命題 108
K を体(>>82)とし、σ：K → Ω (>>82) を埋め込み(>>121)とする。
α ∈ Ω を K 上代数的(>>89)とする。
f(X) を α の K 上の最小多項式(>>116)とする。
f(X) の Ω における根全体の集合を S とする。
このとき、|E(σ、K(α)/K)| = |S| である。

証明
σf(X) を f(X) の各係数にσを作用させた多項式とする。
σf(X) の Ω における根全体の集合を S_σ とする。
>>165より S_σ の任意の元 β に対して τ(α) = β となる τ ∈ E(σ、K(α)/K) が唯一存在する。
逆に任意の τ ∈ E(σ、K(α)/K) に対して
f(α) = 0 より τ(f(α)) = σf(τ(α)) = 0
よって、τ(α) ∈ S_σ
よって、|E(σ、K(α)/K)| = |S_σ| である。
一方、>>259より |S| = |S_σ| である。
よって、|E(σ、K(α)/K)| = |S|
証明終