本スレが埋まっちゃったんでこちらで質問します

ゲーデルの完全性定理の証明って選択公理使いますよね
不完全性定理の方は選択公理を使わないで証明できるんでしょうか？
それとも暗黙的に選択公理を使っているのでしょうか？