高校生のための数学の質問スレPART313
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0001１３２人目の素数さん
2011/10/12(水) 20:51:16.72高校生のための数学の質問スレPART312
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1317469048/
【質問者必読！】
まず>>1-3をよく読んでね
数学@2ch掲示板用 掲示板での数学記号の書き方例と一般的な記号の使用例
http://mathmathmath.dotera.net/
・まずは教科書、参考書、web検索などで調べるようにしましょう。（特に基本的な公式など）
・問題の写し間違いには気をつけましょう。
・長い分母分子を含む分数はきちんと括弧でくくりましょう。
（× x+1/x+2 ； ○((x+1)/(x+2)) ）
・丸文字、顔文字、その他は環境やブラウザによりうまく表示できない場合があります。
どうしても画像を貼る場合はPCから直接見られるところに見やすい画像を貼ってください。
ピクトはPCから見られないことがあるので避けてください。
・質問者は名前を騙られたくない場合、トリップを付けましょう。 （トリップの付け方は 名前(N)に 俺！#oretrip ←適当なトリ)
・質問者は回答者がわかるように問題を書くようにしましょう。でないと放置されることがあります。
（変に省略するより全文書いた方がいい、また説明なく習慣的でない記号を使わないように）
・質問者は何が分からないのか、どこまで考えたのかを明記しましょう。それがない場合、放置されることがあります。
（特に、自分でやってみたのにあわないので教えてほしい、みたいなときは必ず書くように）
・970くらいになったら次スレを立ててください。
0153１３２人目の素数さん
2011/10/15(土) 01:53:12.33∞じゃないか？
0154１３２人目の素数さん
2011/10/15(土) 02:01:24.04分母は負の数をとりながら0へ行く
0155１３２人目の素数さん
2011/10/15(土) 02:06:07.22えっ
グラフを描くにあたって
1/(1-x)=(-1)/(x-1) としたのですが、
このグラフって第２と第４象限にありませんか？
+0だから第４象限の先は-∞
と思ったんですが･･･
0156１３２人目の素数さん
2011/10/15(土) 02:18:11.91まずは
f(x)とg(x)で個々に考えてそれぞれの最小値を出してみてはどうでしょう？
0157１３２人目の素数さん
2011/10/15(土) 02:32:45.51(-1)/(x-1) …(*)
のx→1+0にするとき
分母の値は小さくなっていくんだけど
たとえば
x=1.1なら(*)は
-1/0.1=-10
x=1.01なら(*)は
-100
になるよね。
つまり、マイナスがついたまま値はどんどん大きくなっていく。
0158１３２人目の素数さん
2011/10/15(土) 02:53:45.02y=(-1)/x、このグラフが第２と第４象限にある。
xを+側から0に近付ければyは-∞へ向かう。
これをx軸方向に+1平行移動したy=(-1)/(x-1)に同じことを考えれば
勿論xを+側から+1に近付ければyは-∞へ向かう。
0159１３２人目の素数さん
2011/10/15(土) 06:37:34.99動点Pが正五角形ABCDEの頂点Aから出発して正五角形の周上を動くものとする。
Pがある頂点にいるとき、１秒後にはその頂点に隣接する２頂点のどちらかにそれぞれ
確率１/２で移っているものとする。
（３）PがAから出発して９秒後にAにいる確率をもとめよ。
解答
A，B，C，D，Eの位置をそれぞれ５ｍ、５ｍ+１，５ｍ+２，５ｍ+３，５ｍ+４（mは整数）
とする。ｎ回の移動のうち、反時計回りにｋ回、時計回りにｎ－ｋ回移動した時、Pの位置
は ｋ-（ｎ-ｋ）＝２ｋ-ｎ
ｎ＝９のとき２ｋ-９＝５ｍとすると、ｍ＝（２ｋ-９）/５
ｍは整数だから、０≦ｋ≦９よりｋ＝２，７
どうして５ｍ、５ｍ+１…５ｍ+４とおくと解くのか、その理由が知りたいです
あと別の解き方を考えられたのならそれも教えて欲しいです
0160１３２人目の素数さん
2011/10/15(土) 07:02:51.07他の解き方だったら樹形図書けばいいんじゃね？
0161１３２人目の素数さん
2011/10/15(土) 09:26:09.08五角形の点の移動を、数直線上の点の動きに置き換えているのと同じ。
なぜそう置くのかと言われると、難関大学の入試問題で確率を扱う場合、n回目までの試行を考える場合が多いから。
この問題の場合は直接書き出すこともできるけれど、後々を考慮して何回目の試行を扱ったとしても解けるような解法をとっているのだと思う。
0162１３２人目の素数さん
2011/10/15(土) 09:54:58.80>>158
ご丁寧に解説して下さり、ありがとうございます。
なるほど！と思いました。
答えも一応合っていたようで、安心しました。
0163１３２人目の素数さん
2011/10/15(土) 11:11:03.63いま、三角形ABCの外接円の半径をR,内接円の半径をrとするとき、
点Oをどのようにとっても常にOP+OQ+OR=R+rが成り立つことを示せ。
お願いします。
0164１３２人目の素数さん
2011/10/15(土) 12:13:54.74g(x)の導関数を求めよ という問題で、
端0,x](e^x)f'(t)dt と 端0,x](e^t)f'(t)dt
に分けて、前半は微分すると e^xf'(x) になると思うんですが、
後半をどうしていいのかわかりません。
よろしくお願いします。
0165１３２人目の素数さん
2011/10/15(土) 12:14:41.30なにかしらの世の中の為になったんだとは思うが。
今のところ数学者たちの知的余興としか思えん。
0166猫は口先だけ ◆MuKUnGPXAY
2011/10/15(土) 12:20:59.25複素数体は代数閉体なので、従って任意の多項式函数の解はソコで求まります。
だからとても有難い存在です。
猫
0167１３２人目の素数さん
2011/10/15(土) 12:22:38.050168150
2011/10/15(土) 12:36:11.21f(X)の最小値は、aに3を代入するのは違いますよね･･･
どうしよう･･･
0169１３２人目の素数さん
2011/10/15(土) 12:51:11.40f(x)の最小値は0≦x≦4,2<a<4よりx=aのとき-a^2+3
g(x)の最小値は0≦x≦4,2<a<4よりx=4のとき-8a/3+3
0170１３２人目の素数さん
2011/10/15(土) 13:13:07.27宜しくお願いします。
0171１３２人目の素数さん
2011/10/15(土) 13:13:16.13どうして最小値の時にaを代入するんですか？
0172１３２人目の素数さん
2011/10/15(土) 13:16:03.24どこに分母があるというのか？
0173170
2011/10/15(土) 13:19:05.25表記が間違えていたらすみません。
x/2^x^2 です。
0174１３２人目の素数さん
2011/10/15(土) 13:20:31.66かっこを使え
0175１３２人目の素数さん
2011/10/15(土) 13:20:55.92平方完成
0176170
2011/10/15(土) 13:28:40.09x/2^(-x^2) です
0177１３２人目の素数さん
2011/10/15(土) 13:30:01.80>>169ではないのだが
二次関数f(x)=X^2-2ax+3 これは下に凸のグラフが描かれる。
従って、x=aのときに極小かつ最小値をとる。
また、aおよびｘの定義域から、aの取りうる値は常にｘの取りうる値であるから、上記2次関数の最小値はx=aのときである。
0178170
2011/10/15(土) 13:35:46.310180171
2011/10/15(土) 13:57:37.28f(x)=x^2＋2x-1 (x≦1/2) , x^2-2x＋１ (x≧1/2)とする。
点(t,t^2-2t＋1)における曲線y=f(x)の接線をlとする。ただしtはt＞1/2の定数
(1) lの方程式をtを用い表わせ
(2) lがx<1/2の範囲にある点Pにおいて曲線y=f(x)と接する時、点Pの座標と直線lの方程式を求めよ
(3) (2)のとき直線lと曲線f(x)で囲まれた図形の面積を求めよ。
解答は
(１)…y＝(２t－２)x－ｔ2＋１
(２)…Ｐ(－1/2、－７/4)、y＝x－5/4
(３)…2/3
です
他スレでいただいたヒント
1.ド基礎、教科書読もう。
2.1/2未満の数sをおく。sでの接線の傾きと座標をだす。1でもとめた接線の式の傾きにs傾きが等しいことからt,sの関係式を、また求めた座標が接線を通ることを利用して方程式をとく。
3.1/2で二つにくぎって積分
1の途中から挫折してます･･･
2、3は全くわかりません
どなか計算過程を教えてください
面倒でごめんなさい
0181１３２人目の素数さん
2011/10/15(土) 14:03:08.16問題が鋭角三角形でなく正三角形ではないか
tp://www.ies.co.jp/chugaku/study3/minlenwaj/minlenwaj.html
>164
積分変数以外の文字は外に出してよい
積分変数だけの関数になったら、まとめて考えればよい
(e^t)f'(t)=h(t)とおく
0182１３２人目の素数さん
2011/10/15(土) 14:03:21.390183171
2011/10/15(土) 14:04:15.77どなたか(2)から教えてくださいm(__)m
0184１３２人目の素数さん
2011/10/15(土) 14:04:30.75xが∞に近づく時分母0、分子∞に近づくよ
0186170
2011/10/15(土) 14:07:43.24ありがとうございます。 そうすると全体の値としてはどうなるのでしょうか？
0187１３２人目の素数さん
2011/10/15(土) 14:09:39.01こっちか
厳密に証明したいなら
log(lim・・・)の計算するか
logx<xにx=2^(t^2)でも入れてはさみうちするか
思いついたのはこれくらい
0188１３２人目の素数さん
2011/10/15(土) 14:10:08.67これ間違い
0189170
2011/10/15(土) 14:13:52.76ありがとうございます。
対数を使って頑張ってみます。
去年の理科大の問題なのですが、グラフが描けずに困っておりました。
0190１３２人目の素数さん
2011/10/15(土) 14:17:48.90(1)で求めた接線とf(x)=x^2＋2x-1 (x≦1/2)が接すればいいから
＝で結んで判別式＝0
0191１３２人目の素数さん
2011/10/15(土) 14:18:50.06下の方法間違えた
(logx)/xに入れる
0192１３２人目の素数さん
2011/10/15(土) 14:28:39.95(2)x＜1/2の範囲で、y=f(x)上の点P(p,p^2+2p-1)、(ただしp＜1/2)における接線をpを使っ
て表す。この接線が(1)のlとなっているときのtとpを求める。
(3)グラフを描くといい。f(x)の式もlの式も２つの接点の座標もわかるので、積分する。
(f(x)の式はx=1/2を境にかわることに注意)
0193１３２人目の素数さん
2011/10/15(土) 15:00:34.73ありがとうございます
じっくり考えてみます
0194１３２人目の素数さん
2011/10/15(土) 15:24:58.66(1) f(x)=0が3個の異なる実数解をもつためには、cの値はどのような範囲にならなければならないか。
(2) f(x)=0が3個の相異なる整数解をもつことがあるかどうか調べよ。
(1)は、定数分離をして、グラフを書いて、答えは-9<c<13/27と求めることができたのですが、
(2)が、どうやって求めればよいかわかりません。
解法を教えてください。よろしくお願いします。
0195１３２人目の素数さん
2011/10/15(土) 15:52:24.02f(x)=0の相異なる整数解をα,β,γとすると
解と係数の関係より
α+β+γ=-5 …①
αβ+βγ+γα=3 …②
αβγ=-c …③
③と-9<c<13/27より、
-13/27<αβγ<9 …④
ここで、f(x)=0がx=0を解に持つとき他の2解が整数とならないため(要計算)
|αβγ|≧2 (∵0以外の相異なる3整数を選ぶと少なくとも1つは2以上)
これと④より、αβγは正の数となる
以下、2≦αβγ＜9と①を満たす3整数の組を探して、
それが②を満たすかどうか調べる
0196１３２人目の素数さん
2011/10/15(土) 15:54:26.97３つの整数解をもつとき、解と係数の関係よりcは整数である
c=0のときf(x)=x(x^2+5x+3)となり異なる３つの整数解をもたない
異なる３つの整数解をα,β,γとおくと解と係数の関係からαβγ=-c
c=-1,-2,-3,-4,-5,-7のとき
αβγ=-cを満たす異なる３つの整数は存在しない
c=-6のとき(α,β,γ)=(1,2,3)=(-1,-2,3)=(-1,2,-3)=(1,-2,-3)
c=-8のとき(α,β,γ)=(1,2,4)=(-1,-2,4)=(-1,2,-4)=(1,-2,-4)となる
あとはこれを計算して係数が一致すればいい
0197１３２人目の素数さん
2011/10/15(土) 15:56:26.640198１３２人目の素数さん
2011/10/15(土) 15:57:24.73(1) aは偶数であることを示せ。
(2)2次方程式f(x)=0は整数解を持たないことを示せ。
(1)は証明できたのですが、
(2)はどうやっていいかわかりません。
判別式を使ってみたのですが、
b^2<acで止まってしまいました。
どうすればよいのか、教えていただきたいです。
よろしくお願いいたします。
0199１３２人目の素数さん
2011/10/15(土) 16:00:40.29ありがとうございます！
しっかり考えます！
0200１３２人目の素数さん
2011/10/15(土) 16:01:47.25>>195の方、ありがとうございました！
0201１３２人目の素数さん
2011/10/15(土) 16:02:27.350202１３２人目の素数さん
2011/10/15(土) 16:11:00.60何でそんなめんどくさいことしてんの。
グラフ書いたんだから一つの解は求まって因数分解して終わりだろ。
0203１３２人目の素数さん
2011/10/15(土) 16:13:27.90cは奇数、
aは偶数、っていうことしか分からないので、
先に進めません...
0204１３２人目の素数さん
2011/10/15(土) 16:15:21.17(1)正の実数aと自然数mに対し、不等式[ma]/a≦m<[ma]+1/aを示せ。
(2)正の実数aとbが1/a+1/b=1を満たし、さらにある自然数mとnに対し、[ma]=[nb]が成り立つならば、aとbはともに有理数であることを証明せよ。
(1)は、証明できましたが、
(2)はさっぱりわかりません。
解法を教えていただきたいです。
よろしくお願いいたします！
0205１３２人目の素数さん
2011/10/15(土) 16:17:29.79そうですね！
ありがとうございます！
すぐに証明できました。
本当にありがとうございます。
0206１３２人目の素数さん
2011/10/15(土) 16:24:24.30また、取らないなら取らない説明はどのようにするのがベストですか？
0207１３２人目の素数さん
2011/10/15(土) 16:29:31.39その条件なら、0を取ってもいいぞ
｢xの一次関数｣だったら、a≠0で、a=3b≠0よりb≠0
0208１３２人目の素数さん
2011/10/15(土) 16:31:11.90aが偶数、2bも偶数なんだから任意の整数xでax^2+2bxは偶数
よってcが奇数なのでf(x)=0は整数解をもたない
0209１３２人目の素数さん
2011/10/15(土) 16:34:04.12解をα
α(aα+2b)=-c
整数問題で考えるのは掛け算の形にするか大小関係
行き詰まったらこのどっちか作ればいい
0210１３２人目の素数さん
2011/10/15(土) 16:34:40.65なるほど…問題文には書いていないので0を取るかもしれませんね
ありがとうございます
0211１３２人目の素数さん
2011/10/15(土) 16:42:29.600213１３２人目の素数さん
2011/10/15(土) 16:54:32.07になぜなるのかわかりません
計算過程を是非教えてください
0214高校生
2011/10/15(土) 16:57:38.31また、FB上に点Gを、FA＝FGとなるようにとり、点H,IはそれぞれGE、BCの中点
、BEとHIの交点をJとする。
∠CBEが25度のとき、∠BJIの大きさを求めよ。
お願いします。わからないです。
0215１３２人目の素数さん
2011/10/15(土) 17:12:06.36問題集の回答が大雑把で、２つ目の＝で何が起きてるのかわかりません。
どなたかご回答お願いしますm(_ _)m
S=∫_0~π/2 {xcos2x-(-x)}dx
=π^2/4 -{π^2/8 +1/4 -(-1/4)}
=(π^2-4)/8
0216１３２人目の素数さん
2011/10/15(土) 17:41:54.51f(x)=x、g'(x)=1+cos2x として部分積分公式
∫[a,b]f(x)g'(x)dx = [f(x)g(x)]_a^b - ∫[a,b]f'(x)g(x)dx を使った感じ。
別のやり方でも構わないでしょ。
0217１３２人目の素数さん
2011/10/15(土) 17:59:56.58ああ、なるほど！部分積分すっかり忘れてました
ありがとうございます！m(_ _)m
0218１３２人目の素数さん
2011/10/15(土) 18:05:17.630219１３２人目の素数さん
2011/10/15(土) 18:12:45.66nPr=nCr*r!より、
nCr=nPr/r!=n(n-1)(n-2)…(n-r+1)/r!
これの分母分子に(n-r)!をかければ出てくる
[一行目：n個からr個選んで一列に並べる順列は、n個からr個選びそのr個を一列に並べる
場合の数と考えられるので]
0220１３２人目の素数さん
2011/10/15(土) 18:17:35.29うるさい
0221183
2011/10/15(土) 18:35:07.83ごめんなさい、やっぱりわかりません･･･
0223１３２人目の素数さん
2011/10/15(土) 18:41:34.48マジで頭悪いんだからさ、ズルしようなんて思わないで教科書読むところからやりなさいよ
みんな基礎かためてから問題解いてるの。
マンツーマンで教えるでもなきゃこれ以上簡単に書きようがないよ。
計算のせろ計算のせろってうるさいけど、お前じゃ途中計算見たって意味理解出来ないよ。
0224１３２人目の素数さん
2011/10/15(土) 18:44:05.70＞点(t,t^2-2t＋1)における曲線y=f(x)の接線をlとする。ただしtはt＞1/2の定数
＞
問題書いてあるだろ。
0225１３２人目の素数さん
2011/10/15(土) 18:45:48.25x<1/2 のときに定義される関数はどれ？
その関数において、x = p のときに yの取る値は？
0226１３２人目の素数さん
2011/10/15(土) 18:49:44.64x＜1/2の範囲ではf(x)=x^2+2x-1だ。y=f(x)上の点Pのx座標をp(ただしp＜1/2)とすれば
y座標はそこへpを代入してf(p)じゃなイカ
0227１３２人目の素数さん
2011/10/15(土) 18:51:33.24(1)直線 5x+2y+6=0 に平行
(2)直線 3x+y-9=0 に垂直
交点の座標と 5x+2y+6=0 の傾きを求めて計算したんですが答えが合いません。
教えてください。
0228１３２人目の素数さん
2011/10/15(土) 18:57:13.34一部書き間違えました。
２直線2x-y+1=0、3x+y-9=0 の交点を通る直線のうち、次の条件を満たす直線の方程式を求めよ。
(1)直線 5x+2y+6=0 に平行
(2)直線 3x+y-9=0 に垂直
交点の座標と5x+2y+6=0 の傾きを求めて計算したんですが答えが合いません。
教えてください。
0229１３２人目の素数さん
2011/10/15(土) 19:07:39.60＞(1)直線 5x+2y+6=0 に平行
＞(2)直線 3x+y-9=0 に垂直
交点座標を(a.b)とすると
1. 5(x-a)+2(y-b)=0
2.(x-a)-3(y-b)=0
0230１３２人目の素数さん
2011/10/15(土) 19:15:57.46まず2x-y+1=0と3x+y-9=0の交点を求めるんじゃないんですか？
0231１３２人目の素数さん
2011/10/15(土) 19:19:28.54とりあえずどうやったか書こうよ
計算全部書いて下さいみたいなのめんどくさいだろ
0232１３２人目の素数さん
2011/10/15(土) 19:20:04.170233１３２人目の素数さん
2011/10/15(土) 19:20:32.26まず2x-y+1=0と3x+y-9=0の交点を求め、その点を通ることと傾きの情報から直線の式を求める。
どこかでミスをしていると思われる。
0234１３２人目の素数さん
2011/10/15(土) 19:20:37.84そうです。もとめた交点座標をaとbに突っ込んでください。計算するの面倒だったんでそう書きました。
0235１３２人目の素数さん
2011/10/15(土) 19:27:45.37交点(8/5,21/5)
傾き-5/2
代入して、y-21/5=-5/2(x-8/5)
これを解いてy=-5x+29になったんですが、正しい答えは25x+10y-82=0です。
0236１３２人目の素数さん
2011/10/15(土) 19:27:53.16接線の方程式は (2p+2)x-p^2-1 になりました
Lの式を使って解いてますが、解けません･･･
0237１３２人目の素数さん
2011/10/15(土) 19:32:39.29xの係数見てどう考えても自分の計算がおかしいと思わなかったのか？
0238１３２人目の素数さん
2011/10/15(土) 19:33:09.49傾き-5/2じゃなくなってるじゃなイカ！
0239１３２人目の素数さん
2011/10/15(土) 19:34:08.88代入したら答え出ました。
5(x-a)+2(y-b)=0はどっからきたんですか？
0240１３２人目の素数さん
2011/10/15(土) 19:35:41.48pで表した接線とtで表した接線が同じものなんだから
二つの接線の式の係数を比較してtとpを求めたらええやん。
0241１３２人目の素数さん
2011/10/15(土) 19:40:06.565x+2y+6=０に平行というのみてなんも思わないのか。
0242１３２人目の素数さん
2011/10/15(土) 19:43:40.14ごめんなさい
なにも思いません…教えてくれませんか？
0243１３２人目の素数さん
2011/10/15(土) 19:45:53.42では、傾き -5/2 で、点（a,b)を通る直線の方程式は？
0244１３２人目の素数さん
2011/10/15(土) 19:51:02.71平行の時は、x,yの係数そのまま
垂直の時は、係数入れ替えてどっちかにマイナス付ける
理由は自分で考えてくれ
0245１３２人目の素数さん
2011/10/15(土) 19:52:30.93y-b=-5/2(x-a)ですか？
0247１３２人目の素数さん
2011/10/15(土) 19:55:16.83その式の両辺に ２をかけて
5(x-a)+2(y-b)=0
と見比べてみたら？
0248１３２人目の素数さん
2011/10/15(土) 19:56:53.96y=(2t-2)x-t^2+1
y=(2p+2)x-p^2-1
この２直線が一致するなら、傾きどうし、y切片どうしがイコール
0249１３２人目の素数さん
2011/10/15(土) 19:58:19.52二つの式を＝で結ぶんじゃなくて
二つの式の傾き、切片をそれぞれ＝で結ぶ。
0250１３２人目の素数さん
2011/10/15(土) 19:59:38.335(x-a)+2(y-b)=0になりました！
最初に分数を消しちゃえばよかったんですね。
みなさんありがとうございました！
0251１３２人目の素数さん
2011/10/15(土) 20:11:57.87∴∞
0252１３２人目の素数さん
2011/10/15(土) 20:12:31.06p+t=1になりました･･
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