>>329は K が有限体の場合でも成り立つ。
その証明をするため次の命題を用意する。

命題 148
G を位数 n の有限群とする。
n の任意の約数 m ≧ 1に対して方程式 X^m = 1 の解の個数 ≦ m とする。
このとき、G は巡回群である。

証明(Gauss)
n の任意の約数 m ≧ 1 に対して位数 m の G の元の個数を ψ(m) とする。
ψ(m) ≠ 0 とする。
このとき G の位数 m の元 a がある。
本命題の仮定より、a で生成される巡回群 {1, a, ．．．、a^(n-1)} は X^m = 1 の解全体である。
よって、ψ(m) = φ(m) である。
ここで φ(m) はEulerの関数である。
よって、n の任意の約数 m に対して ψ(m) = 0 または ψ(m) = φ(m) である。
一方、n = Σψ(m) である。ここで、Σ は n の約数 m 全体を動く。
同様に n = Σφ(m) である。
よって、n の任意の約数 m に対して ψ(m) = φ(m) でなければならない。
特に ψ(n) = φ(n) であるから G は位数 n の巡回群である。
証明終