命題 339
K を体(>>82)とし L/K を有限(>>87)かつ分離的(>>248)な拡大とする。
n = [L : K] とする。
K-埋め込み(>>122)：L → Ω(>>82) 全体の集合を E(L/K) と書いた(>>262)。
>>269より |E(L/K)| = n である。
E(L/K) = {σ_1、．．．、σ_n} とする。
>>749より Hom(L、Ω) は Ω 上の線型空間となる。
E(L/K) ⊂ Hom(L、Ω) である。
このとき σ_1、．．．、σ_n は Ω 上１次独立(>>707)である。

証明
原始要素の定理(>>335)より L = K(θ) となる θ ∈ L がある。
σ_i(θ) = θ_i、i = 1、．．．、n とおく。
a_1、．．．、a_n を Ω の元とし、a_1σ_1 + ．．．+ a_nσ_n = 0 とする。

a_1σ_1(1) + ．．．+ a_nσ_n(1) = 0
a_1σ_1(θ) + ．．．+ a_nσ_n(θ) = 0
．．．
．．．
a_1σ_1(θ^(n-1)) + ．．．+ a_nσ_n(θ^(n-1)) = 0

即ち、
a_1 + ．．．+ a_n = 0
a_1θ_1 + ．．．+ a_nθ_n = 0
．．．
．．．
a_1(θ_1)^(n-1) + ．．．+ a_n(θ_n)^(n-1)) = 0

これを未知数 a_1、．．．、a_n の Ω 係数の連立一次方程式と見る。
>>750より、この連立一次方程式の係数行列の行列式は 0 でない。
よって、a_1、．．．、a_n は全て 0 である。
証明終