トップページ⇒math
804コメント588KB

【神々の】ガロア生誕200周年記念スレ【愛でし人】

■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
0001１３２人目の素数さん2011/10/25(火) 02:17:18.10
2011年10月25日をもって、エヴァリスト・ガロア生誕200周年となりました
Evariste Galois, 1811年10月25日 - 1832年5月31日
0002１３２人目の素数さん2011/10/25(火) 02:24:53.20
おめでとう
0003１３２人目の素数さん2011/10/25(火) 19:02:19.95
おめ
0004１３２人目の素数さん2011/10/25(火) 19:04:22.65
おめめーーーーー
0005１３２人目の素数さん2011/10/25(火) 19:05:03.79
がろあたん
0006１３２人目の素数さん2011/10/25(火) 19:11:11.49

数セミ１０月号読んだか？
0007１３２人目の素数さん2011/10/25(火) 19:21:07.40
>>6
読んだお
0008１３２人目の素数さん2011/10/25(火) 19:23:57.28
ガロア様
0009１３２人目の素数さん2011/10/25(火) 19:51:13.09
おめー
0010１３２人目の素数さん2011/10/25(火) 20:11:28.04
もしあの時、ガロアが生き続けていたら、今頃・・・・・
0011１３２人目の素数さん2011/10/25(火) 20:22:03.00
200年前の今日、ガロアが生まれたんだよな.....（胸熱
0012１３２人目の素数さん2011/10/25(火) 21:27:29.09
ガロアみたいなアホ崇めてどうすんだ？
命はもっと大切にせんと数学できんだろ。
0013１３２人目の素数さん2011/10/25(火) 21:55:07.79
おめでとー
0014１３２人目の素数さん2011/10/25(火) 22:01:26.93
２００年祭のまえにガロアの理論を完全に理解したい。
0015１３２人目の素数さん2011/10/25(火) 22:40:15.20
ガロア誕生日おめでとう
200年前の日本は幕末か
0016１３２人目の素数さん2011/10/26(水) 21:48:54.45
うぉぉおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおお
おめでとうううううううううううううううううううううううううううううううううううううううう

ガロア！ガロア！ひゅぅぅぅうううぅううぅぅぅぅぅ
0017１３２人目の素数さん2011/10/27(木) 08:16:31.95
僕は、ガロアみたいにかっこ良く二十歳で死にたいです。
0018１３２人目の素数さん2011/10/27(木) 09:10:04.71
GrothendieckもGaloisの才能を称えていたな。
0019１３２人目の素数さん2011/10/27(木) 09:12:04.86
Grothendieck曰く、もしGaloisが長生きしていたら私より遥かに先を行っていたに違いない。
0020１３２人目の素数さん2011/10/27(木) 09:18:30.02
つまり、そのあとにはぺんぺん草（＝グロ）もはえなかったと。
0021１３２人目の素数さん2011/10/27(木) 09:22:21.89
クソスレ立てるな！>>1

削除依頼だしておけよ
0022猫は認識障害 ◆MuKUnGPXAY 2011/10/27(木) 13:30:36.02
>>18
Grothendieckが最も恐れていた数学者は恐らくはそのGaloisでしょうね。

猫
0023１３２人目の素数さん2011/10/27(木) 15:43:22.41
Galoisってそんなにすごい人なの？
0024１３２人目の素数さん2011/10/27(木) 16:02:53.46
とくにぶちぬけた天才だから、ガロアと他のぶちぬけた奴の共通点から
真の天才は云々カンヌンっていう風説まで生まれたことがある。
十代後半で数学に出会い20になるまでに業績をあげ３０になるころには死期みたいなの

「天才数学者はこう解いた、こう生きた　方程式四千年の歴史」っていう本で見た。
0025１３２人目の素数さん2011/10/27(木) 17:00:47.63
わしは40代で数学に出会った。何が出来る？
0026猫は認識障害 ◆MuKUnGPXAY 2011/10/27(木) 17:08:10.00
まあグロタンの仕事にはかなり本質的だと思いますが。

猫
0027１３２人目の素数さん2011/10/27(木) 18:35:09.24
ガロア賞創設のお知らせマダァー？（ﾁﾝﾁﾝ
0028１３２人目の素数さん2011/10/27(木) 18:50:51.01
>>26
ひとつ言える事はグロタンがモジュラー形式に興味があって
それに関して何か書き残したか？と言うことらしい。
CartierがIHESの講演で言ったのだが、
もしGrothendieckとLanglandsが実際に
顔を合わせたことは無いのだが、もし実現すれば
二人はどういう会話を交わしたであろうか？
0029１３２人目の素数さん2011/10/27(木) 18:55:01.49
Grothendieck「ハルヒってかわいいよね。」

Langlands「誰やねん、そいつ」

0030１３２人目の素数さん2011/10/27(木) 19:40:31.83
Galoisはえらいねえ
それにくらべると
0031猫は認識障害 ◆MuKUnGPXAY 2011/10/27(木) 20:35:51.57
>>28
ああ、そうですか。Cartierはそんな事を言いましたか。でもその二人が
実際に顔を合わせてないのはかなり勿体無い感じですね。いやGodement
のモジュラー形式の論文を読んでいて、ソコに「グロタンがどうの」とい
う話が出て来てたのは何となく覚えてますが。

いやでももしその二人の会話が実現してたら、そりゃ是非とも傍で聞い
ていたいですよね。

猫
0032１３２人目の素数さん2011/10/27(木) 22:45:04.63
カルチエとピカソと坊主
0033１３２人目の素数さん2011/10/28(金) 08:15:30.10
グロタンの構想したガロア群とラングランズのL群は同じなの？
0034１３２人目の素数さん2011/10/30(日) 22:32:53.18
今年中は毎日通ってこのスレを支援します
0035１３２人目の素数さん2011/10/31(月) 20:31:59.07
今日で支援終わると思います。
0036１３２人目の素数さん2011/11/01(火) 03:58:35.88
再開
0037１３２人目の素数さん2011/11/01(火) 04:15:32.25
素晴らしいと思いませんか？ガロアさん。
ところで、ガロアはエヴァリスト・ガロアでしたよね？
凄く魅力的な名前ですね～
0038１３２人目の素数さん2011/11/01(火) 07:59:23.67
エヴァリスト・ガロワ（ Évangelion Galois , 1811-10-25日 ～ 1832-5-31 ）
0039１３２人目の素数さん2011/11/01(火) 08:03:09.44
ガロアってあのグロタンにもその実力を認められていたのかー
スゲー
0040１３２人目の素数さん2011/11/01(火) 15:09:49.61
ガロワとガロア、どっちで呼べばいいんですか？
0041１３２人目の素数さん2011/11/01(火) 15:27:52.32
oiはフランス語では、ワと発音する。だから、ポアンカレは正しくは
ポワンカレ。同じように、トイレはトワレが正しい発音だ。従って、
オードトワレとはトイレの臭いを意味する。
0042１３２人目の素数さん2011/11/01(火) 16:08:57.49
マンダム、男の世界。
0043１３２人目の素数さん2011/11/01(火) 18:47:49.13
なるほど。
おっと、失礼、最近お腹の調子が悪くてね。
ちょっとトワレに行ってきますので、悪しからず。
0044１３２人目の素数さん2011/11/01(火) 19:09:42.27
オサーンや爺の加齢臭は御免蒙り
0045１３２人目の素数さん2011/11/02(水) 19:44:15.03
ガロワアゲ。

でも、みんなガロアって呼んでませんか？
0046１３２人目の素数さん2011/11/02(水) 20:00:07.23
ギャロイスと呼んでもまったく問題なし
0047１３２人目の素数さん2011/11/02(水) 20:45:35.34
ガロワがババロワたべたを１０回いいなさい
0048１３２人目の素数さん2011/11/02(水) 20:58:48.71
ガロアに憧れる無能の禿ジジイ
0049１３２人目の素数さん2011/11/02(水) 22:24:01.11
ポワンカレ
ポオワンカレ
0050仙石７０2011/11/02(水) 22:37:32.58
2012年10月までにガロア理論を理解すると決意した。
0051１３２人目の素数さん2011/11/02(水) 23:08:41.50
ガロア理論の基本定理だけなら１５分で理解出来るだろ
0052１３２人目の素数さん2011/11/02(水) 23:11:28.79
四次方程式の解の公式はないだっけ？
0053１３２人目の素数さん2011/11/02(水) 23:18:09.81
Evalist Galoisでよい
カタカナ表記すんな
0054１３２人目の素数さん2011/11/02(水) 23:30:49.67
Évangelion Galois
0055仙石７２2011/11/03(木) 01:44:24.77
>>51

ガロア理論を理解する＝＝ガロア理論を自由に使いこなせる。
15分云々ならいまでもできているよ
0056１３２人目の素数さん2011/11/03(木) 01:47:49.11
15分で本格的体論はさすがに無理
0057１３２人目の素数さん2011/11/03(木) 01:49:11.71
藤崎の「体とGalois理論」15分で読んでみろよw
0058１３２人目の素数さん2011/11/03(木) 01:52:22.78
↑
仙石のにせものめ！　
ﾍﾞｰﾀ　市ね!
0059１３２人目の素数さん2011/11/03(木) 01:56:53.28
ガロアの理論を理解するニートめ！
0060１３２人目の素数さん2011/11/03(木) 08:36:08.79
支援アゲ
0061１３２人目の素数さん2011/11/03(木) 22:35:39.16
猫VSガロア

これは激戦
0062１３２人目の素数さん2011/11/03(木) 22:56:02.56
Drinfeld
0063１３２人目の素数さん2011/11/04(金) 17:11:50.94
ガロア支援age
お前らそれでも数学住人か！！！！！！！！！
0064検便のナウシカ ◆UVkh7uHFoI 2011/11/04(金) 20:35:24.67
現代においてガロアクラスの数学者ってたとえばどんな人？
0065１３２人目の素数さん2011/11/04(金) 21:39:19.15
哲也
0066１３２人目の素数さん2011/11/05(土) 01:03:00.95
二十歳前の数学者でガロアクラスはだれ？
0067１３２人目の素数さん2011/11/05(土) 02:26:00.58
俺。
0068１３２人目の素数さん2011/11/05(土) 02:45:08.30
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　,;r'"
　　　　　　　　_.r-―‐-,､_　　　　　　　　　 ,ノ
　　　　　 __,ノ　-─―‐-,､)　　　　　　　,ィ´
ー‐''"´￣　　　-─―‐-,､)　　　　　,;r'"
　　　　　　　　 -─―‐-,､)　　　 .,‐':､
　ガロア　　　ｒ-─―‐-､)__＿,ノ　　ﾞl、　　　群
　　　　　　　　|　　　　　（_　　　　　　｝
　__＿_　　　　"､_＿__,ノ⌒i￣｀`'‐、,i´
　　　　￣｀`'‐､＿__＿,_..-'"　　　　 ｀ヽ、　　　　　　　　　ﾉ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｀`'ー、　　　　 ,人
0069１３２人目の素数さん2011/11/05(土) 03:14:02.41
ガロアクラスって言われてもなー
そりゃあの時と比べたら今の時代の数学は更に複雑になってるし、
知識量で言えばそりゃー現代の数学者達のほうが上。

才能で言えば、2年間の教材を2日で読み解いたり
刑務所で超複雑な式を頭の中で解いたり
あまりにも凄すぎてまわりには理解不能だったり
20までにとんでもない業績を上げ数学界に絶大な影響を与えたりしたり

そんな奴が現代にいればガロアクラスって事じゃないかな。
0070１３２人目の素数さん2011/11/05(土) 10:27:18.45
>>69
＞知識量で言えばそりゃー現代の数学者達のほうが上。

今の数学者は受験勉強の影響で、勉強ばかり好み
新しいことをやりたがらないから、全然ダメ。

＞才能で言えば、2年間の教材を2日で読み解いたり
＞刑務所で超複雑な式を頭の中で解いたり

あんた、ガロアの何がどうスゴイか全然分かってないね。
ガロアはそんなことはやっちゃいないよ。
0071１３２人目の素数さん2011/11/05(土) 10:29:02.91
ガロアに限ったことではないが、
天才というのは目の前の壁を
あたかもシャボン玉の膜のように
すり抜ける。

実際、彼等にはわかるのだ。
目の前の壁が実はシャボン玉の膜
にすぎないってことが。
0072１３２人目の素数さん2011/11/05(土) 12:14:04.12

>>70ウィキにはそう書いてありましたよ。
よければガロアの何がスゴイのか詳しく御教授お願いします。
0073１３２人目の素数さん2011/11/05(土) 13:48:15.11
>>72
＞ウィキにはそう書いてありましたよ。

どうせなら、こっちを引用すればいいのに

「彼（ガロア）は五次方程式の解法を発見したと錯覚し、
　凡庸な数学的才能しか持たないヴェルニエ
　（ルイ・ル・グランの数学教師）は対応に苦慮した」

教訓：天才とトンデモは紙一重。
0074１３２人目の素数さん2011/11/05(土) 13:56:51.98
この文章も忘れてはならんな。

「（留年により）時間を持て余したガロアは、
　数学準備級の授業にも出席するようになった。
　当時のフランスでは数学教育は重視されておらず、
　数学は将来の進む方向によって補習科で教えられていた
　のみだった。」

今でいえば、学業不振の生徒が
音楽に目覚めちゃうみたいなもんだなｗ
0075１３２人目の素数さん2011/11/05(土) 17:57:46.90
ガロワとゲーデルってどっちが天才なの？
0076１３２人目の素数さん2011/11/05(土) 17:59:14.32
俺。
0077１３２人目の素数さん2011/11/06(日) 03:35:00.06
俺
0078１３２人目の素数さん2011/11/06(日) 04:58:28.63
ぼくちゃん
0079１３２人目の素数さん2011/11/06(日) 04:58:50.05
儂じゃ
0080１３２人目の素数さん2011/11/06(日) 07:34:50.00
>>74 明治大学理工学部生が漫才に目覚めちゃった
たけしみたい。
0081１３２人目の素数さん2011/11/06(日) 11:45:24.46
猫撲滅記念
0082Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/06(日) 15:53:51.96
まず次の性質 (*) を満たす可換体 Ω を考え、以後固定する。

(*) Ω係数の定数でない任意の１変数多項式は Ω において根を持つ。

Ω の例としては複素数体がある。

以下に考えるすべての体は Ω の部分体とする。

定義 1
K と L を体とし、K ⊂ L のとき K と L の対を L/K と書き(K の)拡大と呼ぶ。
0083Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/06(日) 15:55:52.44
定義 2
K = K_0 ⊂ K_1 ⊂ ．．．⊂ K_m = L を体の有限列とする。
各 i、1 ≦ i ≦ m に対して K_i = K_(i-1)(α_i)、(α_i)^(n_i) ∈ K_(i-1) とする。
ここで n_i ≧ 1 は整数。
このとき L/K を根拡大と呼ぶ。
0084Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/06(日) 15:58:55.77
定義 3
f(X) を K 係数の定数でない多項式とする。
f(X) の Ω(>>82) における全ての根を α_1、．．．、α_n とする。
K(α_1、．．．、α_n) ⊂ L となる根拡大(>>83) L/K が存在するとき f(X) は根可解または可解であると言う。
0085Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/06(日) 16:02:49.91
次の定理の証明を最終目標とする。

定理(Galois, 1832)
Ω(>>82)の標数を 0 とする。
K を体(>>82)とする。
f(X) を K 係数の定数でない多項式とする。
f(X) の Ω における全ての根を α_1、．．．、α_n とする。
f(X) が可解(>>84)であるためには K(α_1、．．．、α_n)/K の自己同型群が可解群であることが必要十分である。
0086Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/06(日) 16:04:53.59
>>84
K はもちろん体(>>82)である。
0087Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/06(日) 16:14:17.64
定義 4
L/K を体の拡大(>>82)とする。
L は K 上の線型空間と見なせる。
この線型空間の次元、即ちこの線型空間の基底の濃度を [L : K] と書く。
[L : K] が有限のとき L は K 上有限である、または L/K は有限であると言う。
[L : K] が無限のとき L は K 上無限または L/K は有限であると言う。
0088Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/06(日) 16:17:19.20
命題 5
K ⊂ L ⊂ M を体(>>82)とする。
(e_i)、i ∈ I を L の K 上の(線型空間としての)基底、
(f_j)、j ∈ J を M の L 上の基底とする。
このとき、((e_i)(f_j))、(i, j) ∈ I×J は M の K 上の基底である。
よって、[M : K] = [M : L][L : K]

証明
任意の z ∈ M に対して L の元の列 (α_j)、j ∈ J があり、
z = Σ(α_j)(f_j) と書ける。
ここで、有限個の j を除いて α_j = 0 である。

各 j ∈ J に対して K の元の列 (b_(j, i))、i ∈ I があり、
α_j = Σ[i] (b_(j, i))(e_i) と書ける。
ここで、有限個の (i, j) ∈ I×J を除いて b_(j, i) = 0 である。

よって、z = Σ[i, j] (b_(j, i))(e_i)(f_j) と書ける。
よって、M は K 上 ((e_i)(f_j))、(i, j) ∈ I×J で生成される。

K の元の列 (c_(j, i))、i ∈ I があり、Σ[i, j] (c_(j, i))(e_i)(f_j) = 0 とする。
ここで、有限個の (i, j) ∈ I×J を除いて c_(j, i) = 0 である。
各 j に対して Σ[i] (c_(j, i))(e_i) は L の元であるから Σ[i] (c_(j, i))(e_i) = 0 である。
よって、各 (i, j) に対して c_(j, i) = 0
よって、((e_i)(f_j))、(i, j) ∈ I×J は K 上一次独立である。

以上から ((e_i)(f_j))、(i, j) ∈ I×J は M の K 上の基底である。
証明終
0089Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/06(日) 16:19:14.56
定義 6
K を体(>>82)とし、α ∈ Ω(>>82) とする。
K 係数の定数でない１変数多項式 f(X) があり f(α) = 0 となると α は K 上代数的であるという。
K 上代数的でない元を K 上超越的であるという。
0090Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/06(日) 16:21:25.61
定義 7
L/K を体の拡大(>>82)とする。
L の各元が K 上代数的(>>89)のとき L は K 上代数的である、または L/K は代数的であるという。
0091Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/06(日) 16:28:06.93
定義 8
K を体(>>82)とし S を Ω(>>82) の部分集合とする。
K と S を含む Ω の最小の部分環を K[S] と書く。
K と S を含む最小の体を K(S) と書く。

(α_i)、i ∈ I を Ω の元の族とする。
S = {α_i； i ∈ I} とおく。
K[S] と K(S) をそれぞれ K[α_i； i ∈ I]、K(α_i； i ∈ I) と書く。

I が有限集合 {1、．．．、n} のとき、K[S] と K(S) をそれぞれ
K[α_1、．．．、α_n]、K(α_1、．．．、α_n) と書く。
0092１３２人目の素数さん2011/11/06(日) 16:30:52.21
突然クマさんが現れた
スレを間違えてるんじゃないの
0093Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/06(日) 16:33:00.35
命題 9
K を体(>>82)とし α_1、．．．、α_n を Ω(>>82) の元の有限列とする。
K[X_1、．．．、X_n] を K 上の n 変数の多項式環とする。
このとき、
K[α_1、．．．、α_n] (>>91) = {f[α_1、．．．、α_n]； f ∈ K[X_1、．．．、X_n]}

K(α_1、．．．、α_n) (>>91) = {f[α_1、．．．、α_n]/g[α_1、．．．、α_n]/；
f, g ∈ K[X_1、．．．、X_n]、g[α_1、．．．、α_n] ≠ 0}

証明
自明である。
0094１３２人目の素数さん2011/11/06(日) 16:33:50.72
あーあ、呆けちゃって。
ついに厠が何処かも分からなくなったかw
0095Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/06(日) 16:39:08.93
>>93の修正

命題 9
K を体(>>82)とし α_1、．．．、α_n を Ω(>>82) の元の有限列とする。
K[X_1、．．．、X_n] を K 上の n 変数の多項式環とする。
このとき、
K[α_1、．．．、α_n](>>91) = {f(α_1、．．．、α_n)； f ∈ K[X_1、．．．、X_n]}

K(α_1、．．．、α_n)(>>91) = {f(α_1、．．．、α_n)/g(α_1、．．．、α_n)、
f, g ∈ K[X_1、．．．、X_n]、g(α_1、．．．、α_n) ≠ 0}

証明
自明である。
0096Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/06(日) 17:28:43.82
命題 10
K を体(>>82)とし、f(X) を K 係数の次数 n ≧ 1 の１変数多項式とする。
(f(X)) を f(X) で生成される K[X] のイデアルとする。
剰余環 K[X]/(f(X)) は K 上の線型空間と見なされる。
このとき K[X]/(f(X)) の K 上の次元は n である。

証明
ρ：K[X] → K[X]/(f(X)) を標準的な準同型とする。
ρ(X) = x とおく。
任意の g(X) ∈ K[X] に対して g(X) = f(X)q(X) + r(X)、deg r(X) ＜ n となる q(X)、r(x) ∈ K[X] が
存在する。
このとき、g(x) = f(x)q(x) + r(x) = 0q(x) + r(x) = r(x) である。
よって、K[X]/(f(X)) の任意の元は 1、x、．．．、x^(n-1) の K 上の一次結合として表される。

K の元の列 a_0、．．．，a_(n-1) があり a_0 + (a_1)x_1 + ．．． + (a_(n-1))x^(n-1) = 0 とする。
このとき、多項式 a_0 + (a_1)X_1 + ．．． + (a_(n-1))X^(n-1) は f(X) で割り切れるから
a_0 = a_1 = ．．． = a_(n-1) = 0 でなければならない。
よって、1、x、．．．、x^(n-1) は K 上一次独立である。
即ち、1、x、．．．、x^(n-1) は K 上の線型空間としての K[X]/(f(X)) の基底である。
証明終
0097Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/06(日) 18:28:26.12
定義 11
A を可換環とする。
B を A-加群とする。
ρ：B×B → B をA-多重線型写像とする。
即ち、x, y, z, w ∈ B、a ∈ A のとき、
1) ρ(x + y, z) = ρ(x, z) + ρ(y, z)

2) ρ(x, z + w) = ρ(x, z) + ρ(x, w)

3) ρ(ax, z) = ρ(x, az) = aρ(x, z)

このとき、三つ組み (A, ρ, B) または B を A 上の代数または A-代数と言う。
通常 x, y ∈ B のとき ρ(x, y) を xy と書く。

A-代数 (A, ρ, B) が算法 ρ に関して結合律を満たすとき B を結合的な A-代数と言う。
結合的な A-代数は A 上の線型環または A-線型環とも言う。
特に断らない限り A-線型環は単位元 1 を持つとする。

A 上の零加群 0 は自然に単位元 1 = 0 を持つ A-線型環と見なせる。
0098Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/06(日) 18:35:07.16
定義 12
A を可換環とする。
E と F を A-線型環(>>97)とする。
A-線型写像 f：E → F は環準同型であるとき A 上の準同型または A-準同型と言う。
特に断らない限り A-準同型は単位元を単位元に写すものとする。
0099Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/06(日) 18:44:03.03
命題 13
A を可換環とし、E を A-線型環(>>97)とする。
任意の α ∈ A に対して α1 ∈ E を対応させる写像を f：A → E とする。
f は環としての準同型であり、f(A) は E の中心に含まれる。

証明
自明である。
0100Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/06(日) 18:50:03.94
命題 14
A を可換環とし、E を環とする。
f：A → E を環としての準同型で f(A) は E の中心に含まれるとする。
このとき、任意の α ∈ A と x ∈ E に対して αx = f(α)x と定義することにより、
E は A-線型環(>>97)となる。

証明
自明である。
0101Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/06(日) 18:54:59.57
定義 15
A を可換環とし、E を A-線型環(>>97)とする。
E の環としてのイデアルを E のイデアルと言う。
0102Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/06(日) 19:01:26.95
命題 16
A を可換環とし、E を A-線型環(>>97)とする。
E の(左、右、両側)イデアルは E の A-部分加群である。

証明
I を E の左イデアルとする。
E は単位元 1 をもつから任意の α ∈ A と任意の x ∈ I に対して αx = (α1)x ∈ I
よって、I は E の A-部分加群である。

右または両側イデアルに関しても同様である。
証明終
0103Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/06(日) 19:11:54.89
命題 17
A を可換環とし、E を A-線型環(>>97)とする。
I を E の両側イデアルとする。
E/I は環であるが >>102より E/I は A-加群でもある。
このとき E/I は A-線型環とみなせる。

証明
自明である。
0104Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/06(日) 19:18:11.50
定義 18
A を可換環とし、E と F を A-線型環(>>97)とする。
f：E → F を A-準同型(>>98)とする。
f^(-1)(0) = {x ∈ E；f(x) = 0} を f の核と言い Ker(f) と書く。
Ker(f) は E の両側イデアルである。
0105１３２人目の素数さん2011/11/06(日) 19:47:40.31
Kummerさん、何をしているんですか？
0106１３２人目の素数さん2011/11/06(日) 19:49:27.24
発狂中
0107１３２人目の素数さん2011/11/06(日) 19:50:51.00
信者を求めて流れ着いた。
愚かなGalois崇拝者たちにクマが有難い教えを垂れる。
0108Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/06(日) 19:52:52.31
定義 19
A を可換環とし、E を A-線型環(>>97)とする。
F を E の A-部分加群であり、同時に E の部分環であるとする。
このとき F を E の A-線型部分環と言う。
特に断らない限り E の A-線型部分環 は E の単位元を含むものとする。
0109Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/06(日) 19:58:22.66
定義 20
A を可換環とし、E と F を A-線型環(>>97)とする。
f：E → F を A-準同型(>>98)とする。
f が全単射のとき f を同型と呼ぶ。
このとき E と F は同型であると言う。
0110Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/06(日) 20:01:11.24
命題 21
A を可換環とし、E と F を A-線型環(>>97)とする。
f：E → F を A-準同型(>>98)とする。
このとき f(E) は F の A-線型部分環(>>108)であり、
E/Ker(f) (>>103、>>104)と f(E) は A-線型環 として同型(>>109)である。

証明
自明である。
0111１３２人目の素数さん2011/11/06(日) 20:03:24.83
>>105

>>85
0112Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/06(日) 20:16:16.33
定義 22
A を可換環とし、E と F を A-線型環(>>97)とする。
E から F への A-準同型(>>98)全体の集合を Hom-alg(E, F) または Hom-alg(E, F)/A と書く。
0113Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/06(日) 20:35:29.55
例 23
K を体(>>82)とし、L/K を拡大(>>82)とする。
このとき >>100より L は K-線型環(>>97)と見なせる。
0114Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/06(日) 20:38:49.51
命題 24
K を体(>>82)とし、α ∈ Ω(>>82) とする。
>>113より Ω は K-線型環(>>97)と見なせる。
このとき K-線型環としての K-準同型(>>98) ψ：K[X] → Ω で ψ(X) = α となるものが一意に存在する。

証明
自明である。
0115Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/06(日) 20:45:26.79
定義 25
A を可換環とする。
A 係数の定数でない１変数多項式で最高次の係数が１であるものを(A 係数の)モニックな多項式と言う。
0116Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/06(日) 20:57:12.02
定義 26
K を体(>>82)とし、α ∈ Ω(>>82) を K 上代数的(>>90)とする。
>>114より、K-線型環としての K-準同型(>>98) ψ：K[X] → Ω で ψ(X) = α となるものが
一意に存在する。
α は K 上代数的であるから Ker(ψ) ≠ 0 である。
K[X] は単項イデアル整域であるから Ker(ψ) = (f(X)) となるモニック(>>115)な多項式 f(X) が
一意に定まる。f(X) を α の K 上の最小多項式と言う。
0117Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/06(日) 21:58:54.53
命題 27
K を体(>>82)とし、α ∈ Ω(>>82) を K 上代数的(>>90)とする。
α の K 上の最小多項式(>>116) f(X) は K[X] において既約である。

証明
f(X) = g(X)h(X) とする。ここで、g(X)、h(X) ∈ K[X] であり、deg g(X) ≧ 1、deg h(X) ≧ 1 である。
f(α) = g(α)h(α) = 0 であるから g(α) = 0 または h(α) = 0 である。
g(α) = 0 とすると g(X) ∈ (f(X)) となり g(X) は f(X) で割り切れる。
deg g(X) ＜ deg f(X) であるから、これは不可能である。
h(α) = 0 としても同様に矛盾である。
証明終
0118Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/06(日) 22:08:44.19
命題 28
K を体(>>82)とし、α ∈ Ω(>>82) を K 上代数的(>>90)とする。
f(X) を α の K 上の最小多項式(>>116) とする。
K[X]/(f(X)) は K[α] (>>91)と標準的に同型である。
この同型は g(X) ∈ K[X] のとき g(X) の mod f(X) の剰余類に g(α) を対応させることにより得られる。

証明
>>114より、K-線型環としての K-準同型(>>98) ψ：K[X] → Ω で ψ(X) = α となるものが
一意に存在する。
このとき、ψ(K[X]) = K[α] である。
Ker(ψ) = (f(X)) であるから >>110より本命題が得られる。
証明終
0119Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/06(日) 22:14:22.30
命題 29
K を体(>>82)とし、α ∈ Ω(>>82) を K 上代数的(>>90)とする。
このとき、K[α] = K(α) (>>91) である。

証明
f(X) を α の K 上の最小多項式(>>116) とする。
>>118より K[X]/(f(X)) は K[α] と同型である。
>>117より f(X) は K[X] において既約である。
よって、K[X]/(f(X)) は体である。
よって、K[α] = K(α) である。
証明終
0120Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/06(日) 22:21:50.52
命題 30
K を体(>>82)とし、α ∈ Ω(>>82) を K 上代数的(>>90)とする。
f(X) を α の K 上の最小多項式(>>116) とする。
このとき、[K(α) : K] (>>87) = deg f(X) である。

証明
n = deg f(X) とする。
>>118より、K[X]/(f(X)) は K[α] (>>91)と K-線型環として同型である。
>>96より、K[α] の K 上の次元は n である。
一方、>>119より、K[α] = K(α) である。
よって、[K(α) : K] = n である。
証明終
0121Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/06(日) 22:30:17.63
定義 31
K と L を体とする。
環としての準同型 σ：K → L で σ(1) = 1 となるものは単射である。
このとき、σ を埋め込みと呼ぶ。
全射埋め込みを同型と呼ぶ。
0122Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/06(日) 22:37:38.88
定義 32
K を体(>>82)とする。
E/K と F/K を拡大(>>82)とする。
E から F への埋め込み(>>121)で K の元を固定するものを K-埋め込みと呼ぶ。
E から F への同型(>>121)で K の元を固定するものを K-同型と呼ぶ。
0123Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/06(日) 22:42:02.69
定義 33
K を体(>>82)とし、L/K を拡大(>>82)とする
L から L への K-同型(>>122)を L/K の自己同型と呼ぶ。
L/K の自己同型全体は群をなす。
この群を L/K の自己同型群と言い、Aut(L/K) と書く。
0124Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/06(日) 23:02:54.62
命題 34
L/K を体の拡大(>>82)とする。
L/K が有限(>>87)なら L/K は代数的(>>90)である。

証明
n = [L : K] (>>87) とする。
任意の α ∈ L に対して 1、α、．．．、α^n は K 上一次従属である。
よって、α は K 上代数的(>>89)である。
よって、L/K は代数的である。
証明終
0125Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/07(月) 00:00:21.37
命題 35
K ⊂ L ⊂ M を体とする。
M/K が有限であるためには L/K が有限かつ M/L が有限であることが必要十分である。

証明
>>88より、[M : K] = [M : L][L : K] である。
これより明らかである。
証明終
0126Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/07(月) 00:04:11.30
命題 36
K を体(>>82)とし α_1、．．．、α_n を Ω(>>82) の元の有限列とする。
各 α_i が K 上代数的(>>89)なら K(α_1、．．．、α_n) (>>91)は K 上有限(>>87)である。
従って、>>124より K(α_1、．．．、α_n) は K 上代数的(>>90)でもある。

証明
n に関する帰納法による。
n = 1 のときは本命題は>>120で証明されている。
n ≧ 2 とし、K(α_1、．．．、α_(n-1)) は K 上有限であると仮定する。
α_n は K 上代数的であるから K(α_1、．．．、α_(n-1)) 上代数的である。
よって、>>120より K(α_1、．．．、α_n) = K(α_1、．．．、α_(n-1))(α_n) は
K(α_1、．．．、α_(n-1)) 上有限である。
よって、>>125より K(α_1、．．．、α_n) は K 上有限である。
証明終
0127Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/07(月) 00:11:44.00
命題 37
K を体(>>82)とする。
Ω(>>82)の元で K 上代数的なもの全体は体(>>82)をなす。

証明
α と β を Ω の元で K 上代数的とする。
>>126より、K(α、β) は K 上代数的である。
これから本命題の主張は明らかである。
証明終
0128Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/07(月) 00:13:45.41
定義 38
K を体(>>82)とする。
>>127より、Ω(>>82)の元で K 上代数的なもの全体は体(>>82)である。
この体を K~ と書き K の代数的閉包と呼ぶ。
0129Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/07(月) 00:29:25.82
命題 39
K を体(>>82)とし S を Ω(>>82) の部分集合とする。
S の各元が K 上代数的(>>89)なら K(S) (>>91)は K 上代数的(>>90)である。

証明
α を K(S) の任意の元とする。
このとき、S の有限部分集合 T があり α ∈ K(T) となる。
>>126より、K(T) は K 上代数的(>>90)である。
よって、α は K 上代数的(>>89)である。
よって、K(S) は K 上代数的である。
証明終
0130１３２人目の素数さん2011/11/07(月) 00:30:38.11
　　　　　　　　　　　　　,,... -─- ､_
　　　　　　　　　　　, '"　　 　　　　 ﾞヽ､
　　　　　　　　　　/.　　　　　　　　　　 ヽ/ヽ
　　　　　　　　　 ,'　　ｲ　/--/i　ﾊ　　　 ',./ﾍ
　　　　 　 　 　 ,'　　 ,'　ir;ｰ-､ﾚ´ !_/_i　 ｲ-┘
　　　　　　　　/　ﾊ　i 　!' ﾋ_ﾝ　　,!-;､ｲﾝﾞ　　　　ヽﾉ
　　 r´＾＼_,.､,'--!.、.!　 | "" 　 　ﾋﾝi/.i　　　　　｀て´
　　 '､　(＾ヽ〉ヽ,　 ｀ヽ､_ !､ 　σ　 "ﾉ　|　　　　　　l
　　 　 ﾞｰﾆ´_ノ　　　 ヽ.ル＞,.-r 'iﾉハﾉ　　　　　┼ 、
　　　　　　｀ヽ､___,,,...ン:::ﾞヽ/ooﾚiﾞ'ｰ- ､／＾).　　 ´d-
　　　　　　　　　 ／::::::::::::::::::ｙ:::::ﾄ　　　l]　つ 　　(ﾉﾞ)
　　　　　 　 　 ,く::::::::::::::::::::::::::::::iﾞ'ｰ--┘￣　　　-|┐ヽ
　　　　 _,,..- '":::::｀' ｰ-.,;;;;;;;;;;;;;;:」　　　　　　　　　ﾉ ﾉ
　 r'i￣:::::::::::::::::::／:::/:::::::::::::::i::|　　　　　　　　　　 l
　 ﾞヽ)::::::::::::::::／::::::/:::::::::::::::::l::|
　　　ヽ)::::::／:::::::::/:::::::::::::::::::|::|
　　　　 >＝=r_､::/::::::::::::::::::::|::|
　　 ,..ｲヽ.／　 ｀ゝ,.-=-;､:::::::|:」
　 / 　 ﾝ　　　　 ./ 　.／｀ｰ'＾┘
　 ﾞｰ '´　　　　,.ｲﾆ／
　　　　　　　 /　／
0131Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/07(月) 00:37:20.39
定義 40（Lang)
Ψ を体(>>82)の拡大(>>82)を要素とするある集合とする。
Ψ が以下の条件を満たすとき Ψ は正則であると言う。

1) K ⊂ L ⊂ M を体とする。
M/K ∈ Ψ であるためには L/K ∈ Ψ かつ M/L ∈ Ψ が必要十分である。

2) 任意の E/K ∈ Ψ と任意の体(>>82) F に対して EF/F ∈ Ψ
0132Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/07(月) 00:42:54.53
定義 41
E と F を体(>>82)とする。
E(F) (>>91) を E と F の合成体または合成と呼び EF と書く。
0133Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/07(月) 00:46:22.10
命題 42
E と F を体(>>82)とする。
E[F] (>>91)は α_1β_1 ＋ ．．．＋ α_nβ_n の形の元全体からなる。
ここで、α_1、．．．、α_n は E の元であり、
β_1、．．．、β_n は F の元である。
よって、E[F] = F[E] である。

合成体(>>132) EF は E[F] の商体である。

証明
自明である。
0134Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/07(月) 00:49:28.18
>>131は>>132の後に持ってくるべきだった。
0135Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/07(月) 00:51:41.30
命題 43
Ψ を体(>>82)の拡大(>>82)からなる正則(>>131)な集合とする。
E/K ∈ Ψ かつ F/K ∈ Ψ のとき EF/K ∈ Ψ である。

証明
E/K ∈ Ψ であるから>>131の 2) より EF/F ∈ Ψ である。
F/K ∈ Ψ であるから>>131の 1) より EF/K ∈ Ψ である。
証明終
0136Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/07(月) 01:49:11.57
>>131の修正

定義 40（Lang)
Ψ を体(>>82)の拡大(>>82)を要素とするある集合とする。
Ψ が以下の条件を満たすとき Ψ は正則であると言う。

1) K ⊂ L ⊂ M を体とする。
M/K ∈ Ψ であるためには L/K ∈ Ψ かつ M/L ∈ Ψ が必要十分である。

2) 任意の E/K ∈ Ψ と任意の拡大(>>82) F/K に対して EF/F ∈ Ψ
0137Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/07(月) 01:50:55.51
>>135の修正

命題 43
Ψ を体(>>82)の拡大(>>82)からなる正則(>>131)な集合とする。
E/K ∈ Ψ かつ F/K ∈ Ψ のとき EF/K ∈ Ψ である。

証明
E/K ∈ Ψ であるから>>136の 2) より EF/F ∈ Ψ である。
F/K ∈ Ψ であるから>>136の 1) より EF/K ∈ Ψ である。
証明終
0138Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/07(月) 01:57:23.64
命題 44
体の有限拡大(>>87)全体の集合 Ψ は正則(>>136)である。

証明
>>136の 1) の証明：>>125で証明済みである。

>>136の 2) の証明：
E/K ∈ Ψ とする。
α_1、．．．、α_n を K-線型空間としての E の K 上の基底とする。
E = K(α_1、．．．、α_n) である。
任意の拡大(>>82) F/K に対して EF = F(α_1、．．．、α_n) である。
>>124より、各 α_i は K 上代数的であるから F 上代数的でもある。
よって、>>126より EF/K ∈ Ψ である。
証明終
0139１３２人目の素数さん2011/11/07(月) 02:16:35.27
ガロスｗｗｗｗ
0140１３２人目の素数さん2011/11/07(月) 02:20:22.25
基地外が延々と
0141１３２人目の素数さん2011/11/07(月) 04:46:25.96
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　_人　　 _,,.. - ''''""￣｀"'''7:::∠__
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　）　 ,. '"　　　　　　　　　 !ﾍ/:::／､
　＿＿＿　　　　　　＿l⌒l＿　　　　　　　　　　　 ／　　　　　　　ﾊ,　__i　 i:::::>!　　 ',
（＿＿ 　 ）　　　　 （＿　　＿）l⌒l　　　　　　　　/　 　　/'!　ﾊ　 /!二_ﾊ　i´　|　　　ﾊ
　＿／ ／　　　　　 ／　／　　|　 |　＿＿＿　　|　 / ,.ｨ‐-V　ﾚ゛´!´.ﾊ｀ヽｲ　/　　 !　!
（＿＿　　） ＿＿ （＿／ l⌒l　`ｰ' /　　　　　ヽ i　 i　 ｲ「ﾊ　　 　 !__,ﾘ　ﾉ | /|　　　　|
　 ／　／（＿＿＿）　　　|　 l＿　│ .○　／ヽ　| /.|　| ! !ｿ　　　　￣ 〃　ﾚ'　|　　　 |
　│ │＿　　　　　　　 （ ○ ＿） 丶＿／　 /　/　 ﾚｿ〃 ,-=ﾆﾆ'ヽ.　 　　7　,'　　　　|
　 丶＿＿）　　　　　　　 `─' 　　　　　　　　`ｰ'　 　|7!　　i　　　　　!　 u /　/!　　　　|
　　　　　　　＿l⌒l＿＿　/⌒ヽ　　　　　　　　 ／⌒/ .'ゝ､_ヽ､　　 _ﾉ 　 /　/ /　 i 　 ,'
　　　　　　（＿　　　　　＼＼　 |　／⌒ヽ＿／ ／￣レﾍ/,./^i,.-,r　　イ´レﾍ/ヽ､ハノ
　　　　　　　／　／￣ヽ　|　`ｰ'（＿／＼　　／　　　　　r| !　!　ﾚ^i／ ￣'7ｰ-､　
　　　　　　（＿／　　 /　/　　　　　　　　`ｰ'　　　　　 　ﾊ　　　 　/ﾍ__／/／　ヽ,
　　　　　　　　　　　　`ｰ'　　　　　　　　　　　　　　,. '⌒ヽ,r‐''"´￣ﾄ､::::::/　　　　 !
0142Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/07(月) 08:27:33.02
命題 45
体の代数的拡大(>>90)全体の集合 Ψ は正則(>>136)である。

証明
>>136の 1) の証明：
K ⊂ L ⊂ M を体とする。
M/K ∈ Ψ なら L/K ∈ Ψ かつ M/L ∈ Ψ は明らかである。

逆に L/K ∈ Ψ かつ M/L ∈ Ψ とする。
M/L は代数的拡大であるから、任意の β ∈ M に対して L 係数の定数でない１変数多項式 f(X) があり
f(β) = 0 となる。
f(X) の係数を α_1、．．．、α_n とする。
各 α_i は K 上代数的であるから、>>126より K(α_1、．．．、α_n)/K は有限である。
他方、β は K(α_1、．．．、α_n) 上代数的であるから、
>>120より K(α_1、．．．、α_n、β)/K(α_1、．．．、α_n) は有限である。
よって、>>125より K(α_1、．．．、α_n、β)/K は有限である。
よって、>>124より K(α_1、．．．、α_n、β)/K は代数的である。
よって、β は K 上代数的である。
よって、M/K ∈ Ψ である。

>>136の 2) の証明：
任意の E/K ∈ Ψ と任意の拡大(>>82) F/K をとる。
E の各元は K 上代数的であり、K ⊂ F だから E の各元は F 上代数的でもある。
よって、>>129より、EF = F(E) は F 上代数的である。
即ち EF/F ∈ Ψ である。
証明終
0143Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/07(月) 08:36:28.43
命題 46
σ： K → L を体の同型(>>121)とする。
このとき、環としての同型 ψ：K[X] → L[X] で f(X) ∈ K[X] のとき ψ(f(X)) = (σf)(X) となるものが
存在する。
ここで、(σf)(X) は f(X) の各係数にσを作用させたものである。

証明
自明である。
0144Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/07(月) 08:40:09.24
命題 47
σ： K → L を体の同型(>>121)とする。
f(X) ∈ K[X] のとき>>143の同型 ψ：K[X] → L[X] は
環としての同型 K[X]/(f(X)) → L[X]/((σf)(X)) を引き起こす。
ここで、(σf)(X) は f(X) の各係数にσを作用させたものである。

証明
自明である。
0145Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/07(月) 09:14:57.44
命題 48
σ： K → Ω (>>82) を埋め込み(>>121)とする。
α ∈ Ω を K 上代数的(>>89)とする。
このとき、埋め込み τ：K(α) → Ω で
σ の拡張となっているものが存在する。

証明
L = σ(K) とおく。
f(X) を α の K 上の最小多項式(>>116)とする。
(σf)(X) の Ω における任意の根をβとする。
ここで、(σf)(X) は f(X) の各係数にσを作用させたものである。
>>118と>>119より、K(α) は K[X]/(f(X)) と同型である。
同様に L(β) は L[X]/(σf(X)) と同型である。
よって、>>144より、K(α) は L(β) に同型である。
この同型対応は g(X) ∈ K[X] のとき g(α) に (σg)(β) を対応させることにより得られる。
よって、この同型は σ の拡張である。
証明終
0146Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/07(月) 09:29:43.54
命題 49
L/K を体の有限拡大(>>87)とする。
σ： K → Ω (>>82) を埋め込み(>>121)とする。
このとき、埋め込み τ：L → Ω で
σ の拡張となっているものが存在する。

証明
L = K(α_1、．．．、α_n) (>>91)と書ける。
例えば α_1、．．．、α_n として L の K 上の基底をとればよい。
>>124より、各 α_i は K 上代数的である。
よって、>>145と n に関する帰納法を使えばよい。
証明終
0147Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/07(月) 09:51:00.36
命題 50
K を体(>>82)とする。
σ： K → Ω (>>82) を埋め込み(>>121)とする。
α_1、α_2、．．．、α_n、．．．を Ω (>>82)の元の可算無限列で
各 α_i は K 上代数的(>>89)であるとする。
L = K(α_1、α_2、．．．、α_n、．．．) とおく。
このとき、埋め込み τ：L → Ω で
σ の拡張となっているものが存在する。

証明
各整数 n ≧ 1 に対して K_n = K(α_1、．．．、α_n) とおく。
>>145と n に関する帰納法により、各 n ≧ 1 に対して埋め込み σ_n：K_n → Ω で
σ_n は σ_(n-1) の拡張となっているものが存在する。
ただし、σ_0 = σ とする。

写像 τ：L → Ω を次のように定義する。
L = ∪K_n であるから、任意の x ∈ L に対して x ∈ K_n となる n がある。
τ(x) = σ_n(x) とおく。
τ(x) は n の取り方によらない。

このとき、τ が埋め込みであり、σ の拡張となっていることは明らかである。
証明終
0148Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/07(月) 10:00:46.14
Zornの補題を使えば>>147を任意の代数的拡大 L/K に拡張できる。

命題 51
L/K を代数的拡大(>>90)とする。
σ： K → Ω (>>82) を埋め込み(>>121)とする。
このとき、埋め込み τ：L → Ω で
σ の拡張となっているものが存在する。

証明
K ⊂ E ⊂ L となる体 E と埋め込みρ： E → Ω で σ の拡張となっているものの対 (E, ν) 全体Ψを
考える。
(K, σ) ∈ Ψ であるから Ψ は空でない。
(E, ν)、(F, μ) ∈ Ψ、E ⊂ F で μ が ν の拡張になっているとき (E, ν) ≦ (F, μ) と書く。
関係 ≦ により Ψ は順序集合となる。
Φ を Ψ の空でない全順序部分集合とする。
G = ∪{E；(E, ν) ∈ Ψ} とおく。
G は体である。写像 ρ：G → Ω を以下のように定義する。
x ∈ G のとき (E, ν) ∈ Φ で x ∈ E となるものがある。
ρ(x) = ν(x) と定義する。
ρ は (E, ν) の選び方によらない。
(G, ρ) ∈ Ψ である。
各 (E, ν) ∈ Φ に対して (E, ν) ≦ (G, ρ) である。
よって Zornの補題により Ψ は極大元 (H, τ) を持つ。
このとき、H = L を示せばよい。
H ≠ L とする。
α を L の元で H に含まれないものとする。
>>145より、τ は埋め込み H(α) → Ω に拡張される。
これは (H, τ) が Ψ の極大元であることに反する。
証明終
0149Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/07(月) 10:30:40.07
定義 52
K を体(>>82)とする。
f(X) を K 係数の定数でない１変数多項式とする。
f の Ω における全ての根を α_1、．．．、α_n とする。
K(α_1、．．．、α_n) (>>91)を f(X) の最小分解体と言う。
0150Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/07(月) 10:36:50.88
定義 53
K を体(>>82)とする。
(f_i)、i ∈ I を K[X] の次数１以上の元からなる族とする。
各 f_i の Ω における全ての根の集合を S_i とする。
S = ∪{S_i；i ∈ I} とおく。
K(S) (>>91)を (f_i)、i ∈ I の最小分解体と言う。

注意： I が有限集合のとき (f_i)、i ∈ I の最小分解体は g = Πf_i の最小分解体(>>149)である。
0151Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/07(月) 11:11:55.15
命題 54
K を体(>>82)とする。
α_1、．．．、α_n を Ω(>>82) の元の有限列とする。
各 α_i が K 上代数的(>>89)なら
K(α_1、．．．、α_n) = K[α_1、．．．、α_n] (>>91)である。

証明
n に関する帰納法による。
>>119より、K(α_1) = K[α_1] である。
n ≧ 2 とし、K(α_1、．．．、α_(n-1)) = K[α_1、．．．、α_(n-1)] と仮定する。

K(α_1、．．．、α_n)
= K(α_1、．．．、α_(n-1))(α_n)
= K(α_1、．．．、α_(n-1))[α_n]　　← >>119
= K[α_1、．．．、α_(n-1)][α_n]　　← 帰納法の仮定
= K[α_1、．．．、α_n]
証明終
0152Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/07(月) 12:32:36.38
命題 55
K を可換体とする。
V を K 上の有限次元の線型空間とする。
σ：V → V を K-線型写像とする。
σ が単射であれば σ は全射である。

証明
σ(V) は V の部分線型空間で V と同じ次元である。
よって、σ(V) = V である。
証明終
0153Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/07(月) 12:36:09.58
命題 56
K を体(>>82)とする。
f(X) を K 係数の定数でない１変数多項式とする。
L を f(X) の最小分解体(>>149)とする。
σ：L → Ω (>>82) を K-埋め込み(>>122)とする。
このとき σ(L) = L であり、σ は L/K の自己同型(>>123)と見なせる。

証明
f(X) の Ω における全ての根を α_1、．．．、α_n とする。
L = K(α_1、．．．、α_n) である。
各 i に対して f(α_i) = 0 であるから σ(f(α_i)) = f(σ(α_i)) = 0
よって、σ(α_i) は f(X) の根である。

一方、各 α_i は K 上代数的(>>89)であるから>>151より、
K(α_1、．．．、α_n) = K[α_1、．．．、α_n] である。
よって、L の任意の元 x は x = P(α_1、．．．、α_n) と書ける。
ここで、P(α_1、．．．、α_n) は K 係数の n 変数多項式 P(X_1、．．．、X_n) の
各変数 X_i に α_i を代入したものである。
σ(x) = P(σ(α_1)、．．．、σ(α_n)) であるが、
上で示したように各 σ(α_i) は f(X) の根であるから σ(x) ∈ L である。
よって、σ(L) ⊂ L である。

各 α_i は K 上代数的であるから、>>126より L/K は有限である。
σ は K-埋め込みであるから、K-線型写像と見なせる。
よって、>>152より σ(L) = L である。
証明終
0154Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/07(月) 12:50:44.42
>>153を多項式の族の最小分解体(>>150)に拡張しよう。
そのため次の命題を準備する。

命題 57
L/K を代数的拡大(>>90)とし、σ：L → Ω(>>82) を K-埋め込み(>>122)とする。
σ(L) ⊂ L なら σ(L) = L である。
従って、σ は L/K の自己同型(>>123)と見なせる。

証明
α を L の任意の元とする。
f(X) を α の最小多項式(>>116)とする。
f(X) の L における根全体を S とする。
α ∈ S であるから S は空でない。
任意の β ∈ S に対して σ(β) は f(X) の根である。
仮定より σ(β) ∈ L であるから σ(β) ∈ S である。
よって、σ(S) ⊂ S である。
σ は単射で S は有限集合であるから σ(S) = S である。
よって、σ(β) = α となる β ∈ S がある。
よって、σ(L) = L である。
証明終
0155Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/07(月) 13:12:52.14
命題 58
K を体(>>82)とする。
I を任意の空でない集合とする。
(f_i)、i ∈ I を K[X] の次数１以上の元からなる族とする。
(f_i)、i ∈ I の最小分解体(>>150)を L とする。
σ：L → Ω (>>82) を K-埋め込み(>>122)とする。
このとき σ(L) = L であり、σ は L/K の自己同型(>>123)と見なせる。

証明
各 f_i の Ω における全ての根の集合を S_i とする。
S = ∪{S_i；i ∈ I} とおく。
L = K(S) (>>91) である。
J を I の空でない任意の有限部分集合とする。
S_J = ∪{S_i；i ∈ J} とおく。
f_J = Π{f_i；i ∈ J} とおく。
K(S_J) は多項式 f_J の最小分解体(>>149)である。

L の任意の元 x に対して I の空でない有限部分集合 J があり、x ∈ K(S_J) となる。
σ：L → Ω は K-埋め込み K(S_J) → Ω を引き起こすから>>153より σ(x) ∈ K(S_J) である。
よって、σ(L) ⊂ L である。
よって、>>154より σ(L) = L である。
証明終
0156１３２人目の素数さん2011/11/07(月) 13:25:13.42
“In my life I have dared to advance propositions about which I was not sure.
But all have written down here has been clear in my head for over a year,
and it would not be in my interest to leave myself open to the suspicion that
I announce theorems of which I do not have complete proofs.
Make a public request of Jacobi or Gauss to give their opinions not as to the truth but
to the importance of these theorems.
After that, I hope some men will find it profitable to sort out this mess.”
– Évariste Galois, Letter to Auguste Chevalier, May 29, 1832
0157１３２人目の素数さん2011/11/07(月) 13:31:26.29
>>Kummer
あのな、お前は被災者の方への謝罪は済んだのかァ！
ちゃんと謝罪と賠償をしてから出直せや。分かったな。
0158１３２人目の素数さん2011/11/07(月) 13:39:30.40
>>Kummer
ｵﾗｧ、分かったら返事しろや！
分かったな？
0159Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/07(月) 14:03:20.45
次の命題はGalois理論において重要である。

命題 59
K を体(>>82)とする。
f(X) を K 係数の定数でない１変数多項式とする。
L を f(X) の最小分解体(>>149)とする。
E を K ⊂ E ⊂ L となる体(>>82)とする。
σ：E → Ω (>>82) を K-埋め込み(>>122)とする。
このとき σ(E) ⊂ L であり、σ は L/K の自己同型(>>123)に拡張される。

証明
f(X) の Ω における全ての根を α_1、．．．、α_n とする。
L = K(α_1、．．．、α_n) である。
各 α_i は K 上代数的(>>89)であるから>>126より、 L/K は有限拡大である。
よって、L/E も有限拡大である。
よって、>>146より、埋め込み τ：L → Ω で σ の拡張となっているものが存在する。
σ は K-埋め込みだから τ も K-埋め込みである。
よって、>>153より τ(L) = L であり、τ は L/K の自己同型(>>123)と見なせる。
τ は σ の拡張だから σ(E) = τ(E) ⊂ L
証明終
0160Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/07(月) 14:16:40.89
>>155の補足
>よって、>>154より σ(L) = L である。

これを言うには L/K が代数的であることを示す必要がある。
しかし、これは>>129より明らかである。
0161Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/07(月) 14:18:22.38
>>159は容易に多項式の族の最小分解体(>>150)に拡張される。

命題 60
K を体(>>82)とする。
I を任意の空でない集合とする。
(f_i)、i ∈ I を K[X] の次数１以上の元からなる族とする。
(f_i)、i ∈ I の最小分解体(>>150)を L とする。
E を K ⊂ E ⊂ L となる体(>>82)とする。
σ：E → Ω (>>82) を K-埋め込み(>>122)とする。
このとき σ(E) ⊂ L であり、σ は L/K の自己同型(>>123)に拡張される。

証明
>>129より、L/K は代数的(>>90)である。
よって、L/E も代数的である。
よって、>>148より、埋め込み τ：L → Ω で σ の拡張となっているものが存在する。
σ は K-埋め込みだから τ も K-埋め込みである。
よって、>>155より τ(L) = L であり、τ は L/K の自己同型(>>123)と見なせる。
τ は σ の拡張だから σ(E) = τ(E) ⊂ L
証明終
0162Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/07(月) 14:34:59.71
定義 61
L/K を体の拡大(>>82)とする。
f(X) を K 係数の定数でない１変数多項式とする。
f(X) が L において１次多項式の積になるとき、f(X) は L で分解するという。

これは f(X) の Ω(>>82) における全ての根が L に含まれることと同値である。
これはまた f(X) の最小分解体(>>149)が L に含まれることと同値である。
0163Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/07(月) 14:43:33.63
定義 62
L/K を代数的拡大(>>90)とする。
任意の α ∈ L に対して α の K 上の最小多項式(>>116)が L で分解(>>162)するとき
L/K を正規拡大(normal extension)または準Galois拡大(quasi-Galois extension)と言う。
0164Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/07(月) 15:30:03.20
命題 63
K と L を体(>>82)とし、σ： K → L を同型(>>121)とする。
α ∈ Ω を K 上代数的(>>89)とする。
f(X) を α の K 上の最小多項式(>>116)とする。
σf(X) を f(X) の各係数にσを作用させた多項式とする。
β を σf(X) の Ω(>>82) における根の一つとする。
このとき、同型 τ：K(α) → L(β) で
σ の拡張となっているものが存在する。

証明
>>118と>>119より、K(α) は K[X]/(f(X)) と同型である。
同様に L(β) は L[X]/(σf(X)) と同型である。
よって、>>144より、K(α) は L(β) に同型である。
この同型対応は g(X) ∈ K[X] のとき g(α) に σg(β) を対応させることにより得られる。
ここで、σg(X) は g(X) の各係数にσを作用させた多項式である。
よって、この同型は σ の拡張である。
証明終
0165Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/07(月) 15:42:23.39
>>164の修正

命題 63
K と L を体(>>82)とし、σ： K → L を同型(>>121)とする。
α ∈ Ω を K 上代数的(>>89)とする。
f(X) を α の K 上の最小多項式(>>116)とする。
σf(X) を f(X) の各係数にσを作用させた多項式とする。
β を σf(X) の Ω(>>82) における根の一つとする。
このとき、同型 τ：K(α) → L(β) で τ(α) = β となり、
σ の拡張となっているものが一意に存在する。

証明
>>118と>>119より、K(α) は K[X]/(f(X)) と同型である。
同様に L(β) は L[X]/(σf(X)) と同型である。
よって、>>144より、K(α) は L(β) に同型である。
この同型対応は g(X) ∈ K[X] のとき g(α) に σg(β) を対応させることにより得られる。
ここで、σg(X) は g(X) の各係数にσを作用させた多項式である。
よって、この同型は σ の拡張であり、τ(α) = β である。
τ の一意性は明らかである。
証明終
0166Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/07(月) 15:51:06.81
命題 64
L/K を代数的拡大(>>90)とする。
以下の条件は互いに同値である。

1) L/K は正規拡大(>>163)である。

2) K[X] の次数１以上の元からなる空でない族 (f_i)、i ∈ I があり、
L は (f_i)、i ∈ I の最小分解体(>>150)である。

3) σ：L → Ω (>>82) を任意の K-埋め込み(>>122)とする。
このとき σ(L) = L である。従って、σ は L/K の自己同型(>>123)と見なせる。

証明
1) ⇒ 2)
各 α ∈ L に対して f_α を α の K 上の最小多項式(>>116)とする。
仮定により、各 f_α は L で分解する。
よって、L は多項式の族 (f_α)、α ∈ L の最小分解体(>>150)である。

2) ⇒ 3)
>>155で証明済みである。

3) ⇒ 1)
任意の α ∈ L に対して f(X) を α の K 上の最小多項式(>>116)とする。
β を f(X) の Ω(>>82) における任意の根とするとき、β ∈ L を示せばよい。
>>165より、K-同型(>>122) σ：K(α) → K(β) で σ(α) = β となるものが一意に存在する。
L/K は代数的拡大であるから L/K(α) も代数的拡大である。
よって、>>148より、埋め込み τ：L → Ω で
σ の拡張となっているものが存在する。
σ は K-同型であるから τ は K-埋め込み(>>122)である。
よって、仮定より τ(L) = L である。
よって、β = σ(α) = τ(α) ∈ L
証明終
0167１３２人目の素数さん2011/11/07(月) 17:24:39.92

くだらねぇ命題と証明の羅列やってんじゃねぇーぞコラ
0168１３２人目の素数さん2011/11/07(月) 17:40:36.09
↑理解できないからって怒るなよ
0169１３２人目の素数さん2011/11/07(月) 17:49:10.03
隔離病棟から出て来たな
0170１３２人目の素数さん2011/11/07(月) 17:50:01.09
>>168
ブル履き直接読んだ方がいいぞ
0171Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/07(月) 21:33:55.39
命題 65
L/K は正規拡大(>>163)とする。
F/K を任意の拡大(>>82)とする。
このとき、LF/F (>>132)は正規拡大である。

証明
>>166より、K[X] の次数１以上の元からなる空でない族 (f_i)、i ∈ I があり、
L は (f_i)、i ∈ I の最小分解体(>>150)である。
各 f_i の Ω における全ての根の集合を S_i とする。
S = ∪{S_i；i ∈ I} とおく。
L = K(S) (>>91)である。
K ⊂ F であるから LF = F(L) = F(K(S)) = F(S) である。
各 f_i は F[X] の元でもあるから LF は (f_i)、i ∈ I の F 上の最小分解体である。
よって、>>166より LF/F は正規拡大である。
証明終
0172Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/07(月) 21:46:41.38
命題 66
K ⊂ E ⊂ L をそれぞれ体(>>82)とする。
L/K は正規拡大(>>163)とする。
このとき、L/E も正規拡大である。

証明
>>166より、K[X] の次数１以上の元からなる空でない族 (f_i)、i ∈ I があり、
L は (f_i)、i ∈ I の K 上の最小分解体(>>150)である。
各 f_i の Ω(>>82) における全ての根の集合を S_i とする。
S = ∪{S_i；i ∈ I} とおく。
L = K(S) (>>91)である。

L = K(S) ⊂ E(S) ⊂ L であるから L = E(S) である。
各 f_i は E[X] の元でもあるから
L は (f_i)、i ∈ I の E 上の最小分解体である。
よって、>>166より L/E は正規拡大である。
証明終
0173Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/07(月) 21:57:12.33
命題 67
E/K と F/K を正規拡大(>>163)とする。
このとき、EF/K (>>132)は正規拡大である。

証明
>>166より、K[X] の次数１以上の元からなる空でない族 (f_i)、i ∈ I があり、
E は (f_i)、i ∈ I の K 上の最小分解体(>>150)である。
各 f_i の Ω(>>82) における全ての根の集合を S_i とする。
S = ∪{S_i；i ∈ I} とおく。
E = K(S) (>>91)である。

同様に K[X] の次数１以上の元からなる空でない族 (g_j)、j ∈ J があり、
F は (g_j)、j ∈ J の K 上の最小分解体である。
各 g_j の Ω における全ての根の集合を T_j とする。
T = ∪{T_j；j ∈ J} とおく。
F = K(T) である。

よって、EF = E(F) = K(S)(T) = K(S∪T) である。
よって、EF は (f_i)、i ∈ I と (g_j)、j ∈ J の K 上の最小分解体である。
よって、>>166より EF/K は正規拡大である。
証明終
0174Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/08(火) 03:07:55.16
命題 68
E/K と F/K を正規拡大(>>163)とする。
このとき、(E∩F)/K は正規拡大である。

証明
E∩F は体(>>82)である。
K ⊂ E∩F ⊂ E であり、E/K は代数的拡大(>>90)であるから
(E∩F)/K は代数的拡大である。

任意の α ∈ E∩F の K 上の最小多項式(>>116)を f(X) とする。
f(X) の Ω(>>82) における全ての根を α_1、．．．、α_n とする。
E/K は正規拡大であるから α_1、．．．、α_n ∈ E である。
F/K は正規拡大であるから α_1、．．．、α_n ∈ F である。
よって、α_1、．．．、α_n ∈ E∩F である。
よって、(E∩F)/K は正規拡大である。
証明終
0175Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/08(火) 03:37:38.99
命題 69
K と L を体(>>82)とし、σ：K → L を同型(>>121)とする。
f(X) を K 係数の定数でない１変数多項式とする。
E を f(X) の最小分解体(>>149)とする。
σf(X) を f(X) の各係数にσを作用させた多項式とする。
F を σf(X) の最小分解体とする。
このとき、同型 τ：E → F で σ の拡張となっているものが存在する。

証明
f(X) の Ω(>>82) における全ての根を重複度を含めて α_1、．．．、α_n とする。
即ち f(X) = c(X - α_1)．．．(X - α_n) である。
ここで、c ≠ 0 は f(X) の最高次の係数である。
このとき、E = K(α_1、．．．、α_n) である。
各 α_i は K 上代数的(>>89)であるから>>126より、E/K は有限拡大である。
よって、>>146より埋め込み τ：E → Ω で σ の拡張となっているものが存在する。
>>143より、環としての同型 ψ：E[X] → τ(E)[X] で g(X) ∈ E[X] のとき ψ(g(X)) = (τg)(X)
となるものが存在する。ここで、(τg)(X) は g(X) の各係数に τ を作用させたものである。
f(X) = c(X - α_1)．．．(X - α_n) の両辺に ψ を作用させると、
σf(X) = σ(c)(X - τ(α_1))．．．(X - τ(α_n)) となる。
よって、τ(α_1)、．．．、τ(α_n) は σf(X) の Ω における全ての根である。
一方、E = K(α_1、．．．、α_n) であるから τ(E) = L(τ(α_1)、．．．、τ(α_n)) である。
よって、τ(E) は σf(X) の最小分解体である。
よって、F = τ(E) である。
証明終
0176Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/08(火) 03:45:56.54
命題 70
K と L を体(>>82)とし、σ：K → L を同型(>>121)とする。
f(X) を K 係数の定数でない１変数多項式とする。
E を f(X) の最小分解体(>>149)とする。
σf(X) を f(X) の各係数にσを作用させた多項式とする。
τ：E → Ω(>>82) を埋め込み(>>121)で σ の拡張となっているものとする。
このとき、τ(E) は σf(X) の最小分解体である。

証明
>>175の証明と同様である。
0177Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/08(火) 04:08:26.95
命題 71
K と L を体(>>82)とし、σ：K → L を同型(>>121)とする。
(f_i)、i ∈ I を K[X] の次数１以上の元からなる族とする。
E を (f_i)、i ∈ I の最小分解体(>>150)とする。
各 i に対して σf_i を f_i の各係数にσを作用させた多項式とする。
F を (σf_i)、i ∈ I の最小分解体とする。
このとき、同型 τ：E → F で σ の拡張となっているものが存在する。

証明
E/K は代数的拡大(>>90)であるから、
>>148より埋め込み τ：E → Ω(>>82) で σ の拡張となっているものが存在する。
各 f_i の Ω における全ての根の集合を S_i とする。
S = ∪{S_i；i ∈ I} とおく。
E = K(S) である。
>>175の証明と同様にして 各 i に対して τ(S_i) は σf_i の Ω における全ての根である。
τ(E) = L(τ(S)) であるが、τ(S) = ∪{τ(S_i)；i ∈ I} であるから
τ(E) は (σf_i)、i ∈ I の最小分解体である。
よって、F = τ(E) である。
証明終
0178Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/08(火) 04:11:58.44
命題 72
K と L を体(>>82)とし、σ：K → L を同型(>>121)とする。
(f_i)、i ∈ I を K[X] の次数１以上の元からなる族とする。
E を (f_i)、i ∈ I の最小分解体(>>150)とする。
各 i に対して σf_i を f_i の各係数にσを作用させた多項式とする。
τ：E → Ω(>>82) を埋め込み(>>121)で σ の拡張となっているものとする。
このとき、τ(E) は (σf_i)、i ∈ I の最小分解体である。

証明
>>177の証明と同様である。
0179１３２人目の素数さん2011/11/08(火) 05:25:43.84
　　　　　　　ヽ|/
　　　　 ／￣￣￣｀ヽ、
　　　 /　　 　　　　　　ヽ
　　　/　 ＼,, ,,／ 　　　|
　　　|　（●） （●）|||　 |
　　　| 　/￣⌒￣ヽ　U.| 　　・・・・・こいつ本当に馬鹿だ
　　　|　 | .ｌ~￣~ヽ |　　 |
　　　|U ヽ ￣~￣ ﾉ　　 |
　　　|　　 ￣￣￣　　　
0180Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/08(火) 06:16:06.88
集合 S の濃度を |S| と書く。
0181Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/08(火) 07:24:35.06
L/K を有限(>>87)な正規拡大(>>163)とする。
L/K の自己同型群を Aut(L/K) と書いた(>>123)。
|Aut(L/K)| (>>180) と [L : K] (>>87) の関係を調べよう。

まず L = K(α) となる α ∈ L がある場合を考える。
α の K 上の最小多項式(>>116) を f(X) とする。
f(X) の Ω における根全体の集合を S とする。
|S| ≦ deg f(X) である。
>>165より |Aut(L/K)| = |S| である。
一方、>>120より deg f(X) = [L : K] であるから
|Aut(L/K)| ≦ [L : K] である。

|Aut(L/K)| = [L : K] となるのは f(X) が重根を持たない場合に限る。
f(X) が重根 β を持つとする。
f(X) = g(X)(X - β)^m、m ≧ 2 とする。
Ω (>>82)が複素数体のとき f(X) を複素関数とみて f’(X) を f(X) の導関数とする。
即ち h ∈ Ω、h ≠ 0 として f’(X) = lim[h → 0] (f(X + h) - f(X))/h
このとき、f’(X) ∈ K[X] である。

f’(X) = g’(X)(X - β)^m + mg(X)(X - β)^(m-1)
よって、f’(β) = 0 である。
f(X) は β の最小多項式であるから f’(X) は f(X) で割り切れる。
しかし、deg f’(X) ＜ deg f(X) であるから、これは矛盾である。
よって、f(X) は重根を持たない。

Ω (>>82)が複素数体以外の場合にも f(X) の導関数は以下のように形式的に定義出来る。
0182Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/08(火) 12:08:00.68
定義 73
A を可換環とし、A[X] を A 係数の１変数多項式環とする。
f(X) = a_nX^n + a_(n-1)X^(n-1) + ．．． + a_1X + a_0 を A[X] の元とする。
f(X) の導多項式(derivative)とは次の多項式のことを言う。

na_nX^(n-1) + (n-1)a_(n-1)X^(n-2) + ．．．+ 2a_2X + a_1

f(X) の導多項式を Df(X)、df(X)/dx、f’(X) などと書く。
0183Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/08(火) 12:24:01.12
命題 74
A を可換環とし、A[X] を A 係数の１変数多項式環とする。
D：A[X] → A[X] を f(X) ∈ A[X] にその導多項式(>>182) Df(X) を対応させる写像とする。
このとき、D は A-加群の準同型である。
すなわち、f(X)、g(X) ∈ A[X]、c ∈ A のとき。

1) D(cf(X)) = cD(f(X))

2) D(f(X) + g(x)) = D(f(X)) + D(g(X))

証明
直接に計算しても簡単であるが、次のようにも証明出来る。

1、X、．．．X^n、．．．は A-自由加群 A[X] の基底である。
よって、A-加群の準同型 ψ：A[X] → A[X] で
各 n に対して ψ(X^n) = nX^(n-1) となるものが一意に存在する。
明らかに ψ = D である。
証明終
0184Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/08(火) 12:44:40.12
A を可換環とし、A[X] を A 係数の１変数多項式環とする。
D：A[X] → A[X] を f(X) ∈ A[X] にその導多項式(>>182) Df(X) を対応させる写像とする。
f(X)、g(X) ∈ A[X] のとき、次の等式を(f(X) と g(X) に関する)Leibnizの公式と言う。

D(f(X)g(X)) = D(f(X))g(X) + f(X)D(g(X))
0185Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/08(火) 13:08:40.55
命題 75
任意の f(X) ∈ A[X] を固定する。
f(X) と g(X) に関するLeibnizの公式(>>184)が成り立つような g(X) ∈ A[X] の集合を Λ(f(X)) と書く。
このとき、Λ(f(X)) は A[X] の A-部分加群である。

証明
記法を単純にするため f(X) や g(X) をそれぞれ f、g などと書くことにする。

1) c ∈ A、g ∈ Λ(f) とする。
D(fcg) = cD(fg) = c(D(f)g + fD(g)) = D(f)(cg) + fD(cg)
よって、cg ∈ Λ(f) である。


2) g, h ∈ Λ(f) とする。
D(f(g + h)
= D(fg) + D(fh)
= D(f)g + fD(g) + D(f)h + fD(h)
= D(f)(g + h) + f(D(g) + D(h))
= D(f)(g + h) + fD(g + h))

よって g + h ∈ Λ(f)
証明終
0186Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/08(火) 13:21:10.92
命題 76
A を可換環とし、A[X] を A 係数の１変数多項式環とする。
任意の f(X)、g(X) ∈ A[X] に対してLeibnizの公式(>>184)が成り立つ。

証明
n と m を任意の整数 ≧ 0 とする。
D(X^(n+m)) = (n+m)X^(n+m-1)
D(X^n)X^m = nX^(n+m-1)
X^nD(X^m) = mX^(n+m-1)
よって、X^n と X^m に関してLeibnizの公式(>>184)が成り立つ。
よって、>>185の記法で X^m ∈ Λ(X^n) である。
>>185より、Λ(X^n) は A[X] の A-部分加群であるから Λ(X^n) = A[X] である。
よって、任意の f(X) ∈ A[X] に対して X^n ∈ Λ(f(X)) である。
再び>>185より、Λ(f(X)) は A[X] の A-部分加群であるから Λ(f(X)) = A[X] である。
よって、本命題の主張が得られる。
証明終
0187１３２人目の素数さん2011/11/08(火) 13:38:02.21
熊ーさんすげーな
0188Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/08(火) 14:04:49.75
命題 77
A を可換環とし、A[X] を A 係数の１変数多項式環とする。
D：A[X] → A[X] を f(X) ∈ A[X] にその導多項式(>>182) Df(X) を対応させる写像とする。
一方、ψ：A[X] → A[X] を次の条件を満たす写像とする。

1) ψ は A-加群の準同型である。

2) 任意の f(X)、g(X) ∈ A[X] に対して
ψ(f(X)g(X)) = ψ(f(X))g(X) + f(X)ψ(g(X))

3) ψ(X) = 1

このとき ψ = D である。

証明
2) において f(X) = 1、g(X) = 1 とおくと ψ(1) = ψ(1) + ψ(1)
よって、ψ(1) = 0 である。
任意の整数 n ≧ 1 に対して ψ(X^n) = nX^(n-1) を n にかんする帰納法で証明しよう。

3) より n = 1 の場合は成り立つ。
n ≧ 2 として、ψ(X^(n-1)) = (n-1)X^(n-2) と仮定する。
2) より、ψ(X^n) = ψ(X)X^(n-1) + Xψ(X^(n-1)) = X^(n-1) + (n-1)X^(n-1) = nX^(n-1)

以上で任意の整数 n ≧ 1 に対して ψ(X^n) = nX^(n-1) が証明された。

よって、1) より ψ = D である。
証明終
0189Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/08(火) 14:17:41.84
定義 78
K を体(>>82)とする。
f(X) を定数でない K 係数の多項式とする。
α ∈ Ω (>>82) を f(X) の根とする。
このとき、f(X) = g(X)(X - α)^m、m ≧ 1、g(α) ≠ 0 となる g(X) ∈ K[X] が一意に存在する。
m = 1 のとき α を f(X) の単根と呼び、m ≧ 2 のとき α を f(X) の重根と呼ぶ。
m を α の f(X) における重複度と呼ぶ。
0190Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/08(火) 14:32:33.99
命題 79
f(X) を K 係数の定数でない多項式とする。
f’(X) を f(X) の導多項式(>>182)とする。
α ∈ Ω (>>82) を f(X) の根とする。
α が f(X) の重根(>>189)であるためには f’(α) = 0 が必要十分である。

証明
必要性：
α が f(X) の重根であるとする。
f(X) = g(X)(X - α)^m、m ≧ 2、g(α) ≠ 0 となる g(X) ∈ K[X] が一意に存在する。
f’(X) = g’(X)(X - α)^m + mg(X)(X - α)^(m-1)
m ≧ 2 えあるから f’(α) = 0 である。

十分性：
α が f(X) の単根(>>189)であるとする。
f(X) = g(X)(X - α)、g(α) ≠ 0 となる g(X) ∈ K[X] が存在する。
f’(X) = g’(X)(X - α) + g(X)
よって、f’(α) = g(α) ≠ 0
証明終
0191Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/08(火) 15:08:07.39
命題 80
Ω (>>82)には最小の体(>>82) P が存在する。
P は有理数体 Q または Z/pZ に同型である。
ここで Z は有理整数環であり p はある素数である。

証明
環準同型 ψ：Z → Ω が一意に存在する(ψ(1) = 1 と仮定する)。
ψ(Z) は Ω の最小の部分環である。
よって、ψ(Z) の Ω における商体 P は Ω の最小の体(>>82)である。

ψ(Z) は環として Z/Ker(ψ) に同型である。
よって、Ker(ψ) = 0 のときは P は有理数体 Q に同型である。

Ker(ψ) ≠ 0 のときは Ker(ψ) = nZ である。
ここで、n は有理整数 ≧ 2 である。
よって、ψ(Z) は環として Z/nZ に同型である。
Z/nZ は整域であるから n は素数である。
このとき、Z/nZ は可換体である。
よって、ψ(Z) は Ω の最小の体(>>82)であり、ある素数 p に対する Z/pZ に同型である。
証明終
0192Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/08(火) 15:16:33.40
定義 81
>>191より、Ω (>>82)には最小の体(>>82) P が存在する。
P を(Ω の)素体と言う。
>>191より、以下の二つの場合がある。

1) P は有理数体に同型である。
2) ある素数 p があり、P は Z/pZ に同型である。

1) のとき Ω の標数は 0 であると言う。
2) のとき Ω の標数は p であると言う。

Ω の標数を char(Ω) と書く。
0193Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/08(火) 16:21:18.49
定義 82
K を体(>>82)とする。
f(X) ∈ K[X] を定数でない多項式とする。
f(X) の Ω(>>82) における全ての根が単根(>>189)のとき f(X) を分離的という。
0194Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/08(火) 16:35:40.75
命題 83
K を体(>>82)とする。
f(X) ∈ K[X] を定数でない多項式とする。
f’(X) を f(X) の導多項式(>>182)とする。
f(X) が分離的(>>193)であるためには f(X) と f’(X) が互いに素であることが必要十分である。

証明
必要性：
f(X) と f’(X) が互いに素でないとする。
定数でない多項式 g(X) ∈ K[X] があり f(X) と f’(X) は g(X) で割り切れる。
g(X) の Ω(>>82)における根の任意の一つを α とする。
f(α) = 0 かつ f’(α) = 0 であるから、>>190より α は f(X) の重根である。

十分性：
f(X) が重根 α を持つとする。
>>190より f(α) = 0 かつ f’(α) = 0 である。
g(X) を α の K 上の最小多項式(>>116)とすると、f(X) と f’(X) は g(X) で割り切れる。
よって、f(X) と f’(X) は互いに素ではない。
証明終
0195Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/08(火) 16:43:06.20
K を体(>>82)とする。
f(X) ∈ K[X] を定数でない多項式とする
>>194より f(X) が分離的かどうかは f(X) と f’(X) の最大公約多項式 gcd(f(X), g(X)) を
求めれば分かる。
gcd(f(X), g(X)) はEuclidの互除法(例えばWikipedia参照)により K[X] における有限回の手続きで求まる。
0196１３２人目の素数さん2011/11/08(火) 17:22:12.39
　　　　　　　　　　　　　　　　　　 /ヽ　　　　　　 /ヽ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　/ 　ヽ　 　　　 / 　ヽ
　　　　　　　　　　　　　　　　　 / 　 　 ヽ＿＿/ 　 　 ヽ
　　 ┏┓　 ┏━━┓ 　 　　／　　　 　 　 　　　　　　 ＼　　 .┏━┓
　┏┛┗┓┃┏┓┃ 　 　/　　 　　　　＼　　　　 ／ 　 |　　 .┃ 　┃
　┗┓┏┛┃┗┛┃┏━|　　　　　　＞　　　　　　＜　|━┓┃ 　┃
　┏┛┗┓┃┏┓┃┃ 　|.　 　　　　　　　（__人__） 　　|　 ┃┃ 　┃
　┗┓┏┛┗┛┃┃┗━ヽ　　　　　　　　　＼／　　 / ━┛┗━┛
　　 ┃┃ 　　 　 ┃┃ 　　／　　　　　　　　　　　　　　 ＼　　 ┏━┓
　　 ┗┛ 　　 　 ┗┛　　/　　　　　　　　￣￣ヽ　/￣　　ヽ　.┗━┛
　　　　　　　　　　　　　　 .ヽ＿＿＿＿＿＿＿／　＼＿＿/
0197Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/08(火) 20:12:08.93
Ω(>>82)の部分体とは必ずしも限らない可換体のことを抽象体と呼ぶことにする。
0198１３２人目の素数さん2011/11/08(火) 20:18:08.72
　　　　　　　　　　_,,..--――--,,..
　　　　　　　　／:::　　　　　　　　　＼
　　　　　　　/:::"　　　　　　　　　　　　ヽ
　　　　　　 ,i ::　　-=ﾆ=-　　-=ﾆ=- 　　i
　　　　　　　＼..　 　　/ ｰ-' ヽ.　　 　／
　　　　　　　　 ＼：：.| ト‐＝‐ｧ' |.：.／　　いい加減にしないかね？
.　　　　　　　　 　＼　　｀二´　 　'/
　　,r――--､,,＿ノ　r､ 三 η 　 L___,,..-―‐-､
　 （　 　　　　　　　〃ヽヽ //ヾヽ 　　　 　　　　）
　　ヽ　　｀ヽ、　　⊂ニ　◎　ニ⊃　　　 ,r''　　/
　　　ヽ　　 ｝ ` ｰ-ヾヽ// ヽヽ〃ー‐''７　　　/
　　　 ヽ 　.{　 　　 　ι' 三 ヽ)　　　　{.　　/
0199Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/08(火) 20:23:02.55
定義 84
必ずしも可換とは限らない体のことを斜体(skew field)と呼ぶ。
0200１３２人目の素数さん2011/11/08(火) 20:33:15.71
　　　　　　　_,,..--――--,,..
　　　　　／:::　　　　　　　　　＼
　　　　/:::"　　　　　　　　　　　　ヽ
　　　 ,i ::　　-=ﾆ=-　　-=ﾆ=- 　　i
　 　 　 ',　　　　　　　,　　　　　　　i
　　　　　ヽ　　　 　　 } 　　 　　　 ﾊ　　　２００ゲット！
　　　　　　 ＼　　 　 ′`　　　　　　＼
　　　　　　　　＼　　　　 ､　　　　　′ `ー- ､
　　　　　　　　 　 ヽ､　　　!　　　　　　 　 　 　 ヽ
　　　　　　　　　　 　 ＼　　　ヽ　　 　 　 　 　 　 ',
　　　　　　　　　 　 　 　 >、　　　　　　 /　　　　　|
　　　　　　　　　　　　　ﾉ　　､ r､ 三 η　　　　　　|
　　　　　　　　　　　　/　　　〃ヽヽ //ヾヽ　　　　 |
　　　　　 　 　 　 　 /　　　⊂ニ　◎　ニ⊃ 　　 　!
　　　　　　　 　 　 /　 　　　ヾヽ// ヽヽ〃 　 　 　 l
　　 　 　 　　　　./　　　 　 　 ι' 三 ヽ)　 　 　 　 |
0201KingMathematician ◆5lHaaEvFNc 2011/11/08(火) 20:48:30.72
体は可換のもののことで,可換でない体は存在しない.
R-{0}が積について可換群になる環Rを体(field)という.
R-{0}が積について群になる環Rを斜体という.
0≠1の仮定もあるかもしれない.非可換のもののみを斜体と呼ぶかもしれない.
0202１３２人目の素数さん2011/11/08(火) 21:10:37.76
こんな所で学習ノートを公開するしかないのは哀れ越えてはた迷惑。
0203１３２人目の素数さん2011/11/08(火) 21:26:39.80
くんまー

お前はまた論破されとるやないか

数学をナメとんか オラ
0204Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/08(火) 21:52:18.82
体は一般には乗法の可換性を仮定しない。
乗法の可換な体を可換体と呼ぶ。
これに反して英語の field は乗法の可換性を仮定するのが普通である。
乗法の可換性を仮定しない体のことを英語では division ring または skew field と呼ぶ。
しかし、英語で環のことを ring と言うが一般には乗法の可換性を仮定しない。
乗法の可換な環を commutative ring と呼ぶ。
英語ではこのあたり一貫性がない。
0205１３２人目の素数さん2011/11/08(火) 21:56:29.07
>>Kummer
これだけは言っておく…

『学問をナメるな』


分かったか 分かったら返事しろや
0206Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/08(火) 21:59:24.06
Wikipediaより：
単に「体」とよぶとき、その意味するものにはいくつかの流儀が存在する。
たとえば、可換である体を単に「体」 (field) と呼び、非可換なものを含めてよぶときは
多元体あるいは可除環（かじょかん、division ring, division algebra）
あるいは斜体（しゃたい、skew field）と呼ぶのはイギリス流（英語圏）である。
一方（ヨーロッパ）大陸流（ドイツ、フランス語圏）では、必ずしも可換でない体を単に「体」
(Körper, corps) とよび、可換であるときを特に可換体 (kommutativ Körper, corps commutatif)
とよぶ。ただし、歴史的経緯はどうあれ時代が下るにつれ英語圏の流儀に合わせる傾向は見られる。
またいずれの流儀においても、文脈に応じて「可換」「必ずしも可換とは限らない」「非可換」などを
冠することで明示的にこれらの概念を区別することがある。これらの区分のうち「非可換」なものの
指すべき範疇は文脈にまったく依存するものであることには留意が必要である。
たとえば「斜体」と呼ぶとき、それが可換体を含むのか含まないのかは文脈を踏まえなければ
定かではないし、「非可換体」が可換体を含む意味で用いられることもある。
0207１３２人目の素数さん2011/11/08(火) 22:00:39.90
くんまー

素直に自分の過ちを認めろ

それが前に進む唯一のステップだ

見苦しいぞ
0208１３２人目の素数さん2011/11/08(火) 22:04:25.67
禿山のにぎやかしと言うにはちとくどいな。
お勉強の公開は専用スレでやれクマ。
0209１３２人目の素数さん2011/11/08(火) 22:04:49.68
そうだそうだ
0210１３２人目の素数さん2011/11/08(火) 22:08:09.71
過疎スレの流用、有効活用のつもりなんだろ。
0211Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/08(火) 22:30:34.47
このスレでは環は単位元 1 を持つとする。
このとき 1 = 0 となる可能性を否定しない。
環の準同型は単位元を単位元に写すものとする。
A を環としたとき A の部分環は A の単位元を含むとする。
M を A 上の加群としたとき、任意の x ∈ M に対して 1x = x とする。
0212１３２人目の素数さん2011/11/08(火) 22:38:17.84
いい年して今さら体論かよ。バカじゃねぇーかｗ
0213Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/08(火) 22:47:31.66
定義 85
Z を有理整数環とし、p を任意の素数とする。
有理数体または Z/pZ に同型な抽象体(>>197)を素体と呼ぶ。
0214Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/08(火) 22:53:13.62
定義 86
A を環とし、A は斜体(>>199) D を部分環(>>)として含むとする。
このとき環準同型 ψ：Z → Ω が一意に存在する(ψ(1) = 1 と仮定する)。
Ker(ψ) は 0 または pZ である(p は素数)。
このとき A の標数をそれぞれ 0 または p と定義する。
A の標数を char(A) と書く。

D の中心 C は可換体であり、ψ(Z) は C に含まれる。
ψ(Z) の C における商体は素体(>>213)である。
これを A の素体と呼ぶ。
A の素体は char(A) = 0 のとき有理数体に同型であり、
char(A) = p ＞ 0 のとき Z/pZ に同型である。
A の素体は A の最小の部分斜体である。
0215Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/08(火) 22:57:01.96
>>214への補足

A の素体は A の中心に含まれる。
0216１３２人目の素数さん2011/11/08(火) 23:35:16.85
ここでやってくれ。

体論 Part 1
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1320762869/
0217１３２人目の素数さん2011/11/08(火) 23:35:49.35
>>215
続きはここです。
0218Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/08(火) 23:58:22.65
命題 87(二項定理)
A を可換環とし、x, y を A の元とする。
このとき、任意の整数 n ≧ 0 に対して
(x + y)^n = Σ[0 ≦ k ≦n] C(n. k)x^ky^(n-k) となる。
ここで、C(n. k) = n!/(n-k)!k! である。

証明
良く知られているので省略する。
0219Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/09(水) 00:15:31.84
命題 88
A を可換環で抽象体(>>197)を部分環として含むとする。
さらに A の標数(>>214)は p ＞ 0 とする。
このとき A の任意の元 a, b に対して (a + b)^p = a^p + b^p である。

証明
>>218より、(a + b)^p = Σ[0 ≦ k ≦ p] C(p. k)a^kb^(p-k)

ここで、C(p. k) = p!/(p-k)!k! である。
即ち、C(p. k)k! = p!/(p-k)!
1 ≦ k ≦ p - 1 のとき p!/(p-k)! は p で割れるから C(p. k)k! ≡ 0 (mod p)
一方、k! は p で割れないから C(p. k) ≡ 0 (mod p) である。
よって、C(p. k)a^kb^(p-k) = 0 である。
よって、(a + b)^p = a^p + b^p である。
証明終
0220Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/09(水) 00:23:42.72
定義 89
A を可換環で抽象体(>>197)を部分環として含むとする。
さらに A の標数(>>214)は p ＞ 0 とする。
A の元 a に a^p を対応させる写像を ψ とする。
>>219より A の任意の元 a, b に対して (a + b)^p = a^p + b^p である。
さらに (ab)^p = (a^p)(b^p) であり、1^p = 1 であるから
ψ は A の自己準同型である。
これを A のFrobenius自己準同型と呼ぶ。
0221１３２人目の素数さん2011/11/09(水) 00:28:28.52
こいつキチガイだろｗ
0222Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/09(水) 00:55:10.40
定義 90
K を体(>>82)とする。
K[X] における全ての既約多項式が分離的(>>193)なとき K を完全体と呼ぶ。
0223１３２人目の素数さん2011/11/09(水) 01:05:28.75
おなかごろごろ、糞死体
0224Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/09(水) 01:11:29.28
命題 91
K を体(>>82)とする。
f(X) ∈ K[X] を定数でない多項式とする。
f’(X) を f(X) の導多項式(>>182)とする。
char(Ω) (>>192) = 0 であれば f’(X) ≠ 0 である。

証明
deg f(X) = n とし、
f(X) = a_nX^n + a_(n-1)X^(n-1) + ．．． + a_1X + a_0 とする。
f’(X) = na_nX^(n-1) + (n-1)a_(n-1)X^(n-2) + ．．．+ 2a_2X + a_1 である。
a_n ≠ 0 であり、char(Ω) = 0 であるから na_nX^(n-1) ≠ 0 である。
よって、f’(X) ≠ 0 である。
証明終
0225Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/09(水) 01:23:01.38
命題 92
K を体(>>82)とする。
char(Ω) (>>192) = 0 であれば K は完全体(>>222)である。

証明
f(X) ∈ K[X] を任意の既約多項式とする。
f’(X) を f(X) の導多項式(>>182)とする。
>>224より、f’(X) ≠ 0 である。
deg f’(X) ＜ deg f(X) であるから f’(X) は f(X) で割り切れない。
よって、f(X) と f’(X) は互いに素である。
よって、>>194より、f(X) は分離的(>>193)である。
よって、K は完全体(>>222)である。
証明終
0226β2011/11/09(水) 01:42:00.57
　くだらん　塾の教科書でもかいてるのか？
0227Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/09(水) 09:30:46.00
>>214の修正
>このとき環準同型 ψ：Z → Ω が一意に存在する(ψ(1) = 1 と仮定する)。

Z を有理整数環とすると、環準同型 ψ：Z → A が一意に存在し、
ψ(Z) は D に含まれる。
0228Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/09(水) 09:42:31.44
命題 93
K を標数 p ＞ 0 の抽象体(>>197)とする。
f(X) ∈ K[X] を多項式とする。
f’(X) を f(X) の導多項式(>>182)とする。
f’(X) = 0 なら f(X) ∈ K[X^p] である。

証明
f(X) = a_nX^n + a_(n-1)X^(n-1) + ．．． + a_1X + a_0 = Σa_iX^i とする。
f’(X) = Σia_iX^(i-1) = 0
よって、各 i、0 ≦ i ≦ n に対して ia_i = 0 である。
よって、a_i ≠ 0 のとき i は p の倍数である。
よって、f(X) は X^p の多項式である。
証明終
0229Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/09(水) 09:51:20.72
記法
A を標数(>>214) p ＞ 0 の可換環とする。
ψ を A のFrobenius自己準同型とする。
ψ(A) を A^p と書く。
さらに任意の整数 n ≧ 0 に対して ψ^n(A) を A^(p^n) と書く。
但し、n = 0 のとき ψ^n(A) = A とする。
0230Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/09(水) 10:03:34.80
命題 94
K を標数 p ＞ 0 の抽象体(>>197)で K = K^p (>>229) とする。
f(X) ∈ K[X] を多項式とする。
f’(X) を f(X) の導多項式(>>182)とする。
f’(X) = 0 なら f(X) ∈ (K[X])^p (>>229) である。

証明
>>228 より f(X) = g(X^p) となる g(X) ∈ K[X] がある。
K = K^p であるから g(X) の各係数の p 乗根が K に存在する。
g(X) の各係数をその p 乗根で置き換えた多項式を h(X) とする。
>>219より (h(X))^p = g(X^p) である。
よって、f(X) = (h(X))^p ∈ (K[X])^p
証明終
0231１３２人目の素数さん2011/11/09(水) 10:28:31.84
削除対象アドレス
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1319476638/130-138
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1319476638/142-156
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1319476638/159-166
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1319476638/171-178
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1319476638/180-195
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1319476638/197
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1319476638/201
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1319476638/204
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1319476638/206
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1319476638/
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1319476638/213-215
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1319476638/218-220
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1319476638/222-225
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1319476638/224-230

削除理由・詳細・その他：
５． 掲示板・スレッドの趣旨とは違う投稿
６． 連続投稿・重複
0232１３２人目の素数さん2011/11/09(水) 10:46:45.59
>>Kummer
ださっ…
しかも間違いだらけやし
0233Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/09(水) 10:47:53.27
命題 95
Ω(>>82)の標数(>>192)を p ＞ 0 とする。
K を体(>>82)とする。
a を K の元で K^p (>>229)に含まれないとする。
このとき任意の整数 e ≧ 0 に対して X^(p^e) - a は K[X] で既約である。

証明(Bourbaki)
f(X) = X^(p^e) - a とおく。
f(X) の Ω における任意の根を α とする。
可換環 Ω[X] の標数(>>214)は p であるから
>>219を繰り返し使って (X - α)^(p^e) = X^(p^e) - α^(p^e) = f(X)
α の K 上の最小多項式(>>116)を g(X) とする。
f(X) = g(X)h(X) となる h(X) ∈ K[X] がある。 g(X) はモニック(>>115)だから
h(X) の次数 ≧ 1 なら α は h(X) の根であるから h(x) は g(x) で割り切れる。
よって、f(X) = (g(X)^2)r(X) となる r(X) ∈ K[X] がある。
以上を繰り返して、f(X) = c(g(X))^q となる c ∈ K と整数 q ≧ 1 がある。
g(X) はモニック(>>115)だから c = 1 である。
よって、f(X) = (g(X))^q
q は p^e の約数であるから q = p^s となる整数 s で 0 ≦ s ≦ e となるものある。
g(X) の定数項を c とすると c^q = -a である。
a は K^p (>>229)に含まれないから q = 1 でなければならない。
よって、f(X) = g(X) である。
証明終
0234１３２人目の素数さん2011/11/09(水) 10:50:19.59
経済学板の「経済学の数学の使い方が気持ち悪い」スレに行ってみて下さい。
経済学＝数学らしいです。　
0235１３２人目の素数さん2011/11/09(水) 10:53:44.03
>>Kummer
被災者の方への謝罪は済んだのでしょうか？
0236１３２人目の素数さん2011/11/09(水) 10:55:37.58
>>231
>５． 掲示板・スレッドの趣旨とは違う投稿

ガロア生誕200周年記念スレなので彼の業績であるガロア理論を紹介しています。
0237１３２人目の素数さん2011/11/09(水) 10:58:01.73
おまえは相手を無視して一方的に自分のノート貼ってるだけだ。
自分のブログか専用スレでやれ阿呆。
0238Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/09(水) 11:33:58.41
命題 96
Ω(>>82)の標数(>>192)を p ＞ 0 とする。
体(>>82) K が完全体(>>222)であるためには K = K^p (>>229)が必要十分である。

証明
必要性：
K ≠ K^p とする。
K の元 a で K^p に含まれないものがある。
>>233より X^p - a は K[X] で既約である。
X^p - a の Ω における任意の根を α とする。
可換環 Ω[X] の標数(>>214)は p であるから
>>219よりを X^p - a = (X - α)^p
よって、X^p - a は分離的(>>193)ではない。
よって、K は完全体でない。

十分性：
K = K^p とする。
f(X) を K[X] の任意の既約多項式とする。
f’(X) を f(X) の導多項式(>>182)とする。
f’(X) = 0 なら、>>230より f(X) = (g(X))^p となる g(X) ∈ K[X] がある。
しかし、f(X) は既約だからこれは不可能である。
よって、f’(X) ≠ 0 である。
deg f’(X) ＜ deg f(X) であるから f’(X) は f(X) で割れない。
f(X) は既約だから、f(X) と f’(X) は互いに素である。
よって、>>194より、f(X) は分離的(>>193)である。
よって、K は完全体である。
証明終
0239１３２人目の素数さん2011/11/09(水) 11:36:41.24
>>237
書いてある内容に関する質問や誤りの指摘には返事をします。
0240１３２人目の素数さん2011/11/09(水) 11:37:03.59
この特別な年にみんなでGalois理論を学ぶ事は非常に素晴らしい事だと思います。
僕はKummer氏にこのスレで続けて欲しいです。
0241１３２人目の素数さん2011/11/09(水) 11:41:04.38
うんこ
0242１３２人目の素数さん2011/11/09(水) 11:41:40.98
巣へｶｴﾚ

【Kummer's】代数的整数論024【Mathematical Note】
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1304472397/
0243１３２人目の素数さん2011/11/09(水) 11:50:50.61
これが数学オタクの成れの果てだ
学生はよく見ておけよ、こんなやつになっちゃだめだ
0244１３２人目の素数さん2011/11/09(水) 11:56:53.38
ポスト無し、就職無し、ペーパー書けない、出版出来ない・・・
0245１３２人目の素数さん2011/11/09(水) 11:59:08.15
クマってTeX分からんらしいよ。
0246１３２人目の素数さん2011/11/09(水) 13:20:50.10
命題 97(完全体でない例)
Ω(>>82)の標数(>>192)を p ＞ 0 とする。
K を体(>>82)とする。
t ∈ Ω を K 上超越的(>>89)とする。
このとき t は (K(t))^p (>>229)に含まれない。
よって、>>238より K(t) は完全体ではない。

証明
t ∈ (K(t))^p とする。
K[t] (>>91)の元 f と g があり t = (f/g)^p となる。
t は K 上超越的だから K[t] は多項式環 K[X] に同型である。
よって、f と g は t の多項式と見なしてよい。
よって、f と g は互いに素と仮定してよい。
よって、f^p と g^p も互いに素である。
t(g^p) = f^p であるから t は f^p で割れる。
よって、f は定数、即ち K の元である。
よって、t(g^p) も K の元であるが、これは不可能である。
証明終
0247１３２人目の素数さん2011/11/09(水) 13:46:56.98
定義 98
K を体(>>82)とする。
α ∈ Ω(>>82) を K 上代数的(>>89)とする。
α の K 上の最小多項式(>>116)が分離的(>>193)なとき
α を K 上分離的であるという。
0248１３２人目の素数さん2011/11/09(水) 13:55:22.53
定義 99
L/K を代数的拡大(>>90)とする。
L の各元が K 上分離的(>>247)なとき L は K 上分離代数的または単に K 上分離的という。
このとき L/K は 分離代数的または分離的という。
さらに L/K が有限なとき L/K は有限分離的という。
0249１３２人目の素数さん2011/11/09(水) 14:45:11.10
次の命題はGaloisの方程式論において重要である。

命題 100
K を体(>>82)とする。
f(X) ∈ K[X] を定数でない多項式とする。
f の Ω(>>82) における全ての根の集合を H = {α_1、．．．、α_n} とする。
ここで、α_1、．．．、α_n は互いに異なるとする。
L = K(α_1、．．．、α_n) (>>91)とおく。
即ち L は f(X) の最小分解体(>>149)である。
σ を Aut(L/K) (>>123) の任意の元とすると σ は H の置換を引き起こす。
よって、群の準同型 ψ：Aut(L/K) → S(H) が得られる。
ここで、S(H) は H 上の置換全体のなす群、即ち H 上の対称群である。
このとき、ψ は単射である。
よって、Aut(L/K) は有限群であり、|Aut(L/K)| ≦ n! である。

証明
各 α_i ∈ H は f(X) の根だから f(α_i) = 0
よって、σ(f(α_i)) = f(σ(α_i)) = 0
よって、σ(α_i) ∈ H である。
よって、σ(H) ⊂ H
σ は単射で H は有限集合だから σ(H) = H である。
よって、σ は H の置換を引き起こす。
これから群の準同型 ψ：Aut(L/K) → S(H) が得られることは明らかである。
σ ∈ Ker(ψ) とする。
各 α_i ∈ H に対して σ(α_i) = α_i である。
L の任意の元 x は α_1、．．．、α_n の K 係数の有理式 P(α_1、．．．、α_n) で表されるから
σ(x) = σ(P(α_1、．．．、α_n)) = P(σ(α_1)、．．．、σ(α_n)) = P(α_1、．．．、α_n) = x
よって、σ = 1 である。
よって、ψ は単射である。
|S(H)| = n! であるから |Aut(L/K)| ≦ n! である。
証明終
0250数学要努力者 里（サト） ◆PUHk/ACHXc 2011/11/09(水) 15:00:18.83
エバリスト・ガロワ（蠍座？）１０月２５分生まれとは知りませんでした。
本日、ヘルマン ワイル先生（蠍座）の生誕記念。
野口英世先生（福島県ご出身）も本日。

俺も今日です。（某数学団体会費未納反省。某通信制大学、学費２期未納反省。）
0251１３２人目の素数さん2011/11/09(水) 15:21:11.83
定義 101
分離的(>>248)な正規拡大(>>163)をGalois拡大という。
L/K がGalois拡大のとき Aut(L/K) (>>123) を L/K のGalois群と言い、G(L/K) と書く。
0252１３２人目の素数さん2011/11/09(水) 15:25:52.56
なんで拡大を正規やら分離的やらに限定しないといけないの？
0253１３２人目の素数さん2011/11/09(水) 15:34:51.84
命題 102
L/K を有限(>>87)な正規拡大(>>163)とする。
このとき、次数１以上の f(X) ∈ K[X] があり、
L は f(X) の最小分解体(>>149)である。

証明
L/K は有限であるから L = K(α_1、．．．、α_n) (>>91) と書ける。
各 α_i に対して f_i(X) を α_i の K 上の最小多項式(>>116)とする。
L/K は正規拡大であるから、各 f_i は L で分解する。
よって、f(X) = Πf_i(X) とおけば L は f(X) の最小分解体である。
証明終
0254１３２人目の素数さん2011/11/09(水) 15:39:12.69
>>252
後で説明します。
0255１３２人目の素数さん2011/11/09(水) 15:40:13.38
|￣|　∧∧
ﾆニニ(ﾟДﾟ∩ｺ
|＿|⊂　　ノ
　　 /　０
　　 し´

えっ…と､
糞ｽﾚはここかな…､と
　∧∧　∧∧
∩ﾟДﾟ≡ﾟДﾟ)|￣|
`ヽ　　 /)ニニニｺ
　 |_　i～　 |＿|
　 ∪ ∪


　　∧∧ ミ　ﾄﾞｽｯ
　 (　　) ＿ｎ＿
　 /　　つ 終了｜
～′　/´ ￣||￣
　∪∪　　　||_ε3
　　　　　　ﾞﾞﾞﾞ
0256Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/09(水) 15:42:10.76
以下のレスにハンドルを入れ忘れた。
後の検索に便利なように指摘しておく。
>>246
>>247
>>248
>>249
>>251
>>253
0257Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/09(水) 15:47:08.75
命題 103
L/K を有限(>>87)な正規拡大(>>163)とする。
このとき、Aut(L/K) は有限群である。

証明
>>253より、次数１以上の f(X) ∈ K[X] があり、
L は f(X) の最小分解体(>>149)である。
よって、>>249より、Aut(L/K) は有限群である。
証明終
0258Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/09(水) 15:51:12.43
命題 104
L/K を有限(>>87)なGalois拡大(>>251)とする。
このとき、G(L/K) (>>251) は有限群である。

証明
L/K は有限(>>87)な正規拡大(>>163)であるから>>257より G(L/K) = Aut(L/K) は有限群である。
証明終
0259Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/09(水) 20:26:20.55
命題 105
K と L を体(>>82)とし、σ：K → L を同型(>>121)とする。
f(X) ∈ K[X] を定数でない多項式とする。
σf(X) ∈ L[X]を f(X) の各係数にσを作用させた多項式とする。
f(X) の Ω(>>82) における根全体の集合を S とする。
σf(X) の Ω における根全体の集合を S_σ とする。
このとき |S| = |S_σ| (>>180)である。

証明
E を f(X) の最小分解体(>>149)とする。
F を σf(X) の最小分解体とする。
>>175より、同型 τ：E → F で σ の拡張となっているものが存在する。

S = {α_1、．．．、α_r} とし、f(X) = Π(X - α_i)^(m_i) とする。
>>143より、環としての同型 ψ：E[X] → F[X] で
g(X) ∈ K[X] のとき ψ(g(X)) = τg(X) となるものが一意に存在する。
ここで、τg(X) は g(X) の各係数にτを作用させたものである。
σf(X) = ψ(f(X)) = Π(X - τ(α_i))^(m_i)
よって、S_σ = {τ(α_1)、．．．、τ(α_r)}
よって、|S| = |S_σ| である。
証明終
0260Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/09(水) 22:04:33.63
命題 106
K ⊂ M ⊂ L を体(>>82)の拡大列とする。
L/K が分離代数的(>>248)なら M/K と L/M も分離代数的である。

証明
M/K が分離代数的なことは自明である。
任意の α ∈ L に対して f(X) を α の K 上の最小多項式(>>116)とする。
f(α) = 0 で f(X) ∈ M[X] であるから α は M 上代数的(>>89)である。
g(X) を α の M 上の最小多項式(>>116)とする。
f(α) = 0 で f(X) ∈ M[X] であるから M[X] において f(X) は g(X) で割れる。
f(X) は分離的(>>193)であるから g(X) も分離的である。
よって、α は M 上分離的である。
よって、L/M は分離代数的である。
証明終
0261１３２人目の素数さん2011/11/10(木) 08:49:30.28
　　　 ∩＿＿＿∩
　　　 | ノ　　　　　 ヽ
　　　/　　●　　　● |　　　ちょっと通るクマ-ね
　　 |　　　　( _●_)　 ミ
　　彡､　　　|∪|　　､｀
　/ 　　　　　ヽノ　::::i　＼
/　　/　　　　　　　::::|＿/
＼／　　　　 　 　 　::|
　　 |　　　　　　　　::::|　 ｸﾏ-
　　 i　　　　　＼　::::/　ｸﾏ-
　　　＼　　　 　|::／
　　　　 |＼＿／/
　　　　 ＼＿／
0262Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/10(木) 09:04:52.73
定義 107
L/K を体の拡大(>>82)とする。
σ：K → Ω (>>82) を埋め込み(>>121)とする。
埋め込み：L → Ω で σ の拡張となっているものを σ-埋め込みと言う。
σ-埋め込み：L → Ω 全体の集合を E(σ、L/K) と書く。
σ が K の各元を動かさないとき E(σ、L/K) を E(L/K) と書く。
即ち、E(L/K) は K-埋め込み(>>122)：L → Ω 全体の集合である。
0263Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/10(木) 09:23:27.86
命題 108
K を体(>>82)とし、σ：K → Ω (>>82) を埋め込み(>>121)とする。
α ∈ Ω を K 上代数的(>>89)とする。
f(X) を α の K 上の最小多項式(>>116)とする。
f(X) の Ω における根全体の集合を S とする。
このとき、|E(σ、K(α)/K)| = |S| である。

証明
σf(X) を f(X) の各係数にσを作用させた多項式とする。
σf(X) の Ω における根全体の集合を S_σ とする。
>>165より S_σ の任意の元 β に対して τ(α) = β となる τ ∈ E(σ、K(α)/K) が唯一存在する。
逆に任意の τ ∈ E(σ、K(α)/K) に対して
f(α) = 0 より τ(f(α)) = σf(τ(α)) = 0
よって、τ(α) ∈ S_σ
よって、|E(σ、K(α)/K)| = |S_σ| である。
一方、>>259より |S| = |S_σ| である。
よって、|E(σ、K(α)/K)| = |S|
証明終
0264Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/10(木) 09:40:58.92
命題 109
K を体(>>82)とし、α ∈ Ω を K 上代数的(>>89)とする。
このとき、|E(K(α)/K)| ≦ [K(α) : K] である。
ここで、等号が成り立つためには α が分離的(>>247)であることが必要十分である。

証明
f(X) を α の K 上の最小多項式(>>116)とする。
f(X) の Ω における根全体の集合を S とする。
>>263より、|E(K(α)/K)| = |S| である。
|S| ≦ deg f(X) であるが >>120より、deg f(X) = [K(α) : K] である。
よって、|E(K(α)/K)| ≦ [K(α) : K] である。

α が分離的なら |S| = deg f(X) であるから |E(K(α)/K)| = [K(α) : K] である。
逆に α が分離的ないなら |S| ＜ deg f(X) であるから |E(K(α)/K)| ＜ [K(α) : K] である。
証明終
0265Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/10(木) 10:06:17.34
命題 110
L/K を有限拡大(>>87)とする。
σ：K → Ω (>>82) を埋め込み(>>121)とする。
このとき、|E(σ、L/K)| (>>262) ≦ [L : K] (>>87)である。

証明
L/K は有限であるから L = K(α_1、．．．、α_n) (>>91) と書ける。
n に関する帰納法による。
n = 1 のとき、α_1 の K 上の最小多項式(>>116) を f(X) とする。
f(X) の Ω における根全体の集合を S とする。
>>263より、、|E(σ、K(α_1)/K)| = |S| である。
|S| ≦ deg f(X) であるが >>120より、deg f(X) = [K(α_1) : K] である。
よって、|E(K(α_1)/K)| ≦ [K(α_1) : K] である。
よって、n = 1 のとき本命題は成り立つ。

n ≧ 2 とし、K_(n-1) = K(α_1、．．．、α_(n-1)) とおく。
|E(σ、K_(n-1)/K)| ≦ [K_(n-1) : K] と仮定する。

α_n の K_(n-1) 上の最小多項式(>>116) を g(X) とする。
g(X) の Ω における根全体の集合を S とする。
任意の τ ∈ E(σ、K_(n-1)/K) をとる。
>>263より、|E(τ、L/K)| = |S| である。
よって、|E(τ、L/K)| は τ ∈ E(σ、K_(n-1)/K) の取り方によらず一定の値 |S| を取る。
よって、
|E(σ、L/K)|
= |S| |E(σ、K_(n-1)/K)|
≦ (deg g(X))|E(σ、K_(n-1)/K)|　　　← |S| ≦ deg g(X) より
≦ (deg g(X))[K_(n-1) : K]　　　← 帰納法の仮定 |E(σ、K_(n-1)/K)| ≦ [K_(n-1) : K] より
= [L : K_(n-1)][K_(n-1) : K]　　　← >>120より
= [L : K]　　　← >>88より
証明終
0266Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/10(木) 11:35:34.26
命題 111(Lang)
L/K を有限拡大(>>87)とする。
σ：K → Ω (>>82) と τ：K → Ω を埋め込み(>>121)とする。
>>265より、E(σ、L/K) と E(τ、L/K) は有限集合である。
このとき、|E(σ、L/K)| = |E(τ、L/K)| である。

証明
L/K は有限であるから L = K(α_1、．．．、α_n) (>>91) と書ける。
各 α_i の K 上の最小多項式(>>116) を f_i(X) とし、f(X) = Πf_i(X) とおく。
σf(X) と τf(X) をそれぞれ f(X) の各係数にσとτを作用させた多項式とする。
f(X) の K 上の最小分解体(>>149)を M とする。
M_σ と M_τ をそれぞれ σf(X) と τf(X) の最小分解体とする。
各 i に対して f_i(α_i) = 0 であるから f(α_i) = 0
よって、α_i ∈ M よって、L ⊂ M である。
さらに、任意の ρ ∈ E(σ、L/K) に対して ρ(f(α_i)) = σf(ρ(α_i)) = 0
よって、ρ(α_i) ∈ M_σ、よって、ρ(L) ⊂ M_σ である。
同様に、任意の π ∈ E(τ、L/K) に対して π(L) ⊂ M_τ である。

τσ^(-1)：σK → τK は同型である。
よって、>>175より、同型 λ：M_σ → M_τ で τσ^(-1) の拡張となっているものが存在する。
ρ ∈ E(σ、L/K) を任意に取る。
上で示したように ρ(L) ⊂ M_σ であるから埋め込み λρ：L → M_τ が定義出来る。
任意の x ∈ K に対して λρ(x) = λσ(x) = τσ^(-1)σ(x) = τ(x)
よって、λρ ∈ E(τ、L/K) である。
ρ ∈ E(σ、L/K) に λρ ∈ E(τ、L/K) を対応させることにより
写像 ψ：E(σ、L/K) → E(τ、L/K) が得られる。

同様に π ∈ E(τ、L/K) に λ^(-1)π ∈ E(σ、L/K) を対応させることにより
写像 φ：E(τ、L/K) → E(σ、L/K) が得られる。
明らかに ψ と φ は互いの逆写像である。
よって、全単射 ψ：E(τ、L/K) → E(τ、L/K) が得られた。
証明終
0267Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/10(木) 11:41:55.83
定義 112
L/K を有限拡大(>>87)とする。
σ：K → Ω (>>82) を埋め込み(>>121)とする。
>>265より、E(σ、L/K) は有限集合である。
>>266より、|E(σ、L/K)| は σ に寄らず L/K のみで定まる。
この値を L/K の分離次数と呼び [L : K]_s と書く。
0268Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/10(木) 12:06:27.48
命題 113
K ⊂ L ⊂ M を体(>>82)の拡大列とし、M/K を有限拡大(>>87)とする。
このとき、[M : K]_s = [M : L]_s[L : K]_s である。

証明
σ：K → Ω (>>82) を任意の埋め込み(>>121)とする。
任意の τ ∈ E(σ、L/K) (>>262) に対して |E(τ、M/L)| = [M : L]_s である。
即ち、τ：L → Ω を拡張する埋め込み M → Ω の個数は τ に寄らず一定の値 [M : L]_s である。
よって、|E(σ、M/K)| = [M : L]_s|E(σ、L/K)|
即ち [M : K]_s = [M : L]_s[L : K]_s である。
証明終
0269Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/10(木) 12:48:07.96
命題 114
L/K を有限拡大(>>87)とする。
このとき、[L : K]_s ≦ [L : K] である。
ここで、等号が成り立つためには L/K が分離的(>>248)であることが必要十分である。

証明
[L : K]_s ≦ [L : K] は>>265で証明されている。
L/K が分離的なとき [L : K]_s = [L : K] を証明しよう。
L/K は有限であるから L = K(α_1、．．．、α_n) (>>91) と書ける。
n に関する帰納法による。
n = 1 のときは>>264より [L : K]_s = [L : K] である。
n ≧ 2 とし、K_(n-1) = K(α_1、．．．、α_(n-1)) とおく。
[K_(n-1) : K]_s = [K_(n-1) : K] と仮定する。
>>260より、L/K_(n-1) は分離的(>>248)であるから、α_n は K_(n-1) 上分離的(>>247)である。
L = K_(n-1)(α_n) に注意して、>>268と>>264と帰納法の仮定から
[L : K]_s = [L : K_(n-1)]_s[K_(n-1) : K]_s = [L : K_(n-1)][K_(n-1) : K] = [L : K]

逆に [L : K]_s = [L : K] と仮定して L/K が分離的なことを証明しよう。
L/K が分離的でないとする。
K 上分離的でない α ∈ L が存在する。
>>264より、[K(α) : K]_s ＜ [K(α) : K] である。

[L : K]_s
= [L : K(α)]_s[K(α) : K]_s　　← >>268による
≦ [L : K(α)][K(α) : K]_s　　← >>265より [L : K(α)]_s ≦ [L : K(α)]
＜ [L : K(α)][K(α) : K]
= [L : K]　　← >>88より
よって、[L : K]_s ＜ [L : K] となって仮定に反する。
証明終
0270Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/10(木) 13:09:14.76
命題 115
L/K を体の拡大(>>82)とする。
α ∈ Ω(>>82) を K 上分離的(>>247)とする。
このとき α は L 上分離的である。

証明
>>260の証明と同様であるが一応証明する。
f(X) を α の K 上の最小多項式(>>116)とする。
f(α) = 0 で f(X) ∈ L[X] であるから α は L 上代数的(>>89)である。
g(X) を α の L 上の最小多項式(>>116)とする。
f(α) = 0 で f(X) ∈ L[X] であるから L[X] において f(X) は g(X) で割れる。
f(X) は分離的(>>193)であるから g(X) も分離的である。
よって、α は L 上分離的である。
証明終
0271Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/10(木) 13:23:23.47
命題 116
K を体(>>82)とし、α_1、．．．、α_n ∈ Ω を K 上分離的(>>247)とする。
このとき、K(α_1、．．．、α_n)/K は分離的(>>248)である。

証明
L = K(α_1、．．．、α_n) とおく。
>>269より [L : K]_s = [L : K] を証明すれば良い。

n に関する帰納法による。
n = 1 のとき、>>264より、[L : K]_s = [L : K] である。

n ≧ 2 とし、K_(n-1) = K(α_1、．．．、α_(n-1)) とおく。
[K_(n-1) : K]_s = [K_(n-1) : K] と仮定する。

L = K_(n-1)(α_n) である。
>>270より、α_n は K_(n-1) 上分離的(>>247)である。
よって、>>264より、[L : K_(n-1)]_s = [L : K_(n-1)] である。

よって、>>268より、
[L : K]_s = [L : K_(n-1)]_s[K_(n-1) : K]_s = [L : K_(n-1)][K_(n-1) : K] = [L : K]
証明終
0272Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/10(木) 13:36:15.65
定義 117
L/K を体の拡大(>>82)とする。
>>271より L の元で K 上分離的(>>247)なもの全体は体(>>82) M をなす。
M を K の L における相対分離的閉包または分離的閉包と言う。
明らかに K ⊂ M であり、M/K は分離的(>>248)である。
K の Ω(>>82) における相対分離的閉包を K の分離的閉包と言う。
0273Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/10(木) 13:57:37.23
命題 118
K を体(>>82)とし、S ⊂ Ω を K 上分離的(>>247)な元からなるある集合とする。
このとき、K(S)/K は分離的(>>248)である。

証明
K(S) の任意の元 α に対して S の有限部分集合 H があり、α ∈ K(H) となる。
>>271より、K(H)/K は分離的(>>248)である。
よって、α は K 上分離的である。
よって、K(S)/K は分離的である。
証明終
0274１３２人目の素数さん2011/11/10(木) 14:14:30.60
クマはアク禁になるねw
0275１３２人目の素数さん2011/11/10(木) 14:46:30.38
クマったクマったクマった
0276１３２人目の素数さん2011/11/10(木) 15:04:47.04
Kummerの代数的整数論スレは現在パート24まである。
今後も続編が続くだろう。
この過去スレを見たいと思ってる人は多いし、実際金を出して見てる人もいるはず。
つまりKummerは2chの利益に貢献している。
0277１３２人目の素数さん2011/11/10(木) 15:10:02.06
ガロア理論の主定理を最初にズバッと持ってきてくれないかな。
ボトムアップ方式だと話が長いから見ていて疲れるんだよなぁ。
0278Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/10(木) 15:31:34.88
>>277
Galoisの「方程式論」の主定理は>>85です。
現在、Galois理論の主定理または基本定理と呼ばれているのはこれとは違い
有限Galois拡大(>>251) L/K の中間体と G(L/K) (>>251) の部分群がある方法で１対１に
対応するというものです。これから>>85が得られます。
この定理の正確な記述は後で述べますが、ネット上、例えばwikipediaにも載ってます。
0279Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/10(木) 15:48:29.18
命題 119
K ⊂ L ⊂ M を体(>>82)の拡大列とする。
L/K と M/L がそれぞれ有限(>>87)かつ分離的(>>248)なら M/K も有限かつ分離的である。

証明
>>125より、M/K は有限である。
よって、>>268より、[M : K]_s = [M : L]_s[L : K]_s である。
一方、>>88より、[M : K] = [M : L][L : K]

>>269より、[M : L]_s = [M : L] かつ [L : K]_s = [L : K]
よって、[M : K]_s = [M : K]
よって、>>269より M/K は分離的である。
証明終
0280１３２人目の素数さん2011/11/10(木) 16:14:28.24
>>Kummer
おまえ自分で体論のスレ立てたんだからそこでやれよ
ここは皆がガロアについて語るスレだからお前が私物化したらまずいだろボケ
0281Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/10(木) 16:21:03.75
命題 120
K ⊂ L ⊂ M を体の拡大列とする。
L/K と M/L が分離代数的(>>248)なら M/K も分離代数的である。

証明
任意の α ∈ M に対して f(X) を α の L 上の最小多項式(>>116)とする。
f(X) の係数全体の集合を S とする。
>>126より、K(S)/K は有限である。
K ⊂ K(S) ⊂ L で L/K は分離的(>>248)であるから K(S)/K は分離的である。

α の K(S) 上の最小多項式を g(X) とする。
f(X) ∈ K(S) であるから K(S)[X] において f(X) は g(X) で割れる。
f(X) は分離的(>>193)であるから g(X) も分離的である。
よって、α は K(S) 上分離的(>>247)である。
よって、>>271より、K(S)(α)/K(S) は分離的である。

K ⊂ K(S) ⊂ K(S)(α) に>>279を適用すれば K(S)(α)/K は分離的である。
よって、α は K 上分離的である。
α ∈ M は任意であったから M/K は分離的である。
証明終
0282１３２人目の素数さん2011/11/10(木) 16:30:28.79
Kummerに遠慮せずにガロア関連の話題を振ればいいじゃん
話題がないなら無理して振る必要はないがｗ
0283仙石６０サポータ2011/11/10(木) 16:31:57.88
Kummerさんの記述も時々見てる。　質問があると理解もすすむのよろしく。
0284Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/10(木) 16:45:12.25
命題 121
体の分離代数的(>>248)な拡大(>>82)全体の集合 Ψ は正則(>>136)である。

証明
>>136の 1) は>>260と>>281で証明されている。

>>136の 2) の証明：
E/K を分離代数的(>>248)な拡大(>>82)とし、F/K を K 上の任意の拡大(>>82)とする。
>>270より、E の各元は F 上分離的(>>247)である。
よって、>>273より EF = F(K) は K 上分離代数的である。
証明終
0285Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/10(木) 17:04:16.46
無限次元のGalois拡大(>>251)は近年重要度を増してきている。
よって、無限次元の代数的拡大に関する命題で有限次元の場合と同様に成り立つ命題
(例えば>>177とか>>281)については、なるべく有限次元に制限しないで述べることにしている。
ただし、ここでは>>85の証明が主な目標なので無限次元のGalois理論に深入りはしない予定である。
0286１３２人目の素数さん2011/11/10(木) 17:41:20.18
無限次元のGalois理論についてもどんどんやって欲しいなぁ。
あと、K[x]とかK[x,y]みたいな関数体の拡大理論はどうなるの？
0287Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/10(木) 19:17:40.27
>>286
無限次元のGalois理論は代数的整数論のスレのpart 1に書いてあります。
一変数の関数体 K(X) の有限次代数拡大については代数的整数論のスレで扱う予定。
多変数の関数体 K(X_1、．．．X_n) の代数拡大については代数幾何の範囲なので
今のところ扱う予定はありません。
0288１３２人目の素数さん2011/11/10(木) 21:35:52.59
>>287
レスどうも。期待しています！
0289Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/10(木) 22:22:10.16
命題 122
K を体(>>82)とし、S ⊂ Ω(>>82) を K 上代数的(>>89)な元からなるある集合とする。
このとき K[S] = K(S) (>>91) である。

証明
>>129より、任意の α ∈ K[S] ⊂ K(S) は K 上代数的(>>89)である。
よって、>>119より、K[α] = K(α) である。
よって、α ≠ 0 であれば 1/α ∈ K[α] ⊂ K[S]
よって、K[S] は体である。
よって、K[S] = K(S) である。
証明終
0290Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/10(木) 22:35:20.36
命題 123
K を体(>>82)とする。
E/K を任意の拡大(>>82)とし、F/K を代数的拡大(>>90)とする。
このとき、EF (>>132) = E[F] (>>91) である。
従って、>>133より、EF は α_1β_1 ＋ ．．．＋ α_nβ_n の形の元全体からなる。
ここで、α_1、．．．、α_n は E の元であり、 β_1、．．．、β_n は F の元である。

証明
F の各元は K 上代数的であるから E 上代数的である。
よって、>>289より EF = E[F] である。
証明終
0291Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/10(木) 22:42:35.64
定義 124
(K_i)、i ∈ I を体(>>82)の族とする。
各 K_i を含む最小の体>>82)を (K_i)、i ∈ I の合成体と言う。
0292Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/10(木) 23:00:21.26
命題 125
(K_i)、i ∈ I を体(>>82)の族とする。
K を (K_i)、i ∈ I の合成体(>>291)とする。
I の空でない有限部分集合全体の集合を Φ とする。
S ∈ Φ に対して (K_i)、i ∈ S の合成体を K_S とする。
このとき K = ∪{K_S； S ∈ Φ} である。

証明
L = ∪{K_S； S ∈ Φ} とおく。
S、T ∈ Φ とし、α ∈ K_S、β ∈ K_T とする。
αβ、α + β ∈ K_(S∪T) である。
α ∈ K_S、α ≠ 0 なら 1/α ∈ K_S
よって、L は体である。
各 K_i は L に含まれるから K ⊂ L である。
他方、S ∈ Φ のとき K_S ⊂ K であるから L ⊂ K である。
よって、K = L である。
証明終
0293Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/10(木) 23:13:13.74
定義 126
L/K を代数的拡大(>>90)とする。
E/K が正規拡大(>>163)となるような体(>>82)全体の集合を Ψ とする。
K~ を K の代数的閉包(>>128)とすると、K~/K は正規拡大(>>163)である。
よって、Ψ は空でない。
N = ∩{E； E ∈ Ψ} は体であり、N/K は正規拡大である。
N を L/K の正規閉包という。
0294仙石６０2011/11/11(金) 00:04:34.32
>>Kummer
じゃがあしい、黙っとれや！
しかも間違いだらけやんけ、数学をナメとんかお前はコラァ？
0295Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/11(金) 00:09:55.29
定義 127
L/K を代数的拡大(>>90)とする。
E(L/K) (>>262) の各元を L/K の共役写像、または L の（K 上の）共役写像または K-共役写像と言う。
各 σ ∈ E(L/K) に対して σ(L) を L の（K 上の）共役体または K-共役体 と言う。
σ(L)/K を L/K の共役と言う。

α ∈ L と各 σ ∈ E(L/K) に対して σ(α) を α の（K 上の）共役または K-共役と言う。
0296１３２人目の素数さん2011/11/11(金) 00:16:27.76
>>Kummer
集合や位相空間を代数的整数論のスレで勉強する事は出来ますか？
0297Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/11(金) 00:27:14.86
>>296
代数的整数論のスレでは大学の数学科の１、２年次程度の知識を仮定しています。
つまり、集合、線型代数、微積分、位相空間、群、環、体の基本的知識を仮定しています。
0298１３２人目の素数さん2011/11/11(金) 00:28:53.81
>>294　はβの仙石カタリ
相変わらず包茎βはくさいやつ
0299Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/11(金) 00:28:58.30
記法
K_1、K_2、．．．、K_n を体(>>82)の有限列とする。
K_1、K_2、．．．、K_n の合成体(>>291)を (K_1)(K_2)．．．(K_n) または Π(K_i； 1 ≦ i ≦ n)
または ΠK_i と書く。
0300Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/11(金) 00:36:04.59
記法
(K_i)、i ∈ I を体(>>82)の族とする。
I が有限集合のとき (K_i)、i ∈ I の合成体(>>291)を Π(K_i； i ∈ I) と書く。
0301１３２人目の素数さん2011/11/11(金) 00:38:50.94
>>Kummer
そうですか。
書く予定は有りますか？
0302１３２人目の素数さん2011/11/11(金) 00:48:01.46
　　　　　　　　　　　　　/ヽ　　　　　　 /ヽ
　　　　　　　　　　　　/ 　ヽ　 　　　 / 　ヽ
　　＿＿＿＿＿＿ / 　 　 ヽ＿＿/　 　 　ヽ
　　|　＿＿＿＿　／　　　 　 　 　　　:::::::::::::::＼
　　| |　　　　　　 /／　　　　　　　＼　　:::::::::::::::|
　　| |　　　　　　 |　 ●　　　 　　● 　　 ::::::::::::::| 何ここ・・・
　　| |　　　　　　.|　　　　　　　　　　　　　:::::::::::::|
　　| |　　　　　　 |　 　（__人__丿 　.....:::::::::::::::::::/
　　| |＿＿＿＿　ヽ　　　　　　.....:::::::::::::::::::::::<
　 └＿＿＿／￣￣　　　　　　　:::::::::::::::::::::::::|
　　|＼　　　 |　　　　　　　　　　　　:::::::::::::::::::::::|
　　＼ ＼　　＼＿＿＿　　　　　　 ::::::::::::::::::::::::|
0303Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/11(金) 01:16:02.20
命題 128
L/K を有限(>>87)な拡大(>>82)とする。
L の K 上の共役体(>>295)全体の合成体(>>291)、即ち>>300の記法で Π(σ(L)； σ ∈ E(L/K)) は
L/K の正規閉包(>>293)である。

証明
M = Π(σ(L)； σ ∈ E(L/K)) とおく。
N を L/K の正規閉包とする。
任意の α ∈ L に対して、その K 上の最小多項式(>>116)を f(X) とする。
各 σ ∈ E(L/K) (>>262) に対して σ(α) は f(X) の根であるから σ(α) ∈ N である。
よって、σ(L) ∈ N
よって、M ⊂ N である。
次に、任意の τ ∈ E(M/K) (>>262) に対して τ(M) ⊂ M を証明しよう。
>>265より、E(L/K) は有限集合である。
E(L/K) = {σ_1、．．．、σ_n} とする。
>>290より、M は σ_1(x_1)．．．σ_n(x_n) の形の元の有限和である。
ここで、x_1、．．．、x_n は L の元である。

各 σ_i に対して σ_i(L) ⊂ M であるから τσ_i が定義される。
τσ_i ∈ E(L/K) である。
τσ_i = τσ_k とする。
任意の x ∈ L に対して τσ_i(x) = τσ_k(x) である。
τ は単射であるから σ_i(x) = σ_k(x) である。
よって、σ_i = σ_k である。
よって、{τσ_1、．．．、τσ_n} = {σ_1、．．．、σ_n} である。
よって、x_1、．．．、x_n を L の元としたとき
τ(σ_1(x_1)．．．σ_n(x_n)) = τσ_1(x_1)．．．τσ_n(x_n) は M に含まれる。
よって、τ(M) ⊂ M である。
よって、>>154より τ(M) = M である。
よって、>>166より M/K は正規拡大である。
よって、N ⊂ M である。即ち N = M である。
証明終
0304１３２人目の素数さん2011/11/11(金) 07:05:40.86
>>Kummer
うるさい
0305Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/11(金) 07:51:27.97
命題 129
L/K を有限(>>87)な拡大(>>82)とする。
L = K(α_1、．．．、α_n) (>>91)とする。
各 α_i の K 上の最小多項式(>>116)を f_i(X) とする。
f(X) = Πf_i(X) とおく。
このとき f(X) の K 上の最小分解体(>>149) M は L/K の正規閉包(>>293)である。

証明
N を L/K の正規閉包とする。
>>166より、M/K は正規である。
L ⊂ M であるから N ⊂ M である。
他方、各 f_i(X) は N で分解(>>162)するから M ⊂ N である。
証明終
0306Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/11(金) 08:19:51.92
命題 130
L/K を代数的拡大(>>90)とする。
L の K 上の共役体(>>295)全体の合成体(>>291) M は L/K の正規閉包(>>293)である。

証明
N を L/K の正規閉包とする。
任意の α ∈ L に対して、その K 上の最小多項式(>>116)を f(X) とする。
各 σ ∈ E(L/K) (>>262) に対して σ(α) は f(X) の根であるから σ(α) ∈ N である。
よって、σ(L) ∈ N
よって、M ⊂ N である。

次に、任意の τ ∈ E(M/K) (>>262) に対して τ(M) ⊂ M を証明しよう。
E(L/K) の空でない有限部分集合全体の集合を Φ とする。
各 S ∈ Φ に対して K_S = Π(σ(L)； σ ∈ S) (>>300) とおく。
>>292より、M = ∪{K_S； S ∈ Φ} である。
よって、任意の x ∈ M に対して S ⊂ Φ があり、x ∈ K_S である。
S = {σ_1、．．．、σ_n} とする。
>>290より、x は σ_1(x_1)．．．σ_n(x_n) の形の元の有限和である。
ここで、x_1、．．．、x_n は L の元である。
各 σ_i ∈ S に対して σ_i(L) ⊂ M であるから τσ_i が定義される。
τσ_i ∈ E(L/K) である。
よって、T = {τσ_1、．．．、τσ_n} とおけば τ(x) ∈ K_T ⊂ M である。
よって、τ(M) ⊂ M である。
よって、>>154より τ(M) = M である。
よって、>>166より M/K は正規拡大である。
よって、N ⊂ M である。即ち N = M である。
証明終
0307Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/11(金) 08:26:45.48
命題 131
L/K を代数的拡大(>>90)とする。
L = K(S) (>>91)とする。
各 α ∈ S の K 上の最小多項式(>>116)を f_α(X) とする。
このとき (f_α(X))、α ∈ S の K 上の最小分解体(>>150) M は L/K の正規閉包(>>293)である。

証明
N を L/K の正規閉包とする。
>>166より、M/K は正規である。
S ⊂ M であるから L ⊂ M
よって、N ⊂ M である。
他方、各 f_α(X) は N で分解(>>162)するから M ⊂ N である。
よって、N = M である。
証明終
0308Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/11(金) 08:32:46.25
定義 132
L/K を体(>>82)の拡大(>>82)とする。
L = K(α) となる α ∈ L があるとき L/K を単拡大と言う。
α を L/K の原始元または原始要素と言う。
0309Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/11(金) 08:34:31.58
定義 133
L/K を体(>>82)の拡大(>>82)とする。
K ⊂ M ⊂ L となる体 M を L/K の中間体と呼ぶ。
0310Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/11(金) 08:50:01.94
命題 134
L/K をGalois拡大(>>251)とする。
M を L/K の中間体(>>309)とする。
このとき、L/M はGalois拡大である。

証明
>>172より、L/M は正規である。
>>260より、L/M は分離的である。
よって、L/M はGalois拡大である。
証明終
0311Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/11(金) 09:05:02.87
定義 135
L/K をGalois拡大(>>251)とする。
H を G(L/K) の部分群とする。
このとき、M = {x ∈ L； σ(x) = x、各σ ∈ H} は明らかに L/K の中間体(>>309)である。
M を H の固定体と呼び L^H と書く。
0312Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/11(金) 09:33:22.00
命題 136
L/K をGalois拡大(>>251)とする。
G = をそのGalois群(>>251)とする。
このとき、K = L^G (>>311) である。

証明
α ∈ L^G とする。
σ ∈ E(K(α)/K) (>>262) とする。
即ち、σ は K-埋め込み(>>122)：K(α) → Ω(>>82) である。
>>148より、埋め込み τ：L → Ω で σ の拡張となっているものが存在する。
L/K は正規拡大(>>163)だから>>166より、τ ∈ G と見なせる。
τ(α) = α だから σ は K(α) の恒等写像である。
よって、|E(K(α)/K)| = 1
即ち [K(α) : K]_s (>>267) = 1 である。
一方、K(α)/K は分離的であるから>>269より、[K(α) : K]_s = [K(α) : K]
よって、[K(α) : K] = 1
即ち K(α) = K
よって、α ∈ K
よって、K = L^G である。
証明終
0313Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/11(金) 09:37:37.05
>>312はGaloisの基本定理の一部をなす。
その証明には L/K が正規かつ分離的であることが本質的に使われている。
分離的でない正規拡大では>>312は必ずしも成り立たない。
0314Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/11(金) 10:01:13.18
>>312の証明は次のようにしたほうが分かりやすいかもしれない（実質的には同じであるが）。

α ∈ L^G とする。
α が K に含まれないとする。
α の K 上の最小多項式(>>116)を f(X) とする。
>>120より、[K(α) : K] = deg f(X) である。
[K(α) : K] ≧ 2 であるから deg f(X) ≧ 2 である。
L/K は分離的(>>248)であるから f(X) は分離的(>>193) である。
よって、α ≠ β となる f(X) の根 β ∈ L がある。
>>165より、K-同型(>>122) σ：K(α) → K(β) で σ(α) = β となるものが一意に存在する。
>>148より、埋め込み τ：L → Ω(>>82) で σ の拡張となっているものが存在する。
L/K は正規拡大(>>163)だから>>166より、τ ∈ G と見なせる。
よって、τ(α) = σ(α) = β
一方、α ∈ L^G だから τ(α) = α
よって、α = β となって矛盾。

(注) この証明は背理法を使っていて直接的でないので>>312の証明を優先させた
(私の個人的な好みである)。
0315Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/11(金) 11:01:54.21
>>312の証明は>>148を使っているからZornの補題、即ち選択公理を本質的に使っている。
しかし、L/K が有限(>>87)なら>>148の代わりに>>146が使えるから選択公理は必要ない。
L/K が K 上可算無限個の元を添加して得られるなら>>148の代わりに>>147が使える。
>>147では一般の選択公理より弱い可算選択公理を使っている。
K 上可算無限個の元を添加して得られる拡大の重要な例としては次のようなものがある。

例
Ω(>>82)として複素数体をとる。
有理数体を Q とする。
Q の代数的閉包(>>128)を Q~ とする。
Q~ の濃度は可算無限であることが知られている。
よって、Q~ は Q に可算無限個の元を添加して得られる。
Q~/Q は無限次Galois拡大(>>251)である。
0316Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/11(金) 11:04:08.79
命題 137
L/K を有限(>>87)な正規拡大(>>163)とする。
G = Aut(L/K) (>>123) とおく。
このとき、|G| = [L : K]_s (>>267)である。

証明
>>166より、G = E(L/K) (>>262) と見なせる。
よって、|G| = [L : K]_s である。
証明終
0317Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/11(金) 11:10:20.42
命題 138
L/K を有限(>>87)なGalois拡大(>>251)とする。
このとき、|G(L/K)| = [L : K] (>>87)である。

証明
L/K は正規拡大(>>163)であるから、>>316より、|G(L/K)| = [L : K]_s である。
L/K は分離的(>>248)であるから>>269より、[L : K]_s = [L : K] である。
証明終
0318Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/11(金) 11:31:42.20
>>312において L/K が有限(>>87)であれば次のような別証がある。

命題 139
L/K を有限(>>87)なGalois拡大(>>251)とする。
G をそのGalois群(>>251)とする。
このとき、K = L^G (>>311) である。

証明
n = [L : K] (>>87) とする。
>>317より、|G| = n である。
M = L^G とおく。
M ≠ K と仮定する。
[M : K] ≧ 2 である。
>>88より、n = [L : M][M : K] である。
よって、[L : M] ＜ n

G ⊂ E(L/M) (>>262)と見なせるから |G| ≦ |E(L/M)|
E(L/M) = [L : M]_s (>>267)である。
L/K は分離的(>>248)であるから>>260より L/M も分離的である。
よって、>>269より、[L : M]_s = [L : M] である。
よって、n ≦ [L : M] となって矛盾である。
証明終
0319Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/11(金) 11:52:11.95
命題 140
L/K をGalois拡大(>>251)とする。
M を L/K の中間体(>>309)とする。
H = Aut(L/M) (>>123)とおく。
このとき、M = L^H (>>311) である。

証明
>>310より、L/M はGalois拡大である。
よって、H は L/M のGalois群である。
よって、>>312より、M = L^H である。
証明終
0320Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/11(金) 13:10:28.02
命題 141
L/K をGalois拡大(>>251)とする。
G をそのGalois群(>>251)とする。
L/K の中間体(>>309)全体の集合を Φ(L/K) とし、G の部分群全体の集合を Sub(G) とする。
M ∈ Φ(L/K) に Aut(L/M) ∈ Sub(G) を対応させることにより
写像 ψ：Φ(L/K) → Sub(G) が得られる。
このとき、ψ は単射である。

証明
M、N ∈ Φ(L/K) とし、ψ(M) = ψ(N) = H とする。
>>319より M = L^H、N = L^H
よって、M = N
証明終
0321Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/11(金) 13:16:36.15
命題 142
L/K を有限(>>87)なGalois拡大(>>251)とする。
このとき、L/K の中間体(>>309)の個数は有限である。

証明
G を L/K のGalois群(>>251)とする。
>>317より、G は有限群である。
よって、G の部分群の個数は有限である。
よって、>>320より L/K の中間体(>>309)の個数は有限である。
証明終
0322Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/11(金) 13:35:39.31
命題 143
K を体(>>82)とする。
f(X) ∈ K[X] を分離的(>>193)な多項式とする。
このとき f(X) の最小分解体(>>149) L/K は有限(>>87)なGalois拡大(>>251)である。

証明
>>166より、L/K は正規拡大(>>163)である。
f(X) の Ω における根の全体を α_1、．．．、α_n とする。
L = K(α_1、．．．、α_n) である。
各 α_i の K 上の最小多項式(>>116)を g_i(X) とする。
f(X) は g_i(X) で割れるから g_i(X) は分離的(>>193)である。
よって、α_i は K 上分離的(>>247)である。
よって、>>271より、L/K は分離的(>>248)である。
よって、L/K はGalois拡大(>>251)である。
>>126より、L/K は有限(>>87)である。
証明終
0323Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/11(金) 13:49:41.42
命題 144
K を体(>>82)とする。
(f_i)、i ∈ I を K[X] の分離的(>>193)な多項式からなる族とする。
このとき (f_i)、i ∈ I の最小分解体(>>150) L/K はGalois拡大(>>251)である。

証明
>>166より、L/K は正規拡大(>>163)である。
各 f_i の Ω(>>82) における全ての根の集合を S_i とする。
S = ∪{S_i；i ∈ I} とおく。
L = K(S) (>>91) である。
α を S の任意の元とする。
α ∈ S_i となる i ∈ I がある。
α の K 上の最小多項式(>>116)を g(X) とする。
g(X) は f_i(X) を割るから g(X) は分離的(>>193)である。
よって、α は K 上分離的(>>247)である。
よって、>>273より、L/K は分離的(>>248)である。
よって、L/K はGalois拡大(>>251)である。
証明終
0324Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/11(金) 14:01:04.64
命題 145
L/K が分離代数的(>>248)な拡大(>>82)とする。
N を L/K の正規閉包(>>293)とする。
このとき N/K はGalois拡大(>>251)である。

証明
L = K(S) (>>91)とする。
各 α ∈ S の K 上の最小多項式(>>116)を f_α(X) とする。
>>307より、(f_α(X))、α ∈ S の K 上の最小分解体(>>150) は N である。
各 f_α(X) は分離的(>>193)であるから>>323より N/K はGalois拡大である。
証明終
0325Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/11(金) 14:08:34.65
命題 146
L/K を有限(>>87)かつ分離的(>>248)な拡大(>>82)とする。
N を L/K の正規閉包(>>293)とする。
このとき N/K は有限(>>87)なGalois拡大(>>251)である。

証明
L = K(α_1、．．．、α_n) とする。
各 α_i の K 上の最小多項式(>>116)を f_i(X) とする。
>>307より、(f_i(X))、i ∈ {1、．．．、n} の K 上の最小分解体(>>150) は N である。
各 f_i(X) は分離的(>>193)であるから>>323より N/K はGalois拡大である。
>>126より、N/K は有限(>>87)である。
証明終
0326１３２人目の素数さん2011/11/11(金) 14:19:41.44

ところで、ガロア拡大でない場合のガロア理論ってあるの？
0327Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/11(金) 14:45:32.22
>>326
An extension of Galois theory to non-normal and non-separable fields by N. Jacobson
0328１３２人目の素数さん2011/11/11(金) 15:00:13.93
>>327
レスありがとう。さがしたらこんなのもありました。
A GALOIS THEORY FOR NONCOMMUTATIVE RINGS by H. F. KREIMER
0329Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/11(金) 15:16:07.23
命題 147
K を無限体(>>82)とする。
L/K を有限>>87)な拡大(>>82)とする。
L/K の中間体(>>309)の個数が有限なら L/K は単拡大(>>308)である。

証明(Lang)
L/K の中間体全体の集合を Φ とする。
α、β ∈ L とする。
任意の t ∈ K に対して L_t = K(α + tβ) とおく。
t に L_t を対応させることにより写像 ψ：K → Φ が得られる。
K は無限集合であり、Φ は有限集合である。
よって、ψ は単射ではない。
即ち、t、s ∈ K、t ≠ s があり ψ(t) = ψ(s) となる。
よって、K(α + tβ) = K(α + sβ) となる。
よって、(t - s)β = (α + tβ) - (α + sβ) ∈ K(α + tβ)
t - s ≠ 0 だから β ∈ K(α + tβ)
よって、α = (α + tβ) - tβ ∈ K(α + tβ)
よって、 K(α、β) ⊂ K(α + tβ)
逆の包含関係は明らかだから K(α、β) = K(α + tβ)

L = K(α_1、．．．、α_n) とする。
上記の結果を使って n に関する帰納法により L/K が単拡大であることを示そう。

n = 1 のときは L/K は単拡大である。
n ≧ 2 のとき K(α_1、．．．、α_(n-1)) = K(β) と仮定する。
L = K(β、α_n) である。
よって、上記より L/K は単拡大である。
証明終
0330Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/11(金) 15:31:59.17
>>329の証明より、K(α_1、．．．、α_n)/K の原始要素(>>308) γ として
γ = α_1 + (t_2)α_2 + ．．． + (t_n)α_n の形の元が取れることが分かる。
ここで、t_2、．．．、t_n ∈ K である。
0331Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/11(金) 15:36:45.59
>>329は K が有限体の場合でも成り立つ。
その証明をするため次の命題を用意する。

命題 148
G を位数 n の有限群とする。
n の任意の約数 m ≧ 1に対して方程式 X^m = 1 の解の個数 ≦ m とする。
このとき、G は巡回群である。

証明(Gauss)
n の任意の約数 m ≧ 1 に対して位数 m の G の元の個数を ψ(m) とする。
ψ(m) ≠ 0 とする。
このとき G の位数 m の元 a がある。
本命題の仮定より、a で生成される巡回群 {1, a, ．．．、a^(n-1)} は X^m = 1 の解全体である。
よって、ψ(m) = φ(m) である。
ここで φ(m) はEulerの関数である。
よって、n の任意の約数 m に対して ψ(m) = 0 または ψ(m) = φ(m) である。
一方、n = Σψ(m) である。ここで、Σ は n の約数 m 全体を動く。
同様に n = Σφ(m) である。
よって、n の任意の約数 m に対して ψ(m) = φ(m) でなければならない。
特に ψ(n) = φ(n) であるから G は位数 n の巡回群である。
証明終
0332Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/11(金) 15:40:10.71
命題 149
K を可換体とする。
K の乗法群の有限部分群は巡回群である。

証明
>>331より明らかである。
0333Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/11(金) 15:45:34.69
命題 150
K を有限体(>>82)とする。
L/K を有限>>87)な拡大(>>82)とする。
このとき L/K は単拡大(>>308)である。

証明
L は有限体だから L の乗法群 L^* は有限群である。
よって、>>332より L^* は巡回群である。
その生成元を α とすれば L = K(α) である。
証明終
0334Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/11(金) 16:29:15.56
命題 151
K を体(>>82)とする。
L/K を有限な拡大とする。
L/K の中間体の個数が有限であるためには L/K が単拡大であることが必要十分である。

証明
必要性：
K が無限体の場合は>>329で証明済みである。K が有限体の場合は>>333で証明済みである。

十分性：
L/K が単拡大で、L = K(α) とする。
f(X) を α の K 上の最小多項式とする。
M を L/K の任意の中間体とする。
α の M 上の最小多項式を g(X) とする。
g(X) の係数の全ての集合を S とする。K(S) ⊂ M である。
α の K(S) 上の最小多項式を h(X) とする。
h(α) = 0 で h(X) ∈ M[X] であるから h(X) は g(X) で割れる。
g(α) = 0 で g(X) ∈ K(S)[X] であるから g(X) は h(X) で割れる。
g(X) と h(X) は両方ともモニックだから g(X) = h(X) である。
よって、[L : K(S)] = [L : M]
一方、>>88より、[L : K(S)] = [L : M][M : K(S)]
よって、[M : K(S)] = 1 だから M = K(S)
よって、M は g(X) から一意に決まる。

一方、f(α) = 0 で f(X) ∈ M[X] だから f(X) は g(X) で割れる。
Ω(>>82) における f(X) の根のすべてを重複度も込めて α_1、．．．、α_n とする。
f(X) = (X - α_1)(X - α_2)、．．．、(X - α_n) である。
g(X) は f(X) を割るから (X - α_i) のいくつかの積である。
よって、可能な g(X) は有限個しかない。
上で見たように L/K の中間体は g(X) から一意に決まるから L/K の中間体は有限個しかない。
証明終
0335Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/11(金) 16:38:28.74
命題 152(原始要素の定理)
L/K を有限>>87)かつ分離的(>>248)な拡大(>>82)とする。
このとき L/K は原始要素(>>308)を持つ。
即ち、単拡大(>>308)である。

証明
L/K の正規閉包(>>293)を N とする。
>>325より、N/K は有限(>>87)なGalois拡大(>>251)である。
>>321より、N/K の中間体(>>309)の個数は有限である。
よって、L/K の中間体の個数も有限である。
よって、>>334より、L/K は単拡大である。
証明終
0336１３２人目の素数さん2011/11/11(金) 21:46:29.24
>>Kummer
どの文献を参考にして書いてる？それとも独力で書いてるの？
0337１３２人目の素数さん2011/11/12(土) 05:41:34.65
　　　　　　　　　,ﾝ''"""ﾞ:ヽ
　　　　　　　　,;':::::,-､:::::::::::::"ｰ--.-.- ､,,,　　　　　,,,_,,_,,,_,,,,,,,．--:::::ァ
　　　　　　　 ,;'::::,;' ｼﾞ:::;:::::::::;::::::;:::::::::::::::::::ﾞ''''';;;'""::::::: ::: :::: :: ﾞヾ／ｼ
　　　　　　　ｼ;;:/,ｼ:::::;::::::::::;　:::; :::::; :::::;::　　r--- ､_::::: ::::: :::;::; ::::ﾐ
　　　　　　 ,{:,ン:::::; ::::::::::; 　:::;: :::::; :::::; :::::..;:ヾ;;;彡;;;>::::::::::':; :;: ;:::// -'''ｰ---､
　　　　　, -'"::;::::;　　　:::::::::::::::::: ; ::::::;:::::::::::;;彡ﾚ':::::::::::::::::::;:;; 　:,:ﾐ:::　,　　__ ,__）
　　 , -'"　::::::; ::::;　,,,　　..::::::::::; : : ::::;:::::::::::;:: 彡: : : : :::::::.ー､　ｲ:;'⌒""''"￣
　 r'　　, -'""""""　 """''-'-'-';,,,,, ::;::::::;::::: ;::､彡,::彡三ｼﾞ: -ｪﾉ 　　
　 ﾞｰ‐'　　　　　　　　　　　　　　　 ﾞヽ;::;: ::::;　　"'- ､⌒"'''''''"　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ﾞヽ､:;　　　　　 ﾞ''ヽ,
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　"ﾞヽ､　　　　 　 ﾞ;,
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ﾞヽ､　i　ヽ ﾉ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｀ｰ'ー'
0338Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/12(土) 07:42:46.92
主に参考にしてるのは以下の著者の代数学の教科書。
しかし、これ等の本は今回これを書くために参考のために開いてみただけで、
熟読したわけではないし、まる写ししてるわけでもない。
自分の頭にあるものとの比較のために参照してるという程度。
例えば Ω(>>82)の中で理論のほぼ全てを展開するというのは私のアイデア。
WeilのFoundation of algebraic geometryのまねだが。
Galois理論に関しては、この中ではLangが一番優れていると思った。

Lang
Bourbaki
Jacobson
Dummit-Foote
van der Waerden
0339Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/12(土) 08:02:14.87
Langの本では私と同様に有限次拡大を無限次代数拡大の特別な場合として扱っている。
これはいいのだが、そのためLangは有限次拡大の場合の証明にもZornの補題を使った>>148を援用している。
論理的には正しいのだが、これはスズメを打ち落とすのに機関銃を使うようなものだろう。
そのため、私は有限次拡大の場合には>>148の代わりに>>146を使うことにしている。
0340１３２人目の素数さん2011/11/12(土) 08:04:25.84
＞例えば Ω(>>82)の中で理論のほぼ全てを展開するというのは私のアイデア。

そんな古臭いやり方、今時誰もやろうとはしないだろうからな。
0341Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/12(土) 08:33:24.30
古臭いかどうかは知らないが、可換体 K の任意の代数拡大 L/K は K の代数的閉包に埋め込まれるから
代数拡大を扱う限り Ω(>>82)の中だけで考えることに何の問題もない。
0342１３２人目の素数さん2011/11/12(土) 08:47:50.12
あほう

お前は間違っとるのや ボケが

さっさと致命的欠陥を修復しろ

謝罪しろ
0343Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/12(土) 08:48:20.22
固定した Ω の中で考えるのが嫌いであれば、このスレで現れる全ての体を Ω の部分体と
考えなければいいだけである。
証明は（必要なら自明な僅かな変更だけで）そのまま成り立つ。
ただし、任意の可換体 K は代数的閉包を持つという定理(後で証明する)を認める必要があるが。
0344１３２人目の素数さん2011/11/12(土) 08:54:11.83
>>Kummer
うるさい、謝れ。
0345Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/12(土) 09:33:29.84
命題 153
L/K を有限(>>87)な拡大(>>82)とする。
>>124より、L/K は代数的(>>90)である。
f(X) を α ∈ L の K 上の最小多項式(>>116)とする。
このとき S = {σ(α)； σ ∈ E(L/K) (>>262)} は F(X) の Ω(>>82) における根の全体の集合と一致する。

証明
F(X) の Ω(>>82) における根の全体の集合を T とする。
f(α) = 0 だから、任意の σ ∈ E(L/K) に対して σ(f(α)) = f(σ(α)) = 0
よって、σ(α) ∈ T である。
よって、S ⊂ T である。

逆に β ∈ T とする。
>>165より K-同型(>>122) τ：K(α) → K(β) で τ(α) = β となるものが一意に存在する。
>>146より、埋め込み σ：L → Ω で τ の拡張となっているものが存在する。
τ は K-同型であるから σ も K-同型である。
よって、σ ∈ E(L/K) である。
よって、β ∈ S である。
よって、T ⊂ S である。
よって、S = T である。
証明終
0346Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/12(土) 09:47:44.38
命題 154
L/K を有限(>>87)かつ分離的(>>248)な拡大(>>82)とする。
f(X) を α ∈ L の K 上の最小多項式(>>116)とする。
F(X) の Ω(>>82) における根の全体の集合を T とする。
このとき α が K 上の原始要素(>>308)であるためには
|T| = [L : K] (>>87)となることが必要十分である。

証明
必要性：
α ∈ L が K 上の原始要素であるとする。
n = [L : K] とおく。
L = K(α) であるから >>120より deg F(X) = n である。
L/K は分離的だから F(X) は分離的(>>193)である。
よって、|T| = n である。

十分性：
|T| = n とする。
F(X) は分離的(>>193)だから deg F(X) = n である。
よって、>>120より [K(α) : K] = n である。
よって、L = K(α) である。
証明終
0347Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/12(土) 09:58:58.12
命題 155
L/K を有限>>87)かつ分離的(>>248)な拡大(>>82)とする。
α ∈ L に対して S = {σ(α)； σ ∈ E(L/K) (>>262)} とおく。
このとき α が K 上の原始要素(>>308)であるためには
|S| = [L : K] (>>87)となることが必要十分である。

証明
f(X) を α ∈ L の K 上の最小多項式(>>116)とする。
>>345より、S は F(X) の Ω(>>82) における根の全体の集合と一致する。
よって、本命題は>>346より直ちに得られる。
証明終
0348Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/12(土) 10:05:53.86
命題 156
L/K を有限>>87)かつ分離的(>>248)な拡大(>>82)とする。
α ∈ L とする。
σ ∈ E(L/K) (>>262) に σ(α) ∈ Ω(>>82) を対応させる写像を ψ：E(L/K) → Ω とする。
このとき、α が K 上の原始要素(>>308)であるためには ψ が単射であることが必要十分である。

証明
>>267より、|E(L/K)| = [L : K]_s である。
よって、>>269より、|E(L/K)| = [L : K] である。
よって、本命題は>>347よりより直ちに得られる。
証明終
0349１３２人目の素数さん2011/11/12(土) 10:11:50.04
いいいい」
0350１３２人目の素数さん2011/11/12(土) 10:12:32.41
命題 153
L/K を有限(>>87)な拡大(>>82)とする。
>>124より、L/K は代数的(>>90)である。
f(X) を α ∈ L の K 上の最小多項式(>>116)とする。
このとき S = {σ(α)； σ ∈ E(L/K) (>>262)} は F(X) の Ω(>>82) における根の全体の集合と一致する。

証明
F(X) の Ω(>>82) における根の全体の集合を T とする。
f(α) = 0 だから、任意の σ ∈ E(L/K) に対して σ(f(α)) = f(σ(α)) = 0
よって、σ(α) ∈ T である。
よって、S ⊂ T である。

逆に β ∈ T とする。
>>165より K-同型(>>122) τ：K(α) → K(β) で τ(α) = β となるものが一意に存在する。
>>146より、埋め込み σ：L → Ω で τ の拡張となっているものが存在する。
τ は K-同型であるから σ も K-同型である。
よって、σ ∈ E(L/K) である。
よって、β ∈ S である。
よって、T ⊂ S である。
よって、S = T である。
証明終
0351１３２人目の素数さん2011/11/12(土) 10:12:49.05
命題 157
L/K を有限(>>87)かつ分離的(>>248)な拡大(>>82)とする。
f(X) を α ∈ L の K 上の最小多項式(>>116)とする。
F(X) の Ω(>>82) における根の全体の集合を T とする。
このとき α が K 上の原始要素(>>308)であるためには
|T| = [L : K] (>>87)となることが必要十分である。

証明
必要性：
α ∈ L が K 上の原始要素であるとする。
n = [L : K] とおく。
L = K(α) であるから >>120より deg F(X) = n である。
L/K は分離的だから F(X) は分離的(>>193)である。
よって、|T| = n である。

十分性：
|T| = n とする。
F(X) は分離的(>>193)だから deg F(X) = n である。
よって、>>120より [K(α) : K] = n である。
よって、L = K(α) である。
証明終
0352１３２人目の素数さん2011/11/12(土) 10:13:16.30
命題 158
L/K をGalois拡大(>>251)とする。
G = をそのGalois群(>>251)とする。
このとき、K = L^G (>>311) である。

証明
α ∈ L^G とする。
σ ∈ E(K(α)/K) (>>262) とする。
即ち、σ は K-埋め込み(>>122)：K(α) → Ω(>>82) である。
>>148より、埋め込み τ：L → Ω で σ の拡張となっているものが存在する。
L/K は正規拡大(>>163)だから>>166より、τ ∈ G と見なせる。
τ(α) = α だから σ は K(α) の恒等写像である。
よって、|E(K(α)/K)| = 1
即ち [K(α) : K]_s (>>267) = 1 である。
一方、K(α)/K は分離的であるから>>269より、[K(α) : K]_s = [K(α) : K]
よって、[K(α) : K] = 1
即ち K(α) = K
よって、α ∈ K
よって、K = L^G である。
証明終
0353Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/12(土) 11:11:29.33
>>335は重要なので別証明を与えよう。
そのため次の補題を用意する。

補題 157
K を無限体(>>82)とする。
α_1、．．．、α_n と β_1、．．．、β_n を K の元とする。
各列には元の重複があっても良いとする。
S = {α_1、．．．、α_n}
T = {β_1、．．．、β_n}
とおく。

各α_i と各β_k に対して対 (α_i、β_k) を直積集合 S×T の元とする。
i ≠ k のとき (α_i、β_i) ≠ (α_k、β_k) とする。
このとき、i ≠ k なら常に α_i + cβ_i ≠ α_k + cβ_k となる c ∈ K がある。

証明
i ≠ k のとき方程式 L(i, k)： α_i + Xβ_i = α_k + Xβ_k の K における解を考える。
この方程式は X(β_i - β_k) = α_k - α_i と変形出来る。
β_i - β_k = 0 のときは、本命題の仮定より α_k - α_i ≠ 0 であるから L(i, k) に解はない。
β_i - β_k ≠ 0 のときは、X = (α_k - α_i)/(β_i - β_k) が L(i, k) の唯一の解である。

i ≠ k のとき方程式 L(i, k) の K における解の集合を S(i, k) とする。
上で見たように |S(i, k)| = 0 または 1 である。
S = ∪{S(i, k)；i ≠ k} とする。
S は K の有限部分集合である。
K は無限体だから K の元 c で S に含まれないものがある。
この c が求めるものである。
証明終
0354Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/12(土) 11:13:40.30
>>350
>>351
>>352
は私ではない
0355１３２人目の素数さん2011/11/12(土) 11:18:47.24
>>Kummer
悔しい？
0356１３２人目の素数さん2011/11/12(土) 11:26:02.84
Kummer、すれ違いだ。消えろ。新規にスレ立てろ。
0357Kummer ◆gOptEQZI4M 2011/11/12(土) 11:26:50.98
次の命題はGaloisの方程式論において重要である。

命題 158
K を体(>>82)とする。
f(X) ∈ K[X] を定数でない多項式とする。
f の Ω(>>82) における全ての根の集合を H = {α_1、．．．、α_n} とする。
ここで、α_1、．．．、α_n は互いに異なるとする。
L = K(α_1、．．．、α_n) (>>91)とおく。
即ち L は f(X) の最小分解体(>>149)である。
σ を Aut(L/K) (>>123) の任意の元とすると σ は H の置換を引き起こす。
よって、群の準同型 ψ：Aut(L/K) → S(H) が得られる。
ここで、S(H) は H 上の置換全体のなす群、即ち H 上の対称群である。
このとき、ψ は単射である。
よって、Aut(L/K) は有限群であり、|Aut(L/K)| ≦ n! である。

証明
各 α_i ∈ H は f(X) の根だから f(α_i) = 0
よって、σ(f(α_i)) = f(σ(α_i)) = 0
よって、σ(α_i) ∈ H である。
よって、σ(H) ⊂ H
σ は単射で H は有限集合だから σ(H) = H である。
よって、σ は H の置換を引き起こす。
これから群の準同型 ψ：Aut(L/K) → S(H) が得られることは明らかである。
σ ∈ Ker(ψ) とする。
各 α_i ∈ H に対して σ(α_i) = α_i である。
L の任意の元 x は α_1、．．．、α_n の K 係数の有理式 P(α_1、．．．、α_n) で表されるから
σ(x) = σ(P(α_1、．．．、α_n)) = P(σ(α_1)、．．．、σ(α_n)) = P(α_1、．．．、α_n) = x
よって、σ = 1 である。
よって、ψ は単射である。
|S(H)| = n! であるから |Aut(L/K)| ≦ n! である。
証明終
0358１３２人目の素数さん2011/11/12(土) 11:27:56.60
>>356
専用スレはあるが、クソ馬鹿が独りでは淋しいらしく、ここにいすわってる。
0359１３２人目の素数さん2011/11/12(土) 11:29:28.44
なるほど。
つまりKummerは承知の上で書いているカスってことか。
数学的間違いも散見されるし、数学を舐めているとしか思えない。
0360１３２人目の素数さん2011/11/12(土) 11:32:43.35
ほんとKummerは荒らしやめろ。
0361猫 ◆MuKUnGPXAY 2011/11/12(土) 11:34:02.65
猫
0362１３２人目の素数さん2011/11/12(土) 11:34:25.46
>>361
久しぶりやん
0363１３２人目の素数さん2011/11/12(土) 11:35:35.96
>>359
ニートの老人が勉強の成果を人に見てもらいたくて暴れてる。
コミュニケーション障害。
数学者気分を味わうには、論文の出版、講義が必要だが出来なくて悶々とする日々。
0364１３２人目の素数さん2011/11/12(土) 11:37:21.74
>>Kummer
交渉に応じましょう。
0365猫 ◆MuKUnGPXAY 2011/11/12(土) 11:43:19.82
>>363
そういう事で文句を言うたらアカン。ニートである事なんかはどうでも
エエのや。加えて講義をスル事もどうでもエエのや。まあ論文を書いて
る事はソコソコ必要やろナ。そやけどその出版も必要アラヘン。要は自
分の頭をちゃんと使うてる事だけが重要なだけや。

猫
0366１３２人目の素数さん2011/11/12(土) 11:47:27.55
>>365
聞きたくも無い者に強引に聞かせるのほ間違いだ。
0367１３２人目の素数さん2011/11/12(土) 11:50:51.53
荒らし仲間を支援する
0368１３２人目の素数さん2011/11/12(土) 11:54:42.24
　　　　∧__∧
　　　 (´･ω･｀) 　　知らんがな。
　　　.ノ^　yヽ、
　　　ヽ,,ﾉ==l ﾉ
　　　　/ 　l |
"""~""""""~"""~"""~"
0369１３２人目の素数さん2011/11/12(土) 12:10:27.71
>>365
独学だと間違いにも気付きにくいしねー
0370１３２人目の素数さん2011/11/12(土) 12:20:55.30
>>365
お前は使ってないよな、頭。
0371１３２人目の素数さん2011/11/12(土) 12:28:27.13
カルチャーセンターかNHK学園池。
お門違いだ。
0372猫 ◆MuKUnGPXAY 2011/11/12(土) 12:40:42.97
>>366
そんな事はアラヘン。ココは誰でも書き込める自由掲示板やさかいナ。
そやしそういう文句を言うんやったらアンタ等かて同罪や。アンタ等か
て好き勝手な事をカキコしてるんやからナ。

猫
0373Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/12(土) 12:44:55.32
>>353は間違いではないが使用するのに不便なので次のように変更する。

補題 158
K を無限体(>>82)とし、L/K を K の任意の拡大(>>82)とする。
α_1、．．．、α_n と β_1、．．．、β_n を L の元とする。
各列には元の重複があっても良いとする。
S = {α_1、．．．、α_n}
T = {β_1、．．．、β_n}
とおく。

各α_i と各β_k に対して対 (α_i、β_k) を直積集合 S×T の元とする。
i ≠ k なら常に (α_i、β_i) ≠ (α_k、β_k) とする。
このとき、i ≠ k なら常に α_i + cβ_i ≠ α_k + cβ_k となる c ∈ K がある。

証明
i ≠ k のとき方程式 R(i, k)： α_i + Xβ_i = α_k + Xβ_k の L における解を考える。
この方程式は X(β_i - β_k) = α_k - α_i と変形出来る。
β_i - β_k = 0 のときは、本命題の仮定より α_k - α_i ≠ 0 であるから
R(i, k) は L に解をもたない。
β_i - β_k ≠ 0 のときは、X = (α_k - α_i)/(β_i - β_k) が R(i, k) の L における唯一の解である。

i ≠ k のとき方程式 R(i, k) の K における解の集合を S(i, k) とする。
上で見たように |S(i, k)| = 0 または 1 である。
S = ∪{S(i, k)；i ≠ k} とする。
S は L の有限部分集合である。
K は無限体だから K の元 c で S に含まれないものがある。
この c が求めるものである。
証明終
0374１３２人目の素数さん2011/11/12(土) 12:44:57.40

ところで、グロﾀﾝのガロア理論に詳しい本ないですか？
0375１３２人目の素数さん2011/11/12(土) 12:48:29.94
出番だ教えたれ。
ついでにクマのお勉強の添削もお前がやれ。
0376１３２人目の素数さん2011/11/12(土) 12:53:56.23
>>373
いや、間違いだってば。謝罪しろ
0377１３２人目の素数さん2011/11/12(土) 12:55:36.16
>>Kummer
君、学歴は？
0378１３２人目の素数さん2011/11/12(土) 12:56:53.07
>>Kummer
君、仕事は？
0379１３２人目の素数さん2011/11/12(土) 12:57:05.35
>>Kummer
君、家庭は？
0380１３２人目の素数さん2011/11/12(土) 13:13:13.14
>>356
キミは代数的整数論のスレでも荒らしていただろう。
いいかい？この板ではKummerさんのような人こそが必要とされている。
何故なら、賢い人は、当にKummerさんのような、数学的中身のある書き込みを読むために来ていると思われるからです。

>>356
具体的に間違いを指摘して、さらにそれが批判に耐えて、初めて認められる。
そうでなければ、黙殺されるだけだよ。
0381１３２人目の素数さん2011/11/12(土) 13:14:17.15
熊支援アゲ
0382Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/12(土) 13:15:33.71
>>335の別証明を与えよう。

命題 152(原始要素の定理)
L/K を有限(>>87)かつ分離的(>>248)な拡大(>>82)とする。
このとき L/K は原始要素(>>308)を持つ。

証明
K が有限体の場合は>>333で証明済みであるから K は無限体であると仮定する。
>>329と同様の理由から L = K(α、β) のときに本命題を証明すれば良い。
n = [L : K] (>>87) とする。
L/K は分離的だから>>269より、n = [L : K]_s である。
よって、[L : K]_s の定義(>>267)より n = |E(L/K)| (>>262)である。
E(L/K) = {σ_1、．．．、σ_n} とする。
即ち、各 σ_i は K-埋め込み(>>122) L → Ω(>>82)である。
L = K(α、β) であるから、各 i に対して σ_i は σ_i(α) と σ_i(β) で決まる。
即ち、σ_i(α) = σ_k(α) かつ σ_i(β) = σ_k(β) であれば σ_i = σ_k である。
よって、i ≠ k のとき直積集合 Ω×Ω の元として
(σ_i(α)、σ_i(β)) ≠ (σ_k(α)、σ_k(β)) である。
よって、>>373を拡大 Ω/K に適用して i ≠ k なら常に
σ_i(α) + cσ_i(β) ≠ σ_k(α) + cσ_k(β) となる c ∈ K がある。
よって、σ_i ∈ E(L/K) に σ_i(α + cβ) = σ_i(α) + cσ_i(β) を対応させる写像
ψ：E(L/K) → Ω は単射である。
よって、>>348より α + cβ は L の K 上の原始要素である
証明終
0383１３２人目の素数さん2011/11/12(土) 13:22:53.13
神々の愛でし人がなぜ死ななければならなかったのか？
単なるバカではなかったのか？
0384１３２人目の素数さん2011/11/12(土) 13:25:01.58
>>382=Kummer

与えんでいい。黙ってろ。
0385１３２人目の素数さん2011/11/12(土) 13:36:22.47
>>384
荒らすな、数学嫌い
0386１３２人目の素数さん2011/11/12(土) 13:54:40.58
>>385
こんな糞くだらない記述から学ぶことはないね
お前にはKummerが何を書いているかさっぱり分かっていないんだね
ゴミだよこれ
0387１３２人目の素数さん2011/11/12(土) 13:57:39.74
糞熊はとっとと別スレたてろ
スレ違いなんだよボケが
0388sage2011/11/12(土) 14:02:40.91
              
            
          
        
      
    
  

0389１３２人目の素数さん2011/11/12(土) 14:03:51.12
>>388
そうだ。その通りだ。
0390１３２人目の素数さん2011/11/12(土) 14:04:22.58
Kummer＜別証明を与えよう（どやっ
0391１３２人目の素数さん2011/11/12(土) 14:20:12.95
Kummerは相当悔しいようだね。
今なら交渉に応じよう。
0392１３２人目の素数さん2011/11/12(土) 14:26:39.96
>>380
　べろべろばー　　　　　　うほほほほ
　　　おチンチンびろーん ∩＿＿＿∩
　　 ∩＿＿＿∩　　　　　 | ノ　 ○─○ヽ_∩＿＿∩　にひゃひゃひゃひゃひゃ
　　 | ノ　　　　　 ヽ/⌒)　 /　 ／3　　　3　|　 　　　　ヽ　
　 /⌒) (ﾟ)　　　(ﾟ)　|　.| 　 |　　　　( _●_)　|o⌒　　⌒o|
　/　/　 　( _●_)　 ミ/∩―－、　　 |∪|　/⌒（_●_)⌒ ミ
.（　　ヽ　　|∪|　　／ ／　(ﾟ)　､_ ｀ヽ ヽノ　|　　 |∪|　　／
　＼　　　 ヽノ　/ 　/　　(　●　 (ﾟ) |つ 　∩.　　ヽノ∩
　 /　　　　　　/　　|　／(入__ノ 　 ミ　　　| ノ⌒　　⌒ヽ
　|　　　_つ　 / 　　　､　(＿／　　　 ノ　　/　　（。）（ﾟ）|　　　　　
　|　 /UJ＼　＼　　　＼＿＿＿　ノﾞ ─ｰ|　　(⌒＿●⌒)ミ 　　　　　
　|　/ 　　　 )　 )　　　　＼ 　　　　　　＿彡､/ |Ｕ　　ＵＵ_/ 　　　 　
　∪　 　　 （　 ＼　　　　　＼　　　　　＼ 　　| | 　　　　||
　　　　 　　 ＼＿) あびゃばばばだーん　.　.| |ｎn　_nn||　　ぐへへへへへへ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＼＿＿＿）
0393１３２人目の素数さん2011/11/12(土) 15:09:48.49
おまいら分かって無いな。
クマが居たいという所がクマの隔離病棟なんだよ。
0394１３２人目の素数さん2011/11/12(土) 15:11:58.30
ここは、クマが勉強ノートに使うと決定したんだ。
あきらめて、このスレは放棄しろ愚民ども。
0395Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/12(土) 15:41:00.64
Galoisは "Sur les conditions de resolubilite des eqations par radicaux"
（方程式が冪根で解けるための条件について）という論文（前書きに1831年1月16日の日付がある）に
おいて次の命題（元論文では Lemme II）を証明なしで提示している（我々の用語に書き換えて述べる）。

命題
Ω(>>82)の標数(>>192)を 0 とする。
K を体(>>82)とし F(X) を K 係数の分離的(>>193)な多項式とする。
F(X) の Ω(>>82)における根の全体を α_1、．．．、α_n とする。
集合 {α_1、．．．、α_n} の置換全体の群、即ちこの集合上の対称群を G とする。
このとき K の元の列 c_1、．．．、c_n が存在し、次の条件を満たす。
σ ∈ G に (c_1)σ(α_1) + ．．．+ (c_n)σ(α_1) を対応させる写像 ψ：G → Ω は
単射となる。

Galoisはこの命題によって F(X) の K 上の分解体 K(α_1、．．．、α_n) は
K 上の単拡大(>>308)であることを証明している。

この命題を証明しよう。
但し、Ω の標数が 0 という条件を緩めて K が無限体であると仮定する。
0396１３２人目の素数さん2011/11/12(土) 15:54:51.91
うるさいって言ってるだろうが
スレ違いなんだよお前は
0397１３２人目の素数さん2011/11/12(土) 16:05:39.36
>>396
>>393
0398１３２人目の素数さん2011/11/12(土) 16:07:19.65
>>395
　　　 .l''',!　　　　 .r-、　　　　　 .,､〟　　　　　　　.l''',!　　　　 ./ｰ､,,,_　　　　 .r-，
　　 .广''''″.¨ﾞﾞ!　 .,,,丿 {,,､､，　　.ｖ-lﾞ .!-ｒ/i､　　广''''″.¨ﾞﾞ!　　　.!､,　　lﾞ　　　　 | .｝　,,
　　 .ﾞl---， ぃ"　 .|　　　　 .|　　 .|　　 _,,{ﾞl .ヽ　 ヽ--i､ .ぃ"　　.,,,,,,,,二ｉ"　　 .,..-" .ヽl、ﾞl
　　 r---┘.―'i､　"',! ./ﾆﾆﾆ、　 ￣| .Ｌ,,,,,ﾞl,,i´ .r---┘.―'i､　 .|　　　 :,!　　 |　　　　.l　.|、
　　 |＿＿　._,,,,｝　　ﾉ .| |　　 lﾞ　　.／　　　ﾞ'i､　.|＿＿　._,,,,｝　　"''''ﾂ ./　　　"''ﾄ .|ﾞi､ ||、ﾞl
　　　.,―-" |　　　 .ﾉ .lﾞ `"ﾞﾞﾞ'"　 ,i´,〟lﾞﾞ^'i､ |　　.,―-" |　　　　 ../　 `i､　　　 lﾞ ,lﾞ |　|.ﾞl.,ﾉ
　　 .lﾞ .,,,,,,　.＼　　.lﾞ .lﾞ ,，　　　 .lﾞ .|.｝ |　　| .|　 / .,,,,,,　.＼　　 ../　.,.i､ |　　　 lﾞ .lﾞ .| .,! .゛
　　 |　し,,lﾞ .、 ﾞ,!　,lﾞ ,lﾞ.i".ﾞﾞ'''''"!　ﾞl .″.|.,!'''゛ lﾞ　 | .lﾞ,,,,lﾞ .、 ﾞ,!　,/｀／ .| ."'ﾞﾞl　./ .lﾞr┘,lﾞ
　　 .ﾞl,　　.,/｀∪　 ﾞ〃 .`ｰ--丿　.ﾞ'--ヽ{,,,.／　 .ﾞl,,　　_/｀∪　.ﾞl.,i´　 .!,_,,,／ .lﾞ../ |　.,i´
0399１３２人目の素数さん2011/11/12(土) 16:09:37.55
　　　∩＿＿＿∩　　　　　/ﾞﾐヽ､,,___,,／ﾞヽ
　　　| 丿　　　　　ヽ　　　　i ノ　　 　 　 ｀ヽ'
　　/　　○　　　○ |　　　 /　｀(○)　 (○)´i､　　先生助けてっ！、
　　|　U　　( _●_) 　ミ　 彡,U　ミ(__,▼_)彡ミ　　　昨日まで機能していたスレが
　彡､　　　　|∪|　,,/　　　,へ､,　　 |∪|　　/ﾞ　　　　　　　熊の落書きで息をしてないの！！
　/　　ヽ　　ヽノ 　ヾ_,,..,,,,_ /　 '　　ヽノ ｀/´ ヽ
　|　　　　　　ヽ 　./ ,' 3　 `ヽｰっ　　/　　　　 |
│　　　ヾ　　　 ヾl　　 ⊃　⌒_つ ソ　　　 　 │
│　　　　＼,,＿＿`'ｰ-⊃⊂'''''"＿＿,,,ノ　　　|
0400１３２人目の素数さん2011/11/12(土) 16:14:45.50
代数は美しいね
0401１３２人目の素数さん2011/11/12(土) 16:19:18.19
クマは現代思想のガロア特集にでも寄稿してくれ。
0402１３２人目の素数さん2011/11/12(土) 16:23:28.42

■■□■■■■□■■■■□■■■■■■■■■■□■■■■■■■■
■■□□□□■■□■■■□■■□□□□□■■■□■■■■■■■■
■■□■■□■■□■■■□■■■■■■□■■■□■■■■■■■■
■□■■■□■■■■■□■■■■■■□■■■■□■■■■■■■■
■□■■■□■■■■■□■■■■■■□■■■■□■■■□■■■■
■■■■■□■■■■■□■■■■■□■■■■■□■■■□■■■■
■■■■□■■■■■□■■■■■■□□■■■■□■■□■■■■■
■■■■□■■■■■□■■■■■□■■□■■■□■■□■■■■■
■■■□■■■■■□■■■■■□■■■■□■■□■□■■■■■■
■■□■■■■■□■■■■■□■■■■■■■■□□■■■■■■■
■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■
■■■■□■■■■■□■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■
■■■□□■■■■■□■■■■■■■□□□□□□□□□□□□■■
■■□□■■■■■□□□□□□■■■■■■■■■■■■■□□■■
■□□■■□■■■□■■■■□■■■■■■■■■■■■□□■■■
■■□■□□■■□□□■■□□■■■■■■■■■■■□□■■■■
■■■□□■■□□■□□□□■■■■■■■■■■■□□■■■■■
■■□□■■■■■■■□□■■■■■■■■■■■□□■■■■■■
■■□■■■□■■■□□□□■■■■■■■■■■□■■■■■■■
■□□□□□□■■□□■■□□■■■■■■■■■□■■■■■■■
■■■■□■■■□□■■■■□□■■■■■■■■□■■■■■■■
■■□■□■□■■■■□□■■■■■■■■■■■□■■■■■■■
■■□■□■□■■■■■□□■■■■■■■■■■□■■■■■■■
■□□■□■□■■■■■■■■■■■■■■■■■□■■■■■■■
■□■■□■■■■□□□■■■■■■■■■■■■□■■■■■■■
■■■■□■■■■■■□□□■■■■■■■■■■□■■■■■■■
■■■■□■■■■■■■■□□■■■■■■□□□□■■■■■■■
0403１３２人目の素数さん2011/11/12(土) 17:08:13.99







KISSME
0404１３２人目の素数さん2011/11/12(土) 17:28:14.01
ガロア支援
0405１３２人目の素数さん2011/11/12(土) 17:37:16.88
Kummer
0406１３２人目の素数さん2011/11/12(土) 17:51:22.04
総スカン
0407猫 ◆MuKUnGPXAY 2011/11/12(土) 19:27:24.30
ワシはKummer氏を徹底的に支持しますのや。そやし総スカンとは違うワ。
ワシが攻撃するんはあくまでも馬鹿共やしナ。

猫
0408１３２人目の素数さん2011/11/12(土) 19:33:19.71
おまえもクマも他所でやれ。
専用スレもある。
体論 Part 1
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1320762869/

ここに居座るのは何故か？
そんなに聴衆が欲しいか？
0409１３２人目の素数さん2011/11/12(土) 19:35:29.35
>>407
早く添削してやれよ。
間違いの指摘、修正をクマが待ってるぞ。
0410１３２人目の素数さん2011/11/12(土) 19:38:57.53
姉妹すれ
猫は朝鮮人 Part 2
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1318861415/
0411猫 ◆MuKUnGPXAY 2011/11/12(土) 19:55:27.87
>>409
私はそういう事は一切しません。悪しからず。

猫
0412Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/12(土) 20:02:54.69
補題 159
n ≧ 1 を整数とする。
K を抽象体(>>197)とし、|K| ≧ n + 1 とする。
V を K 上の線型空間とする。
W_1、．．．、W_n を V の線型部分空間とし、V = W_1∪．．．∪W_n とする。
このとき V = W_i となる i がある。

証明
n に関する帰納法を使う。
n = 1 なら自明である。
n ≧ 2 とする。
W_n ⊂ W_1∪．．．W_(n-1) なら V = W_1∪．．．W_(n-1) となり帰納法の仮定より本補題は成り立つ。
よって、W_n は W_1∪．．．W_(n-1) に含まれないと仮定してよい。
W_n の元 x で W_1∪．．．W_(n-1) に含まれないものがある。
任意の y ∈ V を取る。
任意の t ∈ K に対して x + ty ∈ W_i となる i (1 ≦ i ≦ n) がある。
t ∈ K にこの i を対応させることにより写像 ψ：K → {1、．．．、n} が得られる。
|K| ≧ n + 1 だから ψ は単射ではない。
よって、ψ(t) = ψ(s) となる t、s ∈ K、s ≠ t がある。
ψ(t) = i とすれば、x + ty と x + sy は W_i に含まれる。
よって、(x + ty) - (x + sy) = (t - s)y ∈ W_i
t - s ≠ 0 だから y ∈ W_i
よって、x = (x + ty) - ty ∈ W_i
x は W_1∪．．．W_(n-1) に含まれないから、i = n である。
よって、y ∈ W_n
y は V の任意の元だから V = W_n である。
証明終
0413Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/12(土) 20:46:01.14
補題 160
K を無限個の要素からなる体(>>82)とする。
L/K を拡大(>>82)とする。
L[X_1、．．．、X_n] を n 変数の多項式環とする。
i = 1、2、．．．、m (m ≧ 1)に対して
R_i = α_(i, 1)X_1 + ．．． + α_(i, n)X_n を L[X_1、．．．、X_n] の 0 でない元とする。
各 i に対して R_i = 0 の K^n における解の集合を W_i とする。
このとき K^n ≠ W_1∪．．．∪W_m である。

証明
各 i に対して W_i は K^n の K-線型部分空間である。
e_1、．．．、e_n を K^n の標準基底とする。
即ち、e_i の第 k-成分は i = k のとき 1、i ≠ k のとき 0 である。
各 i に対して e_k が R_i = 0 の解であれば α_(i, k) = 0 である。
よって、K^n = W_i なら R_i = 0 となり、仮定に反する。
よって、K^n ≠ W_i である。
よって、>>412より K^n ≠ W_1∪．．．∪W_m である。
証明終
0414１３２人目の素数さん2011/11/12(土) 22:11:17.74
神々のあいでし人ガロイス　　
0415１３２人目の素数さん2011/11/12(土) 22:16:08.01
くんまーさん、
0416１３２人目の素数さん2011/11/12(土) 22:16:32.58
がんばれ
0417Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/12(土) 22:46:10.20
>>412
像 ψ：K → {1、．．．、n} の構成には選択公理が必要である。
選択公理の使用を避けるには K の有限部分集合 S で |S| = n + 1 となるものを取り、
t ∈ S に対して x + ty ∈ W_i となる i ∈ {1、．．．、n} を対応させることにより
写像 ψ：K → {1、．．．、n} を定義すればよい。
0418Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/12(土) 22:51:04.33
>>413
この補題は>>412の直接の帰結であるから、
K は無限体でなくても |K| ≧ m + 1 でありさえすればこの補題は成り立つ。
0419Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/12(土) 23:21:45.31
>>413は次のように n に関する帰納法を使っても証明出来る。

n = 1 のときは W_1 = W_2 = ．．． = W_n = {0} であるから
K ≠ W_1∪．．．∪W_m である。
n ≧ 2 とする。
I = {1、2、．．．、m} とおき、α_(i, n) = 0 となる i ∈ I の全体を J とする。
J が空なら (c_1、．．．、c_(n-1)) として K^(n-1) の任意の元を取る。
J が空でないなら帰納法の仮定より全ての i ∈ J に対して
α_(i, 1)c_1 + ．．． + α_(i, (n-1))c_(n-1) ≠ 0 となる
(c_1、．．．、c_(n-1)) ∈ K^(n-1) がある。

次に c_n ∈ K を以下のように選ぶ。
I - J が空なら c_n として K の任意の元をとる。
I - J が空でないなら i ∈ I - J のとき α_(i, n) ≠ 0 であるから
α_(i, 1)c_1 + ．．． + α_(i, (n-1))c_(n-1) + α_(i, n)d_n = 0 となる d_n は一意に決まる。
K は無限体であるから、全ての i ∈ I - J に対して
α_(i, 1)c_1 + ．．． + α_(i, (n-1))c_(n-1) + α_(i, n)c_n ≠ 0 となる c_n ∈ K が存在する。

いづれの場合も全ての i ∈ I に対して
α_(i, 1)c_1 + ．．． + α_(i, (n-1))c_(n-1) + α_(i, n)c_n ≠ 0 となる。
即ち、(c_1、．．．、c_n) ∈ K^n - (W_1∪．．．∪W_m) である。
よって、K^n ≠ W_1∪．．．∪W_m である。
0420Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/13(日) 00:10:58.30
補題 161
K を無限個の要素からなる体(>>82)とし、L/K を拡大(>>82)とする。
α_1、．．．、α_n (n ≧ 2)を L の元で相異なるとする。
集合 {α_1、．．．、α_n} の置換全体の群、即ちこの集合上の対称群を G とする。
このとき K の元の列 c_1、．．．、c_n が存在し、次の条件を満たす。
σ ∈ G に (c_1)σ(α_1) + ．．．+ (c_n)σ(α_1) を対応させる写像 ψ：G → L は
単射となる。

証明
σ ∈ G に対して R_σ[X_1、．．．、X_n] = σ(α_1)X_1 + ．．．+ σ(α_n)X_nとおく。
R_σ[X_1、．．．、X_n] ∈ L[X_1、．．．、X_n] である。
G の各元を任意に並べ、G に全順序関係 ≦ を入れる。
G の部分集合 P で |P| = 2 となるもの全体の集合を Φ とする。
{σ、τ} ∈ P、σ ＜ τ のとき
R_{σ、τ}[X_1、．．．、X_n] = R_σ[X_1、．．．、X_n] - R_τ[X_1、．．．、X_n] とする。
α_1、．．．、α_n は相異なるから R_{σ、τ}[X_1、．．．、X_n] ≠ 0 である。
よって、>>413より (c_1、．．．、c_n) ∈ K^n があり、全ての {σ、τ} ∈ P に対して、
R_{σ、τ}[c_1、．．．、c_n] ≠ 0 となる。
この c_1、．．．、c_n が求めるものである。
証明終
0421Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/13(日) 00:15:29.36
>>420
R_σ[X_1、．．．、X_n] などは R_σ(X_1、．．．、X_n) と書くべきだった。
0422Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/13(日) 00:33:04.30
補題 162
K を無限個の要素からなる体(>>82)とし、L/K を拡大(>>82)とする。
f(X_1、．．．、X_n) を n 変数多項式環 L[X_1、．．．、X_n] の 0 でない元とする。
このとき、(c_1、．．．、c_n) ∈ K^n で f(c_1、．．．、c_n) ≠ 0 となるものが存在する。

証明
n に関する帰納法を使う。
n = 1 のとき f(X_1) は L において有限個(零個の可能性もある)の解をもつ。
K は無限体だから f(c_1) ≠ 0 となる c_1 ∈ K がある。
n ≧ 2 とする。
f(X_1、．．．、X_n) = g_0(X_n)^r + g_1(X_n)^(r-1) + ．．． + g_r とする。
ここで、各 g_i ∈ L[X_1、．．．、X_(n-1)] で、g_0 ≠ 0 である。
帰納法の仮定より、g_0(c_1、．．．、c_(n-1)) ≠ 0 となる (c_1、．．．、c_(n-1)) ∈ K^(n-1) がある。
このとき、f(c_1、．．．、c_(n-1)、X_n) ≠ 0 は L[X_n] の元であるから n = 1 の場合より
f(c_1、．．．、c_(n-1)、c_n) ≠ 0 となる c_n ∈ K がある。
証明終
0423Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/13(日) 00:39:26.41
>>420
>{σ、τ} ∈ P、σ ＜ τ のとき

{σ、τ} ∈ Φ、σ ＜ τ のとき

>よって、>>413より (c_1、．．．、c_n) ∈ K^n があり、全ての {σ、τ} ∈ P に対して、

よって、>>413より (c_1、．．．、c_n) ∈ K^n があり、全ての {σ、τ} ∈ Φ に対して、
0424Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/13(日) 00:43:43.15
>>420の別証明

σ ∈ G に対して R_σ(X_1、．．．、X_n) = σ(α_1)X_1 + ．．．+ σ(α_n)X_nとおく。
R_σ(X_1、．．．、X_n) ∈ L[X_1、．．．、X_n] である。
G の各元を任意に並べ、G に全順序関係 ≦ を入れる。
G の部分集合 P で |P| = 2 となるもの全体の集合を Φ とする。
{σ、τ} ∈ P、σ ＜ τ のとき
R_{σ、τ}(X_1、．．．、X_n) = R_σ(X_1、．．．、X_n) - R_τ(X_1、．．．、X_n) とする。
α_1、．．．、α_n は相異なるから R_{σ、τ}(X_1、．．．、X_n) ≠ 0 である。

f(X_1、．．．、X_n) = ΠR_{σ、τ}(X_1、．．．、X_n) とおく。
ただし、Π は全ての {σ、τ} ∈ Φ に渡るものとする。
f(X_1、．．．、X_n) ≠ 0 であるから、>>422より
(c_1、．．．、c_n) ∈ K^n で f(c_1、．．．、c_n) ≠ 0 となるものが存在する。
この c_1、．．．、c_n が求めるものである。
0425Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/13(日) 00:49:31.47
>>395は>>420から直ちに得られる。
しかし、>>395のGaloisの証明は>>424に近いのではないか？
0426Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/13(日) 09:24:33.28
>>395を改めて述べよう。

命題 163
K を無限個の要素を持つ体(>>82)とし f(X) を K 係数の分離的(>>193)な多項式とする。
f(X) の Ω(>>82)における根の全体を α_1、．．．、α_n とする。
集合 S = {α_1、．．．、α_n} の置換全体の群、即ちこの集合上の対称群を Sym(S) とする。
このとき K の元の列 c_1、．．．、c_n が存在し、次の条件を満たす。
σ ∈ Sym(S) に (c_1)σ(α_1) + ．．．+ (c_n)σ(α_1) を対応させる写像 ψ：Sym(S) → Ω は
単射となる。

証明
>>420より明らかである。
0427１３２人目の素数さん2011/11/13(日) 09:28:33.57
>>425
近くねぇよ馬鹿

>>426
改めて述べるなボケ
0428Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/13(日) 11:11:19.94
test
0429１３２人目の素数さん2011/11/13(日) 11:12:58.16
>>428
うるせぇ、謝罪しろ
0430１３２人目の素数さん2011/11/13(日) 11:19:55.12
ちんちん
0431Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/13(日) 11:21:49.28
命題 164
K を体(>>82)とし f(X) を K 係数の分離的(>>193)な多項式とする。
f(X) の Ω(>>82)における根の全体を α_1、．．．、α_n とする。
このとき拡大 K(α_1、．．．、α_n)/K は原始要素(>>308)を持つ。

証明
K が有限体の場合は>>333で証明済みであるから K は無限体であると仮定する。
L = K(α_1、．．．、α_n) と置く。
S = {α_1、．．．、α_n} とする。
S 上の対称群を Sym(S) とする。
>>426より、K の元の列 c_1、．．．、c_n が存在し、
s ∈ Sym(S) に (c_1)s(α_1) + ．．．+ (c_n)s(α_1) を
対応させる写像 ψ：Sym(S) → Ω は単射である。
θ = (c_1)(α_1) + ．．．+ (c_n)(α_1) とおく。
>>249より、各σ ∈ Aut(L/K) は S の置換を引き起こす。
よって、群の準同型 φ：Aut(L/K) → Sym(S) が得られる。
このとき>>249より φは単射である。
よって、ψφ：Aut(L/K) → Ω は単射である。
σ ∈ Aut(L/K) のとき、
ψφ(σ) = (c_1)σ(α_1) + ．．．+ (c_n)σ(α_1) = σ(θ) である。
一方、L/K は正規拡大(>>163)だから>>166より
E(L/K) (>>262) = Aut(L/K) (>>123) である。
>>322より、L/K は有限(>>87)なGalois拡大(>>251)である。
特に L/K は分離的(>>248)である。
よって、>>348より θ は L/K の原始要素である。
証明終
0432Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/13(日) 11:34:05.69
>>373
この補題は>>424と同様なアイデアでも証明出来る。
f(X) = Π((α_i + Xβ_i) - (α_k + Xβ_k))、i ＜ k とおけば
f(X) ≠ 0 であるから、K の元 c で f(c) ≠ 0 となるものがある。
この c が求めるものである。
0433Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/13(日) 12:04:19.63
定義 165
K を体(>>82)とし、α ∈ Ω(>>82) を K 上代数的(>>90)とする。
α の K 上の最小多項式の次数を α の次数と言い、deg α または deg(α) と書く。
>>120より [K(α) : K] = deg α である。
0434Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/13(日) 12:15:14.19
Artinの定理(後述)を証明するために次の補題を用意する。

補題 166(Lang)
L/K を分離代数的(>>248)な拡大(>>82)とする。
整数 n ≧ 1 があり、任意の α ∈ L の次数(>>433) ≦ n であれば [L : K] ≦ n である。

証明
仮定より次数(>>433)が最大となる α ∈ L が存在する。
任意の β ∈ L に対して>>126と>>271より K(α、β)/K は有限(>>87)かつ分離的(>>248)ある。
よって、>>335より K(α、β) = K(θ) となる θ ∈ K(α、β) がある。
>>120より [K(α、β) : K] = deg θ (>>433) である。
一方、deg α = [K(α) : K] ≦ [K(α、β) : K] = deg θ ≦ deg α
よって、[K(α) : K] = [K(α、β) : K]
よって、K(α) = K(α、β)
よって、β ∈ K(α)
β は L の任意の元だったから L = K(α)
よって、[L : K] = deg α ≦ n である。
証明終
0435Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/13(日) 12:23:03.64
定義 167
K を体(>>82)とする。
同型(>>121) K → K を K の自己同型と呼ぶ。
K の自己同型全体は群をなす。
この群を K の自己同型群と呼び Aut(K) と書く。
0436１３２人目の素数さん2011/11/13(日) 12:24:00.56
>>435
K を体(>>82)とする。→すんな
同型(>>121) K → K を K の自己同型と呼ぶ。→呼ぶな
K の自己同型全体は群をなす。→なさない
この群を K の自己同型群と呼び Aut(K) と書く。→書くな

分かったか
0437猫 ◆MuKUnGPXAY 2011/11/13(日) 13:12:51.50
馬鹿が無駄な抵抗してるワ。あ～オモロ。

猫
0438Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/13(日) 14:12:52.15
命題 168(Artinの定理)
L を体(>>82)とする。
G を Aut(L) (>>435)の有限部分群とする。
K = {x ∈ L； σ(x) = x、各σ ∈ G} は L の部分体である。
このとき L/K は有限(>>87)なGalois拡大(>>251)であり、
そのGalois群(>>251)は G である。

証明
|G| = n とする。
K が L の部分体であることは明らかである。
任意の α ∈ L に対して、H = {σ ∈ G； σ(α) = α} は G の部分群である。
σ_1、．．．、σ_m を H を法とする左剰余類の集合 G/H の完全代表系とする。
このとき σ_1(α)、．．．、σ_m(α) は相異なる。
任意の σ ∈ G に対して σσ_1、．．．、σσ_m は G/H の完全代表系である。
よって、{σσ_1(α)、．．．、σσ_m(α)} は集合として
{σ_1(α)、．．．、σ_m(α)} と同じである。
L[X] の元 f(X) = (X - σ_1(α))．．．(X - σ_m(α)) を考える。
f(X) の X^m 以外の項の各係数は σ_1(α)、．．．、σ_m(α) の対称式であるから
任意の σ ∈ G の作用で不変である。
よって、f(X) ∈ K[X] である。
f(X) は分離的(>>193)だから α は K 上分離的(>>247)である。
deg α ≦ n であるから、>>434より [L : K] ≦ n である。
f(X) は L において１次式の積に分解するから L/K は正規拡大(>>163)である。
よって、L/K はGalois拡大(>>251)である。
G の各元は K-埋め込み(>>122)であるから n ≦ [L : K]_s (>>267)である。
L/K は分離的であるから >>269より、[L : K]_s = [L : K] である。
よって、n ≦ [L : K] である。
よって、n = [L : K] である。
よって、G は L/K のGalois群である。
証明終
0439芳雄2011/11/13(日) 16:45:06.89
>>438
長いわボケ
0440１３２人目の素数さん2011/11/13(日) 16:46:32.48
熊+ガロワ支援age
0441猫 ◆MuKUnGPXAY 2011/11/13(日) 16:48:40.26
>>439
無駄やクズ

猫
0442猫 ◆MuKUnGPXAY 2011/11/13(日) 17:02:43.93
>>439
低脳ボケ。存在の意味ナシ。

猫
0443猫 ◆MuKUnGPXAY 2011/11/13(日) 17:04:36.33
>>439
早く消滅シロ。オマエには墓石も勿体無いワ。精々いいとこ無縁仏や。

猫
0444猫 ◆MuKUnGPXAY 2011/11/13(日) 17:06:35.85
>>439
低知能屑。

猫
0445芳雄2011/11/13(日) 17:30:41.53
年上に逆らうな、馬鹿者！
0446猫 ◆MuKUnGPXAY 2011/11/13(日) 17:33:26.76
>>445
年上でも踏みつけにして良い典型例がオマエや。そやけどオマエに対して
は徹底無視が相当やナ。オマエの主張はその全部が嘘やったからや。

猫
0447１３２人目の素数さん2011/11/13(日) 17:34:06.31
今の若い奴は理屈で年長者を
打ち負かせば良い。
年齢は関係ない。
0448猫 ◆MuKUnGPXAY 2011/11/13(日) 17:43:57.42
>>447
年寄りとは従うモノではなくて利用するモノ。

猫
0449Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/13(日) 20:21:24.71
>>438への補足
>よって、n = [L : K] である。
>よって、G は L/K のGalois群である。

>>317より、|G(L/K)| = [L : K] である。
よって、n = [L : K] より |G(L/K)| = n = |G|
G ⊂ G(L/K) であるから G = G(L/K) である。
0450Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/13(日) 21:03:21.50
命題 169
L/K を拡大(>>82)とする。
以下の条件は互いに同値である。

1) L/K は有限(>>87)なGalois拡大(>>251)である。

2) L は 分離的(>>193)な多項式 f(X) ∈ K[X] の最小分解体(>>149)である。

3) Aut(L) の有限部分群 G があり K = {x ∈ L； σ(x) = x、各σ ∈ G}

4) L/K は有限であり、K = {x ∈ L； σ(x) = x、各σ ∈ Aut(L/K)}

証明
1) ⇒ 2)
>>253より、g(X) ∈ K[X] があり、 L は g(X) の最小分解体である。
g(X) の K[X] における相異なる既約因子の全体を f_1(X)、．．．、f_m(X) とする。
f(X) = f_1(X)．．．f_m(X) とおくと、L は f(X) の最小分解体である。
L/K は分離的(>>248)であるから、各 f_i(X) は分離的(>>193)である。
よって、f(X) は分離的である。

2) ⇒ 1)
>>322で証明済みである。

1) ⇒ 4)
>>312で証明済みである。

4) ⇒ 3)
>>265より Aut(L/K) は有限群である。

3) ⇒ 1)
>>438で証明済みである。
証明終
0451Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/14(月) 08:04:45.15
命題 170(Galois理論の基本定理)
L/K を有限(>>87)なGalois拡大(>>251)とする。
G をそのGalois群(>>251)とする。
L/K の中間体(>>309)全体の集合を Φ(L/K) とし、G の部分群全体の集合を Sub(G) とする。
M ∈ Φ(L/K) に Aut(L/M) (>>123) ∈ Sub(G) を対応させることにより
写像 ψ：Φ(L/K) → Sub(G) が得られる。
H ∈ Sub(G) に L^H (>>311)を対応させることにより、写像 φ：Sub(G) → Φ(L/K) が得られる。
このとき、ψ と φ は互いに逆写像である。

証明
φψ が恒等写像であることは>>319で証明されている。
ψφ が恒等写像であることはArtinの定理(>>438)より明らかである。
証明終
0452Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/14(月) 08:35:15.60
>>451
ψφ が恒等写像であることはArtinの定理(>>438)を使わなくても次のようにして証明される。

H ∈ Sub(G) に対して M = L^H (>>311)とおく。
このとき、H = Aut(L/M) を証明すればよい。

>>310より、L/M はGalois拡大である。
よって、>>317より、|Aut(L/M)| = [L : M] である。
原始要素の定理(>>335)より L = M(θ) となる θ がある。
θ の M 上の最小多項式(>>116)を f(X) とする。
g(X) = Π(X - σ(θ)) とおく。ここで σ は H の元全体を動く。
g(X) の係数は σ(θ)、σ ∈ H の対称式であるから H の各元で不変である。
よって、g(X) ∈ M[X] である。
g(θ) = 0 であるから g(X) は f(X) で割れる。
よって、|H| = deg g(X) ≧ deg f(X)
一方、>>120より deg f(X) = [L : M] であるから |H| ≧ [L : M] = |Aut(L/M)|
他方 H ⊂ Aut(L/M) であるから |H| ≦ Aut(L/M)
よって、|H| = |Aut(L/M)|
よって、H = Aut(L/M) である。
0453Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/14(月) 09:15:00.24
命題 171
L/K を有限(>>87)なGalois拡大(>>251)とする。
G をそのGalois(>>251)とする。
α ∈ L の K 上の最小多項式(>>116)を f(X) とする。
β を L における f(X) の任意の根とする。
このとき σ ∈ G(L/K) (>>123)で σ(α) = β となるものがある。

証明
>>159より明らかであるが>>452で使ったテクニックを使用して証明しよう。
g(X) = Π(X - σ(α)) とおく。ここで σ は G の元全体を動く。
g(X) の係数は σ(α)、σ ∈ G の対称式であるから G の各元で不変である。
よって、>>318より、g(X) ∈ K[X] である。
g(α) = 0 であるから g(X) は f(X) で割れる。
よって、g(β) = 0 である。
よって、β = σ(α) となる σ ∈ G(L/K) がある。
証明終
0454Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/14(月) 09:56:45.82
命題 172
L/K を有限(>>87)なGalois拡大(>>251)とする。
G をそのGalois(>>251)とする。
L/K の中間体(>>309)全体の集合を Φ(L/K) とし、G の部分群全体の集合を Sub(G) とする。
L/K の中間体 M に対して ψ(M) = Aut(L/M) とおく。
M ∈ Φ(L/K) に Aut(L/M) (>>123) ∈ Sub(G) を対応させることにより
写像 ψ：Φ(L/K) → Sub(G) が得られる。
H ∈ Sub(G) に L^H (>>311)を対応させることにより、写像 φ：Sub(G) → Φ(L/K) が得られる。

このとき以下が成り立つ。

1)
M_1、M_2 ∈ Φ(L/K)、M_1 ⊂ M_2 のとき ψ(M_1) ⊃ ψ(M_2)
H_1、H_2 ∈ Sub(G)、H_1 ⊂ H_2 のとき φ(H_1) ⊃ φ(H_2)

2)
M ∈ Φ(L/K) と H ∈ Sub(G) に対して
ψ(M) ⊂ H ⇔ M ⊃ φ(H)

証明
1) は自明である。

2)
ψ(M) ⊂ H とする。
1) より φψ(M) ⊃ φ(H) であるが>>451より φψ(M) = M である。
よって、M ⊃ φ(H)

逆に M ⊃ φ(H) とする。
1) より ψ(M) ⊂ ψφ(H) であるが>>451より ψφ(H) = H である。
よって、ψ(M) ⊂ H
証明終
0455１３２人目の素数さん2011/11/14(月) 09:59:55.18
>>Kummer






























fuck you
0456Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/14(月) 10:27:03.80
>>454
Φ(L/K) は包含関係により順序集合となる。
同様に Sub(G) は包含関係により順序集合となる。
Sub(G)^o をSub(G)の双対順序集合(代数的整数論021の168)とする。
2) より (Φ(L/K), ψ, φ, Sub(G)^o) はGalois対応(代数的整数論021の642)である。
そもそも、Galois対応という用語はこれから来ている。
0457１３２人目の素数さん2011/11/14(月) 10:29:46.96
>>456
それは違う。謝罪しろ
0458あぼーんNGNG
あぼーん
0459Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/14(月) 10:46:03.06
>>454
>G をそのGalois(>>251)とする。

G をそのGalois群(>>251)とする。
0460１３２人目の素数さん2011/11/14(月) 10:49:28.45
>>459
ほら言ったやろ！ボケが

謝罪しろ
0461Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/14(月) 10:57:49.32
命題 173
L/K を有限(>>87)なGalois拡大(>>251)とする。
G をそのGalois群(>>251)とする。
M を L/K の中間体(>>309)とする。
H = Aut(L/M) (>>123)とする。
任意の σ ∈ G に対して、Aut(L/σ(M)) = σHσ^(-1) である。

証明
任意の h ∈ H と任意の x ∈ M に対して σhσ^(-1)(σ(x)) = σh(x) = σ(x)
よって、σhσ^(-1) ∈ Aut(L/σ(M)) である。
よって、σHσ^(-1) ⊂ Aut(L/σ(M)) である。

逆に 任意の τ ∈ Aut(L/σ(M)) と任意の x ∈ M に対して τσ(x) = σ(x)
よって、σ^(-1)τσ(x) = x
よって、σ^(-1)τσ ∈ H
よって、τ ∈ σHσ^(-1)
よって、Aut(L/σ(M)) ⊂ σHσ^(-1) である。

以上から Aut(L/σ(M)) = σHσ^(-1) である。
証明終
0462Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/14(月) 11:05:09.29
命題 174
L/K を有限(>>87)なGalois拡大(>>251)とする。
G をそのGalois群(>>251)とする。
H を G の部分群とする。
M = L^H (>>311)とする。
このとき、任意の σ に対して L^(σHσ^(-1)) = σ(M) である。

証明
>>461より、Aut(L/σ(M)) = σHσ^(-1) である。
よって、Galois理論の基本定理(>>451)より L^(σHσ^(-1)) = σ(M) である。
証明終
0463Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/14(月) 11:08:57.74
>>462
>このとき、任意の σ に対して L^(σHσ^(-1)) = σ(M) である。

このとき、任意の σ ∈ G に対して L^(σHσ^(-1)) = σ(M) である。
0464１３２人目の素数さん2011/11/14(月) 11:16:30.39
うるせぇ謝れ
0465Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/14(月) 11:55:27.73
>>453
>このとき σ ∈ G(L/K) (>>123)で σ(α) = β となるものがある。

このとき σ ∈ G で σ(α) = β となるものがある。
0466Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/14(月) 12:06:04.55
次の命題は>>253と>>159より明らかである。
ここでは、原始要素の定理(>>335)を使った別証明を紹介しよう。

命題 175
L/K を有限(>>87)なGalois拡大(>>251)とする。
G をそのGalois群(>>251)とする。
M と N を L/K の中間体(>>309)とする。
τ：M → N を K-同型(>>122)とする。
このとき σ ∈ G で τ の拡張になっているものが存在する。

証明
原始要素の定理(>>335)より M = K(α) となる。
このとき、N = K(τ(α)) である。
α の M 上の最小多項式(>>116)を f(X) とする。
f(α) = 0 だから f(τ(α)) = 0 である。
よって、>>453より、σ ∈ G で σ(α) = τ(α) となるものがある。
M = K(α) であるから σ の M への制限は τ と一致する。
よって、σ が求めるものである。
証明終
0467１３２人目の素数さん2011/11/14(月) 12:31:48.63
552 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e ：2011/11/14(月) 12:28:51.47
どうでもいいと思うのは他人がすでに証明してくれているからであって、
未知の分野だったらどうでもよくないだろ。
証明しないと間違ってるかもしれない。
高木貞治は自分の発見した結果に自信がもてなくてノイローゼになったらしい。

また、他人がすでに証明してるからといってその証明が正しいとは限らない。
0468Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/14(月) 12:55:33.84
命題 176
L/K を正規拡大(>>163)とする。
G = Aut(L/K) (>>123)とする。
M を L/K の中間体(>>309)とする。
このとき、M/K が正規拡大であるためには
任意の σ ∈ G に対して σ(M) = M となることが必要十分である。

証明
必要性：
M/K が正規拡大であるとする。
任意の σ ∈ G は σ を M に制限することにより、
K-埋め込み τ：M → Ω (>>82) を引き起こす。
>>166より τ(M) = M である
即ち σ(M) = M である。

十分性：
任意の σ ∈ G に対して σ(M) = M となるとする。
τ：M → Ω (>>82) を任意の K-埋め込み(>>122)とする。
>>148より、埋め込み σ：L → Ω で τ の拡張となっているものが存在する。
>>166より、σ ∈ G である。
よって、仮定より σ(M) = M である。
即ち τ(M) = M である。
>>166より、M/K は正規拡大である.
証明終
0469１３２人目の素数さん2011/11/14(月) 12:56:02.60
>>468
お前、頭悪いんだから数学なんかやめとけ。
0470ワシは糞痴漢猫氏 ◆MuKUnGPXAY 2011/11/14(月) 13:15:33.86
>>469
頭が悪いのはオマエの方や。そやしすっ込めや。騒いだらワシが叩くゾ。

猫
0471Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/14(月) 13:22:58.79
次の命題は>>468の特別な場合であるが、>>453を使って証明しよう。

命題 177
L/K を有限(>>87)なGalois拡大(>>251)とする。
G をそのGalois群(>>251)とする。
M を L/K の中間体(>>309)とする。
このとき、M/K がGalois拡大であるためには
任意の σ ∈ G に対して σ(M) = M となることが必要十分である。

証明
必要性：
M/K がGalois拡大であるとする。
任意の α ∈ M に対して α の K 上の最小多項式(>>116)を f(X) とする。
任意の σ ∈ G に対して σ(α) は f(X) の根である。
f(X) は M で分解する(>>162)から σ(α) ∈ M である。
よって、σ(M) ⊂ M である。
よって、>>154より σ(M) = M である。

十分性：
任意の σ ∈ G に対して σ(M) = M とする。
任意の α ∈ M に対して α の K 上の最小多項式(>>116)を f(X) とする。
f(X) の L における任意の根を β とする。
>>453より σ ∈ G で σ(α) = β となるものがある。
σ(M) = M であるから β ∈ M である。
f(X) は L で分解する(>>162)から M でも分解する。
よって、M/K は正規拡大(>>163)である。
L/K は分離的だから M/K も分離的である。
よって、M/K はGalois拡大である。
証明終
0472１３２人目の素数さん2011/11/14(月) 13:28:53.43
元々糞スレなんだし、勉強ノート晒したい人に使わせときゃあええんでない。
0473Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/14(月) 13:29:42.70
命題 178
L/K を有限(>>87)なGalois拡大(>>251)とする。
G をそのGalois群(>>251)とする。
M を L/K の中間体(>>309)とする。
H = Aut(L/M) (>>123)とする。
このとき、M/K がGalois拡大であるためには H が G の正規部分群であることが必要十分である。

証明
必要性：
M/K がGalois拡大であるとする。
>>166より、任意の σ ∈ G に対して σ(M) = M である。
一方、>>461より、Aut(L/σ(M)) = σHσ^(-1) である。
よって、H = σHσ^(-1) である。
よって、H は G の正規部分群である。

十分性：
H を G の正規部分群とする。
>>462より、任意の σ ∈ G に対して L^(σHσ^(-1)) = σ(M) である。
σHσ^(-1) = H であるから L^H = σ(M) である。
一方、Galois理論の基本定理(>>451)より L^H = M である。
よって、σ(M) = M である。
よって、>>471より M/K はGalois拡大である。
証明終
0474１３２人目の素数さん2011/11/14(月) 13:43:49.50
支援支援
0475Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/14(月) 13:53:16.97
命題 179
L/K を有限(>>87)なGalois拡大(>>251)とする。
G をそのGalois群(>>251)とする。
M を L/K の中間体(>>309)とし、M/K はGalois拡大であるとする。
H = Aut(L/M) (>>123)とおく。
σ ∈ G に対して σ の定義域を M に制限した写像を σ|M とする。
このとき、σ|M ∈ G(M/K) である。
σ ∈ G に σ|M ∈ G(M/K) を対応させる写像 λ：G → G(M/K) は全射準同型であり、
その核は H である。
よって、G(M/K) は G/H に同型である。

証明
>>471より σ ∈ G に対して σ(M) = M である。
よって、σ|M ∈ G(M/K) である。
λ：G → G(M/K) は明らかに準同型である。
>>466より、λ：G → G(M/K) は全射である。
明らかに λ の核は H である。
証明終
0476１３２人目の素数さん2011/11/14(月) 14:23:32.82
>>Kummer
間違いだらけやん

消えろや
0477Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/14(月) 14:28:02.20
>>461は代数的拡大とは限らない任意の拡大(>>82)で成り立つ。

命題 180
L/K を任意の拡大(>>82)とする。
M を L/K の中間体(>>309)とする。
H = Aut(L/M) (>>123)とする。
任意の σ ∈ Aut(L/K) に対して、Aut(L/σ(M)) = σHσ^(-1) である。

証明
>>461とまったく同じである。
0478猫は性犯罪者 ◆MuKUnGPXAY 2011/11/14(月) 14:39:10.14
>>476
ソレを言うならオマエが自分で『その間違いとやら』を指摘するべき。
さもなくばオマエはワシの攻撃の対象になるだけや。そやからオマエが
自分から消えた方が安全やゾ。その程度やったら低脳な馬鹿でも判るナ。

猫
0479Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/14(月) 14:41:53.21
>>462は有限(>>87)とは限らないGalois拡大(>>251)でも成り立つ。

命題 181
L/K をGalois拡大(>>251)とする。
G をそのGalois群(>>251)とする。
H を G の部分群とする。
M = L^H (>>311)とする。
このとき、任意の σ ∈ G に対して L^(σHσ^(-1)) = σ(M) である。

証明
>>477より、Aut(L/σ(M)) = σHσ^(-1) である。
>>319より、L^(σHσ^(-1)) = σ(M) である。
証明終
0480１３２人目の素数さん2011/11/14(月) 14:48:37.76
さっき日経サイエンスの記事を調べたが
１２月号の予告も含めてガロワ関係の記事は皆無だった
0481Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/14(月) 15:24:30.82
>>462への補足
Galois理論の基本定理(>>451)より Aut(L/M) = H であるから
>>461より、Aut(L/σ(M)) = σHσ^(-1) である。
0482Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/14(月) 15:38:25.02
>>479の修正

命題 181
L/K をGalois拡大(>>251)とする。
G をそのGalois群(>>251)とする。
H を G の部分群とする。
M = L^H (>>311)とする。
このとき、任意の σ ∈ G に対して L^(σHσ^(-1)) = σ(M) である。

証明
x ∈ L^(σHσ^(-1)) とする。
任意の η ∈ H に対して σησ^(-1)(x) = x
よって、ησ^(-1)(x) = σ^(-1)(x)
よって、σ^(-1)(x) ∈ M
よって、x ∈ σ(M)
よって、L^(σHσ^(-1)) ⊂ σ(M) である。

逆に、x ∈ σ(M) とする。
x = σ(y) となる y ∈ M がある。
任意の η ∈ H に対して
σησ^(-1)(x) = σησ^(-1)(σ(y)) = ση(y) = σ(y) = x
よって、x ∈ L^(σHσ^(-1))
よって、σ(M) ⊂ L^(σHσ^(-1)) である。
証明終
0483Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/14(月) 15:42:46.57
定義 182
L を体(>>82)とする。
H を Aut(L) (>>435)の部分群とする。
このとき、M = {x ∈ L； σ(x) = x、各σ ∈ H} は明らかに L の部分体である。
M を H の固定体と呼び L^H と書く。
0484Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/14(月) 15:49:01.94
>>482は任意の拡大(>>82)に拡張できる。

命題 183
L/K を任意の拡大(>>82)とする。
H を Aut(L/K) (>>123)の部分群とする。
M = L^H (>>483)とする。
このとき、任意の σ ∈ Aut(L/K) に対して L^(σHσ^(-1)) = σ(M) である。

証明
>>482の証明とまったく同じである。


x ∈ L^(σHσ^(-1)) とする。
任意の η ∈ H に対して σησ^(-1)(x) = x
よって、ησ^(-1)(x) = σ^(-1)(x)
よって、σ^(-1)(x) ∈ M
よって、x ∈ σ(M)
よって、L^(σHσ^(-1)) ⊂ σ(M) である。

逆に、x ∈ σ(M) とする。
x = σ(y) となる y ∈ M がある。
任意の η ∈ H に対して
σησ^(-1)(x) = σησ^(-1)(σ(y)) = ση(y) = σ(y) = x
よって、x ∈ L^(σHσ^(-1))
よって、σ(M) ⊂ L^(σHσ^(-1)) である。
証明終
0485Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/14(月) 16:02:02.31
命題 184
L/K をGalois拡大(>>251)とする。
G をそのGalois群(>>251)とする。
M を L/K の中間体(>>309)とする。
H = Aut(L/M) (>>123)とする。
このとき、M/K がGalois拡大であるためには H が G の正規部分群であることが必要十分である。

証明
必要性：
M/K がGalois拡大であるとする。
>>166より、任意の σ ∈ G に対して σ(M) = M である。
一方、>>461より、Aut(L/σ(M)) = σHσ^(-1) である。
よって、H = σHσ^(-1) である。
よって、H は G の正規部分群である。

十分性：
H を G の正規部分群とする。
>>319より、M = L^H (>>311)である。
よって、>>482より、任意の σ ∈ G に対して L^(σHσ^(-1)) = σ(M) である。
σHσ^(-1) = H であるから L^H = σ(M) である。
M = L^H であるから σ(M) = M である。
よって、>>468より M/K はGalois拡大である。
証明終
0486Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/14(月) 16:09:11.67
>>473への補足
> >>462より、任意の σ ∈ G に対して L^(σHσ^(-1)) = σ(M) である。

Galois理論の基本定理(>>451)より L^H = M であるから
>>462より、任意の σ ∈ G に対して L^(σHσ^(-1)) = σ(M) である。
0487Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/14(月) 16:20:40.31
命題 185
L/K を正規拡大(>>163)とする。
M と N を L/K の中間体(>>309)とする。
τ：M → N を K-同型(>>122)とする。
このとき σ ∈ Aut(L/K) で τ の拡張になっているものが存在する。

証明
>>148より、埋め込み σ：L → Ω で τ の拡張となっているものが存在する。
>>166より、σ ∈ Aut(L/K) である。
証明終
0488Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/14(月) 16:28:22.82
>>475の拡張

命題 186
L/K をGalois拡大(>>251)とし、G をそのGalois群(>>251)とする。
M を L/K の中間体(>>309)とし、M/K はGalois拡大であるとする。
H = Aut(L/M) (>>123)とおく。
σ ∈ G に対して σ の定義域を M に制限した写像を σ|M とする。
このとき、σ|M ∈ G(M/K) (>>251)である。
σ ∈ G に σ|M ∈ G(M/K) を対応させる写像 λ：G → G(M/K) は全射準同型であり、
その核は H である。
よって、G(M/K) は G/H に同型である。

証明
>>468より σ ∈ G に対して σ(M) = M である。
よって、σ|M ∈ G(M/K) である。
λ：G → G(M/K) は明らかに準同型である。
>>487より、λ：G → G(M/K) は全射である。
明らかに λ の核は H である。
証明終
0489Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/14(月) 16:33:25.79
>>488は正規拡大(>>163)でも成り立つ。

命題 187
L/K を正規拡大(>>163)とする。
G = Aut(L/K) とする。
M を L/K の中間体(>>309)とし、M/K は正規拡大拡大であるとする。
H = Aut(L/M) (>>123)とおく。
σ ∈ G に対して σ の定義域を M に制限した写像を σ|M とする。
このとき、σ|M ∈ Aut(M/K) である。
σ ∈ G に σ|M ∈ Aut(M/K) を対応させる写像 λ：G → Aut(M/K) は全射準同型であり、
その核は H である。
よって、Aut(M/K) は G/H に同型である。

証明
>>468より σ ∈ G に対して σ(M) = M である。
よって、σ|M ∈ Aut(M/K) である。
λ：G → Aut(M/K) は明らかに準同型である。
>>487より、λ：G → Aut(M/K) は全射である。
明らかに λ の核は H である。
証明終
0490Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/14(月) 16:44:02.26
定義 188
Galois拡大(>>251)はそのGalois群(>>251)がAbel群であるときAbel拡大と言う。
0491Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/14(月) 16:45:32.88
定義 189
Galois拡大(>>251)はそのGalois群(>>251)が巡回群であるとき巡回拡大と言う。
0492Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/14(月) 18:44:12.34
定義 190
G を群とし、H をその部分群とする。
G/H = {σH； σ ∈ G} を H を法とする左剰余類の集合とする。
|G/H| (>>180)を [G : H] と書く。
0493Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/14(月) 20:44:37.71
命題 191
L/K を正規拡大(>>163)とし、G = Aut(L/K) (>>123)とする。
M を L/K の中間体(>>309)とし、H = Aut(L/M) とする。
このとき |E(M/K)| (>>262) = [G : H] (>>492) である。

証明
(σ_i)、i ∈ I を H を法とする左剰余類の集合 G/H の完全代表系とする。
ここで、I はある空でない集合で i ≠ k のとき (σ_i)H ≠ (σ_k)H である。
σ ∈ G に対して σ の定義域を M に制限した写像を σ|M とする。
任意の K-埋め込み(>>122) τ：M → Ω(>>82)に対して
>>148と>>166より、σ ∈ G で τ の拡張となっているものが存在する。
σ ∈ (σ_i)H となる i ∈ I が一意に定まる。
他の λ ∈ G が τ の拡張となっているとする。
σ|M = λ|M だから σ^(-1)λ ∈ H
よって、(σ_i)H = σH = λH
よって、K-埋め込み τ：M → Ω に対して上記の i ∈ I は一意に定まる。
よって、ψ：E(M/K) → I が定まる。
逆に i ∈ I に対して σ_i|M ∈ E(M/K) を対応させる写像を φ とする。
τ：M → Ω に対して σ ∈ G を τ の拡張とし、σ ∈ (σ_i)H とする。
σ = (σ_i)η、η ∈ H と書ける。
任意の x ∈ M に対して σ(x) = (σ_i)η(x) = σ_i(x)
よって、τ = σ|M = σ_i|M
よって、φψ(τ) = τ

逆に、任意の i ∈ I に対して τ = σ_i|M とすると ψ(τ) = i
よって、ψφ(i) = i

以上から ψ と φ は互いに逆写像である。
よって、|E(M/K)| = |I| = [G : H]
証明終
0494Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/14(月) 21:39:00.52
>>493は次のように証明したほうが分かりやすいかもしれない。

命題 191
L/K を正規拡大(>>163)とし、G = Aut(L/K) (>>123)とする。
M を L/K の中間体(>>309)とし、H = Aut(L/M) とする。
このとき |E(M/K)| (>>262) = [G : H] (>>492) である。

証明
G/H = {σH； σ ∈ G} を H を法とする左剰余類の集合とする。
σ ∈ G に対して σ の定義域を M に制限した写像を σ|M とする。
σ ∈ G に対して σH の各元の M への制限は同じ K-埋め込み M → Ω(>>82)を引き起こす。
よって、σH に σ|M を対応させることにより写像 φ：G/H → E(M/K) が定まる。

逆に、任意の K-埋め込み(>>122) τ：M → Ω に対して
>>148と>>166より、σ ∈ G で τ の拡張となっているものが存在する。
このとき、σH の各元は τ の拡張である。
λ ∈ G が τ の拡張となっているとする。
σ|M = λ|M だから σ^(-1)λ ∈ H
よって、λ ∈ σH
よって、σH = {λ ∈ G； λ|M = τ} である。
よって、τ に σH を対応させることにより写像 ψ：E(M/K) → G/H が定まる。

明らかに φ と ψ は互いに逆写像である。
よって、|E(M/K)| = [G : H] である。
証明終
0495Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/14(月) 21:48:29.46
命題 192
L/K を正規拡大(>>163)とし、G = Aut(L/K) (>>123)とする。
M_1 と M_2 を L/K の中間体(>>309)とし、M_1 ⊂ M_2 とする。
H_i = Aut(L/M_i)、i = 1、2 とする。
[M_2 : M_1] ＜ ∞ のとき [M_2 : M_1]_s (>>267) = [H_1 : H_2] (>>492)である。

証明
>>172より、L/M_1 は正規拡大である。
よって、本命題は>>494より直ちに得られる。
証明終
0496Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/14(月) 21:58:14.07
命題 193
L/K をGalois拡大(>>251)とする。
M_1 と M_2 を L/K の中間体(>>309)とし、M_1 ⊂ M_2 とする。
H_i = Aut(L/M_i)、i = 1、2 とする。
[M_2 : M_1] ＜ ∞ のとき [M_2 : M_1] = [H_1 : H_2] (>>492)である。

証明
>>495より、[M_2 : M_1]_s = [H_1 : H_2]
>>260より、M_2/K は分離的であるから M_2/M_1 も分離的である。
よって、>>269より、[M_2 : M_1]_s = [M_2 : M_1]
よって、[M_2 : M_1] = [H_1 : H_2]
証明終
0497Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/14(月) 23:27:50.50
命題 194
L/K を有限(>>87)なGalois拡大(>>251)とする。
M_1、M_2、．．．、M_r を L/K の中間体(>>309)とする。
H_i = Aut(L/M_i)、i =1、．．．、r とする。
(M_1)(M_2)．．．(M_r) (>>299) を合成体(>>291)とする。
このとき Aut(L/(M_1)．．．(M_r)) = (H_1)∩．．．∩(H_r)

証明
Galois理論の基本定理(>>451)と>>454の 1) より明らかである。
0498Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/15(火) 07:38:44.49
>>497は L/K が任意の拡大でも成り立つ。

命題 195
L/K を任意の拡大(>>82)とする。
M_1、M_2、．．．、M_r を L/K の中間体(>>309)とする。
H_i = Aut(L/M_i)、i =1、．．．、r とする。
(M_1)(M_2)．．．(M_r) (>>299) を合成体(>>291)とする。
このとき Aut(L/(M_1)．．．(M_r)) = (H_1)∩．．．∩(H_r)

証明
各 M_i ⊂ (M_1)．．．(M_r) だから Aut(L/(M_1)．．．(M_r)) ⊂ H_i
よって、Aut(L/(M_1)．．．(M_r)) ⊂ (H_1)∩．．．∩(H_r)

逆に、σ ∈ (H_1)∩．．．∩(H_r) なら σ は各 M_i の元を固定する。
よって、σ ∈ Aut(L/(M_1)．．．(M_r))
よって、(H_1)∩．．．∩(H_r) ⊂ Aut(L/(M_1)．．．(M_r))
証明終
0499Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/15(火) 08:35:50.96
>>498は無限個の中間体についても成り立つ。

命題 196
L/K を任意の拡大(>>82)とする。
(M_i)、i ∈ I を L/K の中間体(>>309)の族とする。
各 i ∈ I に対して H_i = Aut(L/M_i) とする。
M を (M_i)、i ∈ I の合成体(>>291)とする。
このとき Aut(L/M) = ∩{H_i；i ∈ I}

証明
各 M_i ⊂ M だから Aut(L/M) ⊂ H_i
よって、Aut(L/M) ⊂ ∩{H_i；i ∈ I}

逆に、σ ∈ ∩{H_i；i ∈ I} なら σ は各 M_i の元を固定する。
I の空でない有限部分集合全体の集合を Φ とする。
S ∈ Φ に対して (K_i)、i ∈ S の合成体を M_S とする。
>>292より、M = ∪{M_S； S ∈ Φ} である。
σ は各 M_S の元を固定する。
よって、σ ∈ Aut(L/M)
よって、∩{H_i；i ∈ I} ⊂ Aut(L/M)
証明終
0500Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/15(火) 10:06:40.04
299 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e ：2011/11/15(火) 10:03:17.62
Galois理論の基本定理は体論の初歩が理解出来ていれば簡単に理解出来る。
実際、高木の代数的整数論では正味１ページ程度で（数体において）基本定理を証明している。
その証明はガロア生誕200周年記念スレの318と452とほぼ同じである。
しかし、方程式の可解性の必要十分条件はその方程式のGalois群が可解群となることという
Galoisの主定理の証明はそれほど簡単ではない。
0501１３２人目の素数さん2011/11/15(火) 10:12:05.74
簡単だから。
簡単でないと思うのはお前が馬鹿な証拠
0502Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/15(火) 10:32:43.45
命題 197
L/K を有限(>>87)なGalois拡大(>>251)とし、そのGalois群(>>251)を G とする。
M_1、M_2、．．．、M_r を L/K の中間体(>>309)とする。
H_i = Aut(L/M_i)、i =1、．．．、r とする。
H_i、i =1、．．．、r で生成される G の部分群を H とする。
このとき、Aut(L/(M_1)∩．．．∩(M_r)) = H である。

証明
Galois理論の基本定理(>>451)と>>454の 1) より明らかであるが、一応証明しよう。
>>451より (M_1)∩．．．∩(M_r) = L^H (>>311) を証明すれば良い。

α ∈ L^H なら α ∈ L^(H_i)、i = 1、．．．、r である。
>>451より、L^(H_i) = M_i であるから α ∈ (M_1)∩．．．∩(M_r) である。

逆に α ∈ (M_1)∩．．．∩(M_r) なら α ∈ L^(H_i)、i = 1、．．．、r である。
H の元は各 H_i の元の積として表されるから α ∈ L^H である。
証明終
0503Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/15(火) 10:45:05.61
命題 198
L/K をGalois拡大(>>251)とする。
F/K を任意の拡大(>>82)とする。
このとき LF/F はGalois拡大である。
ここで LF は L と F の合成体(>>132)である。

証明
>>171より、LF/F は正規拡大(>>163)である。
>>284より、LF/F は分離代数的(>>247)である。
よって、LF/F はGalois拡大である。
証明終
0504Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/15(火) 12:15:42.03
次の命題はGaloisの主定理(>>85)の証明において重要な役割をする。
0505Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/15(火) 12:17:16.17
命題 199
L/K を有限(>>87)なGalois拡大(>>251)とする。
F/K を任意の拡大(>>82)とする。
>>503より、LF/F はGalois拡大である。
K ⊂ L∩F ⊂ L であるから>>310より L/L∩F はGalois拡大である。
このとき、任意の σ ∈ G(LF/F) (>>251)に対して σ の L への制限 σ|L は
G(L/(L∩F)) の元である。
σ ∈ G(LF/F) に σ|L ∈ G(L/(L∩F)) を対応させる写像 λ は
G(LF/F) から G(L/(L∩F)) への同型である。

証明
>>166より、任意の σ ∈ G(LF/F) に対して σ(L) = L である。
よって、σ|L ∈ G(L/(L∩F)) である。
λ：G(LF/F) → G(L/(L∩F)) が準同型であることは明らかである。
σ が λ の核の元なら σ は L の各元を固定する。
一方、σ は F の各元を固定するから σ = 1 である。
よって、λ は単射である。
よって、λ が全射であることを証明すればよい。
λ の像を H とする。
H = G(L/(L∩F)) を示せばよい。
それにはGalois理論の基本定理(>>451)より L∩F = L^H を示せばよい。
α ∈ L∩F とする。
α ∈ F だから、任意の σ ∈ G(LF/F) に対して σ(α) = α である。
即ち α ∈ L^H である。
よって、L∩F ⊂ L^H である。

逆に α ∈ L^H とする。
任意の σ ∈ G(LF/F) に対して σ|L ∈ H であるから σ(α) = α である。
よって、Galois理論の基本定理(>>451)より、α ∈ F である。
よって、α ∈ L∩F である。
よって、L^H ⊂ L∩F である。
証明終
0506Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/15(火) 12:21:13.10
>>505は L/K が有限でなくても成り立つ。
その証明には無限次Galois理論が必要である。
0507Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/15(火) 15:20:24.98
命題 200
L_1/K、．．．、L_n/K をGalois拡大(>>251)とする。
G_i = G(L_i/K)、i = 1、．．．、n とおく。
E を L_1、．．．、L_n の合成体(>>291)とする。
このとき、E/K はGalois拡大である。
G = G(E/K) とおく。
σ ∈ G に (σ|L_1、．．．、σ|L_n) ∈ (G_1)×．．．×(G_n) を
対応させることにより写像 λ：G → (G_1)×．．．×(G_n) が定義される。
ここで σ|L_i、i = 1、．．．、n は σ の定義域を L_i に制限した写像である。
このとき、λ は単射準同型である。

証明
>>173(と n に関する帰納法)より、E/K は正規拡大である。
>>284と>>137(と n に関する帰納法)より、E/K は分離代数的である。
よって、E/K はGalois拡大である。

>>166より、任意の σ ∈ G(E/K) に対して σ|L_i ∈ G_i、i = 1、．．．、n となる。
よって写像 λ：G → (G_1)×．．．×(G_n) が定義される。
λ が準同型であることは明らかである。
σ ∈ G(E/K) が各 L_i の全ての元を固定すれば、σ は E の全ての元を固定する。
よって、σ = 1 である。
よって、λ は単射である。
証明終
0508Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/15(火) 15:38:52.08
命題 201
L_1/K と L_2/K を有限(>>87)なGalois拡大(>>251)とする。
G_i = G(L_i/K)、i = 1、2 とおく。
E を L_1 と L_2 の合成体(>>291)とする。
G = G(E/K) とおく。
>>507より E/K はGalois拡大である。
このとき、L_1 ∩ L_2 = K であれば、>>507の λ：G → (G_1)×(G_2) は同型である。

証明
>>507より、λ は単射準同型であるから λ が全射であることを証明すればよい。
>>505より、任意の τ_1 ∈ G_1 に対して σ_1 ∈ G(E/L_2) で σ_1|L_1 = τ_1 となるものがある。
σ_1|L_2 = 1 だから λ(σ_1) = (τ_1、1) である。
同様に、任意の τ_2 ∈ G_2 に対して σ_2 ∈ G(E/L_1) で σ_2|L_2 = τ_2 となるものがある。
σ_2|L_1 = 1 だから λ(σ_2) = (1、τ_2) である。
このとき、λ(σ_1σ_2) = λ(σ_1)λ(σ_2) = (τ_1、1)(1、τ_2) = (τ_1、τ_2)
よって、λ は全射である。
証明終
0509Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/15(火) 15:41:21.60
>>508は L_1/K と L_2/K が有限でなくても成り立つ(>>506参照)。
0510１３２人目の素数さん2011/11/15(火) 15:45:13.66
クズ。お前に才能はなし。
0511猫 ◆MuKUnGPXAY 2011/11/15(火) 15:48:09.01
>>510
才能が無いクズはオマエや。

猫
0512Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/15(火) 16:27:00.68
定義 202
L/K を拡大(>>82)とする。
L = K(α)、α^n ∈ K となる α ∈ L と整数 n ≧ 1 があるとき L/K を単冪根拡大と呼ぶ。
0513Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/15(火) 16:36:16.82
定義 203
K = K_0 ⊂ K_1 ⊂ ．．．⊂ K_n = L を体(>>82)の増大列とする。
各 K_i/K_(i-1)、i = 1、．．．、n が単冪根拡大(>>512)であるとき
L/K を冪根拡大(radical extension)と呼ぶ。
0514Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/15(火) 16:40:57.71
定義 204
L/K を拡大(>>82)とする。
冪根拡大(>>513) E/K があり L ⊂ E となるとき L/K を可解拡大という。
0515Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/15(火) 16:45:45.76
定義 205
K を体(>>82)とし、f(X) ∈ K[X] を定数でない多項式とする。
f(X) の最小分解体(>>149)が K 上可解(>>514)となるとき f(X) を（K 上）可解という。
0516Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/15(火) 17:57:48.17
命題 206
n ≧ 1 を Ω(>>82)の標数で割れない整数とする。
このとき、多項式 X^n - 1 の Ω における根の全体は Ω の乗法群の
位数 n の巡回部分群である。

証明
X^n - 1 の Ω における根の全体は明らかに Ω の乗法群の有限部分群である。
よって、>>332より巡回群である。
この群を G とする。
n = 1 なら |G| = 1 である。
よって、n ≧ 2 とする。
X^n - 1 の導多項式(>>182)は nX^(n-1) であるから
Ωの標数の仮定より、nX^(n-1) ≠ 0 である。
よって、nX^(n-1) の根は 0 のみである。
よって、X^n - 1 と nX^(n-1) は共通根を持たない。
よって、>>190より、X^n - 1 は重根(>>189)を持たない。
よって、|G| = n である。
証明終
0517１３２人目の素数さん2011/11/15(火) 18:23:46.72
つぶやき猫
0518Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/15(火) 20:06:41.38
命題 207
Ω(>>82)の標数(>>214)を p ≠ 0 とする。
n ≧ 2 を p で割れる整数とし、 n = (p^e)m とする。
ここで m は p で割れない整数である。
このとき、多項式 X^n - 1 の Ω における根の全体は Ω の乗法群の
位数 m の巡回部分群である。

証明
A = Ω[X] は>>219の条件を満たす可換環である。
よって、X^n - 1 = (X^m - 1)^(p^e) である。
よって、本命題は>>516より直ちに得られる。
証明終
0519猫 ◆MuKUnGPXAY 2011/11/15(火) 20:07:01.45
つぶしや猫

猫
0520Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/15(火) 21:08:12.69
定義 208
n ≧ 1 を整数とする。
X^n - 1 の Ω(>>82) における根を 1 の n 乗根と言う。
n が Ωの標数(>>214)で割れないとき、>>516より 1 の n 乗根全体は
Ω の乗法群の位数 n の巡回部分群である。
この巡回部分群の生成元を 1 の原始 n 乗根と言う。
0521Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/15(火) 21:35:09.42
定義 209
K を体(>>82)とする。
n ≧ 1 を整数とする。
X^n - 1 の K 上の最小分解体(>>149)を K 上の位数 n の円分体(cyclotomic field)と言う。
0522Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/15(火) 21:39:09.44
記法
A を環とする。
A の可逆元全体のなす群を A^* と書く。
0523Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/15(火) 22:31:32.37
命題 210
n ≧ 1 を Ω(>>82)の標数(>>214)で割れない整数とする。
K を体(>>82)とする。
このとき、K 上の位数 n の円分体(>>521) L はGalois拡大(>>251)であり、
そのGalois群は (Z/nZ)^* の部分群に同型である。
ここで Z は有理整数環である。
よって、L/K はAbel拡大(>>490)である。

証明
>>516より X^n - 1 は分離的(>>193)である。
よって、>>322より、L/K は有限(>>87)なGalois拡大(>>251)である。
G を L/K のGalois群(>>251)とする。
>>516より、多項式 X^n - 1 の Ω における根の全体は Ω の乗法群の位数 n の巡回部分群である。
この群を μ_n とする。
L = K(μ_n) である。
ζ を 1 の原始 n 乗根(>>520)とすると、μ_n の元はすべて ζ の冪である。
よって、L = K(ζ) である。
任意の σ ∈ G は μ_n の自己同型を引き起こす。
よって、σ(ζ) は 1 の原始 n 乗根である。
よって、σ(ζ) = ζ^i となる。
ここで、i は n と素な整数である。
ζ^i = ζ^k なら i ≡ k (mod n) である。
よって、σ ∈ G に i (mod n) ∈ (Z/nZ)^* を対応させることにより
写像 ψ：G → (Z/nZ)^* が得られる。
σ、τ ∈ G とし、σ(ζ) = ζ^i、τ(ζ) = ζ^k とする。
στ(ζ) = σ(ζ^k) = (σ(ζ))^k = ζ^(ik)
よって、ψ(στ) = ψ(σ)ψ(τ) である。
よって、ψ は準同型である。
ψ(σ) = 1 なら σ(ζ) = ζ
よって、σ = 1 である。
よって、σ は単射である。
証明終
0524１３２人目の素数さん2011/11/16(水) 06:48:06.32
■■■■■■フジデモwith電通・朝日新聞 抗議デモ■■■■■■

日時　　　　１１月２０日(日）　

場所　　　　　JR東京駅八重洲南口から徒歩約８分

　　　　　　　地下鉄有楽町線銀座一丁目駅７番出口から徒歩約１分

集合場所　　水谷橋公園

集合時間　　１２時３０分　

出発時間　　１２時４５分　雨天決行

主催　　　　２ch大規模off フジデモwith朝日新聞・電通抗議デモ 実行委員会

0525Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/16(水) 12:43:47.93
命題 211
n ≧ 1 を Ω(>>82)の標数(>>214)で割れない整数とする。
よって、>>516より、Ω は 1 の原始 n 乗根(>>520) ζ を含む。
K を体(>>82)とし、ζ ∈ K とする。
a ∈ K とし、X^n - a の Ω における根を α とする。
このとき、K(α)/K は巡回拡大(>>491)であり、
[K(α) : K] は n の約数である。

証明
a = 0 の場合は自明であるから a ≠ 0 と仮定する。
よって、α ≠ 0 である。
α、αζ、．．．、αζ^(n-1) は X^n - a の相異なる根である。
よって、X^n - a は分離的(>>193)である。
よって、>>450より、X^n - a の K 上の最小分解体(>>149) L は K のGalois拡大(>>251)である。
L = K(α、αζ、．．．、αζ^(n-1)) であるが ζ ∈ K であるから L = K(α) である。
G を L/K のGalois群(>>251)とする。
>>516より、多項式 X^n - 1 の Ω における根の全体は Ω の乗法群の位数 n の巡回部分群である。
この群を μ_n とする。
σ ∈ G に対して σ(α) は X^n - a の根であるから σ(α) = ωα、ω ∈ μ_n と書ける。
σ ∈ G にこの ω ∈ μ_n を対応させることにより写像 ψ：G → μ_n が得られる。
よって σ(α) = ψ(σ)α である。
σ、τ ∈ G のとき στ(α) = σ(ψ(τ)α) = ψ(τ)σ(α) = ψ(τ)ψ(σ)α
よって、ψ(στ)α = ψ(τ)ψ(σ)α
α ≠ 0 であるから ψ(στ) = ψ(τ)ψ(σ)
よって、ψ：G → μ_n は準同型である。
L = K(α) であるから σ(α) = α なら σ = 1 である。
よって、ψ は単射である。
よって、G は μ_n の部分群に同型である。
よって、G は巡回群であり、|G| = [K(α) : K] は n の約数である。
証明終
0526Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/16(水) 12:59:48.10
命題 212
>>525と同じ条件の下で d = [K(α) : K] とすると α^d ∈ K である。
よって、α^m ∈ K となる整数 m ≧ 1 の最小値が n であれば
[K(α) : K] = n となる。
よって、このとき X^n - a は K[X] において既約である。

証明
|ψ(G)| = |G| = d であるから、任意の σ ∈ G に対して ψ(σ)^d = 1 である。
よって、σ(α^d) = (σ(α))^d = (ψ(σ)α)^d = α^d
よって、Galois理論の基本定理(>>451)より、α^d ∈ K である。
証明終
0527Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/16(水) 13:20:35.00
>>117の証明は次のようしたほうが良い。
f(X) = g(X)h(X) とする。ここで、g(X)、h(X) ∈ K[X] であり、deg g(X) ≧ 1、deg h(X) ≧ 1 である。
f(α) = g(α)h(α) = 0 であるから g(α) = 0 または h(α) = 0 である。
しかし、deg g(X) ＜ deg f(X) であるから g(α) ≠ 0 である。
同様に h(α) ≠ 0 である。
0528Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/16(水) 13:22:30.53
命題 213
p を Ω(>>82)の標数(>>214)と異なる素数とする。
よって、>>516より、Ω は 1 の原始 p 乗根(>>520) ζ を持つ。
K を体(>>82)とし、ζ ∈ K とする。
a ∈ K とし、X^p - a は K において根を持たないとする。
このとき、X^p - a は K[X] において既約である。

証明
X^p - a の Ω における根を α とする。
>>525より、[K(α) : K] は p の約数である。
よって、[K(α) : K] = p または [K(α) : K] = 1 である。
仮定より、[K(α) : K] ≠ 1 であるから [K(α) : K] = p である。
よって、X^p - a は α の K 上の最小多項式(>>116)である。
よって、>>117より X^p - a は K[X] において既約である。
証明終
0529Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/16(水) 14:26:07.55
次の命題が示すように>>528は ζ ∈ K でなくとも成り立つ。
0530Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/16(水) 14:30:49.74
命題 214
p を Ω(>>82)の標数(>>214)と異なる素数とする。
K を体(>>82)とする。
a ∈ K とし、X^p - a は K において根を持たないとする。
このとき、X^p - a は K[X] において既約である。

証明
>>516より、Ω は 1 の原始 n 乗根(>>520) ζ を持つ。
X^p - a の Ω における根の一つを α とする。
α は K に含まれないから α ≠ 0 である。
よって、α、αζ、．．．、αζ^(p-1) は X^p - a の相異なる根である。
X^p - a = g(X)h(X) とする。
ここで、g(X) と h(X) は K[X] のモニックな多項式で、1 ≦ deg g(X) ＜ p とする。
g(X) の根は αζ^i の形であるから g(X) の定数項を b とすると、
b = ±(α^kζ^m) である。ここで、k = deg g(X) である。
この両辺を p 乗する。α^p = a、ζ^p = 1 であるから、
p が奇素数であれば b^p = ±a^k である。
p = 2 なら b^p = a^k である。
p が奇素数で b^p = -a^k のとき (-b)^p = -b^p = a^k
よって、どの場合でも c^p = a^k となる c ∈ K がある。

Γ = K^* (>>522)とおき、Γ^p = {x^p； x ∈ Γ} とおく。
Γ^p は Γ の部分群である。
π：Γ → Γ/Γ^p を標準的な準同型とする。
即ち、π(x) = x (mod Γ^p) である。
α = π(a) とおく。
X^p - a は K において根を持たないから α ≠ 1 である。
一方、α^p = π(a^p) = 1
よって、群 Γ/Γ^p の元として α の位数は p である。
しかし、c^p = a^k より α^k = 1 である。
1 ≦ k ＜ p であるから、これは矛盾である。
証明終
0531Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/16(水) 16:52:56.94
定義 215
A を可換環とする。
a ∈ A^* (522)と b ∈ A に対して写像 λ：A → A を λ(x) = ax + b で定義する。
この写像を φ(a, b) と書く。
φ(a, b) = φ(1, b)φ(a, 0) である。
φ(a, 0) と φ(1, b) はそれぞれ全単射であるから φ(a, b) も全単射である。
φ(a, b)(0) = b
φ(a, b)(1) = a + b
よって、a = φ(a, b)(1) - φ(a, b)(0)
よって、a と b は写像 φ(a, b) により一意に決まる。

(a, b)、(c, d) ∈ (A^*)×A のとき
φ(a, b)φ(c, d)(x) = a(cx + d) + b = acx + ad + b
よって、φ(a, b)φ(c, d) = φ(ac, ad + b) である。
よって、φ(a, b)φ(a^(-1), -(a^(-1))b) = φ(1, 0)
φ(1, 0) は A の恒等写像であるから φ(a^(-1), -(a^(-1))b) は φ(a, b) の逆写像である。

以上から {φ(a, b)； (a, b) ∈ (A^*)×A} は集合 A 上の対称群 Sym(A) の部分群である。
この群を A 上の一次の一般affine群と言い、Aff(1, A) と書く。
0532Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/16(水) 17:11:46.72
>>531
Aff(1, A) の元を A 上の一次のaffine変換と言う。
0533Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/16(水) 17:29:16.40
A を可換環とする。
>>531の記号で (a, b)、(c, d) ∈ (A^*)×A のとき
φ(a, b)φ(c, d) = φ(ac, ad + b) であった。
よって、φ(a, b) に a を対応させる写像 f：Aff(1, A) → A^* は準同型である。
f の核は N = {φ(1, b)； b ∈ A} である。
よって、N は Aff(1, A) の正規部分群である。
f は全射であるから Aff(1, A)/N は A^* に同型である。
よって |Aff(1, A)/N| = |A^*| (>>180)
よって、|Aff(1, A)| = |N||A^*|
一方、|N| = |A| であるから |Aff(1, A)| = |A||A^*| である。

b, c ∈ A のとき φ(1, b)φ(1, c) = φ(1, b + c)
よって、b ∈ A に φ(1, b) ∈ N を対応させる写像は A の加法群から N への準同型である。
この写像は単射であるから N は A の加法群に同型である。

H = {φ(a, 0)； a ∈ A^*} とおく。
a ∈ A^* に φ(a, 0) を対応させる写像は単射準同型である。
よって、H は A^* に同型である。
(a, b) ∈ (A^*)×A のとき φ(a, b) = φ(1, b)φ(a, 0) であるから
Aff(1, A) = NH である。
明らかに N ∩ H = {1} である。
0534検便のナウシカ ◆UVkh7uHFoI 2011/11/16(水) 19:13:55.71
リンク貼ってくれてるから読むのに助かる
0535１３２人目の素数さん2011/11/16(水) 19:15:50.80
じゃあ俺はハルヒ
0536Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/16(水) 20:15:51.88
定義 216
G を群とし、N をその正規部分群、H をその部分群とする。
G = NH、N ∩ H = {1} となるとき G を N と H の半直積と言う。
0537Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/16(水) 21:14:44.77
命題 217
G を群とし、N をその正規部分群、H をその部分群とする。
以下の条件は互いに同値である。

(1) G は N と H の半直積(>>536)である。
(2) G = HN、N ∩ H = {1}
(3) G の任意の元 g は g = nh、n ∈ N、h ∈ H と一意に書ける。
(4) G の任意の元 g は g = hn、h ∈ H、n ∈ N と一意に書ける。
(5) 標準単射 ι：H → G と標準全射 π：G → G/N の合成は H と G/N の同型である。
(6) 準同型 μ：G → H で H 上で恒等写像になり、Ker(μ) = N となるものがある。

証明
(1) ⇔ (2)：HN = NH より明らか。
(1) ⇒ (3)：
G = NH だから g = nh、n ∈ N、h ∈ H と書ける。
nh = mk、n、m ∈ N、h、k ∈ H とする。
m^(-1)n = kh^(-1) ∈ N ∩ H = {1}
よって、n = m、h = k

(3) ⇒ (1)：
G = NH である。
g ∈ N ∩ H とする。
g = g1 = 1g
g ∈ N、g ∈ H だから一意性より g = 1 である。
よって、N ∩ H = {1}

(2) ⇔ (4)：上と同様

(続く)
0538Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/16(水) 21:15:40.73
>>537の続き

2) ⇒ 5)
λ = πι とおく。
λ(H) = HN/N = G/N である。
Ker(λ) = H ∩ N = {1}
よって、λ：H → G/N は同型である。

5) ⇒ 6)
λ = πι とおく。
λ：H → G/N は同型である。
μ = λ^(-1)π とおく。
h ∈ H のとき μ(h) = λ^(-1)π(h) = λ^(-1)λ(h) = h
任意の g ∈ G に対して μ(g) = λ^(-1)π(g)
λ^(-1) は同型だから μ(g) = 1 と π(g) = 1 は同値である。
よって、Ker(μ) = N

6) ⇒ 1)
任意の g ∈ G に対して μ(g) = h とおく。
h ∈ H である。
μ(gh^(-1)) = μ(g)μ(h^(-1)) = hh^(-1) = 1
よって、gh^(-1) ∈ N である。
よって、g ∈ Nh ∈ NH
よって、G = NH
h ∈ N ∩ H とする。
h = μ(h) = 1
よって N ∩ H = {1}
証明終
0539Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/16(水) 21:20:37.17
A を可換環とする。
>>533より Aff(1, A) (>>531)は N = {φ(1, b)； b ∈ A} と
H = {φ(a, 0)； a ∈ A^*} の半直積(>>536)である。
0540Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/16(水) 22:17:21.63
命題 218
L/K を有限(>>87)なGalois拡大(>>251)とする。
E と F を L/K の中間体(>>309)とする。
以下の条件が成り立つとする。

1) E/K はGalois拡大である。

2) L = EF (>>132)

3) E ∩ F = K

G = G(L/K) (>>251)、N = Aut(L/E) (>>123)、H = Aut(L/F) とおく。
>>485より、N は G の正規部分群である。
このとき G は N と H の半直積(>>536)である。

証明
>>505より、η ∈ H = G(EF/F) に η|E ∈ G(E/(E ∩ F)) = G(E/K) を対応させる写像は同型である。
一方、>>488より、σ ∈ G に σ|E ∈ G(E/K) を対応させる写像は全射準同型であり、
その核は N である。

上記から任意の σ ∈ G に対して σ|E = η|E となる η ∈ H が一意に存在する。
η^(-1)σ|E は E の恒等写像であるから η^(-1)σ ∈ N である。
よって、σ ∈ HN である。
τ ∈ N ∩ H とすると τ は E と F の元を固定する。
L = EF だから τ = 1 である。
よって、N ∩ H = {1} である。
よって、>>537の (2) より G は N と H の半直積である。
証明終
0541Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/16(水) 22:19:16.66
>>540は L/K が有限でなくても成り立つ(>>506参照)。
0542Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/16(水) 22:44:48.37
命題 219
n ≧ 1 を Ω(>>82)の標数(>>214)で割れない整数とする。
K を体(>>82)とする。
a ∈ K とし、X^n - a の K 上の最小分解体(>>149) を L とする。
このとき L/K はGalois拡大(>>251)である。
G をそのGalois群(>>251)とする。
このとき、G は Aff(1, Z/nZ) (>>531)の部分群に同型である。
ここで Z は有理整数環である。

証明
>>516より、Ω は 1 の原始 n 乗根(>>520) ζ を含む。
X^n - a の Ω における根の一つを α とする。
a = 0 の場合は G = {1} であり、本命題は自明であるから a ≠ 0 と仮定する。
よって、α ≠ 0 である。
よって、α、αζ、．．．、αζ^(n-1) は X^n - a の相異なる根である。
よって、X^n - a は分離的(>>193)である。
よって、>>450より L/K はGalois拡大(>>251)である。
L = K(α、αζ、．．．、αζ^(n-1)) であるが α ≠ 0 より、ζ = (αζ)/α ∈ L である。
よって、L = K(α、ζ) である。

(続く)
0543Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/16(水) 22:45:35.49
>>542の続き

任意の σ ∈ G に対して σ(ζ) は 1 の原始 n 乗根であるから σ(ζ) = ζ^b、b ∈ Z と書ける。
このとき b は n と素である。
ζ^b = ζ^e なら b ≡ e であるから b (mod n) は σ により一意に決まる。
このとき、b (mod n) ∈ (Z/nZ)^* (>>522)である。

一方、σ(α) は X^n - a の根であるから σ(α) = αζ^c、c ∈ Z と書ける。
上と同じ理由により c (mod n) は σ により一意に決まる。

よって、σ ∈ G に対して (b mod n、c mod n) ∈ (Z/nZ)^*×(Z/nZ) が定まる。
よって、φ(σ) = (b mod n、c mod n) と定義することにより
写像 φ：G → (Z/nZ)^*×(Z/nZ) が得られる。
L = K(α、ζ) であるから任意の σ ∈ G は σ(α) と σ(ζ) で決まる。
よって、φ は単射である。

σ、τ ∈ G とし、φ(σ) = (b mod n、c mod n)、φ(τ) = (d mod n、e mod n) とする。
στ(ζ) = σ(ζ^d) = ζ^(bd)
στ(α) = σ(αζ^e) = (αζ^c)ζ^(be) = αζ^(be + c)
よって、φ(στ) = (bd mod n、be + c mod n)
よって、>>531より φ は G から Aff(1, Z/nZ) への単射準同型と見なせる。
証明終
0544１３２人目の素数さん2011/11/16(水) 22:48:06.19
くまーさんって、血の通った人間なのだろうか。
淡々と書き込んでる様子を想像できない。
0545猫 ◆MuKUnGPXAY 2011/11/16(水) 23:22:50.01
>>544
アンタ等みたいに大脳が腐ってるよりもよっぽどマシ。

猫
0546１３２人目の素数さん2011/11/16(水) 23:53:27.90
ガロア支援してやろう
0547Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/17(木) 00:42:51.78
命題 220
p を Ω(>>82)の標数(>>214)と異なる素数とする。
>>516より、Ω は 1 の原始 n 乗根(>>520) ζ を含む。
K を体(>>82)とする。
[K(ζ) : K] = p - 1 とする。
a ∈ K とし、X^p - a は K において根を持たないとする。
X^n - a の K 上の最小分解体(>>149) を L とする。
このとき L/K はGalois拡大(>>251)であり、
そのGalois群(>>251) G は Aff(1, Z/pZ) (>>531)に同型である。
ここで Z は有理整数環である。

証明
X^n - a の Ω における根を α とする。
α は K に含まれないから α ≠ 0 である。
>>542の証明と同様に L/K はGalois拡大であり、L = K(α、ζ) である。

>>530より、X^p - a は K[X] において既約である。
よって、[K(α) : K] = p である。
よって、[K(α) : K] ＞ [K(ζ) : K] である。
よって、[K(α、ζ) : K(ζ)] ＞ 1 である。
一方、>>525より、[K(α、ζ) : K(ζ)] は p の約数である。
よって、[K(α、ζ) : K(ζ)] = p である。
よって、>>88より、[K(α、ζ) : K] = [K(α、ζ) : K(ζ)][K(ζ) : K] = p(p-1)
一方、>>542より、G は Aff(1, Z/pZ) の部分群に同型である。
>>533より、|Aff(1, Z/pZ)| = p(p-1) であるから G は Aff(1, Z/pZ) に同型である。
証明終
0548Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/17(木) 00:48:06.62
>>547の条件の一つである [K(ζ) : K] = p - 1 は K が有理数体の場合に成り立つ。
このことは代数的整数論003の162で証明されている。
0549Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/17(木) 01:39:18.53
n ≧ 1 を Ω(>>82)の標数(>>214)で割れない整数とする。
K を体(>>82)とする。
a ∈ K とし、X^n - a の K 上の最小分解体(>>149) を L とする。
>>542より、L/K はGalois拡大(>>251)である。
G をそのGalois群(>>251)とする。
>>516より、Ω は 1 の原始 n 乗根(>>520) ζ を持つ。
X^n - a の Ω における根の一つを α とする。
>>542の証明で示したように L = K(α、ζ) である。
>>523より、K(ζ)/K Galois拡大であり、 そのGalois群は (Z/nZ)^* の部分群に同型である。
L = K(α、ζ) = K(ζ)(α) であるから>>525より、L/K(ζ) は巡回拡大(>>491)である。
N = G(L/K(ζ)) とおくと>>488より G/N は G(K(ζ)/K) (>>251)に同型である。
よって、N と G/N はともにabel群である。
よって、G は可解群（定義は次に述べる）である。
0550Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/17(木) 02:07:27.31
定義 221
G を群とする。
G の部分群の列 G = G_0 ⊃ G_1 ⊃ ．．． ⊃ G_n = {1} があり、
各 G_i(i = 1、．．．、n) は G_(i-1) の正規部分群であり、G_(i-1)/G_i がabel群であるとき
G を可解群と言う。
0551Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/17(木) 02:24:45.42
奇数位数の有限群は可解群である(Feit-Thompson 1963)。
Feit-Thompsonのこの論文は255ページと長大である。
0552１３２人目の素数さん2011/11/17(木) 02:27:37.60
>>551
その大結果の証明は今だに
簡略化されていないの？
0553猫 ◆MuKUnGPXAY 2011/11/17(木) 02:27:42.17
有限群論という範疇の中でソコまでの主張が成立するのは素晴らしい事。

猫
0554Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/17(木) 07:50:57.76
定義 222
G ≠ {1} を群とする。
G が G と {1} 以外の正規部分群を持たないとき G を単純群と言う。
0555Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/17(木) 07:52:26.63
定義 223
G を群とする。
G の部分群の列 G = G_0 ⊃ G_1 ⊃ ．．． ⊃ G_n = {1} があり、
各 G_i(i = 1、．．．、n) は G_(i-1) の正規部分群であり、G_(i-1)/G_i が単純群(>>554) であるとき
この列を G の組成列(composition series)と言う。
各 G_(i-1)/G_i をこの組成列の組成因子(composition factor)または因子と呼ぶ。
n をこの組成列の長さと呼ぶ。
0556Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/17(木) 08:16:16.69
命題 224
G を群とする。
N を G の正規部分群とし、H を G の部分群とする。
このとき、HN は G の部分群であり、N は HN の正規部分群である。
さらに、H ∩ N は H の正規部分群であり、H/(H ∩ N) は HN/N に同型である。

証明
HN = NH、(HN)(HN) = HHNN = HN
よって、HN は G の部分群である。
N ⊂ HN であるから N は HN の正規部分群である。
π：G → G/N を標準的な準同型とする。
π を H に制限した写像 π|H：H → G/N を考える。
π|H の像は HN/N である。
π|H の核は H ∩ N である。
よって、H/(H ∩ N) は HN/N に同型である。
証明終
0557Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/17(木) 08:48:02.63
命題 225
G を群とする。
G が長さ n の組成列(>>555)を持てば、G の任意の真正規部分群 N は、
長さ ≦ n - 1 の組成列を持つ。

証明
n に関する帰納法を使う。
n = 1 の場合は自明である。
n ≧ 2 とする。
G = G_0 ⊃ G_1 ⊃ ．．． ⊃ G_n = {1} を組成列とする。
>>556より、NG_1/G_1 は N/(N ∩ G_1) と同型である。
NG_1 = G_1 の場合、即ち N ⊂ G_1 の場合は帰納法の仮定より、
N は長さ ≦ n - 1 の組成列を持つ。
NG_1 ≠ G_1 の場合とする。
G ⊃ NG_1 ⊃ G であり、NG_1 は G の正規部分群であるから NG_1 = G である。
>>556より、N/(N ∩ G_1) は G/G_1 に同型であるから N/(N ∩ G_1) は単純群(>>554)である。
N ∩ G_1 = G_1 とすると N ⊃ G_1 となり、N = G または N = G_1 となって仮定に反する。
よって、N ∩ G_1 ≠ G_1 である。
よって、N ∩ G_1 は帰納法の仮定より長さ ≦ n - 2 の組成列を持つ。
よって、N は 長さ ≦ n - 1 の組成列を持つ。
証明終
0558Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/17(木) 10:13:11.38
命題 226
G を群とする。
H_1 ⊃ H_2 を G の部分群とし、H_2 は H_1 の正規部分群とする。
(H_1)/(H_2) は単純群であるとする。
N を G の正規部分群とする。
このとき、(H_1)N/(H_2)N は単純群であるか (H_1)N = (H_2)N である。

証明
標準準同型：(H_1)N → (H_1)N/(H_2)N を H_1 に制限することにより、
準同型 f：H_1 → (H_1)N/(H_2)N が得られる。
f は全射である。
f(H_2) = {1} であるから f は全射準同型 g：(H_1)/(H_2) → (H_1)N/(H_2)N を誘導する。
(H_1)/(H_2) は単純群であるから Ker(g) = {1} または Ker(g) = (H_1)/(H_2) である。
よって、(H_1)N/(H_2)N は (H_1)/(H_2) に同型であるから {1} である。
よって、(H_1)N/(H_2)N は単純群であるか (H_1)N = (H_2)N である。
証明終
0559Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/17(木) 10:56:44.27
命題 227
G を群とする。
H_1 ⊃ H_2 を G の部分群とし、H_2 は H_1 の正規部分群とする。
N を G の正規部分群とする。
このとき、全射準同型 g：(H_1)/(H_2) → (H_1)N/(H_2)N が存在する。

証明
>>558で証明されている。
0560Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/17(木) 11:07:13.60
命題 228
G を可解群(>>550)とする。
N を G の任意の正規部分群とする。
このとき、G/N は可解群である。

証明
G の部分群の列 G = G_0 ⊃ G_1 ⊃ ．．． ⊃ G_n = {1} があり、
各 G_i(i = 1、．．．、n) は G_(i-1) の正規部分群であり、G_(i-1)/G_i はabel群である。
列 G = (G_0)N ⊃ (G_1)N ⊃ ．．． ⊃ (G_n)N = N を考える。
>>559より、各 i に対して 全射準同型 (G_(i-1))/(G_i) → (G_(i-1))N/(G_i)N が存在する。
よって、各 (G_(i-1))N/(G_i)N はabel群である。
よって、G/N は可解群である。
証明終
0561Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/17(木) 11:47:55.43
命題 229(Jordan-Hoelderの定理)
G を群とする。
G = G_0 ⊃ G_1 ⊃ ．．． ⊃ G_n = {1} を組成列とする。
このとき、G の任意の組成列の長さは n であり、その組成因子の列は、
順序を別にして列 (G_(i-1)/G_i)、i = 1、．．．、n と同型である。

証明
n に関する帰納法を使う。
n = 1 の場合は自明である。
n ≧ 2 とする。
G = H_0 ⊃ H_1 ⊃ H_2 ... ⊃ H_m = 0 を別の組成列とする。
G_1 = H_1 なら帰納法の仮定から成り立つ。
よって、G_1 ≠ H_1 とする。
H_0 ⊃ (G_1)(H_1) ⊃ H_1 であるが (G_1)(H_1) ≠ H_1 であるから H_0 = (G_1)(H_1) である。
よって、>>556より G_1/(G_1 ∩ H_1) は H_0/H_1 と同型である。
同様に H_1/(G_1 ∩ H_1) は G_0/G_1 と同型である。

>>557より、G_1 ∩ H_1 は組成列を持つ。
よって、G_1 ⊃ G_1 ∩ H_1 ⊃ ．．． となる組成列がある。
帰納法の仮定からこの組成列の長さは n - 1 であり、
その組成因子の列は順序を別にして列 (G_(i-1)/G_i)、i = 2、．．．、n と同型である。
H_1 ⊃ G_1 ∩ H_1 ⊃ ．．． は長さは n - 1 の組成列である。
よって、帰納法の仮定から n - 1 = m -1 であり、よって n = m である。
その組成因子の列は順序を別にして列 (H_(i-1)/H_i)、i = 2、．．．、n と同型である。
よって、本命題が成り立つ（図を描いてみれば良くわかる）。
証明終
0562Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/17(木) 12:32:47.98
命題 230
有限群は組成列(>>555)を持つ。

証明
G を有限群とする。
G の位数 n に関する帰納法を使う。
n = 1 の場合は自明である。
n ≧ 2 とする。
G の正規部分群で G と異なるもの全体を Σ とする。
{1} ∈ Σ であるから Σ は空でない。
N を Σ の中で位数最大のものとする。
G/N は単純群である。
N の位数 ≦ n - 1 であるから帰納法の仮定から N は組成列を持つ。
よって、G は組成列を持つ。
証明終
0563１３２人目の素数さん2011/11/17(木) 12:36:15.32
支援
0564Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/17(木) 12:49:54.74
命題 231
有限群が可解(>>550)であるためにはその任意の組成列(>>555)の各組成因子(>>555)が
素数位数を持つことであることが必要十分である。

証明
Jordan-Hoelderの定理(>>561)と、abel群が単純群(>>554)であれば、その位数は素数であることと、
逆に素数位数の群はabel群であることから本命題は直ちに得られる。
証明終
0565Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/17(木) 13:10:18.69
命題 232
可解群(>>550)の部分群は可解である。

証明
G を可解群とし、H をその部分群とする。
G の部分群の列 G = G_0 ⊃ G_1 ⊃ ．．． ⊃ G_n = {1} があり、
各 G_i(i = 1、．．．、n) は G_(i-1) の正規部分群であり、G_(i-1)/G_i はabel群である。
各 i に対して、π_i：G_(i-1) → G_(i-1)/G_i を標準的な準同型とする。
π_i は準同型 λ_i：H ∩ G_(i-1) → G_(i-1)/G_i を引き起こす。
この核は H ∩ G_i である。
よって、(H ∩ G_(i-1))/(H ∩ G_i) は G_(i-1)/G_i の部分群に同型であるからabel群である。
よって、H_i = H ∩ G_i、i = 0、1、．．．、n とおけば、
H = H_0 ⊃ H_1 ⊃ ．．． ⊃ H_n = {1} となり、
各 H_i(i = 1、．．．、n) は H_(i-1) の正規部分群であり、H_(i-1)/H_i はabel群である。
よって、H は可解群である。
証明終
0566Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/17(木) 13:15:08.74
命題 233
G を群とする。
N を G の正規部分群とする。
N と G/N が可解(>>550)であれば G も可解である。

証明
可解群の定義(>>550)から明らかである。
0567Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/17(木) 13:26:49.05
命題 234
G_1、．．．G_n を群とする。
G = (G_1)×．．．×(G_n) を直積とする。
このとき、G が可解(>>550)であるためには各 G_i が可解であることが必要十分である。

証明
必要性：
G が可解であるとする。
各 i に対して π_i：G → G_i を射影とする。
π_i の核を N_i とする。
G/N_i と G_i は同型であるから>>560より、G_i は可解である。

十分性：
各 G_i が可解であるとする。
n に関する帰納法を使う。
n = 1 の場合は自明である。
n ≧ 2 とする。
G/G_n は (G_1)×．．．×(G_(n-1)) に同型であるから帰納法の仮定より可解である。
よって、>>566より、G は可解である。
証明終
0568Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/17(木) 13:40:59.69
>>293の修正

定義 126
L/K を代数的拡大(>>90)とする。
L ⊂ E となる体(>>82) E で E/K が正規拡大(>>163)となるようなもの全体の集合を Ψ とする。
K~ を K の代数的閉包(>>128)とすると、K~ ∈ Ψ であるから Ψ は空でない。
N = ∩{E； E ∈ Ψ} は体であり、N ∈ Ψ である。
即ち N は Ψ の最小元である。
N を L/K の正規閉包(normal closure)という。
0569Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/17(木) 13:46:39.76
定義 235
L/K を分離代数的(>>248)な拡大(>>82)とする。
N を L/K の正規閉包(>>568)とする。
>>324より N/K はGalois拡大(>>251)である。
このとき、N/K を L/K のGalois閉包と呼ぶ。
0570Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/17(木) 14:28:37.12
命題 236
L/K をGalois拡大(>>251)とする。
σ： K → Ω (>>82) を任意の埋め込み(>>121)とする。
このとき、σ(L)/σ(K) はGalois拡大であり、G(L/K) (>>251)と G(σ(L)/σ(K)) は同型である。

証明
ほとんど自明であろう。
0571Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/17(木) 14:38:50.38
命題 237
K ⊂ M ⊂ L を体(>>82)の拡大の列とする。
M/K と L/M はそれぞれ有限(>>87)なGalois拡大(>>251)であるとする。
>>284より、L/K は分離代数的(>>248)である。
N を L/K のGalois閉包(>>569)とする。
G(M/K)(>>251) と G(L/M) はそれぞれ可解(>>550)であるとする。
このとき、G(N/K) は可解である。

証明
G = G(N/K) とおく。
>>306より、N は {σ(L)：σ ∈ E(L/K) (>>262)} の合成体(>>291)である。
>>166より、任意の σ ∈ E(L/K) に対して σ(M) = M である。
よって、>>570より σ(L)/M はGalois拡大であり、G(σ(L)/M) は G(L/M) に同型である。
よって、G(σ(L)/M) は可解である。
>>507より G(N/M) は Γ = Π{G(σ(L)/M)： σ ∈ E(L/K)} の部分群に同型である。
>>567より、Γ は可解である。
よって、>>565より G(N/M) は可解である。
M/K はGalois拡大であるから>>473より G(N/M) は G の正規部分群である。
>>488より G/G(N/M) は G(M/K) に同型であるから可解である。
よって、>>566より G は可解である。
証明終
0572Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/17(木) 15:51:58.09
定義 238
L/K をGalois拡大(>>251)とする。
そのGalois群(>>251)が可解(>>550)なとき L/K を可解なGalois拡大と言う。
0573Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/17(木) 15:55:58.74
定義 239
L/K を拡大(>>251)とする。
可解(>>572)なGalois拡大 E/K があり L ⊂ E となるとき L/K を準可解拡大と言う。
0574Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/17(木) 15:59:50.83
>>573の修正

定義 239
L/K を分離代数的(>>248)な拡大(>>82)とする。
可解(>>572)なGalois拡大 E/K があり L ⊂ E となるとき L/K を準可解拡大と言う。
0575Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/17(木) 16:10:41.76
命題 240
L/K を分離代数的(>>248)な拡大(>>82)とする。
L/K が準可解拡大(>>574)であるためには L/K のGalois閉包(>>569)が
可解(>>572)であることが必要十分である。

証明
必要性
L/K が準可解拡大であるとする。
L ⊂ E となる可解(>>572)なGalois拡大 E/K がある。
L/K のGalois閉包を M とすると M ⊂ E である。
>>488より G(M/K) は G(E/K)/G(E/M) に同型である。
よって、>>560より G(M/K) は可解(>>550)である。

十分性：
自明である。
証明終
0576Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/17(木) 16:20:30.84
命題 241
L/K を準可解拡大(>>574)とする。
M を L/K の中間体(>>309)とする。
このとき、M/K と L/M はそれぞれ準可解拡大である。

証明
L ⊂ E となる可解(>>572)なGalois拡大 E/K がある。
M/K が準可解拡大であることは明らかである。
G(E/M) は G(E/K) の部分群であるから>>565より可解(>>550)である。
よって、L/M は準可解拡大である。
証明終
0577Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/17(木) 16:37:36.82
命題 242
L/K を有限(>>87)な準可解拡大(>>574)とする。
任意の拡大(>>82) F/K に対して LF/F は準可解拡大である。

証明
E を L/K のGalois閉包(>>569)とする。
>>575より、E/K は可解(>>572)である。
>>325より E/K は有限であるから>>505より G(EF/F) は G(E/(E∩F)) と同型である。
G(E/(E∩F)) は G(E/K) の部分群であるから>>565より可解(>>550)である。
よって、EF/F は可解(>>572)である。
LF ⊂ EF であるから LF/F は準可解拡大である。
証明終
0578Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/17(木) 16:39:05.38
>>577は L/K が有限でなくても成り立つ(>>506参照)。
0579Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/17(木) 17:19:12.27
命題 243
L/K を拡大(>>82)とする。
M を L/K の中間体(>>309)とする。
M/K と L/M はそれぞれ有限(>>87)な準可解拡大であるとする。
このとき、L/K は準可解拡大である。

証明
>>138より、L/K は有限である。
F を M/K のGalois閉包(>>569)とする。
>>325より、F/K は有限である。
>>575より、F/K は可解(>>572)である。
L/M は有限な準可解拡大であるから、>>577より、FL/F は準可解拡大である。
>>138より、FL/F は有限である。
E/F を FL/F のGalois閉包(>>569)とする。
>>325より、E/F は有限である。
>>575より、E/F は可解(>>572)である。
よって、>>571より E/K は準可解拡大である。
L は E/K の中間体だから L/K は準可解拡大である。
証明終
0580１３２人目の素数さん2011/11/17(木) 17:20:21.15
>>Kummer
頭の悪さの秘訣を教えて下さい。
貴方の頭の悪さは世界屈指だと思うので、是非とも参考にしたいです。
0581Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/17(木) 17:23:55.86
命題 244
有限(>>87)な準可解拡大(>>574)全体の集合は正則(>>136)である。

証明
>>138に注意すれば、>>576と>>577と>>579より明らかである。
0582Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/17(木) 17:44:02.27
定義 245
n ≧ 1 を Ω(>>82)の標数(>>214)で割れない整数とする。
L/K を拡大(>>82)とする。
L = K(α)、α^n ∈ K となる α ∈ L があるとき L/K を正則な単冪根拡大(>>512)と呼ぶ。
0583Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/17(木) 17:45:56.23
定義 246
K = K_0 ⊂ K_1 ⊂ ．．．⊂ K_n = L を体(>>82)の増大列とする。
各 K_i/K_(i-1)、i = 1、．．．、n が正則(>>582)な単冪根拡大(>>512)であるとき
L/K を正則(>>582)な冪根拡大(>>513)と呼ぶ。
0584Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/17(木) 17:52:05.78
命題 247
正則(>>582)な単冪根拡大(>>512)は準可解拡大(>>574)である。

証明
>>549より明らかである。
0585Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/17(木) 17:53:54.90
>>583の修正

定義 246
K = K_0 ⊂ K_1 ⊂ ．．．⊂ K_n = L を体(>>82)の増大列とする。
各 K_i/K_(i-1)、i = 1、．．．、n が正則(>>582)な単冪根拡大(>>512)であるとき
L/K を正則な冪根拡大(>>513)と呼ぶ。
0586Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/17(木) 17:56:14.93
命題 248
正則(>>585)な冪根拡大(>>512)は準可解拡大(>>574)である。

証明
>>584と>>581より明らかである。
0587Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/17(木) 18:15:33.54
命題 249
K を体(>>82)とする。
f(X) ∈ K[X] を分離的(>>193)な多項式とする。
L を f(X) の K 上の最小分解体とする。
>>450より、L/K はGalois拡大(>>251)である。
L ⊂ E となる正則(>>585)な冪根拡大(>>513) E/K があるとする。
このとき L/K は可解(>>572)である。

証明
>>586より、E/K は準可解拡大(>>574)である。
よって、>>581より L/K も準可解拡大である。
L/K はGalois拡大であるから>>575より可解(>>572)である。
証明終
0588１３２人目の素数さん2011/11/17(木) 18:31:06.75
くまさんは黙々とやってるな。
0589１３２人目の素数さん2011/11/17(木) 18:51:13.87
>>数学嫌い
Kummer氏の邪魔をしない方がいい。
氏は望まれている。
0590１３２人目の素数さん2011/11/17(木) 19:11:47.82
>>589
この馬鹿熊の多数の大間違いに気が付かないとか知障か
こいつは嘘デタラメばかり書いているんだよ
0591１３２人目の素数さん2011/11/17(木) 19:12:08.85
>>Kummer
おい、間違い訂正して謝罪しろ
0592１３２人目の素数さん2011/11/17(木) 19:19:59.32
>>589
自演乙
0593仙石６０2011/11/17(木) 21:33:12.65
>>Kummer
謝罪したほうがいいのでは
0594仙石60サポータ2011/11/17(木) 23:03:13.02
↑　こいつは仙石のにせもの　かたり
0595Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/17(木) 23:25:17.62
ここで線型代数の復習をする。

K を抽象体(>>197)とし、V を K 上の有限次元の線型空間とする。
u：V → V を K-線型写像とする。
End(V) を K-線型写像 V → V 全体のなす K-線型環(>>97)とする。
K[X] を K 上の１変数多項式環とする。
K-準同型 φ：K[X] → End(V) で φ(X) = u となるものが一意に定まる。
よって、φ により V は K[X]-加群と見なされる。
即ち f(X) ∈ K[X] と x ∈ V に対して f(X)x = φ(f)(x) = f(u)(x) と定義する。
X(x) = u(x) である。
V の次元を n とする。
V の K 上の基底を e_1、．．．、e_n とすると V は K[X]-加群として e_1、．．．、e_n で生成される。
よって、V は K[X]-加群として有限生成である。

任意の x ∈ V に対して x、u(x)、u^2(x)、．．．、u^n(x) は一次従属であるから
f(u) = 0 となる f(X) ∈ K[X]、f(X) ≠ 0 がある。
よって、V は K[X]-加群として捩れ加群(定義は次に述べる)である。
0596Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/17(木) 23:28:32.88
定義 250
A を整域、M を A-加群とする。
x ∈ M が捩れ元であるとは、A の元 a ≠ 0 があり
ax = 0 となることである。

M のすべての元が捩れ元であるとき、M を捩れ加群(torsion module)という。
0597Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/17(木) 23:33:10.90
>>596
代数的整数論000の652から引用
0598Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/18(金) 01:23:43.01
定義 251
整域 A において、そのイデアルが常に単項となるとき A を 単項イデアル整域と呼ぶ。
0599Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/18(金) 01:28:36.68
定義 252
A を整域とする。
A の元 a ≠ 0 は a で生成されるイデアル aA が素イデアルのとき素元と言う。
0600Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/18(金) 01:34:00.22
定義 253
A を必ずしも可換でない環とし、M を A-加群とする。
x ∈ M に対して、ann(x) = {a ∈ A; ax = 0 } とおく。
これは A の左イデアルである。

Ann(M) = {a ∈ A； aM = 0 } とおく。
これは A の両側イデアルである。
0601Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/18(金) 01:39:59.96
定義 254
A をNoether可換環とし、M を A-加群とする。
p を A の素イデアルとする。
ある x ∈ M があり p = ann(x) (>>600) となるとき
p を M の随伴素因子(associated prime ideal)という
M の随伴素因子全体を Ass(M) と書く。
0602Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/18(金) 01:44:29.20
>>601の修正

定義 254
A をネーター可換環とし、M を A-加群とする。
p を A の素イデアルとする。
ある x ∈ M があり p = ann(x) (>>600) となるとき
p を M の随伴素イデアル(associated prime ideal)という
M の随伴イデアル全体を Ass(M) と書く。
0603Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/18(金) 01:50:37.02
例
>>595において K を代数的閉体とする。
K[X]-加群としての V の随伴素イデアル(>>602)とは (X - λ) の形のイデアルである。
ここで V の元 0 ≠ x ∈ V があり、(u - λ)(x) = 0
即ち u(x) = λx となる。
よって λ は u の固有値である。
Ass(V) とは u の固有値の集合と見なせる。
0604Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/18(金) 11:13:10.07
命題 255
A を 単項イデアル整域(>>598)とする。
p を A の素元(>>599)とする。
このとき、pA は極大イデアルである。

証明
pA が極大イデアルでないとする。
pA ⊂ aA となるイデアル aA で、pA ≠ aA、aA ≠ A となるものがある。
よって、p = ab となる b ∈ A がある。
よって、ab ∈ pA である。
pA は素イデアルで a ∈ pA ではないから b ∈ pA
よって、b = pc となる c ∈ A がある。
よって、p = ab = pac
p ≠ 0 だから 1 = ac
よって、aA = A となって仮定に反する。
証明終
0605Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/18(金) 11:25:46.90
定義 256
A を整域とする。
a ≠ 0 を A の非可逆元とする。
A の非可逆元 b、c があり a = bc となるとき a は可約という。
A の元は可約でないとき既約という。
0606Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/18(金) 12:13:50.39
命題 257
単項イデアル整域(>>598)においては素元(>>599)と既約元(>>605)は一致する。

証明
単項イデアル整域においては、既約元とは 0 でない極大イデアルを生成する元のことである。
任意の可換環において極大イデアルは素イデアルであるから、本命題は>>604より明らかである。
証明終
0607Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/18(金) 12:33:51.79
>>605の修正

定義 256
A を整域とする。
a ≠ 0 を A の非可逆元とする。
A の非可逆元 b、c があり a = bc となるとき a は可約という。
A の非可逆元は可約でないとき既約という。
0608Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/18(金) 12:48:30.12
命題 258
単項イデアル整域(>>598) A においては任意の 0 でない真イデアルは有限個(≧1)の素イデアルの積になる。
即ち、A の任意の 0 でない非可逆元は有限個の素元(>>599)の積になる。

証明
A において 0 でない真イデアルで有限個の素イデアルの積にならないものがあるとする。
A はNoether環だからそのようなイデアルの中で極大なものがある。
そのイデアルを I とする。
I は単項イデアルだから I = aA と書ける。
I は素イデアルでないから>>606より a は可約(>>605)である。
よって、A の非可逆元 b、c があり a = bc となる。
よって、 I = (bA)(cA) である。
I ⊂ bA、I ≠ bA だから bA は有限個の素イデアルの積になる。
同様に cA は有限個の素イデアルの積になる。
よって、I は有限個の素イデアルの積になり仮定に反する。
証明終
0609Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/18(金) 13:03:05.83
命題 259(素元分解の一意性)
単項イデアル整域(>>598) A においては任意の 0 でない真イデアルは
有限個(≧1)の素イデアルの積として一意に表される。
即ち、A の任意の 0 でない非可逆元は素元(>>599)の積として可逆元の違いを除いて一意に表される。

証明
a を A の任意の 0 でない非可逆元とする。
>>608より、a = (p_1)．．．(p_n) となる素元 p_1、．．．、p_n がある。
a = (q_1)．．．(q_m) となる素元 q_1、．．．、q_n があるとする。
(q_1)．．．(q_m) は p_1 で割れ、p_1 は素元だから q_1、．．．、q_n のどれかが p_1 でわれる。
q_1 が p_1 で割れると仮定してよい。
>>606より、q_1 は既約だから q_1 = ε(p_1) となる。ここで ε は可逆元である。
よって、素元分解は可逆元の違いを除いて一意である。
証明終
0610Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/18(金) 13:08:51.63
命題 260
A を 単項イデアル整域(>>598)とし、M を A-加群とする。
x ∈ M, x ≠ 0 とする。
p を A の素元(>>599)とし、px = 0 とする。
このとき、pA ∈ Ass(M) (>>602)である。

証明
x ≠ 0 だから ann(x) ≠ A である。
p ∈ ann(x) (>>600) だから pA ⊂ ann(x) である。
>>604より、pA は極大イデアルであるから pA = ann(x) である。
pA は素イデアルだから、pA ∈ Ass(M) である。
証明終
0611仙石６０2011/11/18(金) 13:15:34.64
>>Kummer
うるせぇ、さもないと沈めるぞ！
0612１３２人目の素数さん2011/11/18(金) 13:17:55.21
ああ、こりゃ、こりゃ。
0613１３２人目の素数さん2011/11/18(金) 13:22:42.51

©®™
0614Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/18(金) 13:25:07.85
命題 261
A を 単項イデアル整域(>>598)とし、M を A-加群とする。
x ∈ M, x ≠ 0 とする。
このとき、ann(x) を含む素イデアル pA で pA ∈ Ass(M) (>>602)となるものがある。

証明
ann(x) = aA とする。
x ≠ 0 だから aA ≠ A である。
>>608より、a = (p_1)．．．(p_n) となる素元 p_1、．．．、p_n がある。
n = 1 なら>>610より aA ∈ Ass(M) である。
n ≧ 2 とする。
(p_2)．．．(p_n)x = 0 とすると (p_2)．．．(p_n) が a で割れることになって矛盾。
よって、(p_2)．．．(p_n)x ≠ 0 である。
よって、>>610より (p_1)A ∈ Ass(M) である。
ann(x) = aA ⊂ (p_1)A である。
証明終
0615Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/18(金) 13:41:10.70
命題 262
A を 単項イデアル整域(>>598)とし、M を A 上の有限生成捩れ加群(>>596)とする。
このとき、Ann(M) (>>600) ≠ 0 である。

証明
x_1、．．．、x_n を M の生成元とする。
各 i に対して、(a_i)(x_i) = 0 となる 0 ≠ a_i ∈ A がある。
a = (a_1)．．．(a_n) とすれば ax_i = 0、i = 1、．．．、n となる。
aM = 0 であるから 0 ≠ a ∈ Ann(M) である。
証明終
0616Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/18(金) 13:46:57.44
記法
A を可換環とする。
A の素イデアル全体の集合を Spec(A) と書く。
0617猫 ◆MuKUnGPXAY 2011/11/18(金) 14:09:13.57
>>611
Kummer氏に抵抗したらワシが叩くゾ。エエんやな。

猫
0618Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/18(金) 14:13:33.87
命題 263
A を 単項イデアル整域(>>598)とし、M ≠ 0 を A 上の有限生成捩れ加群(>>596)とする。
このとき、Ass(M) = {P ∈ Spec(A)； Ann(M) ⊂ P}

証明
P ∈ Ass(M) なら P = ann(x) となる x ∈ M がある。
Ann(M) ⊂ ann(x) だから Ann(M) ⊂ P

逆に、P を Ann(M) ⊂ P となる素イデアルとする。
Ann(M) = aA とする。
>>615より、aA ≠ 0 である。
M ≠ 0 であるから aA ≠ A である。
よって、a は 0 でない非可逆元である。
よって、>>608より、a = (p_1)．．．(p_n) となる素元 p_1、．．．、p_n がある。
a ∈ P だから p_i ∈ P となる p_i がある。
p_i = p_1 と仮定してよい。
>>604より、(p_1)A は極大イデアルだから (p_1)A = P である。
(p_2)．．．(p_n)M ≠ 0 だから (p_2)．．．(p_n)x ≠ 0 となる x ∈ M がある。
y = (p_2)．．．(p_n)x とおく。
y ≠ 0 で (p_1)y = 0 であるから>>610より P = (p_1)A ∈ Ass(M) である。
証明終
0619１３２人目の素数さん2011/11/18(金) 14:13:51.40
>>617
体論 Part 1
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1320762869/
0620１３２人目の素数さん2011/11/18(金) 14:18:10.36


　　　　　　　 ∬ ∬　　　 ∬ ∬　　　 ∬ ∬　　+
　　　+　　　　 人　　　　　 人　　　　　 人　　　　 +
　 　 　 　　　（＿_）　　　 （＿_）　　　 （＿_）
　　+　　　　（＿＿）　　 （＿＿）　　 （＿＿）　　　　　+
.　　　+　　 （ ＿＿ ）　 （ ＿＿ ）　 （ ＿＿ ）　　+
　　　　　　（　´∀｀∩　（´∀｀∩）　（　´∀｀）
　+　　（(　（つ　　　ノ　（つ　　丿　（つ　　つ　)）　　+
　　　　　　 ヽ　 （　ノ　　（　ヽノ　　　）　）　）
　　　　　　　（＿）し'　　し（＿）　　（＿）＿）
0621１３２人目の素数さん2011/11/18(金) 14:20:46.98

　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　 ,,. -‐'''''"""''''''ｰ- ､
　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　 ／::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::＼
　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 /::::::::::::::::;:::::::;ﾍ;::::::､:::::::::::::::::ヽ,
　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 /::::::::::::;:::/!:::::/ | ヽ:::::i､::::;::::::::::::::i
＼:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::/ﾞ､　　　　 i:::::|:::::/:;/,|;;;/　 |　ヾ;;;|._i::|i::::::::::::::i　　　　 /::::::::::::::::::::::::::::::::::/
　＼::::::::::::::::::::::::::::::::;;/　 ＼ 　 　 l:::::|:::/'!/ _|/_｀　|　 ´ i_|. i;|`!::::::::::::|　　　 / ヽ:::::::::::::::::::::::::::::/
　　＼::::::::::::::::::::::;;r''",rｰｰｰヽ､.　 |:::::|::i. ,|r'r:::ヽ`　'　　'r:::ヾ,l､|::::::::::::|　　　/　　ﾞ ､::::::::::::::::::::::/
　　　＼;;;;;;;;;;;r'''" ,,r'"　￣￣＼＼|::::::l:| i　{:::::::::|　　　 {::::::::::i　iﾞ|:::::::::|　　/￣＼　 ﾞヽ､:::::::::::;/
　　　　　ヽ、　 /"　　　￣￣＼＼|::::::::| !　io:::::ﾉ　　　 io:::::::i　l !:::::::::|　／￣　　＼　　ﾞｰ-/
　　　　　　｀ヽ/　　　　￣￣＼ ＼|::::::::|　　`'''"　　　　 `''''"　　|::::::::::|（／￣　　　 ﾞ､　　./
　　　　　　　/　　　､__　;r'"ﾞヽ､＼.|:::::::::l　　　　　　'　　　　　　/:::::::::::|（／￣　　　　 ﾞ､ノ
　　　　　　 /　　　　／"　　　 ＼ﾉ|::::::::::ヽ、　　　 ▽　　　　／:::::::::::::|（／￣ﾞ､　　　　 ﾞ､
　　　　　　/　　　 /　　　　　　　ﾞ:ｰ★ｰ-､::;`'':;,､,　　　 ,..ｨ､';r-ｰ★ｰ:/　　　　 ﾞ､　　　　 ﾞ､
　　　　　 /　　　 /　　　　　　　　ﾞ:　　　　＼ノ　｀`''"´　／　　　　　/　　　　　　ﾞ､　　 ,r'"ヽ
　　　　　ハ､　　/　　　　　　　　　ﾞ:　　　　　＼　　　 ／　　　　　 ./　　　　　　　 ﾞ､r'"::::::::::ﾞi
　　　　/::::::::ﾞｰ/　　　　　　　　　　 ﾞ､　　　　　　ｰ-ｰ'　　　　　　 /　　　　　　　　　 ﾞ､::::::::::::::i
　　　/:::::::::::::/　　　　　　　　　　　　ﾞ:　　　　　　　　　　　　　　/　　　　　　　　　　　 ﾞ､:::::::::::l
0622１３２人目の素数さん2011/11/18(金) 14:21:07.71
　　　/:::::::::::::/　　　　　　　　　　　　　ﾞ:　　　　゛,.　　｡　　　　　/　　　　　　　　　　　　　ﾞ､:::::::::l
　 ./::::::::::::::/　　　　　　　　　　　　　　ﾞ､　 　　.,∧,.,.. ､　　　 /　　　　　　　　　　　　　　 !:::::::::l
　/:::::::::::::::/　　　　　　　　　　　　ヽ　. Ｙ　　　/∧＼,.゛　Ｙ　　／　　　　　　　　　　　　 !:::::::::l
./:::::::::::::::::l　　　　　　　　　　　　　　ヽ　　.゛;//.υ＼＼゛,　　/　　　　　　　　　　　　　　!:::::::::l
l:::::::::::::::::::l　　　　　　　　　　　　　　　 ヽ　,/,/　*　,,＼＼.／　　　　　　　　　　　　　　　l:::::::::l
ﾞ､::::::::::::::::l　　　　　　　　　　　　　　　　　（,.（゛/λヽ,.,）,,）゛,.　　　　　　　　　　　　　　　 .l:::::::::l
. ﾞ､:::::::::::::l　　　　　　　　　　　　　　　　　　＼＼νﾉ,/゜/,.　　　　　　　　　　　　　　　　 l:::::::::l
　 ﾞ､::::::::::l　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ..＼＼./,./,.　　　　　　　　　　　　　　　　　　l::::::::::!
　　 ﾞ､:::::::l　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ..＼.゛,/,...゛　　　　　　　　　　　　　　　　　 l::::::::/
　　　 ﾞｰ-ﾞ.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　,ν 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 .!-ｰ'"
　　　　　　 ﾞ:、　　　　　　　　　　　　　　　　　　 *　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　/
　　　　　　　 ﾞヽ　　　　　　　　　　　　　　　　　 Y　　　　　　　　　　　　　　　　　　_／
　　　　　　　　　｀ヽ､　　　　　　　　　　　　　　 /ﾞ､　　　　　　　　　　　　　　　 _,r'"
　　　　　　　　　　　 ｀ﾞヽ､　　　　　　　　　　／.:::..ヽ　　　　　　　　　　　　_,,r'"
　　　　　　　　　　　　　　｀ﾞｰ-､_＿＿＿_／.:::::::::::::..＼_＿＿＿＿_,,,r-ｰ''"
0623１３２人目の素数さん2011/11/18(金) 14:24:54.60
電波テロ装置の戦争(始)
エンジニアと参加願います公安はサリンオウム信者の子供を40歳まで社会から隔離している
オウム信者が地方で現在も潜伏している
それは新興宗教を配下としている公安の仕事だ
発案で盗聴器を開発したら霊魂が寄って呼ぶ来た
<電波憑依>
スピリチャル全否定なら江原三輪氏、高橋佳子大川隆法氏は、幻聴で強制入院矛盾する日本宗教と精神科
<コードレス盗聴>
2004既に国民20%被害250～700台数中国工作員3～7000万円2005ソウルコピー2010ソウルイン医者アカギ絡む<盗聴証拠>
今年５月に日本の警視庁防課は被害者SDカード15分を保持した有る国民に出せ!!<創価幹部>
キタオカ1962年東北生は二十代で2人の女性をレイプ殺害して入信した創価本尊はこれだけで潰せる<<<韓国工作員鸛<<<創価公明党 <テロ装置>>東芝部品)>>ヤクザ<宗教<同和<<公安<<魂複<<官憲>日本終Googl検索
0624Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/18(金) 14:27:46.37
定義 264
A を必ずしも可換でない環とし、M ≠ 0 を A-加群とする。
M が M と 0 以外の A-部分加群を持たないとき M を単純または既約と言う。
0625Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/18(金) 14:31:32.43
定義 265
A を必ずしも可換でない環とし、M を A-加群とする。
M の A-部分加群の列 M = M_0 ⊃ M_1 ⊃ ．．． ⊃ M_n = 0 があり、
各 M_i(i = 1、．．．、n) は M_(i-1) の A-部分加群であり、M_(i-1)/M_i が単純(>>624) であるとき
この列を M の組成列(composition series)と言う。
各 M_(i-1)/M_i をこの組成列の組成因子(composition factor)または因子と呼ぶ。
n をこの組成列の長さと呼び、n = length(M) と書く。
0626Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/18(金) 14:36:01.03
命題 266
A を必ずしも可換でない環とし、M を A-加群とする。
N と L を M の A-部分加群とする。
このとき、L/(L ∩ N) は (L + N)/N に同型である。

証明
>>556と同様である。
0627Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/18(金) 14:37:59.13
命題 267
A を必ずしも可換でない環とし、M を A-加群とする。
M が長さ n の組成列(>>625)を持てば、M の任意の A-部分加群 N ≠ M は、
長さ ≦ n - 1 の組成列を持つ。

証明
>>557と同様である。
0628Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/18(金) 14:41:33.87
命題 268(Jordan-Hoelderの定理)
A を必ずしも可換でない環とし、M を A-加群とする。
M = M_0 ⊃ M_1 ⊃ ．．． ⊃ M_n = 0 を M の組成列(>>625)とする。
このとき、M の任意の組成列の長さは n であり、その組成因子(>>625)の列は、
順序を別にして列 (M_(i-1)/M_i)、i = 1、．．．、n と同型である。

証明
>>561と同様である。
0629Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/18(金) 15:03:42.85
命題 269
A を必ずしも可換でない環とし、M を A-加群とする。
H_1 ⊃ H_2 を M のA-部分加群とする。
(H_1)/(H_2) は単純(>>624) であるとする。
N を M のA-部分加群とする。
このとき、(H_1 + N)/(H_2 + N) は単純であるか H_1 + N = H_2 + N である。

証明
>>558と同様である。
0630Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/18(金) 15:06:26.53
>>625
便宜上 M = 0 のとき M は長さ 0 の組成列を持つと考える。
0631Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/18(金) 15:12:03.51
命題 270
A を必ずしも可換でない環とし、M を A-加群とする。
N をその A-部分加群とする。
M が組成列(>>625)を持てば、N と M/N も組成列を持つ。
このとき、length(M) = length(N) + length(M/N) である。

証明
N が組成列を持つことは>>627で証明されている。
M/N が組成列を持つことは>>629より直ちに得られる。
length(M) = length(N) + length(M/N) は自明である。
証明終
0632Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/18(金) 15:13:43.46
命題 271
A を必ずしも可換でない環とし、M を A-加群とする。
N をその A-部分加群とする。
N と M/N が組成列を持てば M も組成列をもつ。
このとき、length(M) = length(N) + length(M/N) である。

証明
自明である。
0633Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/18(金) 15:22:25.39
命題 272
A を必ずしも可換でない環とし、M_i、i = 1、．．．、n を A-加群とする。
各 M_i が組成列(>>625)を持てば M = M_1 + ．．． + M_n も組成列をもつ。
さらに length(M) = Σlength(M_i) である。

証明
n に関する帰納法を使う。
n = 1 の場合は自明である。
n ≧ 2 とする。
N = M_1 + ．．． + M_(n-1) とおく。
帰納法の仮定から N は組成列を持ち、length(N) = length(M_1) + ．．． + length(M_(n-1) である。
M/N は M_n に同型である。
よって、>>632より、M は組成列をもち、length(M) = length(N) + length(M_n) = Σlength(M_i)
証明終
0634Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/18(金) 15:59:23.19
命題 273
A を 単項イデアル整域(>>598)とする。
I ≠ 0 を A の任意のイデアルとする。
このとき I ⊂ J となる A のイデアル J の個数は有限である。

証明
I = A のときは本命題の主張は自明であるから I ≠ A とする。
I = aA、J = bA とすると、a は b で割れるから a = bc となる c ∈ A がある。
よって、I = J(cA) である。
>>609より、I は素イデアルの積として一意に分解される。
I = (P_1)^(n_1)．．．(P_r)^(n_r) とする。
ここで、各 n_i ≧ 1、各 P_i は素イデアルであり、i ≠ j のとき P_i ≠ P_j とする。

J を I ⊂ J、J ≠ A となるイデアルとする。
>>609より、J は素イデアルの積として一意に分解される。
J = (Q_1)^(m_1)．．．(Q_s)^(m_s) とする。
ここで、各 m_i ≧ 1、各 Q_i は素イデアルであり、i ≠ j のとき Q_i ≠ Q_j とする。

I = J(cA) であるから各 Q_k はどれかの P_i に一致し、n_i ≧ m_k である。
よって、I ⊂ J となる A のイデアル J の個数は有限である。
証明終
0635Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/18(金) 16:01:28.86
命題 274
A を 単項イデアル整域(>>598)とする。
I ≠ 0 を A の任意のイデアルとする。
このとき A/I は A-加群として組成列(>>625)を持つ。

証明
>>634より明らかである。
0636Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/18(金) 16:17:35.63
定義 275
A を必ずしも可換でない環とする。
A 上の加群で１個の元から生成されるものを巡回加群と言う。
0637Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/18(金) 16:25:20.89
命題 276
A を 単項イデアル整域(>>598)とする。
M を A-巡回加群とし、x をその生成元とする。
このとき M は A/ann(x) (>>600)に同型である。

証明
A の元 a に ax を対応させることにより A-準同型 f：A → M が得られる。
f は全射で Ker(f) = ann(x) である。
よって、M は A/ann(x) に同型である。
証明終
0638Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/18(金) 16:36:02.40
命題 277
単項イデアル整域(>>598) A 上の任意の有限生成捩れ加群(>>596) M は組成列(>>625)を持つ。

証明
x_1、．．．、x_n を M の生成元とする。
A(x_1)、．．．、A(x_n) の直和加群を N とする。
N の元 (y_1、．．．y_n) に (y_1) + ．．． + (y_n) ∈ M を対応させることにより
A-準同型 f：N → M が得られる。
f は全射である。
よって、M は N/Ker(f) に同型である。
>>637と>>635より、各 A(x_i) は組成列を持つ。
よって、>>633より N も組成列を持つ。
よって、>>631より、M は組成列を持つ。
証明終
0639１３２人目の素数さん2011/11/18(金) 18:47:52.39
きゅうけい
　　　　　　|:::::::::::::::
　　　　 ﾟＹ´うんこ｀Ｙﾟ ::::::::::::
　　　　　（´・ω・`) ::::::::
◎ー）　 /　 　　　＼:::::::::
　|　 |　(⌒) (⌒二　)::::::::::::
　~~~　／⌒ヽ(￣､　 ヽ＿＿＿
　　　/　　　　Lヽ ＼ノ＿__
　　　ﾞー―――（＿_）---
0640１３２人目の素数さん2011/11/18(金) 19:15:11.73
支援熊
0641Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/18(金) 19:28:18.14
命題 278
A を単項イデアル整域、M を A-加群とする。
M が単純(>>624)な捩れ加群(>>596)であるためには、
P を A の 0 でない素イデアルとして、M が A/P と同型になることが必要十分である。

証明
必要性：
M を単純な捩れ加群とする。
M ≠ 0 だから M は 0 でない元 x を含む。
M は単純だから M = Ax である。
>>637より、M は A/ann(x) に同型である。
M は単純だから ann(x) は M の極大イデアルである。
M は捩れ加群だから ann(x) ≠ 0 である。

十分性：
P を A の 0 でない素イデアルとして、M が A/P と同型であるとする。
>>604より P は極大イデアルである。
よって、A/P は単純である。
よって、M は単純である。
P ≠ 0 だから P の元 x で 0 でないものがある。
x(A/P) = 0 だから A/P は捩れ加群である。
よって、M は捩れ加群である。
証明終
0642１３２人目の素数さん2011/11/18(金) 19:36:08.92

　　　　　　　　　旦旦旦旦旦旦旦旦
　　　　　　　　　旦旦旦旦旦旦旦旦
　　　　　　　　　旦旦旦旦旦旦旦旦
　　　　　　　　　旦旦旦旦旦旦旦旦
　　　　　　　　　旦旦旦旦旦旦旦旦　　　プルト茶置いておきますね
　　　　　　　　　旦旦旦旦旦旦旦旦
　　　　　　　　　旦旦旦旦旦旦旦旦
.　 ﾟＹ´_Pu_｀Ｙﾟ旦旦旦旦旦旦旦旦
　　 ( ´･ω･) 　 旦旦旦旦旦旦旦旦
.　　 /ヽ○==○旦旦旦旦旦旦旦旦
　　/　　||＿　| 旦旦旦旦旦旦旦旦
　　し'￣(_)）￣(_)）￣(_)）￣(_)）￣(_)）
0643Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/18(金) 19:36:16.97
命題 279
A を整域とし、M を A-加群とする。
N を M のA-部分加群とする。
M が捩れ加群(>>596)であるためには、N と M/N が捩れ加群であることが必要十分である。

証明
必要性：
自明である。

十分性：
N と M/N が捩れ加群であるとする。
π：M → M/N を標準的な準同型とする。
M/N は捩れ加群だから任意の x ∈ M に対して aπ(x) = 0 となる a ≠ 0 がある。
π(ax) = 0 だから ax ∈ N である。
N は捩れ加群だから b(ax) = 0 となる b ≠ 0 がある。
A は整域だから ba ≠ 0 である。
よって、M は捩れ加群である。
証明終
0644１３２人目の素数さん2011/11/18(金) 19:36:45.67
　 　 　 ／|　ミ
　　 　 |　 |　 　 __
　　 　 !　 |ﾟＹ´ _Ｐu_Ｙﾟ　
　　 　 |　 | (（´・ω・）　　出動準備完了しますた！　
　 　 　 ＼|　/ つ¶つ¶
　 Ｏ 　 ／ ￣￣￣￣ ＼　O
　　 ＼i　　　- ──‐-　 i/
　　　／/ ´　●:::::::::::●｀ ヽ
　　　|　|　　:::::（__人__）:::::　l
　　　ヽヽ、　:::::::::::::::::::::::: ノ
　　　　/　　　:::::::::::::::::::::,＼
　　　　しｲ　　:::::::::::::::::: ﾄ､ﾉ　
　　　　　 l　　　:::::::::::　/　　　
　　　　　 )::: ）￣￣ )::: ）
0645１３２人目の素数さん2011/11/18(金) 19:37:33.71

　　　　　　　 　 　 　.. - ─‐ - ..
　　　　　 　Ｏ　 ／　　　　Ｐｕ 　 ＼　Ｏ
　　　　　　　 ＼|　 　 - ──‐‐-　 i/
　　　　　　　　 ／/ ´　●:::::::::::●｀ ヽ
　　　　　 　 　 !　|　　:::::（__人__）:::::　l
　　　　（ . :.:;;;. ヽヽ、　:::::::::::::::::::::::: ノ
　　　　　）.:.:;;.;;:.）/　　　::::::::::::::::::: ,＼ 　ｽﾞｼｰﾝ
　　　　ノ. ..:;;.;.ノ しｲ　 ::::::::::::::::::　ﾄ､ﾉ
　 　 （　,.‐''~ ﾜｰ 　l　::::＿＿ :::: / 　　　　 （,;(
（..::;ノ　)ﾉ__ 　 　 　 )::: ）　＿ )::: ） 　ﾜｰ_＿_)）
　）ﾉ__ '|ﾛﾛ| ／￣＼　'＿|ﾛﾛl／￣＼　|ﾛﾛﾛ| ＿
＿|田|_|ﾛﾛ|__|　ﾛﾛ|＿|田|ﾛﾛ|_|　ﾛﾛ|＿|ﾛﾛﾛ||田|_
0646１３２人目の素数さん2011/11/18(金) 19:38:05.77
　　　　　　　 　 　 　.. - ─‐ - ..
　　　　　 　Ｏ　 ／　　　　Ｐｕ 　 ＼　Ｏ
　　　　　　 　＼|　 　 - ──‐‐-　 i/
　　　　　　　　 ／/ ´　○:::::::::::○｀ ヽ
　　　　　 　 　 !　|　　:::::（__人__）:::::　l　ｶﾞｧｧｧｧｧｧー !!
　　　　（ . :.:;;;. ヽヽ、　:::::::＼＼＼: ノ
　　　　　）.:.:;;.;;:.）/　　　::::::::::＼＼＼`
　　　　ノ. ..:;;.;.ノ しｲ　 :::::::::::::::::＼＼＼ ｷｬｰ　　　　∵
　 　 （　,.‐''~ ﾜｰ 　l　::::＿＿.::::: /＼＼＼丿ヽﾉ人：　）
（..::;ノ　)ﾉ__ 　 　 　 )::: ）　＿ )::: ） ` ＼＼_从ﾉヽ从 ）;;;)
　）ﾉ__ '|ﾛﾛ| ／￣＼　'＿|ﾛﾛ|／￣＼ )ヾ　　　　　）ﾉノ
＿|田|_|ﾛﾛ|__|　ﾛﾛ|＿|田|ﾛﾛ|_|　ﾛﾛ|_（.:;;.丶　 　从(_
0647Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/18(金) 19:47:47.68
命題 280
A を必ずしも可換でない環とし、M を A-加群とする。
N を M のA-部分加群とする。
N と M/N が有限生成であれば M も有限生成である。

証明
π：M → M/N を標準的な準同型とする。
N の生成元を x_1、．．．、x_n とする。
y_1、．．．、y_m を M の元で π(y_1)、．．．、π(y_m) が M/N を生成するとする。
x を M の任意の元とする。
A の元 b_1、．．．、b_m があり、π(x) = b_1π(y_1) +．．．+ b_mπ(y_m) となる。
π(x) = π(b_1y_1) +．．．+ π(b_my_m) だから
x - (b_1y_1 +．．．+ b_my_m) ∈ N である。
よって、A の元 a_1、．．．、a_n があり
x - (b_1y_1 +．．．+ b_my_m) = a_1x_1 +．．．+ a_nx_n となる。
よって、
x = a_1x_1 +．．．+ a_nx_n + b_1y_1 +．．．+ b_my_m
よって、M は x_1、．．．、x_n、y_1、．．．、y_m で生成される。
証明終
0648Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/18(金) 19:58:07.25
命題 281
A を 単項イデアル整域(>>598)とする。
A が抽象体(>>197)でなければ任意の単純(>>624)なA-加群は、捩れ加群(>>596)である。

証明
M を A 上の単純な捩れ加群とする。
M ≠ 0 だから M は 0 でない元 x を含む。
M は単純だから M = Ax である。
>>637より、M は A/ann(x) に同型である。
M は単純だから P = ann(x) は M の極大イデアルである。
A は抽象体でないから P ≠ 0 である。
よって、P の元 x で 0 でないものがある。
x(A/P) = 0 だから A/P は捩れ加群である。
よって、M は捩れ加群である。
証明終
0649Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/18(金) 20:09:38.45
命題 282
A を抽象体(>>197)でない単項イデアル整域(>>598)とする。
A-加群 M が組成列(>>625)を持つためには M が有限生成捩れ加群(>>596)であることが
必要十分である。


証明
必要性：
M が組成列(>>625)を持つとする。
>>648より 単純加群(>>624)は捩れ加群である。
よって、>>643より M は捩れ加群である。

単純加群は巡回(>>636)だから有限生成である。
よって、>>647より M は有限生成である。

十分性：
>>638で証明されている。
証明終
0650１３２人目の素数さん2011/11/18(金) 20:26:35.04
加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２
加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２
加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２
加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２
加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２
加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２
加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２
加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２
加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２
加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２
加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２
加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２
加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２
加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２
加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２
加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２
0651Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/18(金) 20:31:40.07
>>637は A が単項イデアル整域でなくとも良かった。

命題 283
A を必ずしも可換でない環とする。
M を A-巡回加群(>>636)とし、x をその生成元とする。
このとき ann(x) は A の左イデアルで M は A/ann(x) (>>600)に同型である。

証明
A の元 a に ax を対応させることにより A-準同型 f：A → M が得られる。
f は全射で Ker(f) = ann(x) である。
よって、M は A/ann(x) に同型である。
証明終
0652１３２人目の素数さん2011/11/18(金) 20:33:02.33
藤原一宏「まずいろいろ難しいことを言う前に, これだけは言っておきたい.
私は内容がなんであれ, 数学が好きな人と一緒に何かをしたいので,
まず数学が好きかどうか自分に問いかけて, 好きだと思えてから来て欲しい.」

だ・か・ら　虚偽申請

でも周りに敵が多くて内部告発される（告発したのは解析系か？）
→大嘘発覚、恥をかく。そしてみなさんに迷惑をかける。
→フィールズ賞現地枠先生の手紙でなんとか今に至る
0653Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/18(金) 20:38:36.44
命題 284
A を可換環とする。
M を A-巡回加群(>>636)とし、x をその生成元とする。
このとき、ann(x) = Ann(M) (>>600)

証明
a ∈ ann(x) とする。
y を M の任意の元とする。
y = bx と書ける。
よって、ay = a(bx) = b(ax) = 0
よって、a ∈ Ann(M)
よって、ann(x) ⊂ Ann(M)
逆の包含関係は明らかである。
証明終
0654１３２人目の素数さん2011/11/18(金) 20:44:15.19
藤原一宏「まずいろいろ難しいことを言う前に, これだけは言っておきたい.
私は内容がなんであれ, 数学が好きな人と一緒に何かをしたいので,
まず数学が好きかどうか自分に問いかけて, 好きだと思えてから来て欲しい.」

お前にそんなことを言う資格はない。この虚偽申請野郎。
0655Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/18(金) 20:45:14.45
命題 285
A を可換環とし、M を単純(>>624)なA-加群とする。
このとき P = Ann(M) (>>600)は極大イデアルであり、
M は A/P に同型である。

証明
M ≠ 0 だから M は 0 でない元 x を含む。
M は単純だから M = Ax である。
>>651より、M は A/ann(x) に同型である。
M は単純だから P = ann(x) は極大イデアルである。
一方、>>653より、ann(x) = Ann(M) である。
証明終
0656猫 ◇MuKUnGPXAY2011/11/18(金) 20:50:13.57
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。

猫
0657Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/18(金) 20:50:46.05
定義 286
A を抽象体(>>197)でない単項イデアル整域(>>598)とする。
M を A 上の有限生成捩れ加群(>>596)とする。
>>638より M は組成列(>>625)を持つ。
n = length(M) (>>625) とし、M の各組成因子(>>625)を N_i、i = 1、...、n とする。
>>655より、各 P_i = Ann(N_i)、i = 1、...、n は極大イデアルである。
このとき、(P_1)．．．(P_n) を M の容量とよび、χ(M) と書く。
0658猫 ◇MuKUnGPXAY2011/11/18(金) 20:50:47.90
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。

猫
0659猫 ◇MuKUnGPXAY2011/11/18(金) 20:51:54.20
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。

猫
0660１３２人目の素数さん2011/11/18(金) 20:54:44.92
藤原一宏「まずいろいろ難しいことを言う前に, これだけは言っておきたい.
私は内容がなんであれ, 数学が好きな人と一緒に何かをしたいので,
まず数学が好きかどうか自分に問いかけて, 好きだと思えてから来て欲しい.」

お前にそんなことを言う資格はない。この虚偽申請野郎。
0661Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/18(金) 20:55:14.18
例
G を有限abel群とする。
G は有理整数環 Z 上の有限生成捩れ加群(>>596)である。
G の位数を n としたとき nZ = χ(G) (>>657)である。
0662猫 ◇MuKUnGPXAY2011/11/18(金) 20:56:19.18
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。

猫
0663１３２人目の素数さん2011/11/18(金) 20:58:19.71
朝起きた時に，きょうも一日虚偽申請をやるぞと思ってるようでは，とてもものにならない。
虚偽申請を考えながら，いつのまにか眠り，朝，目が覚めたときは既に虚偽申請の世界に入っていなければならない。
どの位，虚偽申請に浸っているかが，勝負の分かれ目だ。
虚偽申請は自分の研究者生命を削ってやるようなものなのだ
0664猫 ◆MuKUnGPXAY 2011/11/18(金) 21:10:32.39
猫
0665Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/18(金) 21:13:02.86
命題 287
A を抽象体(>>197)でない単項イデアル整域(>>598)とする。
M を A 上の加群とする。
N をその A-部分加群とする。
このとき、M が有限生成捩れ加群(>>596)であるためには
N と M/N が有限生成捩れ加群であることが必要十分である。

証明
必要性：
M は有限生成捩れ加群であるとする。
>>649より M は組成列(>>625)を持つ。
>>631より N と M/N も組成列を持つ。
よって、>>649より N と M/N は有限生成捩れ加群である。

十分性：
N と M/N は有限生成捩れ加群であるとする。
>>649より N と M/N は組成列を持つ。
よって>>632より M も組成列をもつ。
よって、>>649より M は有限生成捩れ加群である。
証明終
0666Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/18(金) 21:16:55.92
命題 288
A を抽象体(>>197)でない単項イデアル整域(>>598)とする。
M を A 上の有限生成捩れ加群とする。
N をその A-部分加群とする。
>>665より、N と M/N は有限生成捩れ加群である。
このとき、χ(M) = χ(N) + χ(M/N) である。

証明
χ(M) の定義(>>657)から明らかである。
0667Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/18(金) 21:34:34.79
>>666の修正

命題 288
A を抽象体(>>197)でない単項イデアル整域(>>598)とする。
M を A 上の有限生成捩れ加群とする。
N をその A-部分加群とする。
>>665より、N と M/N は有限生成捩れ加群である。
このとき、χ(M) = χ(N)χ(M/N) (>>657)である。

証明
χ(M) の定義(>>657)から明らかである。
0668Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/18(金) 21:38:55.14
命題 289
A を抽象体(>>197)でない単項イデアル整域(>>598)とする。
M を A 上有限生成の捩れ加群(>>596)とする。
このとき、χ(M)M = 0 (>>657)となる。
つまり、χ(M) ⊂ Ann(M) (>>600)となる。

証明
M = 0 の場合は自明だから M ≠ 0 とする。
n = length(M) (>>625)に関する帰納法を使う。
n = 1 なら M は単純であるから、>>655より χ(M) = Ann(M) である。
よって、n = 1 のときは本命題は成り立つ。

n ≧ 2 とする。
N を M/N が単純(>>624)になるような M の部分加群とする。
>>655より χ(M/N) = Ann(M/N) である。
よって、χ(M/N)M ⊂ N となる。
length(N) = n - 1 だから帰納法の仮定より χ(N)N = 0
よって、χ(N)χ(M/N)M = 0
一方、>>667 より、χ(N)χ(M/N) = χ(M) である。
よって、χ(M)M = 0
証明終
0669１３２人目の素数さん2011/11/18(金) 21:44:17.19
熊

謝れ
0670猫 ◆MuKUnGPXAY 2011/11/18(金) 21:46:23.85
>>669
そっ込め。そやないと叩くゾ。

猫
0671猫 ◆MuKUnGPXAY 2011/11/18(金) 21:47:26.87
訂正：

そっ込め。　→　すっ込め。

猫
0672Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/18(金) 21:55:32.96
例
G を有限abel群とする。
G は有理整数環 Z 上の有限生成捩れ加群(>>596)である。
G の位数を n としたとき nZ = χ(G) (>>657)である。
よって、>>668より nG = 0
これは群論でよく知られている。
0673１３２人目の素数さん2011/11/18(金) 22:06:23.95
加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２
加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２
加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２
加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２
加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２
加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２
加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２
加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２
加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２
加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２
加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２
加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２
加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２
加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２
加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２
加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２　加藤毅は引用２
0674猫 ◆MuKUnGPXAY 2011/11/18(金) 22:09:34.63
猫
0675Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/18(金) 22:38:05.16
繰り返しを避けるため、今後特に断らない限り単項イデアル整域(>>598)は抽象体(>>197)でないとする。
0676猫 ◇MuKUnGPXAY2011/11/18(金) 23:00:48.43
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。

猫
0677Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/18(金) 23:29:14.34
定義 290
A を単項イデアル整域、M を A-加群とする。
A のある素元(>>599) p があり、M の各元 x に対して (p^n)x = 0
となる x に依存する整数 n ≧ 1 があるとき、M を p-準素加群(p-primary module)と呼ぶ。
P を p の生成する A の素イデアルとしたとき M を P-準素加群とも呼ぶ。
p-準素加群は捩れ加群(>>596)である。
0678Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/18(金) 23:36:41.25
定義 291
A を単項イデアル整域、M を A-捩れ加群(>>596)とする。
A の素元(>>599) p に対して M(p) = {x ∈ M； (p^n)x = 0 となる n ≧ 1 がある} と書く。
M(p) は M の A-部分加群であり、p-準素加群(>>677)である。
M(p) を M の p-準素成分(p-primary component)と呼ぶ。
0679Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/19(土) 00:24:11.32
定義 292
A を単項イデアル整域とする。
a ≠ 0 と b ≠ 0 を A の元とする。
a と b を割る A の元は可逆元のみであるとき a と b は互いに素であるという。
0680Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/19(土) 00:33:13.59
命題 293
A を単項イデアル整域、M を A-加群とする。
a ≠ 0 と b ≠ 0 を A の元とし、互いに素(>>679)とする。
このとき ar + bs = 1 となる A の元 r、s がある。

証明
a と b で生成されるイデアルを (a, b) とする。
(a, b) ≠ A とすると (a, b) ⊂ P となる極大イデアルがある。
P = pA とすると p は素元(>>599)であり a と b を割る。
これは a と b が互いに素であることに矛盾する。
よって、(a, b) = A
よって、ar + bs = 1 となる A の元 r、s がある。
証明終
0681Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/19(土) 00:37:50.79
命題 294
A を単項イデアル整域、M を A-加群とする。
a ≠ 0 と b ≠ 0 を A の元とし、互いに素(>>679)とする。
x を A の元とし、abx = 0 とする。
このとき x = y + z、ay = 0、bz = 0 となる y、z ∈ A がある。

証明
>>680より ar + bs = 1 となる A の元 r、s がある。
x = (ar + bs)x = arx + bsx
y = bsx、z = arx とおく。
x = y + z
ay = absx = 0
bz = barx = 0
よって、y、z が求めるものである。
証明終
0682Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/19(土) 00:39:29.97
>>681の修正

命題 294
A を単項イデアル整域、M を A-加群とする。
a ≠ 0 と b ≠ 0 を A の元とし、互いに素(>>679)とする。
x を M の元とし、abx = 0 とする。
このとき x = y + z、ay = 0、bz = 0 となる y、z ∈ M がある。

証明
>>680より ar + bs = 1 となる A の元 r、s がある。
x = (ar + bs)x = arx + bsx
y = bsx、z = arx とおく。
x = y + z
ay = absx = 0
bz = barx = 0
よって、y、z が求めるものである。
証明終
0683１３２人目の素数さん2011/11/19(土) 00:47:43.14
藤原一宏「まずいろいろ難しいことを言う前に, これだけは言っておきたい.
私は内容がなんであれ, 数学が好きな人と一緒に何かをしたいので,
まず数学が好きかどうか自分に問いかけて, 好きだと思えてから来て欲しい.」

だ・か・ら　to appear in Annals （でも本当はリジェクト）
0684猫 ◆MuKUnGPXAY 2011/11/19(土) 00:49:17.84
猫
0685Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/19(土) 01:34:57.05
定義 295
A を整域とする。
A の 0 でない元 a、b は aA = bA となるとき同伴であるという。
a、b が同伴とは a = εb となる可逆元 ε があることと同値である。
0686Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/19(土) 01:39:12.88
定義 296
A を単項イデアル整域とする。
A の素元(>>599)の集合 Π は次の条件を満たすとき A の素元の完全代表系と言う。

1) A の任意の素元は Π のどれかの元と同伴(>>685)である。

2) Π の異なる２元はどれも同伴でない。
0687Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/19(土) 02:21:43.22
命題 297
A を単項イデアル整域、M を A-加群とする。
a_1、．．．、a_n を A の元で i ≠ j なら a_i と a_j は互いに素(>>679)であるとする。
x を M の元とし、(a_1)．．．(a_n)x = 0 とする。
このとき M の元 x_1、．．．、x_n があり
x = x_1 + ．．． + x_n かつ (a_i)(x_i) = 0、i = 1、．．．、n となる。

証明
n に関する帰納法で証明しよう。
n = 1 のときは自明である。
n ≧ 2 とする。
b = (a_2)．．．(a_n) とおく。
a_1 と b が素元(>>599) p で割れるとすると a_2、．．．、a_n のどれかが p で割れるから
仮定に反する。
よって、a_1 と b は互いに素である。
よって、>>682より x = x_1 + y、(a_1)x_1 = 0、by = 0 となる x_1、z ∈ M がある。
帰納法の仮定より、y = x_2 + ．．． + x_n かつ (a_i)(x_i) = 0、i = 2、．．．、n となる。
証明終
0688１３２人目の素数さん2011/11/19(土) 04:04:05.56
ガロクマ支援支援↑↑（アゲアゲ）
0689猫 ◇MuKUnGPXAY2011/11/19(土) 09:13:05.31
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。
馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。馬鹿で低脳な虚偽院生はサッサとくたばれ。

猫
0690Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/19(土) 09:51:16.71
命題 298(捩れ加群の準素成分への分解)
A を単項イデアル整域、M を A-捩れ加群(>>596)とする。
Γ を A の素元の完全代表系(>>686)とする。
このとき M は M(p) (>>678)、p ∈ Γ の直和となる。

証明
>>687より M は M(p)、p ∈ Γ の和となる。
これが直和であることを証明しよう。
p_1、．．．、p_n を Γ の元で i ≠ j なら p_i ≠ p_j とする。
x_1 + ．．． + x_n = 0、x_i ∈ M(p_i)、i = 1、．．．、n のとき
各 x_i = 0 を証明すれば良い。
x_1 = -(x_2 + ．．． + x_n) である。
y = x_1 とおく。
aA = ann(y) (>>600) とおく。
y ∈ M(p_1) であるから ((p_1)^r)y = 0 となる整数 r がある。
よって、(p_1)^r ∈ aA

他方、x_i ∈ M(p_i)、i = 2、．．．、n であるから
((p_i)^(s_i))x_i = 0、i = 2、．．．、n となる整数 s_i、i = 2、．．．、n がある。
b = Π(p_i)^(s_i)、i = 2、．．．、n とおく。
bx_i = 0、i = 2、．．．、n である。
よって、b(x_2 + ．．． + x_n) = 0
即ち、by = 0
よって、b ∈ aA
即ち a は (p_1)^r と b の公約元である。
(p_1)^r と b は互いに素(>>679)であるから a は可逆元である。
よって、y = 0 である。
よって、 0 = x_1 = -(x_2 + ．．． + x_n)

以上を繰り返せば 各 x_i = 0 となる。
証明終
0691Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/19(土) 10:15:07.81
命題 299
A を単項イデアル整域とし、p をその素元(>>599)とする。
M を A-加群とし、N を M のA-部分加群とする。
このとき、M が p-準素加群(>>677)であるためには N と M/N が p-準素加群であるこが
必要十分である。

証明
必要性：
ほとんど自明である。

十分性：
N と M/N はp-準素加群であるとする。
π：M → M/N を標準的な準同型とする。
x を M の任意の元とする。
M/N は p-準素加群であるから (p^n)π(x) = 0 となる整数 n ≧ 1 がある。
π((p^n)x) = (p^n)π(x) = 0
よって、(p^n)x ∈ N
N は p-準素加群であるから (p^m)(p^n)x = 0 となる整数 m ≧ 1 がある。
よって、M は p-準素加群である。
証明終
0692Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/19(土) 10:28:02.43
命題 300
A を単項イデアル整域とする。
M_i、i = 1、...、n を有限生成捩れ加群(>>596)とする。
M = M_1 + ．．． + M_n を直和加群とする。
このとき、M は有限生成捩れ加群であり、
χ(M) = χ(M_1)．．．χ(M_n) (>>657)である。

証明
n に関する帰納法で証明しよう。
n = 1 のときは自明である。
n ≧ 2 とする。
N = M_1 + ．．． + M_(n-1) とおく。
帰納法の仮定より、N は有限生成捩れ加群であり、
χ(N) = χ(M_1)．．．χ(M_(n-1)) である。
M/N は M_(n-1) に同型である。
よって、>>665より M は有限生成捩れ加群である。
よって、>>667より χ(M) = χ(N)χ(M/N) = χ(M_1)．．．χ(M_n) である。
証明終
0693Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/19(土) 10:49:21.24
命題 301
A を単項イデアル整域とし、p をその素元(>>599)とする。
M を単純(>>624)な p-準素加群(>>677)とする。
このとき、M は有限生成捩れ加群(>>596)であり、χ(M) (>>657) = pA である。

証明
M ≠ 0 だから M は 0 でない元 x を含む。
M は単純だから M = Ax である。
よって、M は有限生成である。
>>651より、M は A/ann(x) に同型である。
M は p-準素加群だから ann(x) = (p^n)A となる整数 n ≧ 1 がある。
一方、M は単純だから ann(x) は極大イデアルである。
よって、n = 1 である。
>>653より、ann(x) = Ann(M) (>>600) であるから
Ann(M) = pA である。
よって、χ(M) = pA である。
証明終
0694Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/19(土) 10:53:50.58
命題 302
A を単項イデアル整域とし、p をその素元(>>599)とする。
M を有限生成の p-準素加群(>>677)とする。
このとき χ(M) (>>657) = (p^n)A となる整数 n ≧ 0 がある。

証明
>>649より M は組成列(>>625)を持つ。
M = M_0 ⊃ M_1 ⊃ ．．． ⊃ M_n = 0 を M の組成列とする。
>>691より各 M_(i-1)/M_i 、i = 1、．．．、n は単純な p-準素加群である。
よって、>>693と χ(M) の定義(>>657)より本命題が従う。
証明終
0695Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/19(土) 11:28:45.68
命題 303
A を単項イデアル整域とし、M を A 上の有限生成捩れ加群(>>596)とする。
p を A の素元(>>599)とする。
M(p) (>>678) ≠ 0 となるためには pA ∈ Ass(M) (>>602)が必要十分である。

証明
必要性：
M(p) ≠ 0 とする。
M の元 x ≠ 0 と (p^n)x = 0 となる整数 n ≧ 1 がある。
このような n の最小値を m とする。
m = 1 なら>>610より、pA ∈ Ass(M) である。
m ≧ 2 なら (p^(m-1))x ≠ 0 である。
y = (p^(m-1))x とおくと py = (p^m)x = 0
y ≠ 0 であるから>>610より、pA ∈ Ass(M) である。

十分性：
自明である。
証明終
0696Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/19(土) 11:55:07.79
命題 304
A を単項イデアル整域とし、M ≠ 0 を A 上の有限生成捩れ加群(>>596)とする。
このとき、Ass(M) (>>602) は空でない有限集合である。

証明
>>614より Ass(M) は空でない。
>>618より Ass(M) = {P ∈ Spec(A) (>>616)； Ann(M) ⊂ P}
>>615より Ann(M) (>>600) ≠ 0 である。
よって、>>634より Ass(M) は有限集合である。
証明終
0697Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/19(土) 12:00:04.17
命題 305
A を単項イデアル整域とし、M ≠ 0 を A 上の有限生成捩れ加群(>>596)とする。
>>696より Ass(M) (>>602) は空でない有限集合である。
このとき、各 pA ∈ Ass(M) に対して M(p) ≠ 0 であり、
M は加群として M(p) (>>678)、pA ∈ Ass(M) の直和となる。


証明
>>690と>>695より明らかである。
0698Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/19(土) 12:05:02.88
命題 306
A を単項イデアル整域とし、p をその素元(>>599)とする。
M を有限生成の p-準素加群(>>677)とする。
>>649より M は組成列(>>625)を持つ。
n = length(M) (>>625)とする。
このとき χ(M) (>>657) = (p^n)A である。

証明
>>694の証明から明らかである。
0699Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/19(土) 12:18:59.07
記法
A を可換環とし、I をそのイデアルとする。
I を含む A の素イデアル全体の集合を V(I) と書く。
0700Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/19(土) 12:38:06.11
命題 307
A を単項イデアル整域とし、M ≠ 0 を A 上の有限生成捩れ加群(>>596)とする。
このとき、V(χ(M)) = Ass(M) である。

証明
>>696より Ass(M) (>>602) は空でない有限集合である。
Ass(M) = {P_1、．．．、P_n} とおく。
>>697と>>692より χ(M) = χ(M(P_1))．．．χ(M(P_n)) である。
各 P_i ∈ Ass(M) に対して length(M(P_i)) = r_i とおく。
M(P_i) ≠ 0 であるから r_i ≧ 1 である。
>>698より、各 P_i ∈ Ass(M) に対して χ(M(P_i)) = ((p_i)^(r_i))A である。
よって、χ(M) = Π((p_i)^(r_i))A である。
よって、V(χ(M)) = {P_1、．．．、P_n} = Ass(M) である。
証明終
0701Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/19(土) 12:50:55.51
命題 308
A を単項イデアル整域とし、M ≠ 0 を A 上の有限生成捩れ加群(>>596)とする。
このとき、V(χ(M)) = V(Ann(M)) = Ass(M) である。

証明
>>700と>>618で証明済みである。
0702Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/19(土) 13:50:04.14
命題 309
K を抽象体(>>197)とし、K[X] を K 係数の１変数多項式環とする。
良く知られているように K[X] は単項イデアル整域(>>598)である。
M を K[X] 上の有限生成捩れ加群(>>596)とする。
M は K 上の線型空間と見なされる。
このとき M は K 上有限次元である。

証明
A = K[X] とおく。
M = 0 の場合は本命題は自明だから M ≠ 0 と仮定する。

まず M が A 上の巡回加群(>>636)の場合に本命題を証明する。
x を M の生成元とする。
>>651より、M は A-加群として A/ann(x) に同型である。
A は単項イデアル整域だから ann(x) はある多項式 f(X) により生成される。
f(X) の次数を n とする。
M は捩れ加群だから f(X) ≠ 0 である。
M ≠ 0 だから f(X) は定数でない。
よって、n ≧ 1 である。
>>96より、A/ann(x) の K 上の次元は n である。
よって、M の K 上の次元は n である。

次に M が一般の場合を考える。
x_1、．．．、x_n を M の生成元とする。
A(x_1)、．．．、A(x_n) の直和加群を N とする。
上で証明したように各 A(x_i) は K 上有限次元である。
よって、N も K 上有限次元である。
N の元 (y_1、．．．y_n) に (y_1) + ．．． + (y_n) ∈ M を対応させることにより
A-準同型 φ：N → M が得られる。
φ は全射である。
よって、M は K 上有限次元である。
証明終
0703Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/19(土) 14:07:33.33
命題 310
A を単項イデアル整域とし、p をその素元(>>599)とする。
M を単純(>>624)な p-準素加群(>>677)とする。
このとき、M は A/pA に同型である。

証明
M ≠ 0 だから M は 0 でない元 x を含む。
M は単純だから M = Ax である。
>>651より、M は A/ann(x) に同型である。
M は p-準素加群だから ann(x) = (p^n)A となる整数 n ≧ 1 がある。
一方、M は単純だから ann(x) は極大イデアルである。
よって、n = 1 である。
よって、M は A/pA に同型である。
証明終
0704Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/19(土) 14:16:09.09
命題 311
K を抽象体(>>197)とし、K[X] を K 係数の１変数多項式環とする。
f(X) を K[X] の既約多項式とする。
M を単純(>>624)な f(X)-準素加群(>>677)とする。
このとき、M の K 上の次元は deg f(X) である。

証明
>>703と>>96より明らかである。
0705Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/19(土) 14:27:10.89
記法
K を抽象体(>>197)とし、V を K 上の線型空間とする。
V の K 上の次元を dim V または [V : K] と書く。
0706Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/19(土) 14:47:11.14
定義 312
K を斜体(>>199)とする。
K 上の左加群を K 上の左線型空間と言う。
0707Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/19(土) 15:14:21.70
定義 313
A を必ずしも可換でない環とし、M を A-左加群とする。
x_1、．．．、x_n を M の元の列とする。
写像 φ：A^n → V を φ(a_1、．．．、a_n) = (a_1)(x_1) + ．．． + (a_n)(x_n) により定義する。
φ が単射であるとき x_1、．．．、x_n は A 上１次独立であると言う。
このとき、i ≠ j なら x_i ≠ x_j が出る。
このとき、x_1、．．．、x_n の順序を任意に変えた列も K 上１次独立である。
よって、１次独立という性質は集合 {x_1、．．．、x_n} の性質でもある。
このとき、集合 {x_1、．．．、x_n} は A 上１次独立であると言う。
空集合は１次独立とは見なさい。

I を空でない集合とし、(z_i)、i ∈ I を M の元の族とする。
I の任意の空でない有限部分集合 J に対して (z_i)、i ∈ J が K 上１次独立であるとき
M の元の族 (z_i)、i ∈ I は K 上１次独立であるという。

S を M の空でない部分集合とする。
S の任意の空でない有限部分集合が K 上１次独立であるとき
S は K 上１次独立であるという。
0708１３２人目の素数さん2011/11/19(土) 15:23:45.47
電波テロ装置の戦争(始)
エンジニアと参加願います公安はサリンオウム信者の子供を40歳まで社会から隔離している
オウム信者が地方で現在も潜伏している
それは新興宗教を配下としている公安の仕事だ
発案で盗聴器を開発したら霊魂が寄って呼ぶ来た
<電波憑依>
スピリチャル全否定なら江原三輪氏、高橋佳子大川隆法氏は、幻聴で強制入院矛盾する日本宗教と精神科
<コードレス盗聴>
2004既に国民20%被害250～700台数中国工作員3～7000万円2005ソウルコピー2010ソウルイン医者アカギ絡む<盗聴証拠>
今年５月に日本の警視庁防課は被害者SDカード15分を保持した有る国民に出せ!!<創価幹部>
キタオカ1962年東北生は二十代で2人の女性をレイプ殺害して入信した創価本尊はこれだけで潰せる<<<韓国工作員鸛<<<創価公明党 <テロ装置>>東芝部品)>>ヤクザ<宗教<同和<<公安<<魂複<<官憲>日本終Googl検索
0709Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/19(土) 15:38:38.46
記法
A を必ずしも可換でない環とし、I を集合とする。
(M_i)、i ∈ I を A-左加群の族とする。
P = ΠM_i を (M_i)、i ∈ I の直積とする。
P は A-左加群である。
x = (x_i)、i ∈ I を P の元とする。
I の部分集合 {i ∈ I； x_i ≠ 0} を x の台(support)と呼び、supp(x) と書く。
P の部分集合 {x ∈ P；supp(x) は有限集合} は P の A-左部分加群である。
これを (M_i)、i ∈ I の直和と呼び ΣM_i または ΣM_i、i ∈ I などと書く。

M_i が全て同じ A-左加群 M のとき ΠM_i を M^I と書き、ΣM_i を M^(I) と書く。
0710Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/19(土) 15:52:41.41
記法
A を必ずしも可換でない環とし、M を A-左加群とする。
I を集合とする。
x = (x_i)、i ∈ I を M^(I) (>>709) の元とする。
J = supp(x) (>>709)とする。
Σx_i、i ∈ J を Σx_i、i ∈ I または Σx_i または Σx と書き x の和と言う。
0711Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/19(土) 16:05:16.30
定義 314
A を必ずしも可換でない環とし、M を A-左加群とする。
I を空でない集合とし、(x_i)、i ∈ I を M の元の族とする。
A を A-左加群と見て A-左加群 A^(I) (>>709)が定義される。
(a_i)、i ∈ I を A^(I) の元とする。
(a_ix_i)、i ∈ I の台(>>709)は有限だから和 Σ(a_ix_i)、i ∈ I (>>710)が定義される。
よって、A^(I) の元 (a_i)、i ∈ I に Σ(a_ix_i) を対応させることにより
写像 φ：A^(I) → M が定義される。
φ は明らかに A-左加群の準同型である。
φ が単射であるためには (x_i)、i ∈ I が K 上１次独立であることが必要十分である。
φ が全射であるためには (x_i)、i ∈ I が M を生成することが必要十分である。
φ が同型になるとき (x_i)、i ∈ I は M の K 上の基底であると言う。
0712Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/19(土) 16:08:52.25
>>711の修正

定義 314
A を必ずしも可換でない環とし、M を A-左加群とする。
I を空でない集合とし、(x_i)、i ∈ I を M の元の族とする。
A を A-左加群と見て A-左加群 A^(I) (>>709)が定義される。
(a_i)、i ∈ I を A^(I) の元とする。
(a_ix_i)、i ∈ I の台(>>709)は有限だから和 Σ(a_ix_i)、i ∈ I (>>710)が定義される。
よって、A^(I) の元 (a_i)、i ∈ I に Σ(a_ix_i) を対応させることにより
写像 φ：A^(I) → M が定義される。
φ は明らかに A-左加群の準同型である。
φ が単射であるためには (x_i)、i ∈ I が A 上１次独立(>>707)であることが必要十分である。
φ が全射であるためには (x_i)、i ∈ I が M を生成することが必要十分である。
φ が同型になるとき (x_i)、i ∈ I は M の A 上の基底であると言う。
0713Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/19(土) 16:11:13.51
定義 315
A を必ずしも可換でない環とし、M を A-左加群とする。
M が K 上の基底(>>712)を持つとき M を A-左自由加群と言う。
このとき、M は K 上自由であるとも言う。
0714Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/19(土) 16:59:54.28
命題 316
K を斜体(>>199)とし、V ≠ 0 を K 上の左線型空間(>>706)とする。
このとき、V は K 上の基底(>>712)を持つ。

証明
V の１次独立な部分集合全体の集合 Ψ を考える。
V の 0 でない任意の元 x に対して {x} ∈ Ψ であるから Ψ は空でない。
Ψ は包含関係により順序集合になる。
Φ を Ψ の空でない部分集合でこの順序に関して全順序集合になっているとする。
Φ に属す集合全部の合併を S とする。
S の空でない任意の有限部分集合は Φ に属す一つの集合に含まれるから１次独立である。
よって、S も１次独立である。
即ち、S ∈ Ψ である。
よって、S = sup Φ である。
よって、Zornの補題より Ψ は極大元 S_0 を持つ。

S_0 が基底であることを証明しよう。
それには S_0 が V を生成することを証明すればよい。
S_0 で生成される V の線型部分空間を W とする。
任意の x ∈ V を取る。
x ∈ W を示せばよい。
x ∈ S_0 なら x ∈ W であるから x は S_0 に含まれないと仮定してよい。
S_0 は Ψ の極大元であるから {x} ∪ S_0 は１次独立ではない。
よって、ax + (b_1)(y_1) + ．．． + (b_n)(y_n) = 0 となる。
ここで、a、b_1、、．．．、b_n は A の元でどれかは 0 でない。
y_1、．．．、y_n は S_0 の相異なる元である。
y_1、．．．、y_n は１次独立だから a ≠ 0 である。
よって、この等式の両辺に a^(-1) を掛ければ x は y_1、．．．、y_n の１次結合として表わされる。
よって、x ∈ W である。
証明終
0715Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/19(土) 17:50:16.95
命題 317
K を斜体(>>199)とし、V ≠ 0 を K 上の左線型空間(>>706)とする。
S を V の部分集合で V を生成するとする。
このとき V の基底で S に含まれるものがある。

証明
S の１次独立な部分集合全体の集合 Ψ を考える。
>>714の証明と同様にして Ψ には極大元 S_0 が存在する。
S_0 で生成される V の線型部分空間を W とする。
>>714の証明と同様にして S ⊂ W であることが証明される。
よって、V = W である。
よって、S_0 は V の基底である。
証明終
0716Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/19(土) 17:52:21.76
命題 318
K を斜体(>>199)とし、V ≠ 0 を K 上の有限生成の左線型空間(>>706)とする。
このとき V の基底で有限集合であるものが存在する。

証明
>>715より明らかである。
0717Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/19(土) 18:06:47.56
命題 319
K を斜体(>>199)とし、V ≠ 0 を K 上の有限生成の左線型空間(>>706)とする。
>>716より V は有限の基底 S を持つ。
S の元の個数を n とする。
このとき V は K-左加群として組成列(>>625)を持ち、n = length(V) (>>625)である。

証明
S = {x_1、．．．、x_n} とする。
V = Kx_1 + ．．．+ Kx_n は直和である。
V_i、i = 1、．．．、n を {x_1、。。。、x_i} で生成される K-部分加群とする。
V_0 = 0 とする。
このとき、V = V_n ⊃ V_(n-1) ⊃ ．．． ⊃ V_1 ⊃ V_0 = 0 であり、
各 V_i/V_(i-1)、i = 1、．．．、n は K-左加群として Kx_i に同型である。
Kx_i は K-左加群として単純である。
よって、この列は組成列である。
よって、n = length(V) である。
証明終
0718Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/19(土) 18:15:07.54
定義 320
K を斜体(>>199)とし、V ≠ 0 を K 上の有限生成の左線型空間(>>706)とする。
>>717より V は組成列(>>625)を持つ。
Jordan-Hoelderの定理(>>628)より、この組成列の長さは組成列の取り方に寄らない。
このとき、length(V) (>>625)を V の次元と呼び dim V または [V : K] と書く。
V = 0 のときは V の次元は 0 と定義する。
0719Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/19(土) 18:28:26.32
命題 321
K を斜体(>>199)とし、V ≠ 0 を K 上の左線型空間(>>706)とする
V は K-左加群として組成列(>>625)を持つとする。
S を V の１次独立な部分集合とする。
このとき |S| ≦ length(V) である。

証明
n = length(V) とおく。
S の任意の空でない有限部分集合を T とする。
T で生成される V の K-部分加群を W とする。
>>627より length(W) ≦ n である。
>>717より |T| = length(W) である。
よって、|T| ≦ n である。
よって、|S| ≦ n である。
証明終
0720Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/19(土) 18:34:10.22
命題 322
K を斜体(>>199)とし、V ≠ 0 を K 上の左線型空間(>>706)とする
V は K-左加群として組成列(>>625)を持つとする。
このとき V の任意の K 上の基底(>>712)は有限集合であり、その濃度は length(V) に等しい。

証明
>>719より V の任意の K 上の基底(>>712)は有限集合である。
>>717よりその濃度は length(V) に等しい。
証明終
0721Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/19(土) 19:44:57.02
命題 323
A を必ずしも可換とは限らない環とする。
I を A の両側イデアルとする。
M を A-左加群とする。
IM を {ax； a ∈ I、x ∈ M} から生成される M の A-部分加群とする。
このとき、M/IM は自然に (A/I)-左加群となる。

証明
φ：A → A/I を標準的な環準同型とする。
π：M → M/IM を標準的な準同型とする。
a、b ∈ A、a - b ∈ I、 x、y ∈ M、x - y ∈ IM とする。
a - b ∈ I だから (a - b)x ∈ IM
よって、π(ax) - π(bx) = π((a - b)x) = 0
よって、π(ax) = π(bx)
一方、π(bx) - π(by) = π(b(x - y)) = 0
よって、π(bx) = π(by)
よって、π(ax) = π(by)
これは、π(ax) が a (mod I) と x (mod IM) だけで定まることを示している。
よって、φ(a) と π(x) の積 φ(a)π(x) を π(ax) と定義することが出来る。
これにより M/IM は (A/I)-左加群となることは見やすい。
証明終
0722Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/19(土) 22:23:44.83
補題 324
A を必ずしも可換とは限らない環とする。
M を基底(>>712) x_1、．．．、x_n を持つ A-左加群とする。
I を A の左イデアルとする。
IM を E = {sx； s ∈ I、x ∈ M} から生成される M の A-部分加群とする。
このとき IM の任意の元は
(s_1)(x_1) + ．．． + (s_n)(x_n)、s_i ∈ I、i = 1、．．．、n と一意に書ける。

証明
N = {(s_1)(x_1) + ．．． + (s_n)(x_n)；s_i ∈ I、i = 1、．．．、n} とおく。
N は M の A-部分加群である。
IM ⊂ N を証明すれば良い。
任意の x ∈ M は x = (a_1)(x_1) + ．．． + (a_n)(x_n)、a_i ∈ A、i = 1、．．．、n と書ける。
s ∈ I のとき sx = s(a_1)(x_1) + ．．． + s(a_n)(x_n) ∈ N である。
よって、E ⊂ N である。
よって、IM ⊂ N である(因みに N ⊂ IM は明らかであるから IM = N である)。
よって、IM の任意の元は (s_1)(x_1) + ．．． + (s_n)(x_n)、s_i ∈ I、i = 1、．．．、n と書ける。
x_1、．．．、x_n が１次独立(>>707)であるからこの表現は一意である。
証明終
0723Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/19(土) 22:32:49.16
命題 325
A を必ずしも可換とは限らない環とする。
I を A の両側イデアルで A/I は斜体(>>199)であるとする。
M ≠ 0 を A-左加群とする。
S = {x_1、．．．、x_n} と T = {y_1、．．．、y_m} をそれぞれ M の基底(>>712)とする。
このとき n = m である。

証明
K = A/I とおく。
>>721より M/IM は自然に K-左加群となる。
π：M → M/IM を標準的な準同型とする。
π(S) = {π(x_1)、．．．、π(x_n)} が M/IM の K 上の基底であることを証明しよう。
π は全射であるから π(S) は M/IM を K-左加群として生成する。
よって、π(S) が K 上１次独立(>>707)であることを言えばよい。
a_i ∈ A、i = 1、．．．、n とし、
(a_1)π(x_1) + ．．． + (a_n)π(x_n) = 0 とする。
π((a_1)(x_1) + ．．． + (a_n)(x_n)) = 0 であるから
(a_1)(x_1) + ．．． + (a_n)(x_n) = IM である。
一方、>>722より IM の任意の元は (s_1)(x_1) + ．．． + (s_n)(x_n)、
s_i ∈ I、i = 1、．．．、n と一意に書ける。
よって、a_i ∈ I、i = 1、．．．、n である。
よって、π(a_i) = 0、i = 1、．．．、n である。
よって、π(S) は K 上１次独立である。

同様に π(T) = {π(y_1)、．．．、π(y_m)} は M/IM の K 上の基底である。
>>717より、n と m は [M/IM : K] (>>718)に等しい。
よって、n = m である。
証明終
0724Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/19(土) 22:36:07.49
命題 326
A を可換環とする。
M ≠ 0 を A-左加群とする。
S = {x_1、．．．、x_n} と T = {y_1、．．．、y_m} をそれぞれ M の基底(>>712)とする。
このとき n = m である。

証明
Zornの補題より A は極大イデアル I を持つ。
A/I は抽象体(>>197)であるから>>723より n = m である。
0725Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/19(土) 22:39:05.92
A が非可換環のとき>>724に対応する命題が成り立たない例がある。
0726１３２人目の素数さん2011/11/19(土) 22:48:24.46
無職のクマ
うせろよ
邪魔だ

すれ違いだしね
0727１３２人目の素数さん2011/11/19(土) 22:49:21.50
↑そうだそうだ
0728１３２人目の素数さん2011/11/19(土) 22:52:33.83
クマは無職のアホです
0729猫は痴漢野郎 ◆MuKUnGPXAY 2011/11/19(土) 23:04:26.91
オマエ等、叩くゾ。

猫
0730１３２人目の素数さん2011/11/19(土) 23:12:05.89
ぽんと蹴るからニャンと鳴け
0731猫は痴漢野郎 ◆MuKUnGPXAY 2011/11/19(土) 23:14:44.94
ワシを叩くのは歓迎や。そやけど熊氏を叩くのはワシが許さんさかいナ。

猫
0732Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/20(日) 01:33:01.63
記法
K を抽象体(>>197)とし、V を K 上の有限次元の線型空間とする。
σ：V → V を K-線型写像とする。
σ の固有多項式を χ(σ、X) と書く。
χ(σ、X) ∈ K[X] である。
0733Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/20(日) 01:51:49.37
命題 327
A を必ずしも可換でない環とし、M を A-左加群とする。
N を M の A-部分加群とする。
π：M → M/N を標準的な準同型とする。
N が A 上の基底(>>712) x_1、．．．、x_n を持つとする。
y_1、．．．、y_m を M の元で π(y_1)、．．．、π(y_m) が M/N の A 上の基底であるとする。
このとき、x_1、．．．、x_n、y_1、．．．、y_m は M の A 上の基底である。

証明
>>647の証明で示したように M は x_1、．．．、x_n、y_1、．．．、y_m で生成される。
これ等が A 上１次独立(>>707)であることを証明すればよい。
A の元 a_1、．．．、a_n、b_1、．．．、b_m があり、
a_1x_1 +．．．+ a_nx_n + b_1y_1 +．．．+ b_my_m = 0 とする。
b_1y_1 +．．．+ b_my_m = -(a_1x_1 +．．．+ a_nx_n) ∈ N であるから
0 = π(b_1y_1 +．．．+ b_my_m) = b_1π(y_1) +．．．+ b_mπ(y_1)
π(y_1)、．．．、π(y_m) は１次独立だから b_1、．．．、b_m は全て 0 である。
よって、a_1x_1 +．．．+ a_nx_n = 0 である。
x_1、．．．、x_n は１次独立だから a_1、．．．、a_n は全て 0 である。
よって、x_1、．．．、x_n、y_1、．．．、y_m は１次独立である。
証明終
0734Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/20(日) 02:06:20.22
命題 328
K を抽象体(>>197)とし、V を K 上の有限次元の線型空間とする。
σ：V → V を K-線型写像とする。
W を V の K-線型部分空間で σ(W) ⊂ W とする。
σ は K-線型写像 τ：W → W と ρ：V/W → V/W を引き起こす。
このとき、χ(σ、X) = χ(τ、X)χ(ρ、X) である(>>732)。

証明
x_1、．．．、x_n を W の K 上の基底(>>712)とする。
y_1、．．．、y_m を V の元で π(y_1)、．．．、π(y_m) が V/W の K 上の基底であるとする。
>>733より x_1、．．．、x_n、y_1、．．．、y_m は V の K 上の基底である。
σ の x_1、．．．、x_n、y_1、．．．、y_m に関する表現行列を A とする。
τ の x_1、．．．、x_n に関する表現行列を B とする。
ρ の π(y_1)、．．．、π(y_m) に関する表現行列を C とする。
このとき、A には B と C が A の対角線上に現れる。
A において B の下は零行列である。
よって、行列式の良く知られている性質から
χ(σ、X) = χ(τ、X)χ(ρ、X) である。
証明終
0735Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/20(日) 04:19:17.29
命題 329
K を抽象体(>>197)とし、V を K 上の有限次元の線型空間とする。
σ：V → V を K-線型写像とする。
V = V_0 ⊃ V_1 ⊃ ．．． ⊃ V_n = 0 を V の K-部分線型空間の列で、
σ(V_i) ⊂ V_i、i = 1、．．．、n とする。
各 i に対して σ は K-線型写像 τ_i：V_(i-1)/V_i → V_(i-1)/V_i、i = 1、．．．、n
を引き起こす。
このとき、χ(σ、X) = χ(τ_1、X)．．．χ(τ_n、X) である(>>732)。

証明
n に関する帰納法で証明しよう。
n = 1 のときは自明である。
n ≧ 2 とする。
σ は K-線型写像 ρ：V_1 → V_1 を引き起こす。
帰納法の仮定より、χ(ρ、X) = χ(τ_2、X)．．．χ(τ_n、X) である。
一方、>>734より χ(σ、X) = χ(τ_1、X)χ(ρ、X) である。
よって、χ(σ、X) = χ(τ_1、X)．．．χ(τ_n、X) である。
証明終
0736Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/20(日) 09:51:11.43
定義 330
K を抽象体(>>197)とし、V を K 上の有限次元の線型空間とする。
σ：V → V を K-線型写像とする。
>>595で説明したように f(X) ∈ K[X] と x ∈ V に対して f(X)x = f(σ)(x) と
定義することにより V は K[X]-加群となる。
このとき、V を σ により定義された K[X]-加群と言う。
0737Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/20(日) 10:07:38.07
命題 331
K を抽象体(>>197)とし、V を K 上の有限次元の線型空間とする。
σ：V → V を K-線型写像とする。
V を σ により K[X]-加群と見なす。
このとき、K の元 λ が σ の固有値であるためには (X - λ) ∈ Ass(V) (>>602)であることが
必要十分である。

証明
必要性：
λ が σ の固有値であるとする。
σ(x) = λx となる V の元 x ≠ 0 がある。
(σ - λ1)(x) = 0 であるから (X - λ)x = 0 である。
K[X] は単項イデアル整域(>>598)とする。
X - λ は K[X] の素元(>>599)であるから>>610より (X - λ) ∈ Ass(V) である。

十分性：
(X - λ) ∈ Ass(V) とする。
(X - λ)x = 0 となる x ≠ 0 がある。
よって、(σ - λ1)(x) = 0 となる。
よって、σ(x) = λx となる。
よって、λ は σ の固有値である。
証明終
0738Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/20(日) 12:00:33.12
命題 332
K を抽象体(>>197)とし、V ≠ 0 を K 上の有限次元の線型空間とする。
σ：V → V を K-線型写像とする。
V を σ により K[X]-加群と見なす。
このとき、V が K[X]-巡回加群(>>636)であるとする。
x をその生成元とし (f(X)) = ann(x) (>>600)とする。
ここで、f(X) はモニック(>>115)とする。
このとき、σ の固有多項式は f(X) である。

証明
f(X) = X^n + a_(n-1)X^(n-1) + ．．． + a_1X + a_0 とする。
g(X) ∈ K[X] に g(X)x = g(σ)(x) ∈ V を対応させる写像 φ：K[X] → V は
K[X]-加群の全射準同型である。
Ker(φ) = ann(x) = (f(X)) であるから φ は K[X]-加群の同型 ψ：K[X]/(f(X)) → V を引き起こす。
ρ：K[X] → K[X]/(f(X)) を標準的な準同型とする。
ρ(X) = θ とおく。
>>96より、1、θ、．．．、θ^(n-1) は K 上の線型空間としての K[X]/(f(X)) の基底である。
ψ(θ) = σ(x) である。
よって、x、σ(x)、．．．、σ^(n-1)(x) が V の K 上の基底である。
この基底に関しての σ の行列を A とする。

σ(σ^i(x)) = σ^(i+1)、i = 0、．．．、n-2
σ(σ^(n-1)(x)) = σ^n(x) = -(a_(n-1)σ^(n-1)(x) + ．．． + a_1σ(x) + a_0x)

よって、A の固有多項式 det(XE - A) を最終行に関して展開すると
(X + a_(n-1))X^(n-1) + h(X)、h(X) ∈ K[X] の形になる。
ここで h(X) は a_(n-2)X^(n-2) + ．．． + a_1X + a_0 であることが n に関する帰納法でわかる。
よって、det(XE - A) = f(X) である。
証明終
0739Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/20(日) 12:37:12.12
命題 333
K を抽象体(>>197)とし、V ≠ 0 を K 上の有限次元の線型空間とする。
σ：V → V を K-線型写像とする。
f(X) を σ の固有多項式とする。
V を σ により K[X]-加群と見なす(>>736)。
このとき、V が単純(>>624)な K[X]-加群(>>636)なら
χ(V) (>>657) = (f(X)) である。

証明
V ≠ 0 だから V は 0 でない元 x を含む。
V は単純だから V = K[X]x である。
>>651より、V は K[X]/ann(x) に同型である。
>>738より ann(x) = (f(X)) である。
一方、>>653より、ann(x) = Ann(V) である。
V は単純だから χ(V) の定義(>>657)より χ(V) = Ann(V) = (f(X)) である。
証明終
0740Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/20(日) 12:43:16.77
命題 334
K を抽象体(>>197)とし、V ≠ 0 を K 上の有限次元の線型空間とする。
σ：V → V を K-線型写像とする。
f(X) を σ の固有多項式とする。
V を σ により K[X]-加群と見なす(>>736)。
>>595より V は K[X] 上の有限生成の捩れ加群(>>596)である。
よって、χ(V) (>>657)が定義される。
このとき χ(V) = (f(X)) である。

証明
V = V_0 ⊃ V_1 ⊃ ．．． ⊃ V_r = 0 を V の K[X]-加群としての組成列(>>625)とする。
各 V_(i-1)/V_i は K[X]-加群であるから σ は K-線型写像 σ_i：V_(i-1)/V_i → V_(i-1)/V_i を
引き起こす。
>>735より、f(X) = χ(σ_1、X)．．．χ(σ_r、X) である。
一方、>>667より χ(V) = χ(V_(0)/V_1)．．．χ(V_(r-1)/V_r)
各 V_(i-1)/V_i、i = 1、．．．、r は単純であるから>>739より
χ(V_(i-1)/V_i) = (χ(σ_i、X))
よって、χ(V) = ((f(X)) である。
証明終
0741Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/20(日) 13:04:16.08
命題 335
K を抽象体(>>197)とし、V ≠ 0 を K 上の有限次元の線型空間とする。
σ：V → V を K-線型写像とする。
g(X) を σ の最小多項式とする。
V を σ により K[X]-加群と見なす(>>736)。
このとき、Ann(V) = (g(X)) である。

証明
h(X) ∈ Ann(V) と h(σ) = 0 は同値であることから明らかである。
0742１３２人目の素数さん2011/11/20(日) 13:10:48.75
クマ

おまえは邪魔だ
失せろ
0743Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/20(日) 13:13:01.46
命題 336(Cayley-Hamiltonの定理)
K を抽象体(>>197)とし、V ≠ 0 を K 上の有限次元の線型空間とする。
σ：V → V を K-線型写像とする。
f(X) を σ の固有多項式とする。
このとき、f(σ) = 0 である。

証明
V を σ により K[X]-加群と見なす(>>736)。
>>595より V は K[X] 上の有限生成の捩れ加群(>>596)である。
>>740より χ(V) = (f(X)) である。
一方、>>668より χ(M)M = 0 である。
よって、f(σ) = 0 である。
証明終
0744１３２人目の素数さん2011/11/20(日) 13:19:34.81
失業者のクマ
バカでアホの分際でw
0745Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/20(日) 13:23:04.73
命題 337
K を抽象体(>>197)とし、V ≠ 0 を K 上の有限次元の線型空間とする。
σ：V → V を K-線型写像とする。
g(X) を σ の最小多項式とする。
deg g(X) = dim V であれば g(X) は σ の固有多項式である。

証明
f(X) を σ の固有多項式とする。
Cayley-Hamiltonの定理(>>743)より f(σ) = 0 である。
よって、f(X) は g(X) で割れる。
deg f(X) = dim V であるから f(X) = cg(X) となる c ∈ K がある。
f(X) も g(X) もモニック(>>115)であるから c = 1 である。
証明終
0746猫は一匹１８０円 ◆MuKUnGPXAY 2011/11/20(日) 13:23:50.70
>>744
叩くゾ。ソレも思いっきりナ。

猫
0747猫は一匹１８０円 ◆MuKUnGPXAY 2011/11/20(日) 13:25:01.11
>>742
邪魔なのはオマエや。サッサと失せろ。

猫
0748１３２人目の素数さん2011/11/20(日) 13:27:45.47
まずは性犯罪者が消えるべきですね？
0749Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/20(日) 13:43:37.62
K を体(>>82)とし L/K と E/K を拡大(>>82)とする。
Hom(L、E) を L から E への K-線型写像の全体とする。
Hom(L、E) は α ∈ E と f ∈ Hom(L、E) のとき (αf)(x) = αf(x) と定義することにより
E 上の線型空間となる。
L から E への K-埋め込み(>>122)は Hom(L、E) の元と見なせることに注意する。
0750Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/20(日) 14:21:57.30
命題 338
K を体(>>82)とし L/K を有限(>>87)かつ分離的(>>248)な拡大とする。
n = [L : K] とする。
K-埋め込み(>>122)：L → Ω(>>82) 全体の集合を E(L/K) と書いた(>>262)。
>>269より |E(L/K)| = n である。
E(L/K) = {σ_1、．．．、σ_n} とする。
原始要素の定理(>>335)より L = K(θ) となる θ ∈ L がある。
σ_i(θ) = θ_i、i = 1、．．．、n とおく。

A を (n、n) 行列で、その i 番目の行は 1、θ_i、．．．、(θ_i)^(n-1) となるものとする。

1、θ_1、．．．、(θ_1)^(n-1)
1、θ_2、．．．、(θ_2)^(n-1)
．．．
．．．
．．．
1、θ_n、．．．、(θ_n)^(n-1)

このとき det A ≠ 0 である。

証明
det A は Vandermonde の行列式と呼ばれるものである。
良く知られた公式から det A = Π(θ_k - θ_i)、k ＞ i である。

一方、L = K(θ) であるから 各 σ_i は σ_i(θ) の値により一意に定まる。
i ≠ k のとき σ_i ≠ σ_k であるから θ_i ≠ θ_k である。
よって、det A ≠ 0 である。
証明終
0751Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/20(日) 14:43:31.13
命題 339
K を体(>>82)とし L/K を有限(>>87)かつ分離的(>>248)な拡大とする。
n = [L : K] とする。
K-埋め込み(>>122)：L → Ω(>>82) 全体の集合を E(L/K) と書いた(>>262)。
>>269より |E(L/K)| = n である。
E(L/K) = {σ_1、．．．、σ_n} とする。
>>749より Hom(L、Ω) は Ω 上の線型空間となる。
E(L/K) ⊂ Hom(L、Ω) である。
このとき σ_1、．．．、σ_n は Ω 上１次独立(>>707)である。

証明
原始要素の定理(>>335)より L = K(θ) となる θ ∈ L がある。
σ_i(θ) = θ_i、i = 1、．．．、n とおく。
a_1、．．．、a_n を Ω の元とし、a_1σ_1 + ．．．+ a_nσ_n = 0 とする。

a_1σ_1(1) + ．．．+ a_nσ_n(1) = 0
a_1σ_1(θ) + ．．．+ a_nσ_n(θ) = 0
．．．
．．．
a_1σ_1(θ^(n-1)) + ．．．+ a_nσ_n(θ^(n-1)) = 0

即ち、
a_1 + ．．．+ a_n = 0
a_1θ_1 + ．．．+ a_nθ_n = 0
．．．
．．．
a_1(θ_1)^(n-1) + ．．．+ a_n(θ_n)^(n-1)) = 0

これを未知数 a_1、．．．、a_n の Ω 係数の連立一次方程式と見る。
>>750より、この連立一次方程式の係数行列の行列式は 0 でない。
よって、a_1、．．．、a_n は全て 0 である。
証明終
0752Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/20(日) 15:35:35.88
命題 340
L/K を有限(>>87)な巡回拡大(>>491)とする。
n = [L : K] (>>87) とする。
σ をそのGalois群(>>251)の生成元とする。
σ は K-線型写像と見なせる。
このとき σ の固有多項式は X^n - 1 である。

証明
>>751より、1、σ、．．．、σ^(n-1) は Hom(L、L) (>>749)の元として
K 上１次独立(>>707)である。
よって、g(X) ≠ 0 を n - 1 次以下の K[X] の多項式としたとき g(σ) = 0 とはならない。
一方、σ^n = 1 であるから X^n - 1 は K-線型写像として σ の最小多項式である。
よって、>>745より σ の固有多項式は X^n - 1 である。
証明終
0753１３２人目の素数さん2011/11/20(日) 15:50:12.55
虚偽申請の責任はとりましたか？
0754１３２人目の素数さん2011/11/20(日) 15:55:29.26
くんまー

数学をナメとんちゃうぞ

お前には神罰がくだる
0755１３２人目の素数さん2011/11/20(日) 16:00:41.93
クマは無職だと自分で認めている（過去スレ参照）

おまけにイギリス貴族だと、悔し紛れに言っておった

イギリス貴族にして無職のアホがクマ
0756Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/20(日) 16:02:41.31
次の命題は Galoisの主定理の証明において非常に重要な役割を果たす。

命題 341
n ≧ 1 を Ω(>>82)の標数(>>214)で割れない整数とする。
L/K を n 次の巡回拡大(>>491)とする。
K は 1 の原始 n 乗根(>>520) ζ を含むとする。
このとき、L = K(α) かつ α^n ∈ K となる α が存在する。

証明
G を L/K のGalois群(>>251)とする。
σ を G の生成元とする。
>>752より σ の固有多項式は X^n - 1 である。
よって、σ の固有値は 1、ζ、．．．、ζ^(n-1) である。
ζ ∈ K であるから σ(α) = ζα となる 0 ≠ α ∈ K がある。
σ(α^n) = (ζα)^n = α^n
よって、α^n は G の全ての元で固定される。
よって、Galois理論の基本定理(>>451)より α^n ∈ K である。

σ(α^i) = (ζα)^i = (ζ^i)α^i、i = 0、1、．．．、n - 1
よって、1、α、．．．、α^(n-1) はそれぞれ
σ の固有値 1、ζ、．．．、ζ^(n-1) の固有ベクトルである。
よって、1、α、．．．、α^(n-1) は K 上１次独立である。
よって、L = K(α) である。
証明終
0757１３２人目の素数さん2011/11/20(日) 16:09:57.16
50 ：１３２人目の素数さん：2008/02/04(月) 00:29:57
ネットの普及で、昔なら漠然と「おかしいなあ」と思っていて
内内で語られていた人事が、おおっぴらになったのはよいことだ。
さらにMathSciNetとかGoogle scholerとかで、論文などを検索出来る。
サボっている教員の実態がこうしてネットで白日のもとにさらされるということだｗ
51 ：１３２人目の素数さん：2008/02/04(月) 00:53:18
自分より業績が上の PD を選考で落としている教員の実態をさらせ
0758１３２人目の素数さん2011/11/20(日) 16:15:52.66
低脳クマ、職探しをしてこい
働いて税金をおさめろよw

ニートの分際でw
0759１３２人目の素数さん2011/11/20(日) 16:17:47.30
猫さんは、橋下前大阪知事を支持しますか？

理由も教えて下さい
0760１３２人目の素数さん2011/11/20(日) 18:12:50.70
あげあげ
0761１３２人目の素数さん2011/11/20(日) 18:14:20.17
橋下さんは大阪の救世主だろ。断固支持します！
0762Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/20(日) 21:16:58.33
>>752において σ の固有多項式は σ の最小多項式であった。
このような状況を調べてみよう。

K を抽象体(>>197)とし、V ≠ 0 を K 上の有限次元の線型空間とする。
σ：V → V を K-線型写像とする。
V を σ により K[X]-加群と見なす(>>736)。
f(X) を σ の固有多項式とする。
>>740より χ(V) = (f(X)) である。
g(X) を σ の最小多項式とする。
>>741より Ann(V) = (g(X)) である。
よって χ(V) = Ann(V) となる条件を調べてみよう。
0763猫は一匹１８０円 ◆MuKUnGPXAY 2011/11/20(日) 21:22:51.13
>>759
はい、私は橋下氏を支持します。その理由は『彼の考え方は非常に合理
的だと私も認める』からです。彼が頑張る事は、コレまでの日本の制度
の硬直化であるとか、また保守的な考え方をブチ壊す為の非常に大切な
突破口になると物凄く期待しています。

ですから断固支持です。

猫

追伸：なるべくここでは私に話しかけないで下さい。熊さんの数学の邪
魔になってはいけないので。
0764１３２人目の素数さん2011/11/20(日) 21:40:17.09
>>763
熊とは誰？
もしかしてKummerのことか？
なら失礼だろうが　人の名前を間違えるのは　謝罪しろ
0765猫は一匹１８０円 ◆MuKUnGPXAY 2011/11/20(日) 21:45:28.55
>>764
お断りや。

猫
0766１３２人目の素数さん2011/11/20(日) 21:47:32.61
>>765
命令だから謝れつってんの
お前に拒否権はないの
0767猫は一匹１８０円 ◆MuKUnGPXAY 2011/11/20(日) 21:50:10.38
>>766
ほんならオマエがワシを強制的に謝らせてミロや。ホレ、やってみ。

猫
0768１３２人目の素数さん2011/11/20(日) 21:52:42.21
>>767
お前が芳雄に侮られた理由は分かったわ
0769１３２人目の素数さん2011/11/20(日) 21:52:46.04
いやだね
0770猫は一匹１８０円 ◆MuKUnGPXAY 2011/11/20(日) 21:58:00.07
>>766
早うシロや。そやないと狙い撃ちにスルさかいナ。

猫
0771１３２人目の素数さん2011/11/20(日) 21:58:51.08
橋下氏のどこが素晴らしいのですか？
具体的に述べて下さい＞猫
0772１３２人目の素数さん2011/11/20(日) 22:09:29.47
>>770
お前は無意識下ですでに敗北を認めている

いつになったら自覚できるようになるんだろうね

芳雄に性格を矯正してくれていたら今頃…
0773猫は一匹１８０円 ◆MuKUnGPXAY 2011/11/20(日) 22:19:53.95
>>771
判断が非常に合理的だと思いますね。例えば二重行政を排除して予算の
縮減を考えるという主張ですね。

猫
0774１３２人目の素数さん2011/11/20(日) 22:22:26.54
二重行政排除は都にしないでも可能では？
0775猫は一匹１８０円 ◆MuKUnGPXAY 2011/11/20(日) 22:39:24.56
>>774
ソコは恐らくは現行法の問題なんですかね。詳しい事は私は知りません。
でも通常の縦割り行政から考えれば、そういう二重行政を排除するのに
一番有効な方法論はやはり大阪都構想ではないかと橋下氏の話を聞いて
私もそう考えました。やはり船頭が二人居てはそうは中々行かないのが
縦割り的な考え方だと思いますね。

猫
0776１３２人目の素数さん2011/11/20(日) 22:49:55.76
>>775
東京都がそうであるように、大阪「都」にしても二重行政は排除できませんよ。
0777猫は一匹１８０円 ◆MuKUnGPXAY 2011/11/20(日) 22:56:52.19
>>776
だから『こそ』非常に注意して制度設計をしないといけないと思いますね。
特に国から思いっきり権限を奪う事が必要ですね。

猫
0778Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/20(日) 23:26:54.56
命題 342
A を単項イデアル整域とし、p をその素元(>>599)とする。
n ≧ 1 を整数とする。
このとき、(p^n)A/(p^(n+1))A は A-加群として A/pA に同型である。

証明
π：(p^n)A → (p^n)A/(p^(n+1))A を標準的な A-準同型とする。
写像 f：A → (p^n)A を f(x) = (p^n)x により定義する。
f は A-準同型である。
g = πf とする。
π と f は全射であるから g も全射である。
g(x) = πf(x) = 0 なら f(x) ∈ (p^(n+1))A
よって、(p^n)x = (p^(n+1))y となる y ∈ A がある。
よって、x = py
よって、Ker(g) ⊂ pA である。
逆の包含関係は明らかであるから Ker(g) = pA である。
よって、(p^n)A/(p^(n+1))A は A/pA に同型である。
証明終
0779Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/20(日) 23:37:39.40
命題 343
A を単項イデアル整域とし、p をその素元(>>599)とする。
n ≧ 1 を整数とする。
χ(A/(p^n)A) = Ann(A/(p^n)A) = (p^n)A である。

証明
A-加群の列 A ⊃ pA ⊃ ... ⊃ (p^n)A を考える。
>>778より、各 (p^(i-1))A/(p^i)A、i = 1、．．．、n は A-加群として単純である。
よって length(A/(p^n)A) = n である。
よって、χ(A/(p^n)A) = (p^n)A でる。
他方、Ann(A/(p^n)A) = (p^n)A である。
証明終
0780Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/20(日) 23:54:54.31
命題 344
A を単項イデアル整域とし、M を A-巡回加群(>>636)とする。
M の任意の A-部分加群は A-巡回加群である。

証明
M の生成元を x とする。
N を M の A-部分加群とする。
I = {a ∈ A； ax ∈ N} は A のイデアルである。
I = rA、r ∈ A とする。
rx ∈ N である。
y = rx とおく。
任意の z ∈ N は z = ax、a ∈ A と書ける。
a ∈ rA であるから a = rs となる s ∈ A がある。
z = rsx = sy
よって、N = Ay である。
証明終
0781１３２人目の素数さん2011/11/21(月) 00:03:26.48
kummer

謝れ
0782１３２人目の素数さん2011/11/21(月) 00:55:03.07
熊熊
0783猫は一匹１８０円 ◆MuKUnGPXAY 2011/11/21(月) 00:57:08.93
>>781
コラ、叩くゾ。

猫
0784Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/21(月) 01:50:27.97
命題 345
A を単項イデアル整域とし、p をその素元(>>599)とする。
M ≠ 0 を有限生成の p-準素加群(>>677)とする。
このとき、整数 n ≧ 1 があり Ann(M) (>>600) = (p^n)A である。

証明
Ann(M) = aA とする。
M は有限生成の p-準素加群であるから (p^m)M = 0 となる整数 m ≧ 1 がある。
よって、p^m ∈ aA である。
よって、aA = (p^n)A となる整数 n ≧ 0 がある。
M ≠ 0 だから n ≧ 1 である。
証明終
0785Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/21(月) 02:06:30.10
命題 346
A を単項イデアル整域とし、M ≠ 0 を A 上の有限生成捩れ加群(>>596)とする。
>>696より Ass(M) (>>602) は空でない有限集合である。
>>697より、各 pA ∈ Ass(M) に対して M(p) (>>678) ≠ 0 であり、
M は加群として M(p)、pA ∈ Ass(M) の直和となる。
このとき、Ann(M) (>>600) は Ann(M(p))、pA ∈ Ass(M) の積である。

証明
Ass(M) = {p_1、．．．、p_r} とする。
a ∈ Ann(M) とする。
各 (p_i)A、i = 1，．．．、n に対して aM(p_i) = 0 である。
>>784より整数 n_i ≧ 1 があり Ann(M(p_i)) = (p^(n_i))A である。
よって、a は各 p^(n_i) で割れる。
よって、a は b = Πp^(n_i)、i = 1，．．．、n で割れる。
よって、Ann(M) ⊂ bA である。
逆に各 i に対して bM(p_i) = 0 であるから bM = 0 である。
よって、bA ⊂ Ann(M) である。
よって、Ann(M) = bA = Π(p^(n_i))A、i = 1，．．．、n
証明終
0786Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/21(月) 02:21:29.42
命題 347
A を単項イデアル整域とし、M ≠ 0 を A 上の巡回(>>636)捩れ加群(>>596)とする。
このとき、χ(M) = Ann(M) である。

証明
>>696より Ass(M) (>>602) は空でない有限集合である。
Ass(M) = {p_1、．．．、p_r} とする。
>>697より、各 (p_i)A に対して M(p_i) (>>678) ≠ 0 であり、
M は加群として M(p_i)、i = 1，．．．、n の直和となる。
>>692より χ(M) = Πχ(M(p_i)) である。
他方、>>785より Ann(M) = ΠAnn(M(p_i)) である。
>>780より 各 M(p_i) は A-巡回加群である。
よって、>>779より各 i に対して χ(M(p_i)) = Ann(M(p_i) である。
よって、χ(M) = Ann(M) である。
証明終
0787Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/21(月) 02:35:02.82
命題 348
A を単項イデアル整域とし、p をその素元(>>599)とする。
M を有限生成 p-準素加群(>>677)とする。
χ(M) (>>657) = Ann(M) (>>600) なら M は A-巡回加群(>>636)である。

証明
χ(M) = (p^n)A、Ann(M) = (p^m)A とする。
x ∈ M に対して ann(x) (>>600) = (p^r)A のとき r を x の指数と呼ぶことにする。
(p^m)x = 0 であるから r ≦ m である。
よって M には指数が最大の元 z が 存在する。
ann(z) = (p^s)A とする。
M の任意の元 x の指数 ≦ s であるから (p^s)x = 0 である。
よって、(p^s)M = 0 である。
よって、よって、s ≧ m である。
他方、(p^m)z = 0 であるから m ≧ s である。
よって、 m = s である。
よって、χ(Az) = (p^m)A = Ann(M) である。

M が A-巡回加群でないとすると M ≠ Az である。
χ(M) = χ(Az)χ(M/Az) である。
χ(M/Az) ≠ A であるから χ(M) ≠ χ(Az) である。
χ(Az) = Ann(M) であったからこれは矛盾である。
証明終
0788Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/21(月) 04:34:40.92
命題 349
A を単項イデアル整域とし、M ≠ 0 を A 上の有限生成捩れ加群(>>596)とする。
x ∈ M とする。
M = Ax となるためには χ(M) = ann(x) となることが必要十分である。

証明
必要性：
M = Ax とする。
>>786より χ(M) = Ann(M) である。
>>653より ann(x) = Ann(M) である。
よって、χ(M) = ann(x) である。

十分性：
χ(M) = ann(x) とする。
>>651より Ax は A/ann(x) に同型である。
>>786より χ(A/ann(x)) = ann(x)
>>667より χ(M) = χ(M/Ax)χ(Ax)
よって、ann(x) = χ(M) = χ(M/Ax)χ(Ax) = χ(M/Ax)χ(A/ann(x)) = χ(M/Ax)ann(x)
よって、χ(M/Ax) = A
よって、M = Ax である。
証明終
0789Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/21(月) 04:39:29.15
命題 350
A を単項イデアル整域とし、M ≠ 0 と N ≠ 0 を A 上の巡回(>>636)捩れ加群(>>596)とする。
Ann(M) = aA、Ann(N) = bA とし、a と b は互いに素(>>679)とする。
このとき、M と N の直和加群 L は A 上の巡回捩れ加群である。

証明
記述を単純にするため M と N を L の部分加群と見なす。
M = Ax、N = Ay とする。
ab(x + y) = abx + aby = 0
c(x + y) = 0、c ∈ A とする。
cx = -cy ∈ M ∩ N = {0}
よって、c ∈ aA、c ∈ bA
a と b は互いに素だから c ∈ abA である。
よって、z = x + y とおくと ann(z) = abA
一方、>>786より χ(M) = aA、χ(N) = bA
>>692よりχ(L) = χ(M)χ(N) = (aA)(bA) = abA = ann(z)
よって、>>788より L = Az である。
証明終
0790Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/21(月) 04:43:17.30
命題 351
A を単項イデアル整域とし、M ≠ 0 を A 上の有限生成捩れ加群(>>596)とする。
このとき、χ(M) = Ann(M) であれば M は A 上の巡回加群(>>636)である。

証明
>>696より Ass(M) (>>602) は空でない有限集合である。
Ass(M) = {p_1、．．．、p_r} とする。
>>697より、各 (p_i)A に対して M(p_i) (>>678) ≠ 0 であり、
M は加群として M(p_i)、i = 1，．．．、n の直和となる。
>>692より χ(M) = Πχ(M(p_i)) である。
他方、>>785より Ann(M) = ΠAnn(M(p_i)) である。
>>694より χ(M(p_i)) は (p_i)A の冪である。
>>784より Ann(M(p_i)) は (p_i)A の冪である。
よって、素元分解の一意性(>>609)より各 i に対して χ(M(p_i)) = Ann(M(p_i))である。
>>787より M(p_i) は A 上の巡回加群である。
よって、>>789より M は A 上の巡回加群である。
証明終
0791Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/21(月) 04:55:02.50
命題 352
K を抽象体(>>197)とし、V ≠ 0 を K 上の有限次元の線型空間とする。
σ：V → V を K-線型写像とする。
V を σ により K[X]-加群と見なす(>>736)。
σ の最小多項式が σ の固有多項式であれば V は K[X]-巡回加群(>>636)である。

証明
f(X) を σ の最小多項式とする。
>>740より χ(V) = (f(X)) である。
>>741より Ann(V) = (f(X)) である。
よって、χ(V) = Ann(V) である。
よって、>>790より V は K[X]-巡回加群である。
証明終
0792Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/21(月) 05:16:56.22
命題 353
L/K を有限(>>87)な巡回拡大(>>491)とする。
n = [L : K] (>>87) とする。
σ をそのGalois群(>>251)の生成元とする。
このとき θ ∈ L で θ、σ(θ)、．．．、σ^(n-1)(θ) が L の K 上の基底となるようなものが
存在する。

証明
>>751より、1、σ、．．．、σ^(n-1) は Hom(L、L) (>>749)の元として
K 上１次独立(>>707)である。
よって、g(X) ≠ 0 を n - 1 次以下の K[X] の多項式としたとき g(σ) = 0 とはならない。
一方、σ^n = 1 であるから X^n - 1 は K-線型写像として σ の最小多項式である。
よって、>>745より σ の固有多項式は X^n - 1 である。
よって、>>791より L は K[X]-巡回加群(>>636)である。
よって、θ ∈ L をその生成元とする。
>>651より L は K[X]-加群として K[X]/(X^n - 1) に同型である。
ρ：K[X] → K[X]/(X^n - 1) を標準的な準同型とする。
ρ(X) = z とおく。
>>96より 1、z、．．．、z^(n-1) は K 上の線型空間としての K[X]/(X^n - 1) の基底である。
1、z、．．．、z^(n-1) は上記の同型で θ、σ(θ)、．．．、σ^(n-1)(θ) に対応する。
よって、本命題の主張が得られる。
証明終
0793Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/21(月) 05:46:46.59
>>792と同じ条件に次の条件を追加する。
n = [L : K] は Ω(>>82)の標数(>>214)で割れないとする。
K は 1 の原始 n 乗根(>>520) ζ を含むとする。

a_0、a_1、．．．、a_(n-1) を K の元として、
α = a_0θ + a_1σ(θ) + ．．．+ a_(n-1)σ^(n-1)(θ) とおく。

σ(α) = ζα となる α を求めてみよう(>>756参照)。

σ(α) = a_0σ(θ) + a_1σ^2(θ) + ．．．+ a_(n-2)σ^(n-1)(θ) + a_(n-1)θ
= a_0ζθ + a_1ζσ(θ) + ．．．+ a_(n-1)ζσ^(n-1)(θ)

よって、
a_(n-1) = a_0ζ
a_0 = a_1ζ
a_1 = a_2ζ
．．．
．．．
a_(n-2) = a_(n-1)ζ

よって、
a_1 = (a_0)/ζ
a_2 = (a_0)/ζ^2
．．．
．．．
a_(n-2) = (a_0)/ζ^(n-2)
a_(n-1) = (a_0)ζ = (a_0)/ζ^(n-1)

よって、a_0 = 1 とすれば
α = θ + (1/ζ)σ(θ) + ．．．+ (1/ζ^(n-1))σ^(n-1)(θ)
0794１３２人目の素数さん2011/11/21(月) 05:59:57.68
クマー

失業者w

0795猫は一匹１８０円 ◆MuKUnGPXAY 2011/11/21(月) 09:54:31.00
>>794
失業者はワシや。

猫
0796Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/21(月) 11:22:34.34
>>793をヒントにして次の定義をする。

定義 354
n ≧ 1 を Ω(>>82)の標数(>>214)で割れない整数とする。
L/K を n 次の巡回拡大(>>491)とする。
σ をそのGalois群(>>251)の生成元とする。
K は 1 の原始 n 乗根(>>520) ζ を含むとする。
1 の n 乗根(>>520)全体を μ_n とする。
ω ∈ μ_n と α ∈ L に対して
u(ω、α) = α + ωσ(α) + ．．．+ (ω^(n-1))σ^(n-1)(α) と書く。
これを (ω、α) に関するLagrangeの分解式(Lagrange resolvent)と呼ぶ。
0797Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/21(月) 11:41:04.64
命題 355
n ≧ 1 を Ω(>>82)の標数(>>214)で割れない整数とする。
L/K を n 次の巡回拡大(>>491)とする。
σ をそのGalois群(>>251)の生成元とする。
K は 1 の原始 n 乗根(>>520) ζ を含むとする。
1 の n 乗根(>>520)全体を μ_n とする。
ω ∈ μ_n と α ∈ L に対して
u(ω、α) をLagrangeの分解式とする(>>796)。
このとき以下が成り立つ。

1) σ(u(ω、α)) = (1/ω)u(ω、α)

2) 各整数 k、0 ≦ k ≦ n - 1 に対して Σ(1/ω^k)u(ω、α) = nσ^k(α)
ここで和は全ての ω ∈ μ_n に渡る。

証明
1)
u(ω、α) = α + ωσ(α) + ．．．+ (ω^(n-1))σ^(n-1)(α) である。
σ(u(ω、α)) = σ(α) + ωσ^2(α) + ．．． + ω^(n-2))σ^(n-1)(α) + (ω^(n-1))α
= (1/ω)u(ω、α)

2)
(1/ω^k)u(ω、α)
= (1/ω^k)α + (1/ω^(k-1))σ(α) + ．．．+ σ^k(α) + ．．．+ (ω^(n-k-1))σ^(n-1)(α)

一方、ω ≠ 1 のとき 1 + ω + ．．．+ ω^(n-1) = 0 である。
ω = 1 のとき 1 + ω + ．．．+ ω^(n-1) = n である。

よって、Σ(1/ω^k)u(ω、α) = nσ^k(α)
証明終
0798Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/21(月) 11:58:42.75
命題 356
>>797と同じ条件とする。
ω ∈ μ_n と α ∈ L に対して u(ω、α)u(1/ω、α) ∈ K である。

証明
β = u(ω、α)u(1/ω、α) とおく。
>>797より、
σ(u(ω、α)) = (1/ω)u(ω、α)
σ(u(1/ω、α)) = ωu(ω、α)
よって、σ(β) = β
よって、Galois理論の基本定理(>>451)より β ∈ K である。
証明終
0799Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/21(月) 12:15:47.26
命題 357
>>797と同じ条件とする。
L = K(α) とする。
β_i = u(ζ^i、α))、i = 0、．．．、n - 1 とおく。
このとき (β_i)^n ∈ K であり、L = K(β_0、．．．、β_(n - 1)) である。

証明
>>797の 1) より σ(β_i) = (1/ζ^i)β_i
よって、σ((β_i)^n) = (β_i)^n
よって、Galois理論の基本定理(>>451)より (β_i)^n ∈ K である。

>>797の 2) において k = 0 とすれば β_0 + ．．．β_(n-1) = nα
n は Ω(>>82)の標数で割れないから L において n ≠ 0 である。
よって、α = (1/n)(β_0 + ．．．β_(n-1))
各 β_i ∈ K だから L = K(α) = K(β_0、．．．、β_(n - 1)) である。
証明終
0800Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/21(月) 12:33:40.97
>>799
β_0 = u(1、α) = α + σ(α) + ．．．+ σ^(n-1)(α) は σ で不変だから K の元である。
よって、L = K(β_1、．．．、β_(n - 1))

>>798より u(ζ^i、α)u(ζ^(n-i)、α) ∈ K
1 ≦ i ≦ n - 1 のとき (β_i)(β_(n-i)) ∈ K

よって、L = K(β_1、．．．、β_(n - 1)) において
β_i(1 ≦ i ≦ n - 1) を K に添加したら β_(n-i) は添加する必要はない。
0801Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/21(月) 13:39:18.36
命題 358
>>797と同じ条件とする。
u(1/ζ、α) ≠ 0 となる α ∈ L が存在する。
このとき、β = u(1/ζ、α) とおけば β^n ∈ K で L = K(β) である。

証明
>>751より、1、σ、．．．、σ^(n-1) は Hom(L、L) (>>749)の元として
K 上１次独立(>>707)である。
よって、u(1/ζ、α) ≠ 0 となる α ∈ L が存在する。
>>797より σ(β) = ζβ
よって、σ(β^n) = β^n
よって、Galois理論の基本定理(>>451)より β^n ∈ K である。

β の K 上の最小多項式を g(X) とすると、
β、σ(β)、σ^2(β)、．．．、σ^(n-1)(β) は g(X) の根である。
一方、σ^i(β) = (ζ^i)β、0 = 1、．．．、n-1 であるから
列 β、σ(β)、σ^2(β)、．．．、σ^(n-1)(β) は
β、ζβ、(ζ^2)β、．．．、(ζ^(n-1))β に等しい。
ζ は 1 の原始 n 乗根(>>520)であり、β ≠ 0 だから、これ等は相異なる。
よって、g(X) の次数は n である。
よって、K = L(β) である。
証明終
0802Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/21(月) 13:58:56.31
>>801は>>756の別証を与えている。
両方とも σ(β) = ζβ となる β ≠ 0 の存在を証明している。
>>756の証明は概念的であり、>>801の証明は計算的である。
>>756の証明の方が自然だと思うがほとんどのGalois理論の教科書は>>801の方法を採用している。

>>801は次のように考えると分かりやすい。
σ(β) = ζβ を (1/ζ)σ(β) = β と考える。
T = (1/ζ)σ とおく。
T：L → L は K-線型写像で T(β) = β である。
T^n = 1 であるから T^n - 1 = (T - 1)(1 + T + ．．．+ T^(n-1)) = 0
よって、S = 1 + T + ．．．+ T^(n-1) とおくと (T - 1)S = TS - S = 0
よって、TS = S
一方、1、σ、．．．、σ^(n-1) は K 上１次独立であるから
S ≠ 0 である。
よって、S(α) ≠ 0 となる α がある。
TS(α) = S(α) であるから β = S(α) とおけばよい。
S(α) = u(1/ζ、α) である。
0803Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/21(月) 16:00:28.74
test
0804Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2011/11/21(月) 16:05:13.86
命題 359
L/K を有限なGalois拡大で、そのGalois群 G は可解であるとする。
G の位数 n はΩ(>>82)の標数で割れないとする。
このとき、L/K は正則(>>585)な冪根拡大(>>512) E/K に含まれる。

証明
G = G_0 ⊃ G_1 ⊃ ．．． ⊃ G_r = {1} を G の組成列とする。
G は可解群だから>>564より
各 G_(i-1)/G_i、i = 1、．．．、r は素数位数である。
各 G_i、i = 0、．．．、r の固定体(>>483)を K_i とする。
>>451と>>473と>>475より
K = K_0 ⊂ K_1 ⊂ ．．．⊂ K_r = L であり、
各 K_i/K_(i-1)、i = 1、．．．、r は素数次の巡回拡大(>>491)である。
その次数は n の素因数である。
p_1、．．．、p_s を n の相異なる素因数とする。
m = (p_1)．．．(p_s) とし、ζ を 1 の原始 m 乗根とする。
>>503より 各 K_i(ζ)/K_(i-1)(ζ) はGalois拡大であり、
>>505より、そのGalois群は K_i/K_(i-1) のGalois群の部分群に同型である。
よって、各 K_i(ζ)/K_(i-1)(ζ) は 0 次または素数次の巡回拡大である。
よって、>>756より各 K_i(ζ)/K_(i-1)(ζ) は正則な単冪根拡大である。
K ⊂ K(ζ) ⊂ K_1(ζ) ⊂ ．．．⊂ K_r(ζ) = L(ζ) だから
L(ζ)/K は正則な冪根拡大で L/K を含む。
証明終
■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています