>>4
[(K-x^2)^2+A^2x^2]=(-K+x^2 -iAx)(-K+x^2 +iAx)=(x-α)(x-β)(-K+x^2 +iAx)
α,β = { iA ± √(K-A^2) }/2

K＞0, K≠A^2 なら α,βはガウス平面上半分にありかつ重複しない。
留数定理より
∫1/[...] = 2πi/[(α-β)*2iAα] + 2πi/[(β-α)*2iAβ]
=π(β-α)/{(α-β)*Aαβ} = -π/(Aαβ}) = π/(AK)
途中で
-K+α^2 = +iAα
-K+β^2 = +iAβ
αβ= -K
の関係を使った。

他の場合分けは任せた。