数学基礎論・数理哲学 その0
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0001１３２人目の素数さん
2011/10/08(土) 16:16:34.15・フレーゲによる算術の基礎づけ、及び、
ラッセルによる逆理の指摘
・ヒルベルトによる解析学の無矛盾性証明の計画
”ヒルベルト・プログラム”の提案、及び
ゲーデルの不完全性定理による破綻宣告
等、数学の基礎(foundation)に対する哲学的考察である。
特に、後者の不完全性定理の影響は大きく、数理論理学が
哲学から数学に飛躍する機会にもなったが、数学の基礎づけ
は、今なお重要な問題である。
なお、このスレッドは、基礎的(basic)な数学は取り扱わない。
基礎的な数学に関する質問は他のスレッドで行うよう
お願いしたい。
0002１３２人目の素数さん
2011/10/08(土) 16:28:41.59「ラッセルの逆理は、カントルの集合論の矛盾を指摘した」
実際には、ラッセルが示した逆理は、フレーゲの
「算術の基本法則」における体系に対するものであって
集合論に対するものではない。
集合論における集合の条件として、内包公理を挙げた場合
ラッセルのパラドックスが引き起こされることが知られているが、
カントルは自らの集合論において、内包公理を掲げていないので
「カントルの集合論」の矛盾を指摘したことにはならない。
0003１３２人目の素数さん
2011/10/08(土) 16:39:57.14「ゲーデルの不完全性定理は、
数学の無矛盾性の証明が
不可能であることを示した。」
実際には、ゲンツェンが自然数論の無矛盾性を証明している。
また、自然数論にゲーデル命題を公理として付け加えた体系では、
体系自身の無矛盾性を示す命題が証明できる。
ゲンツェンの無矛盾性証明は、自然数論にはない、
ある種の超限帰納法を用いている。
また、後者の体系はω矛盾であるので、
不完全性定理の成立の前提条件である
ω無矛盾性を満たさない。
0004１３２人目の素数さん
2011/10/08(土) 16:44:12.490005１３２人目の素数さん
2011/10/08(土) 16:49:21.06「数学基礎論とは、超数学(metamathematics)のことである。」
実際には、超数学というのは、ヒルベルトが解析学の
無矛盾性証明計画のために、解析学の体系自体を
形式的な記号操作として取り扱う数学の理論を指す。
「数学自体を研究対象とする」という解説がよくなされるが
そのような漠然としたものではない。
0006１３２人目の素数さん
2011/10/08(土) 16:55:03.60「上に書いていること」とは
具体的に何を指すか明確に示されたい。
0007１３２人目の素数さん
2011/10/08(土) 16:58:19.440008１３２人目の素数さん
2011/10/08(土) 17:01:16.92「数学基礎論とは、数理論理学の別名である。」
とある島国ではそのようなことになっているが、
本来は異なる。
「数学基礎論」の名称はフレーゲの「算術の基礎」や
ヒルベルト・ベルナイスの「数学の基礎」に
引き摺られたものであろう。
数理論理学の発展の動機が、数学の基礎付けにあった
ことは否定しようもないが、研究の動機と研究の成果は
異なるものであるから、今や数学の一分野となった
数理論理学を、哲学的動機に基づく数学基礎論の
名前で呼ぶのは適切でない。
なお、上記の文章は、数理論理学者が数学の基礎付けという
動機を抱くこと自体を否定するものではない。
0009１３２人目の素数さん
2011/10/08(土) 17:05:22.72本物の専門家のための、数理論理学のスレッドが
別に存在するので問題ないｗ
ここではクソスレらしく、数理論理学本来の話題は一切論じず
どうでもいい瑣末な話題のみ論じることとしたい。
その結果、クソスレのほうが繁盛しても、一切の責任は負わないｗ
0010１３２人目の素数さん
2011/10/08(土) 17:23:47.33数学基礎論・数理論理学 その9
ttp://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1317639944/
本スレが、公理的集合論、超数学、メタマス、數學木曾論等の
スレと異なり、正しい「数学基礎論」をその話題とする。
但し、数理論理学を論じるスレから「数学基礎論」の文字を
除きたいという一点において、私の意図は上記の対抗スレの
設置者と一致する。
「数学の基礎」という言葉の本来の意味を明確する意思もなく
ただ「なんか昔から数学基礎論と呼ばれてるから」とかいうだけで
「数学基礎論」という言葉を残すのは、知的怠慢以外の何者でもない。
0011１３２人目の素数さん
2011/10/08(土) 20:30:45.97＞自然数論にゲーデル命題を公理として付け加えた体系では、
＞体系自身の無矛盾性を示す命題が証明できる。
これ、誤り。
”ゲーデル命題の否定”を公理として付け加えた体系では
”体系自身の矛盾の証明の存在”を示す命題が証明できる
というのはいえるが。
ちなみに、もとの体系が無矛盾であれば、
ゲーデル命題の否定を公理に追加しても
無矛盾である。
0012１３２人目の素数さん
2011/10/08(土) 21:56:06.20「数学の無矛盾性を証明する！」
というヒルベルト・プログラムを
実現したい人にとっては意味があるが
単に数学としての数理論理学に興味が
ある人にとってはどうでもいいものだ
と思われ。
0013粋蕎 ◆C2UdlLHDRI
2011/10/08(土) 22:44:16.760015１３２人目の素数さん
2011/10/08(土) 22:54:15.840016１３２人目の素数さん
2011/10/08(土) 23:06:10.120017猫は優生論者 ◆MuKUnGPXAY
2011/10/08(土) 23:16:26.78貴殿の質問に対してはきちんとレスを返しました。従って今度は貴殿が
当方に対してきちんとレスをお返し願います。くれぐれも逃亡等はなさ
いませぬ様に願います。
猫
0018１３２人目の素数さん
2011/10/08(土) 23:57:51.22>但し、数理論理学を論じるスレから「数学基礎論」の文字を
>除きたいという一点において、私の意図は上記の対抗スレの
>設置者と一致する。
私怨でスレ立てたと自ら認めていやがる。
個人的な意見でスレを立てるんじゃない。
ある程度の人数の合意を得てから立てろや。
0019１３２人目の素数さん
2011/10/09(日) 09:36:45.37私怨？別に怨みはない。
その昔、竹内外史やらの
「ヒルベルト・プログラムマンセー！」
な記事を読んで、数学基礎論狂になった
爺ィの偏執狂的な態度に対して、
「あんたの時代はおわった」
といってやったまでのことｗｗｗｗｗｗｗ
0020１３２人目の素数さん
2011/10/09(日) 10:16:06.35（翻訳）
おめぇの質問にゃきっちりレス返してやったからな。
今度はおめぇがきっちりレス返せよ。
逃げんじゃねぇぞ。ゴルァ。
この程度の江戸弁はスラッと書けないと困る。
0021猫は優生論者 ◆MuKUnGPXAY
2011/10/09(日) 14:23:58.56猫
0022１３２人目の素数さん
2011/10/09(日) 14:35:39.59＞ワシのは普通の標準語や。
関西弁じゃねぇか（哄笑
0023１３２人目の素数さん
2011/10/09(日) 14:39:48.22>現実に世間では「数学基礎論」の方が通りが良い
>その名称が通用している現状はまず認めなければ。
こういうウソを平気でつくのが、●違いの腐れ数ヲタｗ
まず、「数学基礎論」という言葉を使用する行為が
あるイデオロギー、すなわち、ヒルベルト・プログラム
の遂行による数学の無矛盾性保障、の宣伝だという
ことを知るべき。
0024１３２人目の素数さん
2011/10/09(日) 14:40:48.48例えば、竹内外史はその顕著な例であるし、最近でも
田中一之はヒルベルト・プログラムの可能性に言及し
新井敏康はヒルベルト・プログラムから生まれた証明論
を主な研究対象としている。
彼等が、著書において「数学基礎論」という言葉を用いるのは
単に、現実に世間では「数学基礎論」の方が通りが良い、という
消極的な理由によるものではない、と考えられる。
0025１３２人目の素数さん
2011/10/09(日) 14:41:48.71>多くの人に分かってもらうために多くの人に定着している名称に妥協するのか、
>専門内の内輪の論理で最適な名称を固守して専門外との妥協を拒絶して行くのか
>どちらにするかという論争なのですね。
こういうミスリードを平気でやるのが、●違いの腐れ数ヲタｗ
現実には、一部の専門家が、数セミあたりで用いた言葉を
素人の数ヲタが勝手に「業界標準」と思い込んだための誤り。
しかも、その業界標準とやらも、もうン十年も前の話で
今時の話には全然疎いときているから始末が悪い。
0026１３２人目の素数さん
2011/10/09(日) 14:42:35.38証明論の研究者ならともかく、集合論やらモデル理論やら
再帰理論やらを研究している人間は「数学の基礎」なんて
別に意識しちゃいない。
いい加減、自分がヒルベルトの亡霊を信奉する
アナクロ野郎であることに気づけｗ
0027１３２人目の素数さん
2011/10/09(日) 14:44:41.82>この多弁さが物語るのは非数学者であること。
>クズ哲！
貴様も非数学者だろがｗ、腐れ数ヲタ！ｗｗｗｗｗｗｗ
0028１３２人目の素数さん
2011/10/09(日) 14:49:12.43>論理学や基礎論はそれ自体何の価値もない学問だ
価値の有無は、個々人の価値観による。
私が興味を持つのは、論理学でない"基礎論"とは何か、ということ。
例えばゲーデルの不完全性定理における算術化の議論は
上の御仁にとっては「算術であって論理学ではない」
ということであろうか？だとすれば、論理学という言葉を
あまりにも狭く解釈していると言わざるをえない。
素人は論理学を極端に狭く解釈する傾向があるが、
それは彼等が考える論理が所詮アリストテレスの時代の
三段論法程度のものでしかないからだろう。
0029１３２人目の素数さん
2011/10/09(日) 14:55:38.92>RPGツクールで遊んでいるようなもの
>基礎ではなく、数学とは別の何かだ
>ゲームの分析、こんなもんだ
世の中にはゲームやパズルの計算量の評価に
血道をあげている研究者もいるがね。
0030１３２人目の素数さん
2011/10/09(日) 16:57:44.67>数学基礎論は、素朴集合論における逆理の解消などを一つの動機として、
>19世紀末から20世紀半ばにかけて生まれ、発展した数学の一分野です。
>現在では、証明論、再帰的関数論、構成的数学、モデル理論、公理的集合論など、
>多くの分野に分かれ、極めて高度な純粋数学として発展を続けています。
上記の文章の後半２行は、実はゲーデル「不完全性定理」（岩波文庫）の
解説の文章(ｐ２６５）の盗用である。
「現在では、数理論理学は、証明論、再帰的関数論、構成的数学、
モデル理論、公理的集合論など、 多くの分野に分かれ、
極めて高度な純粋数学として発展を続けている。」
この文章の前には実は以下の文章がある。
「現在、わが国で「数学基礎論」という名前で呼ばれている学問は
海外では、数理論理学と呼ばれることの方が多く、「数学を基礎
付ける」ための学問というよりは、論理の構造、数学における
論理的構造などを研究する数学の分野となっているのである。」
つまり、盗用した人間は、著者の意図を否定して用いている。
0031１３２人目の素数さん
2011/10/09(日) 17:09:13.24ゲーデル「不完全性定理」（岩波文庫）の解説文
(p73)を引用するのが一番よいだろう。
（引用とは出典を明示することである）
「日本では、「数学基礎論」は「数理論理学」の意味で
使われることが多いが、ここではその意味ではなく
本来のドイツ語、英語の意味で使っている。つまり、
「数学基礎論」とは、１９世紀から２０世紀前半に
隆盛を極めた、数学を揺るぎない堅固な基礎の上に
おくことを目指す学問である。」
0032１３２人目の素数さん
2011/10/09(日) 17:13:07.53には以下の文章もある。
「ゲーデルの不完全性定理は19世紀に始まった
「数学の基礎づけ運動」、いわゆる「数学基礎論」
に実質的な終止符を打った歴史的定理である。」
「数学基礎論という運動の中心的位置を占め、
実質的に数学基礎論そのものとなった、
「ヒルベルト計画」の実行不可能性を示す
ことにより、ゲーデルの論文は、この基礎付け
運動に実質的終止符を打ってしまったのである。」
0033１３２人目の素数さん
2011/10/09(日) 17:25:36.56(A)数学全体を、その極く小さい一部分に還元する
という方針は、不完全性定理により、ほぼ潰えたが
(B)数学理論をより堅固だと皆が納得する基礎に還元する
という方針は、不完全性定理の影響を受けない、
とゲーデル自身は1938年の講演で述べている。
（ゲーデル「不完全性定理」（岩波書店)、p254）
0034１３２人目の素数さん
2011/10/09(日) 17:35:06.43「(B)数学理論をより堅固だと皆が納得する基礎に還元する」
の意味での無矛盾性証明は、個々人の哲学的、嗜好的問題
による意見の相違が生じるため、「万人の納得」が得られる
見込みは小さいだろう、と、ゲーデル「不完全性定理」
(岩波書店)の解説文には書かれている。
（ゲンツェンの無矛盾性証明の方針を追求する人々の研究は
数学として価値があるだろうが、(B)の目標を達成するとは
いえないだろう）
0035１３２人目の素数さん
2011/10/09(日) 17:44:59.49とする見方からすれば、その不完全性定理を解説する
テキストのタイトルに「数学基礎論」云々とつけるのは
ヒルベルトに対する皮肉としか言いようがないｗ。
（竹内等の「数学基礎論」は、ゲンツェンの無矛盾性証明を
取り扱っていたが、これも再版の際に「証明論入門」と改題
してしまった。理由は、内容が、ほぼ証明論だけだから、
ということらしい。）
0036１３２人目の素数さん
2011/10/09(日) 18:03:52.05「数学基礎論」という名前に固執する輩の主張を聞くに
「いままで天皇は男系継承されてきたから、
今後も男系継承されるべきだ」
とほざく輩のことを連想した。
残念だが、過去の経緯は、未来を決定するための
現在の行動を制約する条件にはならない。
過去に固執する輩が、それゆえに未来において
いかほど不利益を蒙ろうが、それは己の愚昧な
処世によるものであって、他の誰のせいでもない。
0037１３２人目の素数さん
2011/10/09(日) 18:12:52.40その昔「早発性痴呆」と呼ばれ
その後「精神分裂病」と呼び変えられ
今では「統合失調症」と呼ばれている。
「基礎論」固執君の屁理屈によれば、改称すると
前の名前しか知らない人に不利益が生じるから
よろしくないの一点張りで否定されるはずだが、
実際はそうはならなかった。
つまり、そういう下らない不利益なんてものは
全く考慮の外である、ということだ。
0038１３２人目の素数さん
2011/10/09(日) 19:26:50.210039１３２人目の素数さん
2011/10/10(月) 07:51:53.220040１３２人目の素数さん
2011/10/10(月) 09:55:39.820041１３２人目の素数さん
2011/10/10(月) 11:22:58.77[{(自画自賛)以外}以外]=[¬{¬(自画自賛)}]=(自画自賛)
0042１３２人目の素数さん
2011/10/10(月) 14:32:46.47http://ac-net.org/tjst/archives/05710-tjst-kyouritsu.pdf
これはここに投稿したほうがいいだろうな。
しかし、「有限主義」ってある種の人には魅力的らしいな。
0043１３２人目の素数さん
2011/10/10(月) 14:42:43.550044１３２人目の素数さん
2011/10/10(月) 17:37:16.87＞全く考慮の外である、ということだ。
これはそういう不利益を考慮している相手とは
議論を通じて合意を得ようという気が全くないという意思表明？
そんなら一人で勝手にスレ立てて一人でレス数増やしてろ
0045１３２人目の素数さん
2011/10/10(月) 19:22:37.94実際は、不利益を考慮してるのではなく
ただ単に自分の中の言葉の意味を
変えたくないだけだろｗ
ウソつきの卑怯者に対して
見せ掛けの建前を正面から
ぶっ壊してやったまでのこと。
0046１３２人目の素数さん
2011/10/11(火) 02:45:30.30>ただ単に自分の中の言葉の意味を
>変えたくないだけだろｗ
人の脳内が分かるエスパー乙
0047１３２人目の素数さん
2011/10/11(火) 07:08:19.90この程度のことはエスパーでなくてもわかるってｗ
0048１３２人目の素数さん
2011/10/11(火) 15:21:26.980049１３２人目の素数さん
2011/10/11(火) 19:36:54.81建前ですらない過去の経緯なんか一切考慮する必要がない。
爺ならさっさとくたばればいい。
若いんならそんな態度では長生きできんぞｗ
0050１３２人目の素数さん
2011/10/11(火) 20:23:16.01そういうあんたも爺でしょ。
0051１３２人目の素数さん
2011/10/12(水) 01:57:30.75同じ内容の重複スレが乱立しています。
こちらのスレもスレタイが違ってもテンプレは同じであり、重複スレと考えられます。
スレタイ変更に関しては十分な議論がされているとは言えず、引き続き議論を継続させる必要があります。
↓こちらへ誘導のほどよろしくお願いします。
数学基礎論・数理論理学 その9
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1317639944/
削除ガイドライン
http://info.2ch.net/guide/adv.html#saku_guide
＞重複スレッド
＞ 同じ事象・人物に関するスレッドは、個々に多少の違いがあっても原則的に削除対象になります。
＞ その場合、立てられた時期・時間、１に書かれている内容、レスがどれだけついているか、という優先順位で総合的に判断します。
＞ 客観的な判断が難しい時は、利用者同士の話し合いを待つか、立てられた時間の遅いものを停止処置をすることとします。
＞ 同一掲示板内ではない重複スレッドは、内容にほぼ変化のない場合は悪質なマルチポストと判断し、
＞ 板の趣旨に合った真面目な議論が続いた場合を除き、全てを削除対象とします。
＞
＞乱立スレッド
＞ 厨房板以外では、内容にほぼ変化のないもの、内容が無意味なもの、などの乱立は全て削除します。
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