命題 69
K と L を体(>>82)とし、σ：K → L を同型(>>121)とする。
f(X) を K 係数の定数でない１変数多項式とする。
E を f(X) の最小分解体(>>149)とする。
σf(X) を f(X) の各係数にσを作用させた多項式とする。
F を σf(X) の最小分解体とする。
このとき、同型 τ：E → F で σ の拡張となっているものが存在する。

証明
f(X) の Ω(>>82) における全ての根を重複度を含めて α_1、．．．、α_n とする。
即ち f(X) = c(X - α_1)．．．(X - α_n) である。
ここで、c ≠ 0 は f(X) の最高次の係数である。
このとき、E = K(α_1、．．．、α_n) である。
各 α_i は K 上代数的(>>89)であるから>>126より、E/K は有限拡大である。
よって、>>146より埋め込み τ：E → Ω で σ の拡張となっているものが存在する。
>>143より、環としての同型 ψ：E[X] → τ(E)[X] で g(X) ∈ E[X] のとき ψ(g(X)) = (τg)(X)
となるものが存在する。ここで、(τg)(X) は g(X) の各係数に τ を作用させたものである。
f(X) = c(X - α_1)．．．(X - α_n) の両辺に ψ を作用させると、
σf(X) = σ(c)(X - τ(α_1))．．．(X - τ(α_n)) となる。
よって、τ(α_1)、．．．、τ(α_n) は σf(X) の Ω における全ての根である。
一方、E = K(α_1、．．．、α_n) であるから τ(E) = L(τ(α_1)、．．．、τ(α_n)) である。
よって、τ(E) は σf(X) の最小分解体である。
よって、F = τ(E) である。
証明終