/11/28(月) 03:20:01.88知の欺瞞
0577１３２人目の素数さん
2011/11/28(月) 10:26:41.08もっと書け！
0578１３２人目の素数さん
2011/11/28(月) 10:37:03.52プログラムの表示意味論って何のためにあるのですか？
分かり切ったことをあらためて書き下しているようで狙いがわかりません．
おまけに継続やエラーや入出力などつまらない所（論理の範囲外である
所）で当然のようにツギハギを重ねているようにみえます．
そのツギハギが表示的意味論の生き甲斐なのでしょうか？
0579１３２人目の素数さん
2011/11/28(月) 18:16:29.65不完全性定理を証明するために、形式的体系を算術化しますよね。
その算術化の方法について、どうしてβ関数によるものを考えるのでしょうか。
田中「数学基礎論講義」には
「形式的算術では指数関数が最初から与えられているわけではないので、それとは異なるコード化技法が必要になる」pp.57
とあります。
しかし形式的体系（たとえばPA）に指数関数記号がなくても、
原始再帰関数（つまり指数関数）は表現可能なのだから、実質的には指数関数記号があると考えてもよい気がするのですが。
どうなのでしょうか。
0580１３２人目の素数さん
2011/11/28(月) 18:46:48.460581１３２人目の素数さん
2011/11/28(月) 18:50:25.580582１３２人目の素数さん
2011/11/28(月) 18:58:31.980583１３２人目の素数さん
2011/11/28(月) 19:06:59.110584１３２人目の素数さん
2011/11/28(月) 20:34:05.860585１３２人目の素数さん
2011/11/28(月) 21:13:44.360586１３２人目の素数さん
2011/11/28(月) 22:34:14.39妙に的確で変な質問だな。自分からは言いたくないもんだから誰かに言わせたいみたいな。
理由自分でちゃんとわかってるだろ。
0587スレタイスレ446
2011/11/28(月) 23:54:27.03表示的意味論・操作的意味論・公理的意味論ってのは単なる意味論の分類。
大雑把に言って、
表示的意味論≡数学的意味、
操作的意味論≡抽象機械、
公理的意味論≡論理学的意味。
プログラミングの文脈で述べられるが、
見方によっては数学のモデル理論なんかも表示的意味の領域理論の一種と呼べる。
公理的意味論は普通の数理論理学だけあって
決定不能な命題が他の意味論より発生しやすい。
たとえば並列性の概念をもった理論などは、
数理論理学では一般に記述不能。
これは並列性特有の非束縛決定不能性(Unbounded nondeterminism)命題などが原因。
例えばデッドロックみたいなイメージ。
ただし時相論理なんかで計算状況の断片だけ切り取ったりするくらいは可能。
その一方でKowalskiが計算可能性よりも推論規則の方が
多くの命題を生成可能であると証明しているから、
単純に包含関係があるわけでもない。
以前向うのスレで紹介したゲーム論的意味論で不完全性定理が成り立たない自然数論の構成も、
単純な表示的意味論による解釈を2つのプレイヤーの戦略に置き換えると、
並行的な現象であるクラスの決定不能性が破れてしまうという原理によるものだろう。
ちなみにエラー補足や継続などもプログラム言語の内部。
>>579
コードとデコードの保証。算術化って素数の冪乗でもできるけど、
PAに指数関数なかったら例えば論理式なんかがゲーデル数化できない。
>>582
田中の本をまとめたのがその本だよ。
0589１３２人目の素数さん
2011/11/29(火) 01:30:11.43> おまけに継続やエラーや入出力などつまらない所（論理の範囲外である
> 所）で当然のようにツギハギを重ねているようにみえます．
表示的意味論でもcontinuation semanticsのスタイルで最初から記述すればツギハギにはならない。
ただ初学者向けにdirect semanticsのスタイルで定式化してからエラーや入出力を扱うとなるとcontinuationスタイルに変える必要がそこで生ずるので
知らない人にはツギハギみたいに見えるかも。
因みにcpoやそれに関する再帰方程式に関する領域論は別にして、トイ言語でないプログラミング言語に対する表示的意味論については
日本語ではロクな教科書はないので、英語の教科書で勉強するしかない。日本語の教科書によっては「表示的意味定義とはインタプリタを書く事である」
なんて大きな勘違いをしているとしか思えないのが岩波の某有名教科書シリーズにあったりするからね。
>>587
> >>578
> 表示的意味論・操作的意味論・公理的意味論ってのは単なる意味論の分類。
> 大雑把に言って、
> 表示的意味論≡数学的意味、
> 操作的意味論≡抽象機械、
> 公理的意味論≡論理学的意味。
公理的意味論は、論理的意味というよりも証明の為の形式的体系で、それに対する解釈を与え、公理的意味論の健全性の基準を与えるのが
表示的意味論と考えれば良い。公理的意味論を与えただけでは矛盾していたりする可能性があるが、同一のプログラミング言語に
表示的意味論も与えて、その表示的意味という解釈に対して公理的意味論の体系が健全である事を示せば、公理的意味論で与えた
証明体系を安心して使用できる事になる。
これが>>578が質問していた表示的意味論を与える意義は何か？という問いへの答え。
0590１３２人目の素数さん
2011/11/29(火) 01:34:42.22その本のpp80の注意.には
PAにはすべての原始再帰関数に対する関数記号とそれらに関する公理が入っていると考えてもよい
とあるので、原始再帰関数である指数関数の記号と公理もPAには入ってると考えてもよいのですよね？
となると、β関数の意義って何なのかがよく分からなくなるのですが、いかがでしょうか。
0591１３２人目の素数さん
2011/11/29(火) 02:46:09.240592１３２人目の素数さん
2011/11/29(火) 07:12:51.67原始帰納関数が何故、表現可能となるか、とくに帰納法のところを
どう書くか考えないで、結果が成り立つことばかりいっているから
わからないのだ。
0593スレタイスレ446
2011/11/29(火) 07:45:34.33コンパクト論理のことだろう。
>>589
それが正しい回答だろう。
>>590
スコーレム関数として考えると、
理論から関数記号をとっても、
その関数に関係する論理式をユニークにとって保存拡大できるので、
はじめから原始再帰的関数をすべて入れてても結果は同じ。
しかし今回は指数関数が入っていないとして話を始めるので
β関数を導入しますよ、ということ。
0594１３２人目の素数さん
2011/11/29(火) 18:25:42.28周りに聞ける人がいないもので。
今質問しているのは、形式的体系の算術化に関することなので、表現定理云々はあまり関係ないように思うのですが。
>>593
コメントありがとうございます。少し考えをまとめます。
第二不完全性定理を証明する際にPAの証明をPA内部で証明しますよね。
そのとき、形式的体系を指数関数を使ってコーディングするかβ関数を使ってするかで、その方法は異なってきますよね
指数関数によるコーンディングを選んだ場合、PAの証明をPA内部で証明するにはPAに予め
指数関数記号とその公理が予め含まれていないといけないように思われます。
これに対して、β関数によるコーディングを選んだ場合なら、予め指数関数記号とその公理がPAに含まれていなくても、
PAの証明をPA内部で証明することができます。これがβ関数を導入する意義であります。
しかし、>>590,593にあるように実質的にはPAには指数関数記号とその公理が備わっていると考えてもよいので、
実は指数関数でコーディングをしても、PAの証明をPA内部で証明するには何ら不都合はない。 □
以上の考え方でおかしいところはあるでしょうか？
よろしくお願いします。
0595１３２人目の素数さん
2011/11/29(火) 19:08:35.84β関数はもっと前に第一不完全性定理を証明するときに
既に導入されるでしょ
0596スレタイスレ446
2011/11/29(火) 20:50:01.89そんな感じですね。
カントール対関数でユニークにエンコード、
β関数でユニークにデコード、
両方とも可証性述語の定義に必要。
指数関数というか原始再帰的関数とそれに関する公理を
すべてぶっこんだPAの保存拡大はPRAとかよく言われます。
余談：ところで不完全性定理はT|-/-Con(T)でしたが、
Π1^0文に関してはWKL0|-φ⇒PRA|-φとなり、
ヒルベルト・プログラムの断片的実現と呼ばれます。
ですからケーニッヒ補題が超越的とかいう書き込みが上の方にありますが、
ケーニッヒ補題を使った文は有限の立場の文に置き換えれますね。
0597１３２人目の素数さん
2011/11/29(火) 20:54:48.16有限列をどうやって表すかってことなんだよ。これができなければ、
なにも表現できないんだよ！
0598１３２人目の素数さん
2011/11/29(火) 22:07:07.10β関数を導入しなくても、第一不完全性定理は、
PAに指数関数の記号と公理がない状態で指数関数によるコーディングで証明できると思うのですが。
>>596
よかった、>>594の考え方であってたのですね。安心しました。
PRAなるものがあるのですね、知りませんでした。勉強になります。余談に関しては知識が追い付かずよく理解できませんが、
いずれ分かるようになれたら良いと思います。
>>597
私の読解力がないせいだとは思うのですが、言っていることがよくわかりません。
「有限列をどうやって表すか」というのは形式的体系を自然数に
エンコードする方法のことですよね？いろいろ種類はあると思いますが、
私は素数のべき乗によるものと対関数によるものぐらいしか思いつきません。
0599１３２人目の素数さん
2011/11/30(水) 07:19:13.980600１３２人目の素数さん
2011/11/30(水) 07:27:47.20PRAはPAの保守拡大どころか、それより弱い体系なんだけど……
＞PAに指数関数の記号と公理がない状態で指数関数によるコーディングで証明できる
要は E(x,y,n) : y = x^n とか P(x,y) : 「y は x の証明である」とかを
加法と乗法だけを用いた論理式で表現しないといけないわけだけど、
どうやって実行するつもりなんですか？
0601スレタイスレ446
2011/11/30(水) 07:48:04.07＞PRAはPAの保守拡大どころか、それより弱い体系なんだけど……
確かにそうでしたね・・・。
量化付きの文の帰納法が制限されていたのを忘れていました。
だから有限の立場というんだった。
0602１３２人目の素数さん
2011/11/30(水) 09:33:43.93表現定理により、原始再帰的関数および原始再帰的述語はPAにおいて数値別に表現できますよね。
となれば、たとえば8=2^3はPAにおいて、PA|-8=2・2・2・1 と表現できるのではないのでしょうか。
・・・と思いましたが、なんか怪しいですね。
表現定理は一応一通り自分で証明したつもりだったんですが、改めて各文献に目を通したらきちんと理解してなかったみたいです。
とくに今になって>>592さんの言う原始帰納法の箇所が実はめちゃくちゃ大事だったことに気が付きました。
今日もう一度しっかり勉強してから、質問させていただきます。
ありがとうございました。
0603１３２人目の素数さん
2011/11/30(水) 09:44:15.71＞PAに指数関数の記号と公理がない状態で指数関数によるコーディングで証明できる
この発言に関して、完全に私が誤ってました。
0604１３２人目の素数さん
2011/11/30(水) 10:10:00.350605１３２人目の素数さん
2011/11/30(水) 11:36:54.26ありがとうございます．参考になりました．
でもやはり表示的意味論の爽快感がどこにあるか不明です．
（健全性の根拠というのも内向きの意義のようですし）
λ計算の意味論は自明なほどに簡潔です．
プログラミング言語と表示的意味論とは本来似合わないのでは？
表示的，操作的，公理的の３分類もいまいちですね．
意味論といえば表示的に決まっているでしょう？
公理的意味論はむしろ証明論ですね．
0606１３２人目の素数さん
2011/11/30(水) 20:26:05.47横からスマン、
個人的な意見だけれど、表示されるものがなんなのか明確なコンセンサスが
あるわけじゃないからいろんな理論が出てくるんだろうと思っている。
表示されたものがなんであるかによってその３分類が出てくると考えると
そこそこしっくりくる。
0607589
2011/12/01(木) 02:32:26.27> でもやはり表示的意味論の爽快感がどこにあるか不明です．
> （健全性の根拠というのも内向きの意義のようですし）
しかし、プログラミング言語に対して定義したホーア論理の体系に対して健全性が保証されていなければ、そのホーア論理の体系で検証しても
全くの徒労となる可能性があるのだから、公理的意味論に対して健全性を示す事は最低限必要不可欠な事ですよ。
> λ計算の意味論は自明なほどに簡潔です．
それはλ計算はプログラミング言語として見れば極めて単純なトイ言語だからに過ぎない。
それと、意味定義に用いるメタ言語がλ記法という、対象言語のλ計算とそっくりのを用いるから更に簡潔に見えるだけ。
> プログラミング言語と表示的意味論とは本来似合わないのでは？
プログラミング言語の意味を実装と独立に与えるには表示的意味論を定義してやるしかない。
プログラミング言語を設計する人間は、本来は、その言語の表示的意味を定義するべきなのだ。
それが余りにも複雑怪奇な代物になれば、それは設計している言語の構成に問題がある証拠であり、
表示的意味がより分かりやすいように言語設計を改める必要がある事を示している。
プログラミング言語に対して定義された表示的意味は、その言語の利用者（ソフトウェア技術者）が知る必要はない代物なのは確か。
> 表示的，操作的，公理的の３分類もいまいちですね．
> 意味論といえば表示的に決まっているでしょう？
それは数理論理学屋の立場からすればその通りだが、プログラミング言語に対する形式的意味論の研究は、
数理論理学屋がプログラミング言語の研究に流れ込んで来るようになる前の1960年代後半～1970年代初頭に既に始まっているから、
コンピュータ・サイエンスの歴史からすれば、君のその主張は全く正しくない。
自然言語の意味論にしても、数理論理学の立場からは「意味論」という名前が相応しくないと感じる様々な意味論がある様にね。
> 公理的意味論はむしろ証明論ですね．
これも数理論理学の立場からすればその通りだし、589に書いた通り個人的には同じ意見だが、
587の人が書いている通り、プログラムの論理的な側面を「知る」為の「意味論」というのがコンピュータサイエンスの立場。
0608１３２人目の素数さん
2011/12/01(木) 05:54:50.23了解です．
>プログラミング言語を設計する人間は、本来は、その言語の表示的意味を定義するべきなのだ。
了解です．
>それが余りにも複雑怪奇な代物になれば、それは設計している言語の構成に問題がある証拠であり、
>表示的意味がより分かりやすいように言語設計を改める必要がある事を示している。
それが表示的意味論の具体的なメリットの一つですね．
>プログラミング言語に対して定義された表示的意味は、その言語の利用者（ソフトウェア技術者）が知る必要はない代物なのは確か。
そういう意味では，今のプログラミング言語は改める必要があることが既に示唆されているということでしょうか？
0609１３２人目の素数さん
2011/12/01(木) 08:38:45.01>λ計算の意味論は自明なほどに簡潔です．
操作的意味論のこと？
λ計算だって表示的意味論、
というかスコット理論がが理論的根拠だよ？
0610１３２人目の素数さん
2011/12/02(金) 15:27:19.050611１３２人目の素数さん
2011/12/02(金) 15:28:56.890612１３２人目の素数さん
2011/12/02(金) 15:40:45.48表示的意味論が無意味とかλ計算の意味論が自明なんて思わないだろう。
0613１３２人目の素数さん
2011/12/02(金) 22:25:41.472,4,6,8,10,,n,,と並んでる場合一般項は2＋2(n-1)だ。
しかしこの並びを集合と考えると、この集合はmap(N,N)に含まれる
写像の一つに過ぎない。つまり｛f(1)=2、f(2)=4、、ｎ、、｝という写像。
そう思うとmap(Ｍ、Ｎ）の一般項てなんだろう。んで別に一般項て
わけじゃないけど、全単射というのがある。
そうすると自然数というかa<b<c...というように規則を持つ無際限な並びと
いうのは、map(Ｍ、Ｎ）に含まれる写像のうちで、ＭからＮへの全単射を持つ
写像という様に考えたほうがいいのかもしれないと思った。まああくまで集合
ありきの考え方であって、自然数は集合から定義されるものではないのかもしれ
ないけど。
0614613
2011/12/02(金) 22:26:55.370615１３２人目の素数さん
2011/12/03(土) 01:19:17.260616１３２人目の素数さん
2011/12/03(土) 01:26:34.73士業名鑑
http://www.samrai-index.com/04benrishi/benrishi_blogJ.htm
弁理士試験ストリート
http://benrishi-street.com/
0617１３２人目の素数さん
2011/12/03(土) 02:06:54.44余代数ネタ？
ペアノの公理からして後続関数による定義だしな。
0618613
2011/12/05(月) 13:14:10.95すまん勉強不足なもんで言ってる事がわからん、、
集合論を学んでると数に対する自明な感覚が失われてきて、もっと上手く定義
しなおせられれば気持ち良いんだが、わからないとものすご気持ち悪いまま終
わると言う感じ。が続く
順序数、とか、同型でない、とかなあ。
自然数は全然自然な無限でもなんでもないという事はよくわかったし、そういう横並びにかつ規則を
持って並んでる無限だけが無限じゃない、という事もわかった。でもそれは濃度と、写像（全単射）の
概念があれば十分なんじゃなかろうか。順序型ωと濃度アレフ０って区別のアプローチが違うだけで
どっちかがあればどっちかが要らないような気がする。
0619１３２人目の素数さん
2011/12/05(月) 14:46:58.370と後者関数から自然数全体を生成するのは
自由代数の最も基本的な例だから
余代数ではなくて代数。
余代数ならばωから下ってくる形の定義法になる筈。
0620613
2011/12/05(月) 16:41:32.92乗せてしまって申し訳ないんですが、最後に１つ質問。
選択公理によって議論が巻き起こったと言う話があるようですが、そもそも
対角線論法は選択公理なしで行えますか？大まかな最低限の段階として
１自然数の集合が持つ元から、実数の集合が持つ元をただ一つ指定する。
２自然数の集合が持つ全ての元から、実数の集合の元をただ一つ指定する。
３自然数の集合が持つ全ての元から指定された実数の集合の元が、実数の集合
の元全てであるとすると、実数の集合が元として持たない実数が存在する事になり、
矛盾が生ずる。
４自然数の集合が持つ全ての元の個数（濃度）と、実数の集合が持つ全ての元の
個数（濃度）は異なる。
１の「実数の集合が持つ元をただ一つ指定する」、は選択公理なしで行えますか？
また
１の「自然数の集合が持つ元から」、という部分は、つまり自然数の集合が持つ
ただ一つの元からという事でしょうか（もし自然数の二つの元から指定していたら、
そのうちの一つによって実数の集合が持たない実数も指定できてしまうから）。
この場合、これは選択公理なしで行えますか？
0621１３２人目の素数さん
2011/12/05(月) 18:30:24.42>>620 証明を見直してもらうといいが、
選択公理なしに具体的な関数がつくれればいいわけ。
自然数の対角線論法なら選択関数はいらない。
ついでに、
集合とそのべき集合の濃度がちがうことは選択公理なしに証明できる。
（カントールベルンシュタインの定理）
基数にしてもきちんと公理的集合論の教科書のほうがやさしく書いてあるのに。
0622613
2011/12/05(月) 18:53:32.78回答ありがとうございます。
＞具体的な関数がつくれればいい
ふむ、、自然数と実数なら単純にf(x)=xと考えられるからと言う事でしょうか？
あんまり多分野の数学を知らないので （a,b) ←関数によってこの形に（一意に）
出来ない集合同士というのがいまいちピンと来ないのですが、集合にも色々あるん
ですね。
＞きちんと公理的集合論の教科書
教科書選びは難しいですね。。
0623１３２人目の素数さん
2011/12/05(月) 19:04:59.68613もそうなんだけど、ちょっと何言ってるか分かんない
あと「集合への30講」はちょっと古い本で、
集合論の入門書として必ずしもいい本ではないので注意した方が良い。
というかそれ以前に数学の文章のまともな書き方を勉強した方が良い。
0624１３２人目の素数さん
2011/12/05(月) 23:23:39.39Boolosの『THE LOGIC OF PROVABILITY』をお持ちの方に質問です。
pp.37のFinSeqという論理式の定義
: ヨa<s ヨb<s ヨk<s (s = pair(pair(a,b),k)) ∧ ∀c<s ∀d<s (pair(c,d)<pair(a,b)→ヨi<k β(c,d,i)≠β(a,b,i))
において、∧以降の定義の意味がよくわかりません。
場合によっては、(pair(c,d)<pair(a,b) かつ ¬ヨi<k β(c,d,i)≠β(a,b,i)) もありうるため、このような定義をしているのでしょうか？
よろしくお願いいたします。
0625１３２人目の素数さん
2011/12/05(月) 23:59:57.03しょうもないツッコミを入れるが、お前p.とpp.の使い分けの意味わかってないだろ
0626１３２人目の素数さん
2011/12/06(火) 00:09:09.82わかってません・・・
ちょっとかっこつけて書きたかったんです。
0627１３２人目の素数さん
2011/12/06(火) 00:17:05.390628１３２人目の素数さん
2011/12/06(火) 00:24:54.730629１３２人目の素数さん
2011/12/06(火) 23:04:28.35▼スイス政府 国民保護庁 著「民間防衛」(civil defense)
武力を使わずに他国を侵略する段階を説明しています。
マスコミは乗っ取りがほぼ完了しており機能していません。。クチコミでも身近な人に広めましょう。
日本は今、侵略されつつあります。平和ボケから目覚め、行動を起こしましょう！
現在第五段階です。
ＴＰＰ ・ 日中韓ＦＴＡ ・ 人権擁護法 ・ 外国人参政権 などが実現してしまえば最終段階が始ってしまいます。
猶予がありません。声を挙げて下さい！
第一段階「 工作員を送り込み、政府上層部の掌握と洗脳 」
第二段階「 宣伝。メディアの掌握。大衆の扇動。無意識の誘導 」
第三段階「 教育の掌握。国家意識の破壊 」
第四段階「 抵抗意識の破壊。平和や人類愛をプロパガンダとして利用 」
第五段階「 教育やメディアを利用して、自分で考える力を奪う 」
最終段階「 国民が無抵抗で腑抜けになった時、大量移住で侵略完了 」
0630１３２人目の素数さん
2011/12/06(火) 23:11:52.60他はともかく、ＴＰＰが何でそこに入っているの？ｗ
オマエも何らかの利害関係者じゃん
0631１３２人目の素数さん
2011/12/06(火) 23:30:58.11ゲーデル数のデコード関数定義にどうしても冪関数が必要になります。
>>605
コーディング上の爽快感と意味論は無関係だと思いますよ。
表示的意味論はドメインに重視した考えですし、
意味関数でユニークに決定するという安定さがあります。
しかしλ計算ならまだそれでいいとしても、
π計算やλμ計算だとか高階χ計算みたいな
逐次から並列や分散へ進んだ体系では操作的であるほうが見通しても良くなるでしょうね。
一方公理的意味論(ホア論理)はプログラムで検証する意図があったみたいですが...。
>>624
例えば有限列ってのがアルファベットの
A,B,C,...Zだとして、(A,0)の対をBなどと考えてみる。
Z＝(((...(A,0)...),21),22) のように22ステップでZに到達するイメージ。
ここで(a,b)がZより小さい、例えば((...(A,0)...),21)なんかだとすると、
(c,d)がそれより小さい、例えば((...(A,0)...),20)だとする。
このとき、β(x,y,i)でxとyで決まる列のiステップ目のアルファベットがユニークにでる。
β((...(A,0)...),21,0)＝A
β((...(A,0)...),20,0)＝A
のように、A,B,C,...とやっていける。しかし途中で、
β((...(A,0)...),21,21)＝Y
β((...(A,0)...),20,21)＝？
のように存在しないステップが出現するはずですよね...。
0632スレタイスレ446
2011/12/06(火) 23:33:57.85補足：ちなみに(A,0)はpair(A,0)の略記なだけなので。
そして実際はβ関数で出てくるのはゲーデル数です。
0633１３２人目の素数さん
2011/12/07(水) 10:27:38.77>コーディング上の爽快感と意味論は無関係だと思いますよ。
あそこの「爽快感」とは，表示的意味論によってどのような「目からウロコ
感」があるかというような意味でした．
>逐次から並列や分散へ進んだ体系では操作的であるほうが見通しても良くなるでしょうね。
その方がやりやすいだけ（あるいは単なる退却）なのではないですか？
むしろ並列＆分散体系に対してこそ表示的意味論の意義が鮮明になると思います．
なお「操作的」や「公理的」に「意味論」は似合わないです．
（最後の３行は分かりにくいでしょうか？）
0634１３２人目の素数さん
2011/12/07(水) 12:19:12.81ヒルベルトが幾何学の無矛盾性を算術の無矛盾性に還元したのと同じ手法。
だからモデル理論的手法を使うことが出来る。
こういうものに意味がないと思う人は数学は向いてない。
直感でしか理解したくないのなら数学は必要ない。
0635１３２人目の素数さん
2011/12/07(水) 13:10:46.45>操作的意味論は、他の機械への写像を考えて、相対的に意味を検討する意味論。
機械が出てくる時点で数学（ヒルベルトの手法）からは遠い。
>だからモデル理論的手法を使うことが出来る。
だからって？操作的意味論はそういうものだから、ってこと？
>こういうものに意味がないと思う人は数学は向いてない。
こういうものって？けっこう特定したうえでその意味が不明と言って
いるのだが。それに今は「数学」はどうでもよいし。
0636１３２人目の素数さん
2011/12/07(水) 14:31:00.45状態遷移マシンとかラムダ式とか。
0637１３２人目の素数さん
2011/12/07(水) 14:37:24.44ベキ関数無しのコーディングは可能だそうだ
代わりにBussの#関数を使う（Edward Nelsonの本で知った）
0638１３２人目の素数さん
2011/12/07(水) 15:24:11.980639１３２人目の素数さん
2011/12/07(水) 17:57:45.02ラムダ式まで抽象機械とは言わんだろ
0640１３２人目の素数さん
2011/12/07(水) 19:35:21.68> Edward Nelsonの本で知った
彼の何というタイトルの本ですか？
Edward Nelsonの本で数理論理学関連と言えばPredicative Arithmeticぐらいしか思い付かないのですが（不勉強なもので、それも読んでいません）。
0641スレタイスレ446
2011/12/07(水) 21:06:19.80> >逐次から並列や分散へ進んだ体系では操作的であるほうが見通しても良くなるでしょうね。
> その方がやりやすいだけ（あるいは単なる退却）なのではないですか？
やりやすいということですね。
>>587のUnbounded nondeterminism に関連して、
表示的意味論は並列性などの解釈とするのが困難だという趣旨の定理もあります。
とはいえ、表示的が不可能なわけでないので退却というほどでも。
> むしろ並列＆分散体系に対してこそ表示的意味論の意義が鮮明になると思います．
これは詳しくききたいですね。
> なお「操作的」や「公理的」に「意味論」は似合わないです．
これはどういったことなのか分かりませんでした。
>>634
モデル論的手法が何かはわかりませんが、
シェラとかのモデル理論が使えるのは表示的意味論の方だと思いますが。
数学は形式的には時間の流れがまったく考慮されない逐次的処理という特徴があって、
計算機とは時間の流れが議論に混入するという理解が一般的だと思っていましたが。
>>635
機械で計算するかは余り関係ないと思いますけどね。
ま、チャーチの提唱次第ですかね。
>>637
全く知りませんでした、書名が知りたいですね。
>>638
exp関数なんかの定義に使われていると思います、計算理論入門の章ですね。
0642１３２人目の素数さん
2011/12/07(水) 21:07:02.49x#y = 2^(|x|・|y|)
0643１３２人目の素数さん
2011/12/07(水) 21:09:01.790644スレタイスレ446
2011/12/07(水) 21:48:57.88しかし定義上冪と似たような性質が用いられている気もするけど。
実際エンコード方法はいくつもあるんだろうな...。
0645１３２人目の素数さん
2011/12/07(水) 22:52:37.72冪相当のものがないとまずいのは40年くらい前から分かってきていた。
Bounded Arith.の人たちはこんな事ばっかり考えてるから。
0646１３２人目の素数さん
2011/12/08(木) 05:22:04.87I\Delta_0 + \Omega_1 は Robinson's Q で解釈可能（Hajek-Pudlak などを参照）。
つまりこの解釈を通せば、ゲーデル数化は Robinson's Q においても可能、ということ。
0647１３２人目の素数さん
2011/12/08(木) 14:12:12.58もし自己言及のパラドクス、嘘つきのパラドクスがパラドクスじゃなかったら
それでも不完全性定理は証明されるの？
これ、どなたか教えてください。お願いします。もしスレ違いならすいません（´；ω；`)
0648１３２人目の素数さん
2011/12/08(木) 14:50:29.19おもしろそうな質問だが，これだけでは意味不明と思う．
形式的に答えるなら，少なくとも，不完全性定理の証明には，そういうパラド
クスの存在はまったく前提とされていない，ということになるからね．
他の人のコメントも見てみて．
0649647
2011/12/08(木) 15:06:27.52＞もし自己言及のパラドクス、嘘つきのパラドクスがパラドクスじゃなかったら
やっぱり、ここの部分がしっかり定義されていないというコトですか？
ちょっと調べてきます。。
0650スレタイスレ446
2011/12/08(木) 20:58:21.54その考えでいくと他にもいろいろな関数ができそうですね...。
>>647
自己言及のパラドクスは不完全性定理の証明でよく見られますね。
自己言及のパラドクスは定義されているわけでなく、
それに類似した現象を指示する慣用句です。
第1不完全性定理は自己言及パラドクスのようなものとは無縁にも証明可能です。
実は最近、マルチエージェントについて考えていた際に、
不完全性定理の証明について自己言及のパラドクスなどの特定の解釈をすると
不自然なことに気が付きました...これは哲学的な問題ですが。
0651１３２人目の素数さん
2011/12/08(木) 21:48:07.98>不完全性定理の証明について自己言及のパラドクスなどの特定の解釈をすると不自然
これもうすこし聞かせてほしいな。もし可能なら
0652１３２人目の素数さん
2011/12/08(木) 23:06:21.79648、650が言うのでよいと思うが、647が言いたかったのが
「嘘つきのパラドクスと不完全性定理（第一）とは同一内容である；
後者は前者を厳密に形式化したものに相当する」ということであれば
（とてもそうは読めないが）、それはその通りだと思う。
フランセーンがどう言うか知らんが。
0653１３２人目の素数さん
2011/12/08(木) 23:11:41.260654１３２人目の素数さん
2011/12/08(木) 23:21:11.51通俗的解説書しか読んだことない人にとっては
類似点よりも相違点を理解する方がずっと大切だと思ってください。
嘘つきパラドクスも不完全性も同じなんだ！
とアナロジーで物事を語る入門者の大半はとんでもないことを言ってます。
0655１３２人目の素数さん
2011/12/08(木) 23:22:46.69くどいのだが、そうしたなんとかパラドックスが「不完全性定理の証明
に使われている」ということはないよね。
0656647
2011/12/08(木) 23:23:07.06>>652
＞「嘘つきのパラドクスと不完全性定理（第一）とは同一内容である；
＞後者は前者を厳密に形式化したものに相当する」ということであれば
ようするに聞きたかったのは、このとうりです。
もし哲学の現場で「嘘つきのパラドクス」がパラドクスでも何でもない、勘違いだったとなれば、
不完全性定理は、それでも証明されるのか、という事です。
僕も>>650さんの哲学的な問題…という所、聞いてみたいです。。
0657１３２人目の素数さん
2011/12/08(木) 23:30:13.210658１３２人目の素数さん
2011/12/09(金) 01:01:21.60フナクイムシがシールド工法の開発に果たした役割くらいはあると思う
0659１３２人目の素数さん
2011/12/09(金) 06:37:08.51例えばタワー関数は出てこない。
I\Delta_0 にタワー関数の定義可能性を加えた体系では
Robinson's Q の無矛盾性が証明できてしまうので、
不完全性定理により、その体系を Q で解釈することは出来ない。
冪も出てこないということは Hajek-Pudlak に書いてある。
この方法ではスマッシュ関数の入れ子くらいが限界。
それでもゲーデル数化に充分ってところが味噌。
0660１３２人目の素数さん
2011/12/09(金) 09:18:27.66不完全性定理は、そんな勘違いがあろうがなかろうが、成立します。
それから、そのような考察をするなら、「パラドックス」という言葉
を極力形式的に定義しておくべきと思います（既知の定義もありますし）。
0661１３２人目の素数さん
2011/12/09(金) 22:11:37.02嘘つきパラドックスじゃなくてリシャールのパラドックスじゃなかったっけ。
嘘つきパラドックスと不完全性定理にはいくつか大きな違いがあって、
まず前者では命題の真偽そのものについて述べているのに対し、
後者は命題の証明可能性についての話です。
前者を形式化したタルスキーの定理では、
「そのような述語は存在できない」という結論になるのに対し、
後者ではそのような命題があっても矛盾せず、それは証明できない命題となります。
但し存在しても矛盾しないというだけで、実際に
証明可能性述語が存在するかどうかは別問題なので、
不完全性定理を勉強するときはかなり手間をかけて
実際にそのような述語を作ることになります。
0662１３２人目の素数さん
2011/12/09(金) 22:11:58.22不完全性定理で出てくる文章は、直接的には
自然数を足したり掛けたりしたら等しくなるというような命題です。
それが結果的に自分自身が証明できないということと同値になります。
最後に、哲学で出て来るこの種のパラドックスでは
「この文は」というような意味のはっきりしない指示語などが使われているので、
数学者に言わせれば、
日常言語のような曖昧な言葉を使うのが悪いんだよ、ということになります。
不完全性定理では上で見たように自然数の足し算掛け算について
述べているだけの命題なのでそういうことはありません。
0663１３２人目の素数さん
2011/12/09(金) 22:30:39.29Strong Lier Paradoxってのが、
カントールの定理やTuringマシンの停止問題と同型。
圏論の図式レベルまで単純化すると第一不完全性定理も同型。
0664１３２人目の素数さん
2011/12/09(金) 23:41:57.72http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/psycho/1284396792/364-370
0665１３２人目の素数さん
2011/12/10(土) 02:54:55.58ここの住人はどうやって理解したんだろうか。
0666１３２人目の素数さん
2011/12/10(土) 08:44:44.060667スレタイスレ446
2011/12/10(土) 09:38:44.80不自然な点とは第2不完全性定理なんですが、
大雑把にいえば、モデルを持つ理論が、自らのモデルについては言及できないという言明について、
その条件がモデルを持つことであるために、自己言及できていないのでは？という趣旨です。
当初は単一の世界での不完全性定理を考えていて気が付かないかったのですが、
複数の世界でエージェントの信念や知識を考慮すると不自然なんです。
自己言及のパラドクス的なモノをまだ知らない状況、というものが考えられるなど...。
この考えはまだまとまっていませんが。
>>659
どうも、無料なうえに良書ですね。
>>661
それらをまとめると、タルスキの定理は、
すべての論理式φで、N|=φ←→R(【φ】)なので、
⇔すべての論理式φで、PA∪{φ←→R(【φ】)}|-φ←→R(【φ】)
だからゲーデル文ψでPA∪{ψ←→R(【ψ】)}|-ψ←→￢R(【ψ】)となり、
真偽判定は第1不完全性定理の証明判定の別モードと解釈もできますよね。
つまりそれぞれ自己言及パラドクス（ゲーデル文）が源泉。
ま、実は第1は自己言及も可証性述語も一切必要なしに証明できるんですが。
>>663
同型とは何でしょうか。
0668１３２人目の素数さん
2011/12/10(土) 10:46:36.38>不自然な点とは第2不完全性定理なんですが、
ここのパラグラフまだよくわからないのですが，なんとなくおもしろそうですね．
まとまったら解説をよろしく．
以下は私の中での不明点．もちろんコメントいただく必要はありません．
>理論が、自らのモデルについては言及できない
直感的には，これは理論の宿命ではないのだろうか？
>その条件がモデルを持つことであるために、自己言及できていないのでは？
これを文字通りに解釈すると｢その理論が無矛盾であるために自己言及できて
いない｣という意味になるが，それはナンセンスではないか
だが，こう考えることがそもそも「単一の世界」に捉われているということなのか？
0669１３２人目の素数さん
2011/12/10(土) 10:50:28.680670１３２人目の素数さん
2011/12/10(土) 12:14:47.43それはそうなのだが
0671スレタイスレ446
2011/12/10(土) 17:08:19.79訂正：
タルスキの定理は正確には、
すべての論理式φで、N|=φ←→R(【φ】)となる述語Rが存在しない。ですね。
>>668
基本的には理論自体のモデルと、その理論から証明される言明中の支持するモデルが同一かどうか考えていますね。
あくまで哲学的な意味でですが。
0672１３２人目の素数さん
2011/12/10(土) 18:43:34.43ここでいう「モデル」って、たとえば完全性（無矛盾<->モデルの存在）
などの文脈で使われる「モデル」と思っていいのですよね？（それとも別の意味？）
0673スレタイスレ446
2011/12/10(土) 23:33:12.770674１３２人目の素数さん
2011/12/11(日) 23:29:22.34「Aが無矛盾→Aはモデルを持つ」の証明を教えてください
お願いします
0675１３２人目の素数さん
2011/12/11(日) 23:36:12.670676１３２人目の素数さん
2011/12/11(日) 23:40:42.60調べてやれって言われました・・・
0677１３２人目の素数さん
2011/12/11(日) 23:46:50.900678１３２人目の素数さん
2011/12/11(日) 23:50:48.14書いているのだが、これはちょっと言い過ぎでないかい？
0679１３２人目の素数さん
2011/12/12(月) 04:18:24.46能である」
これはjに関する数学的帰納法で証明できる。
とあるのですが、どうしてjだけでよくて、iやkについては考慮しないで良いのでしょうか？
1変数の述語に関しての数学的帰納法はよく分かるのですが、複数変数の述語に関しての
数学的帰納法がよく分かりません。
初歩的な質問ですみません。
0680１３２人目の素数さん
2011/12/12(月) 04:53:38.89jについて、任意の自然数iに対して或る自然数kが存在してi+j=k
を仮定し、自然数iを任意に固定して1を右から足すだけ。
あとはiを動かして終わり。
0681１３２人目の素数さん
2011/12/12(月) 06:03:53.48やりたければiやkに関する帰納法でも出来るんじゃない？どういう公理を採用しているのか知らないけど。
0682１３２人目の素数さん
2011/12/12(月) 06:40:24.97任意の自然数i、jについて、i、jを固定したならペアノの公理からi+j=kも自然数であることが示せるから、jやkは考えなくてよい訳で
「任意の自然数 i,j について、i+j=k のとき、PAで ”i+j=k” が証明可能である」
の「任意の自然数 i,j について、i+j=k」は「任意の自然数 i,j に対してある自然数が存在してi+j=k」と解釈した訳だが。
>>679の文についてこの解釈が間違っているのか？
0683１３２人目の素数さん
2011/12/12(月) 06:42:49.320684１３２人目の素数さん
2011/12/12(月) 06:53:51.33>>679の文章をどう解釈すればよかったのか分からない。
0685１３２人目の素数さん
2011/12/12(月) 07:00:32.23もしくは「任意の自然数 i,j について、自然数 k が存在して、PAで ”i+j=k” が証明可能である」でも同じことだが。
i,j に対して i+j=k となる k が存在することは小学生でも知っている自明な話。
0686１３２人目の素数さん
2011/12/12(月) 07:49:04.82i+j=kを満たす任意の自然数i、jについて、PAで ”i+j=k” が証明可能である
を示すのか。
ペアノの公理を公理として認める限り、これはトートロジーだろう。
0687１３２人目の素数さん
2011/12/12(月) 10:45:55.80能である」
「任意の自然数 ,j について、2+j=k のとき、PAで ”2+j=k” が証明可
能である」
「任意の自然数 j について、3+j=k のとき、PAで ”3+j=k” が証明可
能である」
…
この無限個の命題を数学的帰納法で証明できる、ということでしょ
0688１３２人目の素数さん
2011/12/12(月) 11:16:16.25これには数学的帰納法は必要ない。ただし、
S(i')=S(k')と帰納的に0=0に帰結させる。
jを選ぶかどうかは証明したい人の勝手。
0689検便のナウシカ ◆UVkh7uHFoI
2011/12/12(月) 19:21:09.480690スレタイスレ446
2011/12/13(火) 00:37:14.98それは完全性定理。
ツォルン使うところだけ言うと、
無矛盾な文の集合の族に、包含関係で順序を入れる。
任意に整列した部分集合をとれば有界になってるから、
この族は極大元をもつ。
こいつにAと共に無矛盾性を保つ文がすべて入ってるから、
こいつの解釈を定義すると...。
>>678
どういった文脈でしょうか...。
>>679
仮定の方のi+j=kは、経験的な意味での足し算。
＞PAで ”i+j=k” が証明可能である
こっちはS(S(...S(0)...))のような形をしているが、
i,j,kは数項と呼ばれるメタ変数による略記だと思う。
普通はiかjの片方を任意固定して帰納法を使う。
片方固定しているから、もう片方の選び方で
ユニークにkが決まるということがi+j=k という仮定から出る。
この帰納法が第二不完全性定理がPA以上であることとつながる。
0691624
2011/12/13(火) 02:26:39.96レス遅くなりましたが、解説ありがとうございます。おかげで疑問点は解消できました。
もう1つ質問させて下さい。（何度もすみません）
このスレでも何度か書いていますが、私はどうしてもLoebの可導性条件、特に
D3 PA|- Pr([A])→Pr([Pr([A])])
の証明が理解できません。
以下、私がどこまで理解しているかを簡単に書きます。
D3を証明するためには、任意のΣ1文Fに対して、
PA|- F→Pr([F])
が証明できればよく、そのためにはFの構成に関する帰納法で証明すればよいわけですよね。
つまり、以下の１から４の順番で証明すればよいと。
１、F ⇔ x=y, 0=x, Sx=y, x+y=z, x・y=z のとき、PA|- F→Pr([F])
２、F ⇔ G∧Hのとき、PA|- F→Pr([F])
３、F ⇔ ∃xG(x)のとき、PA|- F→Pr([F])
４、F ⇔ ∀x<y G(x)のとき、PA|- F→Pr([F])
以上の１以降が理解できなく困っています。たとえば、
PA|- x+y=z→Pr([x+y→z])
はどのようにして証明すればよいのでしょうか。
文献[1]には、これの証明が載っているのですが私にはよく理解できませんでした。
使用している文献は
[1] Boolos「THE LOGIC OF PROVABILITY」
[2] 田中他「数学基礎論講義」
の2冊です。
長くなりましたが、どうぞよろしくお願いします。
0692624
2011/12/13(火) 02:31:02.51文献[2]には、D3の証明は膨大な量になるので、これを書き下すのは実際にはかなり困難な作業とあります。
一方、文献[1]には（多少の省略はあるものの）D3の証明を最後まで書いているように思われます。
やはり私がしっかり読めていないだけで、文献[1]も大幅に証明を省略しているのでしょうか？
0693624
2011/12/13(火) 02:34:07.71PA|- x+y=z→Pr([x+y→z])
は
PA|- x+y=z→Pr([x+y=z])
の間違いです。失礼しました。
0694１３２人目の素数さん
2011/12/13(火) 03:14:10.12＞この帰納法が第二不完全性定理がPA以上であることとつながる。
少し前で、第二不完全性定理はPAより遥かに弱い体系でも成り立つ、って話が出ているのにもかかわらずこの発言ｗ
0695１３２人目の素数さん
2011/12/13(火) 06:15:56.94当り前だが、２は帰納法の条件が抜けている。693 では x+y=z
から y=0 の場合、z=x そうでない場合 x+(y-1) = z-1 が導かれる
といったことに気づくことが必要。
0696１３２人目の素数さん
2011/12/13(火) 06:21:31.04冪もスマッシュ関数もないロビンソンのQでも第二不完全性定理は成り立つ。
しかし積は必要で、積もないプレスバーガー算術では第二不完全性定理が成り立たないのは有名な話。
0697スレタイスレ446
2011/12/13(火) 08:13:28.50例の文脈で言ってたのはゲーデル数化ですよね。
ところでQでは零元との加算の交換法則さえ成り立たないですよね。
PAよりもQの方がはるかに証明可能な論理式が少ないと予想できます。
ところで第一の証明の際に結構数学的帰納法を多用しますよね？
その証明を形式化した第二の可証性述語を証明するのに、
帰納法の公理が一切不要であるということは証明されているのでしょうか？
プレスバーガーにも帰納法は入ってますし。
それとも別の方法があるということでしょうか？
0698１３２人目の素数さん
2011/12/13(火) 17:01:02.16帰納法もゲーデル数化も扱いは同じだよ。
Qは直接は帰納法を持っていないけど、>>646でいうように
「解釈された帰納法」は持っているので、それで充分。
0699１３２人目の素数さん
2011/12/14(水) 00:18:55.11不完全性定理と自己言及のパラドクスはかなり異なる。
まず第一不完全性定理の証明にゲーデル文などは必須ではないことに注意。
1階述語論理の充足不能判定性問題の決定不可能性が容易に証明可能だが、
このときロビンソン算術の不完全性は、
後続者関数の単射性と0の非後続者性と前者の存在性に関する3つの公理だけで証明可能。
3つを∧でつなげて存在例化したのをAとする。
するとAの任意モデルは標準モデルと同型になる。
さらに文φをある一項述語に相対化してすべての関数述語定数を存在例化したものをφ*とすると、
φ*は一項述語をドメインとするモデルであるかに依存して真偽が決定する。
このテクニックで任意のφについて、
φが決定不能⇔”Aが真ならばφ*が真である”ことが決定不能。
として第一不完全性定理が成り立つ。
また第二不完全性定理については、自らの無矛盾性証明ができないだが、
T|-⊥→φなので、T|-Pr(⊥)→Pr(φ)とT|-/-￢Pr(⊥)からT|-/-￢Pr(φ)がでて、
そもそも任意の論理式が証明できないことが証明できない、
第二不完全性定理はこれの系と言える。
さらにこれらが解を持たないある種の不定方程式と同値であることと、
ほとんどの次数と変数の不定方程式が決定不能なことを考えると、
真でありながら証明可能な論理式は、ほんのわずかしかない。
0700１３２人目の素数さん
2011/12/14(水) 04:05:35.73>3つを∧でつなげて存在例化したのをAとする。
>するとAの任意モデルは標準モデルと同型になる。
ほほぅ、それは世紀の大発見ですな。
0701１３２人目の素数さん
2011/12/14(水) 04:33:52.08まだ進化し続けているのでしょうか？
日本人で集合論を専門にしている方はいますか？
0702１３２人目の素数さん
2011/12/14(水) 04:57:56.300703１３２人目の素数さん
2011/12/14(水) 05:26:12.73一般人が「集合論」という名称から想像する学問内容と、
研究現場で「集合論」と呼ばれる研究内容は必ずしも一致しないことも多い。
どのような研究内容を想像しているのか？
0704１３２人目の素数さん
2011/12/14(水) 06:44:06.79不完全性定理の為の条件である「ある程度の算術を含み、かくかくしかじかの性質を満たす公理系」の内、
「かくかくしかじか」の部分は得意気に解説しているブログはよく目にするが、
最初の「ある程度の算術を含み」がどういうことなのか理解が浅い連中が多い。
PAほど強い必要は全然ないし、それよりも「含む」という部分が曲者。
狭い意味で考えてしまうと、ZFC 集合論と算術は言語が違うのだから算術を含んでいないことになってしまい、
ZFC 集合論には不完全性定理が適用できないことになってしまう。
0705１３２人目の素数さん
2011/12/14(水) 08:06:23.57前者の存在性に関する公理から任意の論理式φについて、
φ(z)∧∀x(φ(x)→φ(f(x)))→∀xφ(x)
の形の文が出現、これを2階述語論理で量化した
∀φ(φ(z)∧∀x(φ(x)→φ(f(x)))→∀xφ(x))
と「後続者関数の単射性」と「0の非後続者性」は範疇的で
何れもω_0のドメインを持つ。このことから、
”1階の文φ”が決定不能⇔”2階の文Aが真ならばφ*が真である”が決定不能。
0706１３２人目の素数さん
2011/12/14(水) 12:41:59.002階述語論理で量化...?
0707スレタイスレ446
2011/12/14(水) 18:53:08.34>>690でPA以上といったことについてならば、
私は>>679のレスポンスを見て、第一不完全性定理の証明を形式化して
第二不完全性定理を証明しようとしていると予想したんですね。
だから第一の条件がQになるのに対し第二がPAになっている理由を述べたわけです。
PAよりも単純な体系でも証明できるのでしょうが、
例の限定算術についてはほとんど知らないので、
数学的帰納法位は必要なんじゃないだろうか、と考えた末のレスポンスが>>697なわけです。
0708１３２人目の素数さん
2011/12/14(水) 20:23:27.08Peano算術をどれだけ弱く出来るかとかそういうことは
専門家のみが興味を持つどうでもいいことなので、
だからこそ指数関数を最初から加えて証明を簡略化したりする
0709１３２人目の素数さん
2011/12/14(水) 20:52:04.65再帰的クラスの決定問題については、
去年、Rendellによって構築されたライフゲームの万能チューリング機械により、
ttp://uncomp.uwe.ac.uk/CAAA2011/Program_files/764-772.pdf
すべてエデンの園に帰着できることが証明されているので、
ttp://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/0709/0709.4280v1.pdf
これからは不完全性定理含め、Σ_1・Π_1階層の決定問題はすべて
セルオートマトン上で実行されながら研究が進む流れとなるだろう。
0710１３２人目の素数さん
2011/12/14(水) 21:48:34.40正確にはあらゆる論理式に対して
述語定数を定義してから、その述語を量化する。
0711１３２人目の素数さん
2011/12/16(金) 07:26:41.52Peter Freyd 著 abelian categories
0712１３２人目の素数さん
2011/12/17(土) 01:52:21.320713１３２人目の素数さん
2011/12/17(土) 10:13:44.440714１３２人目の素数さん
2011/12/17(土) 14:37:35.76http://a.pic.to/89120
ここにUPした問題に回答していただけると嬉しいです
問１ 34
問2 125 のような気がするのですが
問３がどうにも意味が分かりません
0715１３２人目の素数さん
2011/12/17(土) 14:57:36.15っttp://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1323388666/
0716１３２人目の素数さん
2011/12/17(土) 15:01:14.98こんな古臭い分野やってんの？
0717１３２人目の素数さん
2011/12/17(土) 15:16:42.21荒れるからだめと言われました
602 ：１３２人目の素数さん：2011/12/17(土) 02:01:16.93
記号論理学の問題ってここでいいですか？
603 ：１３２人目の素数さん：2011/12/17(土) 02:02:40.92
>>602
あれるからだめ
0718１３２人目の素数さん
2011/12/17(土) 16:29:36.09こっちも荒れるからダメ。宿題スレじゃ無いよ。
0719１３２人目の素数さん
2011/12/17(土) 16:51:52.090720１３２人目の素数さん
2011/12/17(土) 17:21:56.36情報板
0721１３２人目の素数さん
2011/12/17(土) 19:10:21.62演繹図って初めて聞いたわ。
これを区別するメリットってあるの？
0722１３２人目の素数さん
2011/12/17(土) 20:24:55.08論理学の本質的な部分には全く触れない。
公務員試験とかの問題に適した良い問題ですね。
0723１３２人目の素数さん
2011/12/17(土) 21:47:08.450724１３２人目の素数さん
2011/12/18(日) 00:08:31.67--------になってる
掲示板の書き込みと変わんないじゃん
0725１３２人目の素数さん
2011/12/18(日) 00:22:03.28そのタイトル必要か？
0726１３２人目の素数さん
2011/12/18(日) 00:55:54.04問2だけ？が抜けてるね
0727１３２人目の素数さん
2011/12/18(日) 01:26:32.720728１３２人目の素数さん
2011/12/18(日) 07:14:03.18演繹図と証明図って同義
0729１３２人目の素数さん
2011/12/19(月) 07:28:14.89普通の数学者にとってみれば、 不完全性定理自体が専門家のみが興味を持つどうでもいいことだろｗ
つまるところ、自分の無知の正当化乙ってとこだなｗ
0730１３２人目の素数さん
2011/12/19(月) 22:25:55.97それを証明しようと俄然やる気が出るのに、
他分野の人は、命題が独立だったりしたらその命題は
ナンセンスだということになってしまう（←もちろん本当はそんなことはない）
どうしよう、とか思ってるんだよね
逆に普通の数論や現代幾何学やらの命題とかが独立であることはまず無いから
そういう可能性は考えなくて良いと思ってるのなら、現状では事実としてそれは否定できなくて、
なぜそういう独立命題が存在しないのかはAvigadがわざわざ論考を書いたりしてる
0731１３２人目の素数さん
2011/12/19(月) 22:35:35.580732１３２人目の素数さん
2011/12/20(火) 01:22:27.99不完全性定理の誤解の原因は、算術の理論特有の問題と
一般的な計算可能性の問題が混同されているところ。
Δ1クラス⇔再帰的クラス⇔決定可能な問題の全体。
Σ1クラス⇔再帰的可算クラス⇔半決定可能な問題の全体。
Δ1⊆Σ1、半決定可能⇒決定可能、Π1∩Σ1≠φ。
つまり再帰的な文の先頭に存在記号を付けると再帰性も再帰可算性も保存できない。
ここではじめて無矛盾＆再帰的＆健全＆Σ1完全な算術の理論をもってくる。
真なΠ1文がすべて証明可能だと、
Σ1クラスである可証性述語でΠ1クラスがすべて枚挙されてしまい矛盾、Π1不完全。
つまり第一不完全性定理は
Π1不完全による真で証明不可能なΠ1文の否定をとると、
偽なΣ1文になり、健全性によりこれも証明不可能となるということ。
第二不完全性定理を一般化した、証明できないことが証明できないに該当する文は、
このΠ1不完全性の条件を緩めた場合の具体例。（Lobの定理の対偶より自明。
0733１３２人目の素数さん
2011/12/20(火) 07:40:12.64無矛盾の条件は外れる。
また再帰的理論＝再帰的可算理論が知られており、
Σ1理論＆健全＆Σ1完全な算術の理論。
0734１３２人目の素数さん
2011/12/20(火) 16:07:33.24逆数学や証明論の基本的な結果を導くのに使われている。
（それより弱い体系の話は、限定算術でしか出てこないかもしれないが。）
PA 以上でしか第二不完全性が成り立つことを知らないとすると、
現代ロジックの相当部分の理解が怪しいということ。
0735１３２人目の素数さん
2011/12/20(火) 19:21:20.220736１３２人目の素数さん
2011/12/20(火) 21:20:45.41限定算術で出て来るような理論 T でも
第二不完全性のcoding自体が出来れば、
Con(T) が証明できないという事自体は正しいはず。
但しPAやIΣ1のときと同じ証明法が成立しないというだけで。
ただモデル理論とか集合論の人とか、そういうことに興味が薄い人はいると思うけどね。
0737１３２人目の素数さん
2011/12/20(火) 21:34:38.88集合論なら第二は証明できるのでは？
0738１３２人目の素数さん
2011/12/20(火) 23:34:04.89様相論理なんかは最近そこらへんの分野でどうなっていますか？
0739１３２人目の素数さん
2011/12/21(水) 20:08:29.94ある関数で値が1となる文の集合は
健全性により1集合となり、公理に還元可能となる。
そしてこれは自然数により識別子がつく。
証明はあるΔ1の関数で可能。
ある関数で値が1となる文の集合に割り当てられた識別子を
先の証明に該当するΔ1関数で計算すると、
これは理論にも値が1の集合にも属さない。
これが不完全性定理で決定不能な文である。
この分から芋蔓式に当たらた決定不能文が、
理論と値が1の集合の外側に作られていく。
こういった性質を満たす理論のような集合は、
創造的集合と呼ばれ、PAやZFもこれに属する。
一方でこの条件からはみ出る実数や群などは、
完全であり製造的集合とよばれる自然数上の補集合に入る。
0740１３２人目の素数さん
2011/12/21(水) 23:00:59.700741１３２人目の素数さん
2011/12/22(木) 07:37:11.33集合論でも無矛盾性の強さの階層とか第二不完全性定理が必須。
0742１３２人目の素数さん
2011/12/22(木) 22:51:04.24理論の無矛盾を示す文の記述自体には不要。
Δ1は∃で束縛した不定方程式ですべて書き換えることができる。
足し算掛け算さえあれば、
T|-Con(T)と論理的同値なT|-∃x…(p(x,…)≠0)が構成できるはず。
0743１３２人目の素数さん
2011/12/23(金) 00:18:35.760744１３２人目の素数さん
2011/12/23(金) 05:46:49.06>>742
論理的同値な T|-∃x(1=0) か T|-∃x(0=0) があるのは当然だわなｗ
Tの"中で"Con(T)と同値な命題が必要なわけ。
で、Tの中で同値とか言う以上、Con(T)は既にTの中に形式化されていないといけない。
というわけで君の議論は循環論法になる。
（ちなみに Con(T) はΠ1文であってΣ1文ではない。）
0745１３２人目の素数さん
2011/12/23(金) 07:27:34.03論理的同値は誤り。
しかし例えばTの第二不完全性定理を証明するのに、
Tに新たな文φ∧φ（φはTの文）と関数pを加えて保存的拡大をして、
その理論T'でコーディングによって得られるPr(⊥)によって
∃x…(p(x,…)＝0を解釈されるようなモデルをつくれば、
理論TではCon(T)と同値な∃x…(p(x,…)≠0)を
コーディングなしで解釈することができる。
0746１３２人目の素数さん
2011/12/23(金) 09:09:14.56この言語に関数定数pと指数関数expを追加して、
T'|-Con(T)←→T'|-Con(T')
さらにpを、
T'|-∃x…(p(x,…)＝0)←→T'|-Con(T')
によって定義すれば
not[T'|-∃x…(p(x,…)＝0)]⇒not[T|-∃x…(p(x,…)＝0)]
Tには指数関数もコーディングの痕跡もなし。
0747１３２人目の素数さん
2011/12/23(金) 14:41:34.45日本ぐらいは基礎論をやり続ける国があっても良い。
積極的に基礎論を
応援すべき。
0748１３２人目の素数さん
2011/12/23(金) 18:18:34.53「φはTの文」としか条件がついていないが、
仮にその否定がTで証明可能だとするとT'は矛盾するぞ。
しかもφがTで証明不可能ならばT'＝T∪{φ∧φ}はTの保存拡大になりえない。
逆に証明可能ならT'＝T∪{φ∧φ}はTと同じもの。保存拡大もへったくれもない。
初歩から勉強して出直して来い。
0749746
2011/12/23(金) 18:38:35.540750１３２人目の素数さん
2011/12/23(金) 20:48:23.85数学や数学外の理学だけじゃなく日常でも言える事なのかな？
0751１３２人目の素数さん
2011/12/23(金) 20:50:13.910752１３２人目の素数さん
2011/12/23(金) 21:08:19.26日常は嘘つきのパラドックスくらいで我慢してください。
不完全性定理を持ち出すのは、暖を取るのに原爆を使うに類する行為です。
下手すると死人が出るレベル。
0753１３２人目の素数さん
2011/12/23(金) 22:59:31.62「私は正直である」とだけしか言わない人が正直者か嘘吐きか分かりませんね､
世界に在る数多の平和理念を打ち崩しかねない事なのかも…
0754１３２人目の素数さん
2011/12/23(金) 23:06:42.33マジなのか？釣りなのか？
0755１３２人目の素数さん
2011/12/23(金) 23:06:54.270756746
2011/12/23(金) 23:14:15.66文句あんならかかってきなさいw
0757１３２人目の素数さん
2011/12/24(土) 00:08:32.63初歩から勉強して出直して来い。
0758746
2011/12/24(土) 01:10:20.93Lの理論Tがあって、L’の理論T'がある。
T'はTに公理φ∧φ(φはTの公理)を加えたもの。
もちろんT|=ψ⇔T'|=ψだから保存拡大だろう。
T'|-Pr_T(ψ)←→Pr_T'(ψ)
T'|-￢Pr_T(ψ)←→￢Pr_T'(ψ)
M|=T'⇒M|=￢Pr_T(ψ)←→￢Pr_T'(ψ)
M|=T'⇒M|=￢Pr_T(⊥)←→￢Pr_T'(⊥)
M|=T'⇒M|=Con(T)←→Con(T')
このとき...っと、全然できないか。
0759１３２人目の素数さん
2011/12/24(土) 01:45:04.380760１３２人目の素数さん
2011/12/24(土) 02:31:33.480761１３２人目の素数さん
2011/12/24(土) 03:04:20.24> 世界的に見て衰退期に入って久しい基礎論界では、
> 日本ぐらいは基礎論をやり続ける国があっても良い。
> 積極的に基礎論を
> 応援すべき。
世界中で見捨てられた分野の研究を日本で維持するなんてのは日本国民の税金の無駄遣い。
お前は自分でコンビニ店員でもして生計立てて勝手に基礎論を応援してろ。
0762１３２人目の素数さん
2011/12/24(土) 05:01:26.65世界中で見捨てられたから日本も見捨てる、では中韓と何も変わらない。
0763１３２人目の素数さん
2011/12/24(土) 06:11:04.38残念ながら、世界的に衰退期とは言っても、基礎論はまだまだ欧米の方が盛ん。
日本は一時、東大や京大から完全に駆逐されてしまっていたから、欧米並みにすら達してない。
0764１３２人目の素数さん
2011/12/24(土) 06:35:51.98> φ∧φってφと同値だろ？何故わざわざφ∧φなんて公理採用するんだ？
Craigの定理と勘違いしたのでは？
ある理論にすべての公理をφ∧φ∧‥･∧φの形にした理論を作ると、
任意の1理論と同等なΔ1理論が存在する。
0765１３２人目の素数さん
2011/12/24(土) 06:53:51.140766考える人
2011/12/24(土) 11:19:27.92ゲーデルが例の論文を提出した後、数学会は完全に廃墟となってた。
数年後に彼はルイスのモーダル論理のS4や、
直感主義命題論理のIPCなんかを構築して
（こいつのBHKセマンティクスまで形式化しちまいやがった）
IPCで証明可能な論理式をS4で証明可能な論理式に翻訳しようとしていた。
その根底にはS4のモーダルオペレータで可証性述語------これはもちろん
ベルナイスとレーブによるものだな------を再現するという意図があった。
これは実際プロバビリティ論理の構築によって行われた。
モーダル論理K4をいじったGLと呼ばれるものができた。
その後フィッファーマンやクリプケやブーロスらも参入することになる。
ほどなくして一階や直感主義的なプロバビリティ論理が生み出され、
ソロヴェイがこれらを分類するメタ理論を与えた。
やがてゲーデルはプルーフ論理LPをマッキンゼー・タルスキらの協力を得て開発、
プロバビリティ論理⇔プルーフ論理が示され、
IPC⇒S4⇒LP⇒古典的算術の証明
の図式が完成したのだ。
0767１３２人目の素数さん
2011/12/24(土) 12:26:55.32ああ、あの山勘主義的なアレね
0768１３２人目の素数さん
2011/12/24(土) 13:29:44.07＞日本国民の税金の無駄遣い。
そういう話はやめとけ。
一般市民にとっては、数学自体が税金の無駄遣いだから。
「お前は自分でコンビニ店員でもして生計立てて勝手に数学やってろ」
と言われるのがオチ。
0769１３２人目の素数さん
2011/12/24(土) 13:48:40.110770１３２人目の素数さん
2011/12/24(土) 13:52:48.01極めて鋭いところを突いていたと言わざるを得ない。
ブラウアはヒルベルトに学会運営上撃退されて、
数学辞めてしまってからの直観主義形式化反対などが
揶揄されているが。
0771１３２人目の素数さん
2011/12/24(土) 13:56:56.03こっそり厳密に定式化して自分の手柄に。
0772１３２人目の素数さん
2011/12/24(土) 14:35:50.65直感じゃないし。
0773１３２人目の素数さん
2011/12/24(土) 17:48:45.98それを上手く定式化できないだけだ
0774１３２人目の素数さん
2011/12/24(土) 19:31:11.55国内国外問わず追い出されてしまったし、
数理科学科内で擁護してあげないとかわいそうだろ。
0775１３２人目の素数さん
2011/12/24(土) 20:00:47.38一体何があったんだ？
0776考える人
2011/12/24(土) 20:36:02.26直観主義論理ないし構成的論理学は排中律が使えない奴。
いくつかの流れがあって
1
構成的数学としてフィッファーマンや
アクゼルらが引き継いで型ないしλculcの形で発展している。
集合ではなく関数に着目することでラッセルのパラドクス回避。
Lispなどの源流となる。
2
線形論理として仮定をもつというより自然な数学的思考の再現に成功、
計算機⊇論理学を計算機⊆論理学に判定させる動きもある。
3
部分構造論理としてその代数的構造に興味がもたれてる。
0777１３２人目の素数さん
2011/12/24(土) 20:41:43.800778１３２人目の素数さん
2011/12/24(土) 21:52:24.99様々なレスの内容や書き込み日時や文献などを照合したら
>>624>>691さんの書き込みが、
某ポピュラー数学本著作者で経済学者の○島寛之さんであることが判明＾＾；
0780１３２人目の素数さん
2011/12/24(土) 22:23:40.61どれについても詳しくないんだろ(o´∀｀)σ)´Д`)
0781１３２人目の素数さん
2011/12/25(日) 08:55:33.07直観主義の形式化なんてのはそもそも矛盾しているわけだがｗ
0782考える人
2011/12/25(日) 09:06:14.331についてはそれなりに詳しい。
>>781
直観主義も形式主義だろう。
具体的なアルゴリズムを示さないと証明とは呼ばんという立場だから。
0783１３２人目の素数さん
2011/12/25(日) 09:15:12.930784考える人
2011/12/25(日) 09:53:11.43そんなもんがどー関係してるってんだ
0785１３２人目の素数さん
2011/12/25(日) 10:23:29.40バークレイじゃ不完全性定理などの決定不能な命題が生命の起源かもしれないと騒がれてるのに
0786１３２人目の素数さん
2011/12/25(日) 16:37:01.130787１３２人目の素数さん
2011/12/25(日) 17:07:21.18おもしろいじゃないか。
>アルゴリズムっていうのがBHK解釈において無定義術語だってこと
どんな解釈においても定義できないと思っていたのだが。
>バークレイじゃ不完全性定理などの決定不能な命題が生命の起源かもしれないと騒がれてるのに
どう騒がれているのか具体的に頼む
0788１３２人目の素数さん
2011/12/25(日) 17:10:20.872次元のセルオートマトンの特殊なもので
70年代にコンウェイがライフゲームとかいうのを定義して、
これが一般的なチューリングマシンと計算能力が同等だと証明された。
レンデルが定義したのはこれをセルオートマトン上で直接再現するチューリングマシン。
一定量の時間と空間を持つ任意のパターンのライフゲームが
自動的にチューリング機械に進化する確率が0よりも大きいことが知られているから、
これをもって自動的に生命のようなパターンが作られるのではという哲学的議論がある。
ただし問題がいくつかある。
2次元のセルオートマトンは自動的な進化では到達しない
エデンの園を持っているため、少なくともエデンの園⇒チューリング機械で認識できない命題となる。
（一方でこれの逆は証明されていない。）
更に2次元セルオートマトン自体は計算可能なクラスより大きい、
LangtonやBylのLoopという万能チューリング機械より大きな自己再生とよばれるクラスが発見されている。
このため生命現象は計算可能性よりもっと一般的なのではという仮説がある。
Andrew Adamatzky Editor / Game of Life Cellular Automata
がかなり詳しい。岩波から自己増殖オートマトンとかいう本が出てたが古いし絶版になった。
0789１３２人目の素数さん
2011/12/25(日) 17:25:56.000790１３２人目の素数さん
2011/12/25(日) 17:35:18.680791１３２人目の素数さん
2011/12/25(日) 17:39:39.31セルオートマトンはむしろ非線形問題と絡んでからが壮大
0792考える人
2011/12/25(日) 19:51:37.96知識のひけらかしや知ったかと呼ぶものもいる。
0793１３２人目の素数さん
2011/12/25(日) 19:53:15.470794粋蕎 ◆C2UdlLHDRI
2011/12/25(日) 20:19:31.26> 直観主義も形式主義だろう｡
> 具体的なアルゴリズムを示さないと証明とは呼ばんという立場だから｡
公理論的直観主義とは何か？
0795１３２人目の素数さん
2011/12/25(日) 22:34:55.70ならリンク貼っとくれ。
君の文体が出鱈目電波くさいから、調べる気にならん。ソースがあれば読もうという気にもなる。
0796考える人
2011/12/25(日) 22:53:20.40直観主義論理は今では構成的論理として
古典論理から排中律を除いたものを指示する。
ハイティング算術をモデルとして持つ。
>>795
1は林さんの構成的プログラミングの基礎とかいう本で学習した。
2は照井さんのパワポ、3は小野さんのPDFを見ただけ。
0797１３２人目の素数さん
2011/12/25(日) 23:04:17.18ありがとうございます。それらを参考にいろいろ調べてみます。
0798い
2011/12/25(日) 23:13:10.85自己再生クラスを検索したけど、何も出ないな。
0799788
2011/12/25(日) 23:38:12.940800１３２人目の素数さん
2011/12/26(月) 00:16:43.61そんな面白いもんでもないが。
http://en.wikipedia.org/wiki/Langton's_loops
http://en.wikipedia.org/wiki/Byl's_loop
0801１３２人目の素数さん
2011/12/26(月) 00:19:02.45http://necsi.edu/postdocs/sayama/sdsr/java/
0802１３２人目の素数さん
2011/12/26(月) 00:27:47.98こいつ「論理」とか「モデル」とかが何物であるかまるっきり分かってないだろｗ
受け売りの情報を自分で消化しないまま吐き出すとこうなるのかね。
0803１３２人目の素数さん
2011/12/26(月) 02:31:25.06直観主義の研究＝直観主義論理の研究、ではないんだがな。
直観主義っていうのは、論理の部分だけではなく、非論理的公理の部分や、
その他数学のあるべき姿全般に対する哲学的主張（例えば形式主義に反対するなど）までひっくるめた
文字通り一つの「主義」なんだけどな。
直観主義論理はその一部分に過ぎないし、その部分だけならば形式主義とは矛盾しないわけだ。
0804１３２人目の素数さん
2011/12/26(月) 02:47:32.510806１３２人目の素数さん
2011/12/26(月) 07:43:08.510807考える人
2011/12/26(月) 07:47:42.72せいぜい古典論理と戯れてろや
0808１３２人目の素数さん
2011/12/26(月) 09:07:54.210809１３２人目の素数さん
2011/12/26(月) 10:03:29.230810１３２人目の素数さん
2011/12/26(月) 14:53:35.61通常と違う論理と遊んでいるオレ、カッコイイ？
0811い
2011/12/26(月) 14:55:02.17なるほど、ググって見つけた
http://www.iec.hiroshima-u.ac.jp/projects/rca/sr3d/movies/movies.html
も無関係じゃないみたいですね。
0812１３２人目の素数さん
2011/12/26(月) 19:12:49.060813１３２人目の素数さん
2011/12/26(月) 20:37:16.79あるパターンから到達可能なら証明可能ってことで、
エデンの園は決定不能な命題って理解でいいの？
0814考える人
2011/12/26(月) 21:46:21.21数学にしか使い物になんないんだよね。
∀・∃の量記号が邪魔で論理が決定不能になるので。
モーダル論理はより視野が広くて、
オペレータはいくらでも使って良い。
計算機では大体20～30個以上のオペレータを同時に暑かった体型を使う。
0815１３２人目の素数さん
2011/12/26(月) 22:02:07.21様相論理は視野を狭めることで決定可能にしている、って程度の理解もできてないのか。
0816考える人
2011/12/26(月) 22:14:12.81モーダル論理の定義可能な文のクラスのが一階論理の定義可能な文のクラスよりでかいんだが
0817１３２人目の素数さん
2011/12/26(月) 22:23:14.240818１３２人目の素数さん
2011/12/26(月) 22:24:51.64仮に、一階述語論理で記述できるものがすべて様相論理で記述できるとする。
すると様相論理も決定不能である。
（証明終）
0819考える人
2011/12/27(火) 07:18:17.43モーダル論理のメリットは1階論理の個体変数が動くドメインを
公理や推論規則の中から意味論の側の関係構造として扱えるということ。
オペレータが関係構造を継承するから∀・∃は必要なくなる。
0820１３２人目の素数さん
2011/12/27(火) 07:29:37.17∀・∃が様相じゃ定義できない。了
0822１３２人目の素数さん
2011/12/27(火) 07:46:47.00(http://www.illc.uva.nl/Research/Reports/PP-2008-30.text.pdf)
Lindstrom’s Theorem says that first-order logic (FOL) is the logic one gets
from invariance for potential isomorphisms when adding compactness, van
Benthem’s characterization theorem says that ML is the logic one gets from
bisimulations inside the complete logic FOL, and so on.
Wikipedia (en) の van Benthem の項目から引用：
Van Benthem is known for his research in the area of modal logic.
This research has resulted in Van Benthem's Theorem, which states that modal logic is the fragment of first-order logic that is closed under bisimulation.
独り善がりに考える人は、これらの結果が
「様相論理で表現できる内容は、一階述語論理より狭まっている」
ということを意味していることが分からないのかな？
0823考える人
2011/12/27(火) 08:10:27.21しかしそれはMLの貧困さを意味しない。
0824１３２人目の素数さん
2011/12/27(火) 08:13:31.46「モーダル論理の定義可能な文のクラスのが一階論理の定義可能な文のクラスよりでかい」
っていうのはあべこべであることに自分で気づいている？
0825１３２人目の素数さん
2011/12/27(火) 14:22:06.150826１３２人目の素数さん
2011/12/27(火) 19:02:01.23φ・ー＞φ・φ
ニャスキーアート風に描くと
とてもじゃないがフォーミュラに見えんな
この板にかくのには少し無理か
スマソ
もうちょいibusを調整してからカキコむ
これはこれでのこさせてもらうけど
めざわりだったら遠慮無く消してくれ
0827１３２人目の素数さん
2011/12/27(火) 19:21:17.130828１３２人目の素数さん
2011/12/27(火) 20:16:16.010829考える人
2011/12/27(火) 21:23:40.72ML⇒FO^2⇒...⇒FO^n⇒FOと埋め込める。
しかし例えばLTL⇔FO(＜)やTL⇔FO(s,＜)といった対応を考えれば、
FO(＜)は決定不能だがLTLは決定可能になる。
しかもLTLは決定可能なままFO(＜)よりも拡張可能である。
0830１３２人目の素数さん
2011/12/28(水) 01:53:26.85⇔とか断りを入れずに「俺様記号」を使い出すあたり、トンデモ数学者の臭いを感じる。
その記号の意味はなんだね？
「対応」と言っているが、君の以前の発言でそれらしいものを探すと「翻訳可能性」か？
もし二つの論理が互いに翻訳可能であれば、一方が決定可能で他方が決定不能なんてことは起こり得ないのだが。
そんなことは翻訳可能性の定義から自明に分かるはずだが。
0831１３２人目の素数さん
2011/12/28(水) 05:08:02.75>>776の２と３は、直観主義論理（奴によると構成的論理はその別名）の研究では全くない。
実際、線型論理は（乗法的な）排中律を含むし、
部分構造論理の研究も直観主義論理型と古典論理型に分けられるが後者の方が盛ん。
というか部分構造論理の研究では、縮約規則や弱化規則がない論理が大多数であって、
こうした規則を持つ直観主義論理とは基本的に別物。
結論として、776は中二病的にキーワードを駆使してええかっこしいしただけ。
0833１３２人目の素数さん
2011/12/28(水) 06:46:48.37自分がまずいこと言ったのは棚に上げて、それを指摘した人間に掴みかかるか？
様相論理のメリットとか話題を変える前に、自分の言ったことに責任を持て！
きちんと説明するか自分の誤りを認めるか、どちらかだろう。
0834１３２人目の素数さん
2011/12/28(水) 07:04:33.04一つ前の>>831には反論しないの？
0835考える人
2011/12/28(水) 07:30:41.90翻訳することで埋め込める、という趣旨である。
命題論理の線形時相論理（LTL）は決定可能である。
それ故にFO(＜)が決定可能、なるほど鋭い指摘である。
>>831
確かに古典論理の規則を弱めることで
部分構造論理とその代表例の線形論理が出てくる。
そして排中律を取り除いた直観主義論理とは別物と言える。
しかし>>776の2と3が直観主義論理の話題とは記述していない。
「いくつかの流れ」とはモーダル以外の非古典論理の流れである。
>>833-834
あなたは話題の一つにでもついてこれるのか？
0836１３２人目の素数さん
2011/12/28(水) 07:41:34.58>今のモデル理論が使える数理論理学って
>数学にしか使い物になんないんだよね。
>∀・∃の量記号が邪魔で論理が決定不能になるので。
>>835より引用：
>それ故にFO(＜)が決定可能、なるほど鋭い指摘である。
で、一階述語論理FOは決定不能なの？決定可能なの？ねえ一体どっち？
0837考える人
2011/12/28(水) 07:53:29.50FO(＜),FO(s,＜)：決定可能。
0838１３２人目の素数さん
2011/12/28(水) 08:00:43.94つまりFO(＜)やFO(s,＜)は「∀・∃の量記号」を持たないんだｗ
0839考える人
2011/12/28(水) 08:00:50.37FO(＜),FO(s,＜),FO(＜),FO(s,＜)がすべて決定不能になった。
いずれにしろParteeのParadoxでFOLやMLによるアプローチには限界がある以上
記述論理（DL）の発展を待たなくてはなるまい。（計算量と表現力の等価交換律も可能）
0840１３２人目の素数さん
2011/12/28(水) 08:04:52.540842１３２人目の素数さん
2011/12/28(水) 10:01:16.310843１３２人目の素数さん
2011/12/28(水) 15:04:20.080844１３２人目の素数さん
2011/12/28(水) 18:24:52.740845考える人
2011/12/28(水) 18:53:18.77線形論理も∃・∀なんかは余りつけられない、MLもそうだが。
とはいえ、ハイブリッド論理（HL）などはMLの拡張にしてFOLを超えてしまっている。
0846１３２人目の素数さん
2011/12/28(水) 19:35:39.87776では
>直観主義論理ないし構成的論理学は排中律が使えない奴。
>いくつかの流れがあって
と書いてあって、この「いくつかの流れ」が直観主義論理の話題ではない、
とは随分苦しいな。後付けの言い訳乙
0847考える人
2011/12/28(水) 20:15:06.23というより>>767の書き込みに対して、
直感主義は誤字で直観主義でしたと言った。
その後ゲーデル以後の展開に戻って
いくつかの非古典論理の流れを紹介した。
0848１３２人目の素数さん
2011/12/28(水) 20:34:53.08それはお前だろ。ろくに分かってもいないこと偉そうに喋ってるくせに。
結局、何が間違えていて何が正しかったんだ？
そこら辺ぼかしたまま、新しいキーワード持ち出して逃げるんじゃねえよ。
0849１３２人目の素数さん
2011/12/28(水) 22:54:20.15その説明を鵜呑みにするにしても、
そういう説明がないと正しく読解できないような文章書いたお前が悪いのよ。
0850１３２人目の素数さん
2011/12/28(水) 23:38:49.87自分の言った事に責任をもって、何が間違いで何が正しかったのか、はっきりさせてから寝て欲しいもんだ。
0851１３２人目の素数さん
2011/12/28(水) 23:59:55.160852１３２人目の素数さん
2011/12/29(木) 00:22:03.95それが本当にそうかどうか、おじさんが優しく教えてあげるからね。
0853１３２人目の素数さん
2011/12/29(木) 01:03:00.92特にderivability conditionsの証明を詳しく論じている文献を探しています。
derivability conditionsについてはこのスレでも話し合っておられますが・・・。
0854考える人
2011/12/29(木) 02:05:57.68∀・∃がすべて＜によって限定されているから。
むしろFOの決定可能断片と呼ばれることもある。
ま2階のMSOとかだと逆バルカン式の規則に注意が必要だが。
0855１３２人目の素数さん
2011/12/29(木) 02:26:04.03それって、通常の一階述語論理より「視野を狭めて」いないか？
通常の一階論理では、限定されない∀・∃が使えるのだから。
そうやって視野を狭めることで、決定可能な部分に収めている、わけなんだが。
>>814 の
>モーダル論理はより視野が広くて
は撤回ってことでおk？
0856考える人
2011/12/29(木) 07:21:20.16もちろんFO(＜),FO(s,＜)はFOの断片だから
条件を強めて狭い部分を扱っている（視野が狭くなるわけではない）。
しかし豊穣である。
MLはFOの断片だが、MLの拡張であるHLはFOLと同等になる。
いずれにしろ大抵のMLの派生体系ってのはFOの断片の研究だから、
FOLの断片に略記記号をつくるという考えでも良い。
FOLがタルスキの標準的意味論だけでなくクリプキ意味論も持つと考えれば
モーダルという拡張の仕方はなくなると思われる。
>>854の訂正。
逆バルカン式（CBF）やバルカン式（BF）は述語様相論理（QK）の議論で、
MSOには無関係だった。
0857１３２人目の素数さん
2011/12/29(木) 07:31:07.03条件を強めて狭い部分を扱っているということは、視野が狭めていることにほかならない。
視野を狭めることによって豊穣な世界が見えてくるというのは学問の常だろう。
0858考える人
2011/12/29(木) 07:48:14.74しかしモーダル論理も今じゃクリプキバンドル・セマンティックや
C-Setセマンティックなどが主流ですからね。
0859１３２人目の素数さん
2011/12/29(木) 08:56:40.98恥をかくのは悪くないが、ハッタリをかますのは何の益もない。
積極的にボロを出すぐらいの方が、理解が深まるよ。
0860１３２人目の素数さん
2011/12/29(木) 12:27:20.02基礎論は論理学であって数学ではない。
0861１３２人目の素数さん
2011/12/29(木) 12:32:57.87真っ当な数学者なら、これを常に意識している。
中心部からどのくらいの位置にいるかに関係なく。
ところが基礎論屋は、この中心部というものを全く
自覚していない、非常に得意な人たち。中心部が
何処かだけでなく、存在自体自覚していない。
これは数学者からみたら宇宙人的存在なんだが、
よくかんがえたら、基礎論には中心部というものが
無いのだ。中心部の無い諸々の集まり。
0862１３２人目の素数さん
2011/12/29(木) 12:34:22.84得意な-> 特異な
0863１３２人目の素数さん
2011/12/29(木) 12:53:35.90のどかな田舎暮し。
0864１３２人目の素数さん
2011/12/29(木) 13:05:46.32それは一つの選択ではあるよ。
ただ、都なんか存在しないとか，
ここは都と匹敵するほど栄えてる、といいだしたら
馬鹿なだけ。
0865１３２人目の素数さん
2011/12/29(木) 16:04:32.36基礎論が数学と別物であるならば、数学における
「中心と周辺」という概念が基礎論に欠落していても
何ら問題はなく、基礎論に対する批判になってない。
「基礎論は数学である」という仮定のもとでのみ
批判として通用する。
そして、基礎論を数学から本気で追い出したいのならば、
君が先頭に立って政治的に排斥運動の1つでも
やってみればよろしい。
こんなところでいくら力説したって、何も変わらんよ。
まずは署名を集めることだな。
0866１３２人目の素数さん
2011/12/29(木) 17:01:06.68>「基礎論は数学である」という仮定のもとでのみ
>批判として通用する。
その通り。
「基礎論は数学である」という仮定のもとで
というか、
「基礎論は数学である」と主張する人間に対して
というべき。
数学とは異なる価値観で動いていて、
数学では無い、
という認識のもとでやっていて対外的にもそう言っているなら、
それでいいと思うよ。
数学として意味あり気な振りしている人がいるから
批判されているだけ。
堂々と、基礎論は基礎論だ、数学では無い、別の意味での価値を求めている
と言えばよろしい。
0867１３２人目の素数さん
2011/12/29(木) 17:04:25.54真っ当な学問なら、中心と周辺という概念は必ず出来る。
その構造そのものを否定して、基礎論内部にすら
中心と周辺という概念が無いなら、
基礎論はたんなるパズルの解答集。
0868１３２人目の素数さん
2011/12/29(木) 17:11:04.59＞数学として意味あり気な振りしている人がいるから
＞批判されているだけ。
お前は見えない敵と戦っているようだな。"意味ありげ" な書き込みが
「基礎論として意味ありげ」
というふうには読めず
「数学として意味ありげ」
に見えてしまうのだろう。被害妄想か、あるいは病気だな。
"基礎論憎し" の姿勢がそういう妄想を生むのだろう。
0869１３２人目の素数さん
2011/12/29(木) 17:18:21.74実際に存在するのだろう。
そういう人間を本気で追い出したいならば、
君が先頭に立って政治的に排斥運動の1つでも
やってみればよろしい。こんなところで
＞堂々と、基礎論は基礎論だ、数学では無い、別の意味での価値を求めている
＞と言えばよろしい。
このような主張をいくら繰り返したって、何も変わらんよ。
まずは署名を集めることだな。
0870１３２人目の素数さん
2011/12/29(木) 17:23:09.67了解しました。
それでは、
基礎論は数学では無い。
これは誰も反論しない、決議事項としましょう。
今後誰もくつがえさないように。
そして、数学ではないんだから、他の板へ行ったほうがよいと思います。
独立して頑張ってください。皮肉でなく。
0871１３２人目の素数さん
2011/12/29(木) 17:24:48.45http://www.youtube.com/watch?v=y26iSf_m4Uk
劇団ひとりのところだけ抜粋した動画
0872１３２人目の素数さん
2011/12/29(木) 17:28:58.18本気で追い出したいならば、
君が先頭に立って政治的に排斥運動の1つでも
やってみればよろしい。こんなところで
＞そして、数学ではないんだから、他の板へ行ったほうがよいと思います。
このような主張をいくら繰り返したって、何も変わらんよ。
まずは署名を集めることだな。
あ、ここは2chだから、2ch運営に削除依頼を出せばいいのか。
では、削除依頼を出してみるんだな。
君がね。
0873１３２人目の素数さん
2011/12/29(木) 18:43:38.47哀れな奴よ、自分が中心に近いと思って優越感に浸っているんだろ？
残念だが、基礎論が数学の中で占めているリソースの配分なんて微々たるもんだから、
基礎論を数学から排除したところでこいつに陽が当たったりなんてことは一切ないんだがなｗ
0874１３２人目の素数さん
2011/12/29(木) 20:07:46.36が重要なのではない。
どの位置にいるのかを認識していることが重要なのだ。
0875１３２人目の素数さん
2011/12/29(木) 20:08:53.99セルオートマトンについての専門書が
共立から25日に発売されたみたい。
エデンの園やコロニーとかループとかかなり興味深い内容。
0876１３２人目の素数さん
2011/12/29(木) 20:10:24.33こいつね
0877１３２人目の素数さん
2011/12/29(木) 20:11:34.060878あのこうちやんは始皇帝だった
2011/12/29(木) 20:12:21.97ニート・無職の、ゴミ・クズ・カスの、クソガキが、くっちゃべってんじゃね～！！！！
0879１３２人目の素数さん
2011/12/29(木) 21:31:10.33数学を野球に例えるなら、
内野を守っているのか、外野を守っているのか、どちらなのか
それは重要ではない。
自分がどこを守っていて、現在のゲーム展開を理解していて、プレイに参加している、
ということが重要。
自分がどこを守っているかも認識してない、ゲーム展開も
理解してない、そもそも勝利も目指していない、
プレイに参加していない。
例えユニフォームを来ていても、これでは
野球選手(数学者)とは言えない。
0880１３２人目の素数さん
2011/12/30(金) 00:17:14.770881１３２人目の素数さん
2011/12/30(金) 00:37:49.86君の憂さ晴らしの対象がなくなるよ、879クン。
まだ騒いでいるようだが、削除要請は出してきたのかな？
0882１３２人目の素数さん
2011/12/30(金) 03:45:42.27> 基礎論が数学でなくなると困ること：
基礎論は数学じゃない。
数学の基礎付けは数学じゃなくて数理哲学の問題。
ゆえに数学の基礎付けを追い求める学問としての基礎論は数理哲学の一分野。
そして数学を研究対象とする哲学としての数理哲学は数学自体には含まれない。
自然科学に関する哲学としての科学哲学がもはや自然科学でないように。
一方、数理論理学はその名前の通り数理的な手段で論理を研究する学問。
つまり数理論理学は論理とか証明を数学的に捉える上で現れる数学的構造に関する研究だから
マイナーな分野とはいえども立派な数学。
基礎論と自称している限り、基礎論以外の分野の数学者が基礎論をまともな数学の一部と看做さないのは当然。
科学哲学を自然科学の一分野とみなす科学者がいないのと同じ話。
0883い
2011/12/30(金) 04:40:40.910884１３２人目の素数さん
2011/12/30(金) 05:08:55.550885１３２人目の素数さん
2011/12/30(金) 10:19:51.820886１３２人目の素数さん
2011/12/30(金) 10:56:56.48切り捨てる分類は視野を狭くするから生産的じゃ無いわな。もっとマトモな話題にしてくれ。
0887１３２人目の素数さん
2011/12/30(金) 11:06:10.800888１３２人目の素数さん
2011/12/30(金) 13:22:51.20AMS の分類では Logic はもちろん Foundations of Math も Mathematics
の分類のなかにある。
0889１３２人目の素数さん
2011/12/30(金) 13:51:41.8880年代から基礎論による中央部の侵食は始まっていた。
具体的には無限降下構文解析による言語のゲシュタルト的解体である。
ゲーデルやタルスキらの研究を引き継いだパットナムやライトらは、
亡霊的な論理組織シェマの構築に成功した。
その後シェマは様々な構成的類体論を取り込み、
-----これらはリーマン予想とも関係する----つまるところ、
フラクタル言語の非線形的帰納法の公理の追加による
パーサ言語のAT空間からの到達距離を内包している。
これらは魔術、もしくはマギカ的状況ともいわれる。
0890１３２人目の素数さん
2011/12/30(金) 13:53:41.14そういう話ではない。
基礎論屋って、こんな奴ばかりなのか？
0891１３２人目の素数さん
2011/12/30(金) 13:54:58.570892１３２人目の素数さん
2011/12/30(金) 14:14:00.220893１３２人目の素数さん
2011/12/30(金) 14:54:38.70「基礎論屋」が>>888みたいな人ばかりなのかは知らないけど
このスレに粘着してる人が
「なんでこんなとこでわめいてるの？」
「2chにこだわるなら，じゃあせめて削除依頼ぐらい出せば？」
という当然の指摘にまったく答えられず
スルーして逃げ回っているみじめな負け犬だってことは
今日このスレを覗いた俺でもわかるし
たぶんこのスレの皆さんもわかってるんじゃないかな
0894１３２人目の素数さん
2011/12/30(金) 14:58:10.18数学でも他の科学でもその他の学問でも、
お前らは詰まらないどうでもいいことを研究しているんだと
自覚して研究しろよとかキチガイじみたことを言って、
はいそうですかと受け入れられる訳無いだろう
そんなことも分からんのか
何が真っ当な数学者だよ
0895１３２人目の素数さん
2011/12/30(金) 15:10:34.82己の現状に相当引け目があることが窺える
0896１３２人目の素数さん
2011/12/30(金) 15:23:19.980897１３２人目の素数さん
2011/12/30(金) 15:26:57.550898１３２人目の素数さん
2011/12/30(金) 15:27:53.580899１３２人目の素数さん
2011/12/30(金) 15:29:43.950900１３２人目の素数さん
2011/12/30(金) 15:44:11.20こんなところ出入りしている時点で真っ当な数学者じゃない。
少なくともマトモな数学者としては発言しないだろ。
0901１３２人目の素数さん
2011/12/30(金) 16:02:54.68以前大沢建夫さんがよく書き込まれていましたね。
大沢さんはマトモな業績を上げている数学者です。
0902１３２人目の素数さん
2011/12/30(金) 16:43:20.70論理学
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1320576310/
の方でお願いします。
0903１３２人目の素数さん
2011/12/30(金) 17:41:18.09DQNと基地外ばっかだから見切りをつけて消えたよw
0904１３２人目の素数さん
2011/12/30(金) 19:43:37.86これって集合論とホモトピー論の間にどんな関係があるって言ってるの?
0905１３２人目の素数さん
2011/12/30(金) 21:13:21.22「素朴集合論における逆理の解消などを一つの動機として」
は素人による明確な誤りなので削除
改正案
数学基礎論は、数学の基礎づけを目的として誕生したが
現在では、数理論理学として、証明論、再帰的関数論、
構成的数学、モデル理論、公理的集合論など、 多くの分野
に分かれ、極めて高度な純粋数学として発展を続けています。
（「数学基礎論」という言葉の使い方には、専門家でも
若干の個人差があるようです。）
応用、ないし交流のある分野は、計算機科学の諸分野や、代数幾何学、
英米系哲学の一部などを含み、多岐にわたります。
（数学セミナー98年6月号、「数学基礎論の学び方」
ttp://www.math.tohoku.ac.jp/~tanaka/intro.html
或いは 岩波文庫「不完全性定理」 6.4 数学基礎論の数学化 などを参照）
従ってこのスレでは、基礎的な数学の質問はスレ違いとなります。
他のスレで御質問なさるようにお願いします。
0906１３２人目の素数さん
2011/12/30(金) 21:18:51.28数理論理学（数学基礎論） その11
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1325247440/
0907１３２人目の素数さん
2011/12/30(金) 22:27:24.020908１３２人目の素数さん
2011/12/31(土) 07:08:40.22こういうことがあると、前から言われているこいつのアスペっぷりが際立つな。
0909１３２人目の素数さん
2011/12/31(土) 07:33:30.36論理も数学もやっていないが論理や数学について語っている奴がいる。
0910１３２人目の素数さん
2011/12/31(土) 07:38:31.90アスペの症状と思って生暖かくスルーしてやってくれ。
0911１３２人目の素数さん
2011/12/31(土) 08:55:43.28代行所スレの377(＝アスペ)が、２時間で合意が得られたとか勝手に宣言して、
代行所で完全無視くらったって例↓。
しかし前回は２時間程度だったのが、今回は５分ちょっとって、アスペの症状が重症化してるんだろな。
374 ：お願いします：2011/10/29(土) 20:21:03.30
>>373は全く同意が得られていません。
議論を起こすため、以下の案でお願いします。
【スレタイ】数理論理学 その10
【名前欄】
【メール欄】
【本文】
数理論理学は、今や「数学を基礎付ける」ための学問ではなく
論理の構造、数学における論理的構造などを研究する数学の分野
となっている。
現在では、証明論、再帰的関数論、構成的数学、モデル理論、
公理的集合論など、多くの分野に分かれ、数学の一分野として
発展を続けている。
（岩波文庫「不完全性定理」 6.4節より）
0912１３２人目の素数さん
2011/12/31(土) 08:56:42.47申し訳ありません、>>373-374の件で合意が得られました、以下が最終決定となります。
よろしくお願いします。
【スレタイ】 数理論理学 その10
【名前欄】
【メール欄】
【本文】
数学基礎論は，数学の基礎に関する問題意識から生まれた学問である．
しかし，誕生からおおよそ１００年の月日を経てそれ自身も周囲の状況も
大きく変わっており，いま研究現場で何が行われているのか語ることは
容易ではない．
最近の数理論理学の研究の大半は，数学の基礎付けといった方向よりは
応用志向になっており，その応用ないし交流の範囲は計算機科学の
諸分野から，超準的手法による解析学や代数学，そして最近の
フルショフスキーらの 代数幾何的研究（関数体に関するモーデル・
ラング予想の解決）まで四方八方に広がっている
前スレ
数学基礎論・数理論理学 その9
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1317639944/
0913１３２人目の素数さん
2011/12/31(土) 08:57:12.12基礎論スレの者です。うちのスレの者がご迷惑おかけしているようで申し訳ありません。
>>377は短時間に大量のカキコミをした者による虚偽の「合意」であり、無視して下さい。
374で「全く同意が得られていません」と述べてから２時間と経たずに合意が得られる訳がありません。
379 ：１３２人目の素数さん：2011/10/30(日) 09:34:11.45
「基礎論スレの者」こそ虚偽です。
現状維持での合意は為されておりません。
0914１３２人目の素数さん
2011/12/31(土) 09:04:40.66数学の哲学（philosophy of mathematics）
http://awabi.2ch.net/test/read.cgi/philo/1318251512/
0915１３２人目の素数さん
2011/12/31(土) 09:05:44.890916１３２人目の素数さん
2011/12/31(土) 09:16:44.200917１３２人目の素数さん
2011/12/31(土) 20:05:37.84人事、予算等を一切融通しあわないとすると：
東京大学数理科学研究科から数学者が追い出されます。
京都大学数理解析研究所から数学者が追い出されます。
京都大学理学部数理科学系から数学の講義セミナーその他がなくなります。
名古屋大学多元数理科学研究科から数学者が追い出されます。
九州大学数理学研究院から数学者が追い出されます。
筑波大学数理物質科学研究科から数学者が追い出されます。
数学は阪大、東北大、北大だけでほそぼそと続けられます。
0918１３２人目の素数さん
2011/12/31(土) 20:23:02.00基礎論バカは相手にしていないそうだ。
0919１３２人目の素数さん
2011/12/31(土) 20:28:36.72数理論理学は数学であって数理科学ではない。
論理学は自然科学ではないからだ。
0920１３２人目の素数さん
2011/12/31(土) 20:29:34.37数理論理学（数学基礎論） その11
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1325247440/
0921１３２人目の素数さん
2011/12/31(土) 20:34:30.160922１３２人目の素数さん
2011/12/31(土) 21:05:08.86東大、京大その他は、確率論と基礎論で占有されるわけか。
お互い幸せかは知らんが、確かに基礎論（と確率論）にとっては幸せかもな。
基礎論の人口考えると、どうしようもなく出来の悪い基礎論の崩れでも帝大教授だｗ
0923１３２人目の素数さん
2012/01/01(日) 00:03:53.82数学の研究者は東大や京大の「数理科学」系のポジションから排除されるべきだな。
コンビニの店員でもやって「数学」の応援するのは構わんが。
0924１３２人目の素数さん
2012/01/01(日) 00:18:06.91ずいぶん数学を目の敵にしてるんだな。
0925１３２人目の素数さん
2012/01/01(日) 01:04:51.04まあ東大数理は「これからは純粋数学よりも数理科学の時代だ」とか言って
国から研究費を貰ってるんでアレだが
0926１３２人目の素数さん
2012/01/01(日) 01:41:57.67数学の方こそが追放されることになる。
……という皮肉を言っているのだと思うのだが、
なんで>>924のようなおバカなレスがあるんだか。
0927924
2012/01/01(日) 03:58:07.050928１３２人目の素数さん
2012/01/01(日) 08:42:35.39アメリカでも普通に "Foundations of Mathematics" でロジックの意味になるみたいだね：
http://www.math.psu.edu/simpson/courses/math558/fall09.pdf
現代のロジックの第一人者の一人がこうやって使っているのだから。
0929904
2012/01/01(日) 08:46:27.73Robinson や Shelah など一部の数学者以外の基礎論研究者は数学を全然知らないんだな?
数学者とはとても云えない。
0930１３２人目の素数さん
2012/01/01(日) 08:54:08.62数学⊂ホモトピー論、とでもおっしゃりたいのですか？
0931１３２人目の素数さん
2012/01/01(日) 10:38:21.79ある程度オブジェクトの性質を制限すれば集合として
扱えるようになる、そのホモトピー理論における境を議論している。
特にVopěnka's principleという巨大基数の仮定をZFCに加えて、
あるランクの累積的階層以下のモデルで初等埋め込みが起こることを仮定すると、
ホモトピー理論上の圏（これは集合やプロパークラスだったりする）における
包含関係が調べられるということ。
これがどれほどのVopěnka基数（どのランクまでで件の原理が成り立つかの仮定）や
他の巨大基数を必要とするのかはよくわかっていないということだ。
0932１３２人目の素数さん
2012/01/01(日) 15:56:20.400933１３２人目の素数さん
2012/01/01(日) 19:31:40.51>Vopěnka's principle って何?
0934あのこうちやんは始皇帝だった
2012/01/01(日) 19:38:03.50お前は、そんなことより、定職に就くことが、先決だろうが！！！！！！
0935１３２人目の素数さん
2012/01/01(日) 20:43:23.10Cの2つの要素を任意にとると、片方がもう片方に初等埋め込み可能"
「VP⇒拡張可能基数」が成り立つからかなり強い仮定。
また膨大基数kを仮定すると、V_k（累積的階層）がVPのモデルになる。
Cが累積的階層であるとき、この階層のランクの添え字の基数がVopěnka基数。
0936１３２人目の素数さん
2012/01/01(日) 21:02:06.51よってそのクラスの要素である最初の二つの間には初等埋め込みが存在。
故に任意の二つのモデルの間には、どちらか向きの初等埋め込みが存在、というわけねｗ
0937１３２人目の素数さん
2012/01/01(日) 22:04:57.99他人を相手にしないのなら、
自分一人でスレ立てて、一人で合意形成して、一人でスレ運営すればいいだろ。
気に入らない他人のレスが一切付かないから気分もいいだろう。
どうしてこのスレの次スレにしたいのかさっぱりわからんな、
「誤った」タイトルを付けていた過去スレの伝統なんか捨てて
新しくアスペ独り語りスレを「その１」から始めればいいんじゃないか？
自分の思い通りでないと許せないが、それでも群れていたい、のが本心だろう。
典型的なアスペルガーの症状。
0938１３２人目の素数さん
2012/01/01(日) 22:16:02.52ざまあみろだな
0939１３２人目の素数さん
2012/01/02(月) 00:00:31.59大した衝撃を与えなかったようだというのは事実で
その点市販の啓蒙書はちょっとミスリーディング。
ただ、そもそもはこのパラドックスはFregeの「算術の基本法則」の体系に対して
Russelが指摘したもので、またFregeは数学の基礎付けを
先駆的に試みた人として現代の論理学では非常に評価の高い人なんで
（岩波数学辞典も、四版からFregeについて言及されるようになっている）、
数学者に言わせれば間違いだと言いたくなるだろうけど
分析哲学者的/計算機演ﾈ学者的には
別に間違いでもないだろ、ということになると思う。
そういえば今度
Zermelo's Axiom of Choice: Its Origins, Development, and Influence
がDover入りするらしいね
0940１３２人目の素数さん
2012/01/02(月) 00:19:33.46FOMにH. Friedmanが解説してる記事がexternal linksに載ってるけど
それ読んだ方が良いよ
というか「任意にとると」って明らかに変だと思わなかったの？
明らかに互いに初等埋め込みが行えないような
有限集合上の関係A、Bとかすぐに作れるけど。
0941935
2012/01/02(月) 00:40:56.87jechの定義では。
0942１３２人目の素数さん
2012/01/02(月) 02:00:35.25記述論理ってかなり便利じゃないだろうか？決定可能だし...。
量化記号が一般化されているし、
1階論理より数学をダイレクトに記述できるような気がする。
0943KingMathematician ◆LoZDre77j4i1
2012/01/02(月) 04:25:41.40ざまあみろだな.
実際に数学基礎論に従い証明文を構成するのはかなりやりにくい,そのような資料はあまりない.
Computerで証明が正しい証明かどうか判定するには厳密に記述するしかないか.
0944１３２人目の素数さん
2012/01/02(月) 07:48:26.58スタンフォードの哲学事典の Russell's Paradox の項目
(http://plato.stanford.edu/entries/russell-paradox/)を見ると、
Discovered by Bertrand Russell in 1901, the paradox has prompted much work
in logic, set theory and the philosophy and foundations of mathematics.
(目次の前の概要部分)
とか
Other responses to Russell's paradox have included those of David Hilbert and the formalists
(whose basic idea was to allow the use of only finite, well-defined and constructible objects, together with rules of inference deemed to be absolutely certain),
and of Luitzen Brouwer and the intuitionists
(whose basic idea was that one cannot assert the existence of a mathematical object unless one can also indicate how to go about constructing it).
(`Significance of the paradox' の第8段落)
とか書いてある。
著者はバークレーの教授のようだが、
「素人による明確な誤り」という905に言わせるとバークレーでは素人が教授になり、
しかも素人が書いた記事がスタンフォードの事典に載ってるってことかｗ
0945スレタイ446
2012/01/02(月) 08:17:01.90まだまともな本が出て10年立ってないから。
メリットだけでも、
・言語側は述語を2個以下に制限した1階論理、モデル理論の成果がそのまま使える。
・量化ロールで様相論理と類似の解釈が可能、自然言語における概念が直接的に記述可能。。
・表現力が計算量と簡単にトレードオフできる。
・証明体系にタブロー法が使えて、完全・健全・再帰的。
今後は、推移閉包の添加、ファジー・確率の導入が期待される。
といったところか。
0946１３２人目の素数さん
2012/01/02(月) 08:41:41.11ラッセルのパラドックスはヒルベルト・カントールにとってはそれほど衝撃では無かった。
ラッセルのパラドックスに近いもの(そのもの？)を知ってたし、
既にヒルベルト・プログラムを構想していた時だったから。
0947１３２人目の素数さん
2012/01/02(月) 08:54:50.18いずれにしても「数学基礎論は、素朴集合論における逆理の解消などを一つの動機として、
...生まれ」たというのは、学界の定説ということには変わりはなさそうですね。
0948１３２人目の素数さん
2012/01/02(月) 10:22:58.11またアスペの素人が一人でトンデモな説を主張してるなｗ。
>>939の件について補足しよう。
Russellのパラドックスは、ナイーブな内包公理を採用した場合におきるが
Zermeloの公理的集合論(1908)では、内包公理ではなく分出公理を用いている
のでパラドックスはおきない。ちなみにZFではFraenkelの置換公理によって
分出公理が導かれるので、分出公理はもはや公理ではなく定理である。
0949１３２人目の素数さん
2012/01/02(月) 10:35:16.43スタンフォードの哲学辞典もいい加減なもんだなｗ。
ヒルベルトが１９世紀末の時点で、数学の可解性を確信し
しかもその証明を目論んでいたことは手記から明らか。
形式主義の淵源は、ラッセルの逆理とは無関係。
ブラウアーの直観主義も、その源はクロネッカーにある。
クロネッカーは、１８９１年になくなっている。
ラッセルの逆理は１９０２年だからやっぱり無関係。
ヒルベルトが、クロネッカー及びその亡霊たるブラウアーを
葬り去らんとムキになっていたのは確かだが、そのような論争は
ゲーデルの不完全性定理及び選択公理の相対的無矛盾性証明によって
「痴話喧嘩」に成り下がった。
ちょうど、ライプニッツとヤコブ・ベルヌーイの負数の対数に
ついての論争が、オイラーによって「どっちも見当違い」と
して幕引きを迎えたようなもの。
0950１３２人目の素数さん
2012/01/02(月) 10:36:11.34数理論理学（数学基礎論） その11
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1325247440/
0951１３２人目の素数さん
2012/01/02(月) 10:44:34.52基礎論バカは、ただの一般人とは異なる。
自然数論や集合論では自身の無矛盾性が証明できないという定理に逆上し
「いや！できる！おれがやってみせる」と証明に挑戦する奴は
定規とコンパスでは角の三等分はできない、という定理に逆上し
「いや！できる！おれがやってみせる」と証明に挑戦する奴とか
四則演算と根号では五次方程式の解は表わせない、という定理に逆上し
「いや！できる！おれがやってみせる」と証明に挑戦する奴と同様に
立派なトンデモ野郎として、数学界からは隔離されちまうわけだ。
0952１３２人目の素数さん
2012/01/02(月) 10:48:47.67角の三等分に近い角は作図できるし
ベキ根ぬきの四則演算だけでも、いくらでも
五次方程式の解に近い数は表わせる。
そして、自然数論で無矛盾性が証明できる理論で、
いくらでも自然数論に近いものが存在する。
0953１３２人目の素数さん
2012/01/02(月) 10:56:20.83公理的集合論に置き換えられたように、
集合論が、何らかの決定可能な代替理論に
置き換えられる可能性は否定しないが、
このことにさしたる意味があるとは思えない。
0954１３２人目の素数さん
2012/01/02(月) 11:28:10.080955１３２人目の素数さん
2012/01/02(月) 12:55:06.35トンデモ基礎論家になるための必須テキスト教えて。
0956１３２人目の素数さん
2012/01/02(月) 13:16:26.93アダムスキー著 「円盤同乗記」
http://www.amazon.co.jp/gp/aw/d/4894564203/ref=redir_mdp_mobile
0957１３２人目の素数さん
2012/01/02(月) 13:22:00.93トンデモも相当熟慮してやんないと詰まんないよ。
0958１３２人目の素数さん
2012/01/02(月) 13:24:57.89>Vopěnka's principle
でググっていたら
http://www.imub.ub.es/hocard11/Problems.pdf
が出て来た。 VP に同値な命題がいくつか書いてあり、
さらに WVP なる物もあった。このなかで一つ分からないのが
accessible category の定義だ。
accessible ordinal (cardinal) と似たような感じだとは思うが
解説希望
0959１３２人目の素数さん
2012/01/02(月) 15:17:09.180960１３２人目の素数さん
2012/01/02(月) 16:06:05.12日本語圏との情報格差が物凄いように思われる。
日本語ではソフトウェアのOWLの基礎ってことで語られるけど
純粋な論理学としては、本もPDFもない。
0961１３２人目の素数さん
2012/01/02(月) 16:11:17.58http://www2.nict.go.jp/univ-com/isp/x163/kaneiwa/SemWeb.pdf
0962１３２人目の素数さん
2012/01/02(月) 17:01:01.73二項だともはや決定不能。
ちなみに多項は二項で実現できる。
0963１３２人目の素数さん
2012/01/02(月) 17:24:38.61量化のオペレータもFOLとは厳密には違うもの。
どちらかというとPCの拡張のような感じ。
MLの構文のほとんどがDLsで書き換えられるとか。
0964１３２人目の素数さん
2012/01/02(月) 17:46:21.36どんだけ自分に自信過剰なんだ？
0965１３２人目の素数さん
2012/01/02(月) 19:53:25.91きちんと出典を示してるのと、
裏づけもなくぐだぐだ自説を書き散らしているだけのとじゃ、
勝負にもならんことくらいまともな感覚持ってたら分かるから、
これ以上相手なんかしなさんな。
>948-952
根拠も何もない妄想を、何スレも使ってぐだぐだ書かれるのは目障り。
折角、自分の為の隔離スレあるんだから、そっちでやってろ。
ところで、そろそろ次スレ立てないの？
0966１３２人目の素数さん
2012/01/02(月) 20:16:47.73記述論理は2項述語を持ってるけど
2項述語を持つから即決定不能にはならんよ
0967１３２人目の素数さん
2012/01/02(月) 20:21:30.03>記述論理ってかなり便利じゃないだろうか？決定可能だし...。
>量化記号が一般化されているし
と書いてあるけど、量化記号が記述論理の機構の特殊な例として書けるのなら、
記述論理の決定可能性が一階述語論理の決定可能性を導かないか？
>>963には
>FOLの断片とはいえ、全体的にFOLとは異なる機構。
と逆のことが書いてある。
一体、どっちが正しいの？
0968１３２人目の素数さん
2012/01/02(月) 21:21:02.05FOLで存在記号が2項述語と1項述語の連言を束縛しているところを、
DLsでは、存在記号が2項述語（ロールとかいう）を束縛しているように記述している。
だからFOLの決定可能断片に整形することは可能なんだと思う。
DLsはFOLの断片を従来とは異なった視点で見たら、
構造は同じなのに概念がより自然に表現できるようになったってこと
かもしれない。
0969１３２人目の素数さん
2012/01/02(月) 22:19:50.30PA|- F→Pr([F])
は背理法では証明はできないのでしょうか？つまり、
（ⅰ）PA|- F かつ （ⅱ）PA|- ￢Pr([F])
と仮定する。
（ⅰ）とD1より、PA|- Pr([F])
しかし、これは（ⅱ）と矛盾する。
したがって、PA|- F→Pr([F])
■
0970958
2012/01/02(月) 22:32:22.660971１３２人目の素数さん
2012/01/02(月) 22:35:09.57それはさすがに証明になってない気がするけど……
ii) PA |― ￢Pr([F])
「PAから￢Pr([F])が証明できる」
の否定は「PAから￢Pr([F])が証明できない」
つまり PA |-/-
であって「PAから￢￢Pr([F])が証明できる」
じゃない。
PAの中での（対象レベルでの）話と、外でのメタレベルでの話は
区別して考えるようにしないと訳が分からないですよ。
区別してても時々ごっちゃになって訳が分からなくなるけどね。
0972１３２人目の素数さん
2012/01/02(月) 22:35:48.32教えてもらおうってのに、随分と偉そうだな、おまえ
0973１３２人目の素数さん
2012/01/02(月) 22:37:05.52たぶん
0974969
2012/01/02(月) 22:43:15.32対象のレベルとメタレベルをごっちゃにしてました。
ありがとうございます。
0975１３２人目の素数さん
2012/01/02(月) 22:43:55.95そんなローカルな研究解説できる人間などほとんどいない。
あなたが調べられる以上の情報は期待できないだろう。
Jech本にもVPまでしかのっとらんしな
0976１３２人目の素数さん
2012/01/02(月) 22:48:35.24＞DLsでは、存在記号が2項述語（ロールとかいう）を束縛しているように記述している。
いまいち何を言っているのか分からない。詳細きぼん。
0977１３２人目の素数さん
2012/01/02(月) 23:06:16.16次スレたてときました：
数学基礎論・数理論理学 その11
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1325513069/
0978１３２人目の素数さん
2012/01/02(月) 23:15:58.58いまどき日本語でしか情報収集できない奴は論外ってことだろ。
別にDLに限った話ではない。
0980969
2012/01/02(月) 23:27:09.14間違い等あったらご指摘頂けないでしょうか。よろしくお願いいたします。
------------------------------------------------------------------------------------
LoebのDerivability ConditionsのD3を証明するためには、任意のΣ_1文Fに対して、
PA|- F→Pr([F])
が証明できればよく、そのためにはFの構成に関する帰納法で証明すればよい。
つまり、以下の１から４の順番で証明すればよい。
１、F ⇔ x=y, Sx=y, x+y=z, x・y=z のとき、
PA|- F→□[F]
２、PA|- α∧β→□[α∧β]
３、PA|- ∃xα→□[∃xα]
４、PA|- ∀x<yα→□[∀x<yα]
ただし、
PA|- α→□[α]
PA|- β→□[β]
とする。
0981969
2012/01/02(月) 23:30:03.35Fの自由変数xにtを代入した論理式を表す
１、PA|- x=y→□[x=y]
証明
PA,x=y|- □[x=y] を示せばよい。すなわち
PA,x=y|- □[x=y][x/y]
|- □[x=y [x/y]]
|- □[x=x]
を示せばよい。
公理より、PA|-x=x
これにD1を適用すると、
PA|- □[x=x]
したがって、
PA,x=y|- □[x=y]
すなわち、
PA|- x=y→□[x=y]
証明終わり
0982１３２人目の素数さん
2012/01/02(月) 23:30:14.60簡単な例で「女性の子供がいる人」。
FOLでは、person(x)∧∃y(has_child(x,y)∧female(y))。
DLsでは、Person∩∃HasChild．Female。
HasChildがFemaleの存在制限というらしい。
0983１３２人目の素数さん
2012/01/02(月) 23:30:27.33証明
PA,Sx=y|- □[Sx=y] を示せばよい。すなわち
PA,Sx=y|- □[Sx=y][Sx/y]
|- □[Sx=y [Sx/y]]
|- □[Sx=Sx]
を示せばよい。
PA|- Sx=Sx
これにD1を適用すると、
PA|- □[Sx=Sx]
したがって、
PA|- Sx=y→□[Sx=y]
証明終わり
0984969
2012/01/02(月) 23:31:31.13証明
xについての（PAの公理での）数学的帰納法で示す。
（ⅰ）PA|- (x+y=z→□[x+y=z])[0/x] を示す
(x+y=z)[0/x] |- y=z
|- □[y=z]
|- □[(x+y=z)[0/x]]
|- □[(x+y=z)][0/x]
よって、
|-(x+y=z)[0/x]→□[(x+y=z)][0/x]
⇔|-(x+y=z→□[x+y=z])[0/x]
0985969
2012/01/02(月) 23:31:50.06（ⅱ）PA|- ∀x〔(x+y=z→□[x+y=z])→(x+y=z→□[x+y=z])[Sx/x] 〕を示す
まず、以下のことに注意する。
/////////////////////////////////////////////
(x+y=z)[Sy/y] ≡ (x+y=z)[Sx/x]
よって、
□[x+y=z][Sy/y] ≡ □[x+y=z][Sx/x]
/////////////////////////////////////////////
これを踏まえた上で、
∀y∀z(x+y=z→□[x+y=z])|- ∀y∀z(x+y=z→□[x+y=z])[Sx/x] を示す
∀y∀z(x+y=z→□[x+y=z])|- (x+y=z)[Sy/y]→□[x+y=z][Sy/y]
|- (x+y=z)[Sx/x]→□[x+y=z][Sx/x]
≡ (x+y=z → □[x+y=z])[Sx/x]
したがって、（ⅰ）（ⅱ）と帰納法の公理より
PA|- x+y=z→□[x+y=z]
証明終わり
0986１３２人目の素数さん
2012/01/02(月) 23:32:05.81３と同様なので省略。
0987969
2012/01/02(月) 23:32:46.960988969
2012/01/02(月) 23:34:01.42Wolfgang RautenbergのA Concise Introductionto Mathematical Logic
http://www.scribd.com/doc/32314723/A-Concise-Introduction-to-Mathematical-Logic
の第６章、７章です。
0989１３２人目の素数さん
2012/01/02(月) 23:36:45.49１から４の他に少なくとも原子論理の否定についても同じことを示さないといけない。
0990１３２人目の素数さん
2012/01/02(月) 23:39:36.25＞PA,x=y|- □[x=y][x/y]
ここがまずい、□[x=y] は x,y を自由変数に持つ論理式じゃない。
x,y という変数記号のゲーデル数が現れる論理式ではあるけど。
よって y に x を代入とかって意味をなさない。
0991１３２人目の素数さん
2012/01/02(月) 23:47:46.08長くなるなら、新スレで続きを書いてね、ここは残り10を切ってるから。
数学基礎論・数理論理学 その11
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1325513069/
0992969
2012/01/02(月) 23:48:31.36リンク先のA Concise Introductionto Mathematical Logicには原論理式の否定についての
証明が書かれていなかった（ように思われる）ので、見落としてました。ありがとうございます。
（なんで、書かれてなかったのだろうか・・・）
>>990
すいません、定義を書くのが面倒でそのへんのことを端折っていました。
正確には、以下のように定義されているものとしてよろしくお願いいたします。
sub(t,i,x)
"ゲーデル数がxである論理式のi番目の自由変数に、ゲーデル数がtである項を代入してできる論理式"のゲーデル数の数項を返す関数
var(x) = 2・x+17
※PAの原始記号にはそれぞれ奇数の数項を当てており、変数x_1,x_2,…には19以上の奇数の数項が割り当てられているものとします。
num(x)
x番目の数項を返す関数。たとえば、num(3)=SSS0
su(x,y,z) = sub(num(x),var(y),z)
□A ≡ Pr([A])
□[A] ≡ □(su(x_m,k_m,…,su(x_2,k_2,su(x_1,k_1,[A]))…))
したがって、
□[x=y] は x,y を自由変数に持つ論理式を表しているものとします。
0993１３２人目の素数さん
2012/01/02(月) 23:57:04.32wikipedia含むインターネット文化は英語の独壇場。
学術でも米国が世界の中心であることは多いから
学術記事だとさらにそれが顕著になって
en.wikipedia.orgは米欧の准教授以上の学者が執筆しているのに
ja.wikipedia.orgはその分野専攻ですらない日本人の素人が書いてたり、とかね。
そもそも著者の数自体が天地の差のはずで、
福島第一原子力発電所に関する記事とかも3/11以後英語版がやたら詳しくなった。
0994１３２人目の素数さん
2012/01/03(火) 00:23:17.690995１３２人目の素数さん
2012/01/03(火) 00:26:54.230996１３２人目の素数さん
2012/01/03(火) 00:27:42.03松本さんの本とかに載っている様相論理が
様相論理のすべてと考えているような人は多いだろうね。
0997１３２人目の素数さん
2012/01/03(火) 00:34:35.62新スレの方で、derivability conditions の証明の詳細が議論されてる。
その証明が PRA でも出来るかを考えればいいんじゃない？
IΣ_1 は PRA の保存拡大だから、証明に使っている帰納法がΣ_1で済んでいるかを確かめればいい。
0998１３２人目の素数さん
2012/01/03(火) 00:36:51.31あとJSLとBulletin of Symbolic Logicと
annals of pure and applied logicのサイトとArXivと
困った時のgoogle
0999１３２人目の素数さん
2012/01/03(火) 00:46:52.02前回は、伝統を良しとして歴史的偶然を批判するっていう自己矛盾を指摘されて言い返せず、
暫く消えていたがそのうち何事もなかったように現れた。
今後もまたほとぼりがさめたと判断した頃に現れるのだろう、新スレに。
1000１３２人目の素数さん
2012/01/03(火) 00:48:00.48数学基礎論・数理論理学 その11
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1325513069/
1001１００１
Over 1000Threadもう書けないので、新しいスレッドを立ててくださいです。。。
レス数が1000を超えています。これ以上書き込みはできません。