こんなものに解答なんてないが。
誰もが最初を嫌がって最後まで手を上げないかもしれない。
さすがに３０分たてば誰か挙げてるだろうと思って挙げて、実際、掃除を免れつつ汚名もかぶらなくてすむかもしれない。
５０分に挙げたのにもかかわらず、自分が最初で掃除させられ、
しかも他の全員がその後に挙げて誰も汚名をかぶらない（自分だけが馬鹿を見る）かもしれない。
結果は他の人の出方によるので最良の戦略なんて無い。

実際、やってみてほしいな。中学校あたりで。
もちろん自らトイレ掃除をするつもりで素早く手を挙げるのもいるかもしれんがそれでは面白くないなぁ。
誰もが本当にやりたくないことだけど、かといって最後まで手を上げないと、とんでもなく恥ずかしいという設定だと面白い。
っていうか、今気づいたけどドルオークションと同類だな。