ルベーグ積分や測度論のスレ
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0001１３２人目の素数さん
2011/10/02(日) 20:55:54.660002１３２人目の素数さん
2011/10/02(日) 21:01:46.62でも、詳しければいいとか、易しければいいとか、
そういうことではないと思うんです。
0003１３２人目の素数さん
2011/10/02(日) 21:03:39.32関数解析（Functional Analysis）
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1311378587/
0004１３２人目の素数さん
2011/10/02(日) 21:10:56.54関数解析＆ルベーグ積分
http://logsoku.com/thread/science.2ch.net/math/1043423127/
Functional Analysis, Lebesgue Integral II
http://logsoku.com/thread/science3.2ch.net/math/1088665870/
Lebesgue積分ｾﾞﾐ
http://logsoku.com/thread/science3.2ch.net/math/1109910304/
0005１３２人目の素数さん
2011/10/03(月) 17:22:22.80どんな開集合Oと零集合S1,S2をとってもA=(O∪S1)-S2とならないような
Aは存在しますか
0006１３２人目の素数さん
2011/10/03(月) 21:59:30.38存在する。
集合A⊂Rに対して、Aの閉包をA^aと書き、Aの開核をA^iと書くことにする。
ルベーグ可測集合Aに対して、Aのルベーグ測度をm(A)と書くことにする。
補題1：Oは開集合でNはゼロ集合とする。このときO⊂(O∩N^c)^aが成り立つ。
補題2：閉集合 K⊂R であって、K^i＝φかつm(K)＞0を満たすものが存在する。
>5への回答：
補題2を満たすKを取る。このKが求めるAである。実際、ある開集合Oと零集合S1,S2が存在して
K＝(O∪S1)∩S2^c
と表せたとする。K ⊃ O∩S2^c であるから、
K ＝ K^a ⊃ (O∩S2^c)^a ⊃ O
が成り立つ(最後の包含は補題1を使った)。よって K ⊃ O となるので、
φ ＝ K ^i ⊃ O^i ＝ O
となる。すなわちO＝φとなる。このとき K＝S1∩S2^c ⊂ S1 だから
m(K)≦m(S1)＝0すなわちm(K)＝0となるが、これはm(K)＞0に矛盾する。
よって、どんな開集合Oと零集合S1,S2をとってもK＝(O∪S1)∩S2^cとならない。(終)
補足：K＝(O－S1)∪S2 も出来ない。この場合 K ⊃ O∩S1^c だから、あとは同じ議論で矛盾する。
0007１３２人目の素数さん
2011/10/03(月) 22:04:10.32開球と言っても、今の場合は1次元だからB_r(x)＝(x－r, x＋r)である。
補題1の証明：
O＝φのときは明らかに成立する。以下、O≠φとしてよい。
題意を示すには「x∈Oならばx∈(O∩N^c)^a」を示せばよい。すなわち、
「x∈Oならば『任意のr＞0に対してB_r(x)∩(O∩N^c)≠φ』」
を示せばよい。
x∈Oとする。あるr＞0が存在してB_r(x)∩(O∩N^c)＝φ が成り立つとする。このとき
B_r(x)∩O ⊂ N … (1)
が成り立つことが分かる。また、Oは開集合でx∈Oだから、B_{r_1}(x)⊂Oなるr_1＞0が取れる。
よって、r_2＝min { r, r_1 } と置けば B_{r_2}(x) ⊂ B_r(x)∩O となる。これと(1)から
B_{r_2}(x) ⊂ N
となる。よって 0 ＜ m(B_{r_2}(x)) ≦ m(N) ＝ 0 となって矛盾する。
よって、任意のr＞0に対してB_r(x)∩(O∩N^c)≠φが成り立つ。以上より、成立。
0008１３２人目の素数さん
2011/10/03(月) 22:13:53.82I＝[0,1]と置く。有理数全体の集合をQと置く。Qは可算集合だから、
Q＝{p_k｜k＝1,2,3,…} と番号づけて表示できる。
O ＝ ∪[k＝1～∞] B_{ 0.01^k }(p_k)
と置くと、明らかに
Q ⊂ O … (1)
である。また、Oは開集合であり、
m(O) ≦ Σ[k＝1～∞] 2*0.01^k ＝ 2/99
が成り立つ。次に、K＝I∩O^c と置く。このKが求めるKである。以下でこれを示す。
まず、Kは明らかに閉集合である。次に、
I＝(I∩O^c)∪(I∩O)＝K∪(I∩O)⊂K∪O
が成り立つ。よって
1＝m(I)≦m(K)＋m(O)≦m(K)＋2/99
すなわち m(K)≧1－2/99＞0 となる。さらに、K^i＝φである。実際、K^i≠φだとすると、
x∈K^i なるxが存在する。このとき、あるr＞0が存在してB_r(x)⊂K^i が成り立つ。これと
K^i ⊂ K ＝ I∩O^c ⊂ O^c ⊂ Q^c
より、B_r(x) ⊂ Q^c が成り立つことになる。しかし、B_r(x)＝(x－r, x＋r) には
必ず有理数が含まれるから、矛盾する。以上よりK^i＝φである。(終)
0009１３２人目の素数さん
2011/10/06(木) 16:53:11.59証明理解しました
測度が0じゃないカントール集合のようなモノを作ればいい訳ですか
ありがとうございました！
0010１３２人目の素数さん
2011/10/19(水) 22:45:57.220011１３２人目の素数さん
2011/10/20(木) 18:17:33.18ｆ（ｘ）＝sin(2πｘ） （0.1)＼Ｑ
∞ （0.1)∩Ｑ
の||f||Ｌ∞（E)
と
g(x)=1/x (0.1)
の||g||Ｌ∞（E)
の二問です。
よろしくお願いします。
0012１３２人目の素数さん
2011/10/20(木) 18:26:41.97E=(0,1)だとして
どんなに小さいε>0に対しても{x∈E | 1-ε≦f(x)≦1}の測度が0より大きくて
{x∈|E | |f(x)|>1}の測度が0だから ||f||_L∞(E)=1
またどんなに大きいC>0に対しても{x∈E | g(x)>C}の測度が0より大きいから
||g||_L∞(E)=∞
0013１３２人目の素数さん
2011/10/20(木) 22:16:41.35ありがとうございます。
また質問するかもしれないです。
本当にありがとうございます。
0014１３２人目の素数さん
2011/10/21(金) 05:28:05.650015１３２人目の素数さん
2011/10/22(土) 22:56:47.26μ-測度収束位相において、C_0^∞(R)がR上μ-可測関数全体のなす線形空間の閉部分空間となる例は有るか？
f_nが測度収束 ∀ε,δ>0∃N∀n,m>N ( m(|f_m-f_n|<ε)<δ)
0016１３２人目の素数さん
2011/10/26(水) 18:39:40.84E∈ｍ ｍ（Ｅ）＜∞
1≦p＜q≦∞のとき
Lq(E)⊂Lp(E)を示せ。
またｆ∈Lp(E)→||f||Lp(E)≦Ｃｏ||f||Lq(E)
となる Ｃo(fによらない）があることを示せ。
お願いします。
0017KingMathematician ◆5lHaaEvFNc
2011/10/27(木) 00:04:35.38∪(q_n-2^(-n)..q_n+2^(-n)) はBorel可測となりその測度は1以下になるはずだが, 本当にこれでいいのか.
0018KingMathematician ◆5lHaaEvFNc
2011/10/27(木) 00:06:45.120019１３２人目の素数さん
2011/10/27(木) 03:01:10.480020１３２人目の素数さん
2011/10/27(木) 03:19:15.20う～ん。
とりあえずは志賀浩二の「ルベーグ積分３０講」だな。
自分も高校の時に読んで良かった。
ソレ以外だと、適当なのがないな。
0021１３２人目の素数さん
2011/10/27(木) 04:51:00.58中野剛志先生がＴＰＰ賛成論者の詭弁を全滅させたようです
http://www.youtube.com/watch?v=9amjatPD_l4
http://www.youtube.com/watch?v=8G29qFqId2w
中野先生が敗北宣言、暗殺される？
日本が米国の植民地に。すでに９９％手遅れか？
http://www.nicovideo.jp/watch/sm15973549
テレビ・新聞にだまされるな。
気づいたら、
「ｍｙ日本」で検索
0022１３２人目の素数さん
2011/10/27(木) 08:59:31.160023１３２人目の素数さん
2011/10/27(木) 13:48:06.57数学は、高校数学と＋αで止まっています。
30講は読みましたが、あぁいう感じの本は読みにくかったです。
何をいいたいのかって言うと・・・
数学の知識が足りないくせに、なるべく論理的・厳密に測度論を理解したいというわがままな俺に、お薦めの本や、準備段階としてやるべきこと（集合位相は必須？）を教えてください。
目的は確率論です。
0024１３２人目の素数さん
2011/10/27(木) 14:14:24.96積分と関数解析
http://www.amazon.co.jp/gp/aw/d/4431711872/ref=_p0
0025１３２人目の素数さん
2011/10/28(金) 08:09:14.27難しそうなので別のをお願いします
0026１３２人目の素数さん
2011/10/28(金) 08:59:23.830027１３２人目の素数さん
2011/10/29(土) 10:13:08.130028１３２人目の素数さん
2011/10/29(土) 10:37:43.200029１３２人目の素数さん
2011/10/30(日) 23:47:24.47整数Z上の測度mで、・m(Z)=1
・(∀b∈Z)(∀A:Z上の可測集合)m(A)=m(A+b)
(A={a_i}としたとき、A+b={a_i+b})
を満たすとする。
このとき、mのような測度が存在するZ上ののσ加法族で最大のものはなんですか？？
0030１３２人目の素数さん
2011/10/31(月) 12:22:19.49はっきりと言ってあげるね
君には測度論は二年早いよ
数学科ではまず微積分と線形代数を教養課程でみっちりやる
基礎がない君が背伸びしても何も身につかないよ
0031１３２人目の素数さん
2011/10/31(月) 13:00:38.86経済学部の測度論なので、確率、確率過程が展開できればいいと思うので、厳密にやらなくてもいいと思うよ。
0032１３２人目の素数さん
2011/10/31(月) 13:04:44.390033１３２人目の素数さん
2011/10/31(月) 13:20:11.700034１３２人目の素数さん
2011/10/31(月) 13:38:41.79したがって、測度も無限次元位相ベクトル空間に値をとるものが重要
0035１３２人目の素数さん
2011/10/31(月) 13:40:26.11003634
2011/10/31(月) 13:41:25.31ほんまかいな
0037猫は闇将軍 ◆MuKUnGPXAY
2011/10/31(月) 18:03:49.04こういう話はアルみたいですけどね：
http://en.wikipedia.org/wiki/Vector_measure
でも普通に使われるのは：
http://en.wikipedia.org/wiki/Bochner_integral
だと思います。但し主流かどうかは知りませんが。
猫
0038KingMathematician ◆5lHaaEvFNc
2011/11/01(火) 22:33:38.99Nを自然数全体からなる集合とする.
写像f:N→R,でR-{0}のfによる逆像が有限集合になるもの全体からなる空間とf:N→R全体からなる空間がある.
有限個しか0以外にならないほうが扱いやすいこともある.
0039１３２人目の素数さん
2011/11/01(火) 23:42:11.90Z上のσ加法族Fが条件を満たすとするなら
(∀b∈Z)(∀A∈F) A+b∈F ……(1) という条件を満たさなければいけない
また A+b=A となるような正の整数bで最小の物をAの周期N(A)として
そのようなbがないならAは周期が無いとする
I_k={i∈Z | i/k ∈Z} とする。以下Fは条件(1)を満たすσ加法族とする。
このとき ( A∈F and N(A)=b ) → ( I_b∈F ) が成り立つことは何とか示せる
次に N(A_1)<N(A_2)<... となるような A_1,A_2,...∈Fがあるならば
{0}∈Fが成り立つこと、F=2^Zとなることも示せる
一方2^Zに対して>>29の測度は作れないので
ある自然数N>0があって F は周期がNより大きい元を持たないことになる
そして b>N として以下の F' を考えるとき、F' が I_b と F を含み(1) を満たす
σ加法族となること、また F' がそのようなσ加法族の中で最小となることを示せる
F' = { A'⊂Z | ある A_1,...,A_b ∈ F があって
A' = ((I_b + 1)∩A_1) ∪ ((I_b + 2)∩A_2) ∪...∪ ((I_b + b)∩A_b) となる }
Fに>>29のような測度が存在するとき、F'にもそんな測度があることを示せば
>>29を満たすσ加法族は常にそれより真に大きくてなおかつ条件を満たす
σ加法族を持つことになり最大どころか極大な物すら無いことになる
0040１３２人目の素数さん
2011/11/04(金) 07:28:56.56何気に面白いなこれ。
ZのかわりにQを使って、んで完全加法性すててジョルダン測度にしたらどうなるだろ？
0041１３２人目の素数さん
2011/11/04(金) 11:41:38.970042１３２人目の素数さん
2011/11/04(金) 11:45:26.87まじで！スゴいな。
0043１３２人目の素数さん
2011/11/04(金) 11:51:28.92うpキボン
0044１３２人目の素数さん
2011/11/04(金) 19:22:51.00なんか扱いが難しそうな奴は>>29を満たす例にならなくて
周期的な集合のみからなる測度空間だけが>>29の例に該当するのかな
0045１３２人目の素数さん
2011/11/05(土) 12:23:45.04その様なmは存在しない。
0046１３２人目の素数さん
2011/11/05(土) 14:11:14.60>29で書かれている「可測集合」は、ボレル可測集合全体とか
ルベーグ可測集合全体とかの意味ではないぞ。
σ集合体から自分で設定するんだ。
F＝{φ, Z} とすれば、Fはσ集合体。
m(φ)＝0, m(Z)＝1 と定義すれば、mはF上の測度。
そして、測度空間(Z,F,m)は次を満たす。
・m(Z)＝1
・(∀b∈Z)(∀A∈F) A+b∈F
・(∀b∈Z)(∀A∈F) m(A)＝m(A+b)
だから、>>29 が成り立つような測度空間は
少なくとも1つは存在している。
0047１３２人目の素数さん
2011/11/05(土) 14:33:59.32A∈F ⇔ ∃An∈Fn A = {a∈Z|∃b∈An a≡b (mod n)} となるZ上の集合族Fが作れて
m(A)をm_n(An)で定義した測度mとあわせて測度空間 {Z,F,m} を作れるよ
これ以外の F の例があるのか>>41に教えて欲しい
004845
2011/11/05(土) 19:38:06.09すると （Ｚ，Ｂ，Ｐ） を、
ａ∈Ｚ、Ａ∈Ｂ ⇒ Ａ＋ａ∈Ｂ
を満たす確率測度空間とする。
仮に、Ø≠Ａ≠Ｚ だとする。
ある ｎ∈Ｚ が存在し、
ｎ∈Ａ、ｎ＋１∉Ａ
または
ｎ∈Ａ、ｎ－１∉Ａ
である。
前者の場合、
Ｃ＝Ａ∩（Ａ＋１）∩（Ａ＋２）∩…∈Ｂ
ｎ∈Ｃ⊆｛…，ｎ－２，ｎ－１，ｎ｝
Ｂ∋Ｃ∩（Ｃ＾ｃ－１）＝｛ｎ｝
後者も同様。
よって、Ｂ＝｛Ø，Ｚ｝ 以外にはあり得ない。
0049１３２人目の素数さん
2011/11/05(土) 20:39:03.16それも間違い。A＝{ 2x｜x∈Z } と置くと、B＝{φ, A, A^c, Z} はσ集合体である。
また、m(φ)＝0, m(A)＝1/2, m(A^c)＝1/2, m(Z)＝1と置くと、mはB上の測度になる。
そして、測度空間(Z,B,m)は次を満たす。
・m(Z)＝1
・(∀b∈Z)(∀A∈B) A+b∈B
・(∀b∈Z)(∀A∈B) m(A)＝m(A+b)
0050１３２人目の素数さん
2011/11/05(土) 20:41:20.450051１３２人目の素数さん
2011/11/05(土) 20:41:58.61つまり、何が言いたいかというと、>>49 により、
B＝{φ, Z }以外にも存在するということ。
0052１３２人目の素数さん
2011/11/05(土) 20:43:34.12もう帰りや
0053１３２人目の素数さん
2011/11/05(土) 21:02:09.44005445
2011/11/05(土) 21:45:20.570055１３２人目の素数さん
2011/11/19(土) 08:34:53.73エンジニアと参加願います公安はサリンオウム信者の子供を40歳まで社会から隔離している
オウム信者が地方で現在も潜伏している
それは新興宗教を配下としている公安の仕事だ
発案で盗聴器を開発したら霊魂が寄って呼ぶ来た
<電波憑依>
スピリチャル全否定なら江原三輪氏、高橋佳子大川隆法氏は、幻聴で強制入院矛盾する日本宗教と精神科
<コードレス盗聴>
2004既に国民20%被害250～700台数中国工作員3～7000万円2005ソウルコピー2010ソウルイン医者アカギ絡む<盗聴証拠>
今年５月に日本の警視庁防課は被害者SDカード15分を保持した有る国民に出せ!!<創価幹部>
キタオカ1962年東北生は二十代で2人の女性をレイプ殺害して入信した創価本尊はこれだけで潰せる<<<韓国工作員鸛<<<創価公明党 <テロ装置>>東芝部品)>>ヤクザ<宗教<同和<<公安<<魂複<<官憲>日本終Googl検索
0056１３２人目の素数さん
2011/11/19(土) 08:35:54.64誰か(アメリカ)気づいた
ソウルコピー機器
無差別で猥褻、日本は危険
知ったかブッタの日本人
失敗作
0057１３２人目の素数さん
2011/11/22(火) 03:20:45.83Zを整数の集合、FをZ上のσ集合族として測度空間(Z,F,m)が次を満たしたとする
(1)m(Z)=1
(2)(∀n∈Z)(∀A∈F) A+n∈F
(2)(∀n∈Z)(∀A∈F) m(A)=m(A+n)
まず{0}∈FならF=2^Zとなることと(1)～(3)を満たす(Z,2^Z,m)は存在しないことに注意する
A≠φとなるA∈Fをとってきて I_A=∩{a∈A}(A-a) とおくと(2)よりI_A∈Fである
0∈I_A より ∃i∈I_A(i≠0) が成り立つ。また i∈I_A, n∈Z → in∈I_A と i,j∈I_A → i+j∈I_A
となることを使えば、ある数n_Aがあって I_A={..., -2n_A, -n_A, 0, n_A, 2n_A, ...} だと示せる
次に I_F=∩{A∈F, A≠φ}I_A とおけば I_A の候補は可算個しかないので
右辺は実質は可算個の集合の共通部分になり I_F∈F となる
また 0∈I_F よりある数n_Fがあって I_F={..., -2n_F, -n_F, 0, n_F, 2n_F, ...} だと示せる
そして F' を I_F, I_F + 1,...., I_F + n_F -1 で生成されるσ集合族とすると(2)よりF'⊂Fである
A∈F, A≠φ ならば I_A は適当な数列 a_1,...,a_k があって I_A=∪_l (I_F + a_l) となるので
I_A ∈ F' である。また A = ∪{a∈A} (I_A + a) なので A∈F' である
よって F⊂F' より F=F' となる
以上より (Z,F,m) が(1)～(3)を満たすσ集合族ならば、ある数n_Fがあって
Fは I_F, I_F + 1,...., I_F + n_F -1 で生成されるσ集合族となることが分かる
という風に Z をもっと一般の可算環（って言葉あるっけ？）に出来そうな証明が出来た
0058１３２人目の素数さん
2011/11/23(水) 05:42:08.85＞ i∈I_A, n∈Z → in∈I_A
n≧0のときは簡単だけど、n＜0のときはどうやって証明するの？
0059１３２人目の素数さん
2011/11/23(水) 17:19:54.94A∈F, i∈I_A とする
B≡A∩(A^c+i)=φならば∀a∈A (a-i∈A) となり -i∈I_A が示せるので
それを証明する。B∈FなのでBは可算集合か空集合になる
Bが可算集合だとすると a2=a1+ni , n∈N となる a1,a2∈B があり
a2-i=a1+(n-1)i∈A となるがこの時 a2∈A+i となってしまうので矛盾する
よって -i∈I_A となる。また一般の n<0 の場合も ni∈I_A となる、って感じで
0060１３２人目の素数さん
2011/11/23(水) 19:38:08.77サンクス。理解した。しかし凄いな。
0061１３２人目の素数さん
2011/11/23(水) 21:26:21.53sn(x)= n (f(x)≧nのとき）
k/2^n(k/2^n≦f(x)≦k＋1/2^n) k=0.1.2・・・n2^n-1
のときf(x)=√x
(1)∫sn dxを求めよ (2)(1)のlim
の二問お願いします。
0062１３２人目の素数さん
2011/11/23(水) 22:21:00.410063１３２人目の素数さん
2011/11/23(水) 23:40:46.88√xの面積をルベーグ積分の定義で計算したいのです。
0064１３２人目の素数さん
2011/11/26(土) 22:39:33.97例えば、
> 非負単関数列sn E=[0.∞）が次
と、関数列と領域が何の脈絡もなく併記されているとか、
> E＝[0.2]とし
としておきながら、直後に
> E=[0.∞）
と矛盾したことを書く等
0065１３２人目の素数さん
2011/11/27(日) 16:49:10.50E=[0.2）とし 非負単関列sn E→[0.∞）です。
申し訳ないです。
0066１３２人目の素数さん
2011/11/27(日) 19:20:06.700067１３２人目の素数さん
2011/11/27(日) 20:55:25.030068１３２人目の素数さん
2011/11/28(月) 00:41:08.72非負単関数列 s_n : E→[0,∞)が次で与えられているとする
s_n(x)= n (f(x)≧nのとき)
s_n(x)= k/2^n ( k/2^n≦f(x)≦(k+1)/2^n ( k=0,1,...,n*(2^n-1) ) )
f(x)=√x のとき
(1)∫_E s_n dx を求めよ (2)lim[n→∞]∫_E s_n dx を求めよ
が問題文だとして、(2)は∫_E √x dx だけど
(1)は計算するのめんどそうだ
0069132番目の素数さん
2011/11/28(月) 00:47:03.262番は楽なんですけど
1番の計算ができないので1番だけでもいいのでよろしくお願いいたします。
0070１３２人目の素数さん
2011/11/30(水) 03:31:44.42吉田朋広ってどうなんだろ
0071１３２人目の素数さん
2011/11/30(水) 04:47:49.21…という訳にはならないけど学部で必要な知識得るだけだったら同じよ
0072１３２人目の素数さん
2011/11/30(水) 13:14:00.960073１３２人目の素数さん
2011/12/02(金) 04:09:15.84単に、ルベーグ積分ですって言っておいて、
定理を利用すると、証明しやすいってだけじゃないの？
0074１３２人目の素数さん
2011/12/03(土) 00:57:51.61K⊂R^n 有界閉ならばC(K)がバナッハ空間になることを証明せよ
という問題なんですが
区間なら証明できるのですが一般の場合だと
どうすればいいのかわからないのでぜひよろしくお願いします。
0075１３２人目の素数さん
2011/12/03(土) 01:16:19.01C(K)の収束は関数列の一様収束と同値を使えばできると思う。
0076１３２人目の素数さん
2011/12/03(土) 01:43:04.16ということは区間でも大丈夫っすね？
0077１３２人目の素数さん
2011/12/03(土) 02:32:45.50KがコンパクトであればOK。
0078１３２人目の素数さん
2011/12/04(日) 14:29:16.07例えば実数全体の集合の部分集合が必ず可測になるような公理の定め方には
どのような物があるか、みたいなのを数理論理学で考えてるのは73の例になるのかな
ならないならもっと別の例を用意せんとな
0079１３２人目の素数さん
2011/12/04(日) 15:42:41.12研究対象かどうかはしらん。
ルベーグ積分は積分順序の交換ができようにつくられたもの。
0080１３２人目の素数さん
2011/12/04(日) 16:30:44.08そりゃ見方が狭すぎる． 各種収束定理をお忘れか
0081１３２人目の素数さん
2011/12/04(日) 16:34:26.490082１３２人目の素数さん
2011/12/04(日) 17:05:53.53だれかの受け売りです。
ルベーグ、単調、ファトーでしたっけ。
0083１３２人目の素数さん
2011/12/04(日) 17:40:57.46ですね。 要するに何かの関数を少し抽象的な方法で構成しようというとき，
例えば身近な例だと常微分方程式の解の存在定理をPicardの反復法
で作る証明がありますね。目的とする関数へ収束するであろう関数列を
なんとかこしらえて，その収束先が確かに存在して目的関数が
満たすべき条件を満たしてるということが言いたい場面があるわけです。
Picardの反復法なんかは普通の微積分の範囲で済むんだけどさ。
コンパクト集合上で一様収束する関数列になってくれますからね。
もう少し面倒な，例えば偏微分方程式なんかでは考えてる台が
たとえコンパクトであっても一様収束性を言うのは厳しいなんてことが
よくあるわけです。そういうこところでルベーグ積分の理論が役に立つわけです。
ルベーグ積分が登場するまでの多変数関数論なんか大変だったんです。
とにかく目的関数に収束する関数を，まあ適当な部分列を取ることにしても
とにかく一様収束になるようにしないといけなかったから。
0084１３２人目の素数さん
2011/12/09(金) 12:16:40.22ルベーグ積分はルベーグ測度から与えられるもの
ルベーグ測度自体はR^n上の測度で殆ど固定化された定義がある
そう考えればルベーグ積分自体を研究してる人はいないと思うが
ある図形がルベーグ可測か研究してる人や一般的な測度を研究してる人や
ルベーグ可積分な関数全体のなす集合について研究してる人は今も普通にいる
0085１３２人目の素数さん
2011/12/09(金) 12:42:34.850086１３２人目の素数さん
2012/01/03(火) 19:09:39.03ルベーグ非可測な集合or関数を作る方法を教えて下さい
0087１３２人目の素数さん
2012/01/03(火) 19:36:04.310088１３２人目の素数さん
2012/01/04(水) 23:17:31.000089１３２人目の素数さん
2012/01/08(日) 21:24:04.94ルベーグ非可測な集合or関数を作る方法を教えて下さい
0090１３２人目の素数さん
2012/01/08(日) 21:40:14.250091１３２人目の素数さん
2012/01/09(月) 04:27:35.490092１３２人目の素数さん
2012/01/09(月) 12:29:02.980093１３２人目の素数さん
2012/01/10(火) 06:18:26.27作れません
0094１３２人目の素数さん
2012/01/10(火) 15:33:41.19決定性公理からは、作れないことが証明できるんですか？
それなら選択公理なんて捨てて、決定性公理をデフォルトの公理にしちゃえば丸く収まりますね。
0095１３２人目の素数さん
2012/01/10(火) 16:03:16.56君みたいなバカがいなくなれば丸くおさまるよ
0096１３２人目の素数さん
2012/01/10(火) 16:49:11.17フーン、そうだったのですネ。
一松さんの本、（パラパラと）みてみよう。
0097１３２人目の素数さん
2012/01/10(火) 16:51:40.85> 一松さんの本、（パラパラと）みてみよう。
haa
0098１３２人目の素数さん
2012/01/10(火) 17:06:29.01faa
0099１３２人目の素数さん
2012/01/10(火) 17:07:58.290100１３２人目の素数さん
2012/01/10(火) 20:30:27.580101１３２人目の素数さん
2012/01/11(水) 01:19:50.190102１３２人目の素数さん
2012/01/11(水) 02:34:20.68選択公理（＝ツォルンの補題）を諦めればそれでもいいらしいからな。
0103１３２人目の素数さん
2012/01/13(金) 07:28:16.740104１３２人目の素数さん
2012/01/13(金) 08:45:34.760105１３２人目の素数さん
2012/01/13(金) 08:52:25.680106１３２人目の素数さん
2012/01/13(金) 10:06:55.91選択公理の有りがたさが分かるでしょう
0107１３２人目の素数さん
2012/01/13(金) 10:19:34.300108１３２人目の素数さん
2012/01/13(金) 10:24:21.100109１３２人目の素数さん
2012/01/13(金) 14:22:15.85それだけだろ
0110１３２人目の素数さん
2012/01/13(金) 14:49:26.220111１３２人目の素数さん
2012/01/13(金) 15:08:50.890112１３２人目の素数さん
2012/01/13(金) 15:48:19.970113１３２人目の素数さん
2012/01/13(金) 18:18:50.53どこら辺でありがたくなる？
ベールの範疇定理は解析で必須だし、この証明で可算従属選択公理は必要になるけど、
可算従属選択公理だけなら非可測関数の非存在と両立するよ。
0114１３２人目の素数さん
2012/01/14(土) 18:56:35.920115１３２人目の素数さん
2012/01/14(土) 18:58:08.840116無頓着先生
2012/01/14(土) 22:01:08.14僕はどうしてそういう疑問をもったのかなー
0117１３２人目の素数さん
2012/01/14(土) 22:33:22.33ルベーグ積分とリーマン積分の違いについて少し興味を持ったので調べてみたところ、
狭義でリーマン可積分⇒ルベーグ可積分で積分値一致
ですが広義なら常にそうではないとあったので具体的な関数でいうとどうなるのかなと
0118無頓着先生
2012/01/14(土) 22:36:02.02> 狭義
> 広義
正確にいってごらん
0119１３２人目の素数さん
2012/01/14(土) 22:45:39.92積分範囲が無限
狭義の積分
通常の定積分
0120電話のお姉さん
2012/01/14(土) 22:48:21.27もういいかな
0121１３２人目の素数さん
2012/01/14(土) 22:54:14.800122１３２人目の素数さん
2012/01/14(土) 23:05:55.94洗濯小売りが二つ
洗濯小売りが三つ
…
洗濯小売りがアレフ0
洗濯小売りがアレフ0+1
…
洗濯小売りがアレフ1
…
洗濯小売りがアレフ2
…
洗濯小売りが(アレフ)^2
…
0123１３２人目の素数さん
2012/01/15(日) 07:07:29.95「R^2の部分集合は全部ルベーグ可測である」を証明する方法も見つかっていない
軽々と公理変えればいいと言えばいいってもんでもない
0124１３２人目の素数さん
2012/01/16(月) 07:31:32.210125１３２人目の素数さん
2012/01/17(火) 11:18:08.55このばあい、「R^nで定義された関数は全部ルベーグ可測関数である」
となりませんか？
0126１３２人目の素数さん
2012/01/17(火) 15:36:29.480127１３２人目の素数さん
2012/01/19(木) 21:45:21.60それで､それで､どうなる??
0128１３２人目の素数さん
2012/01/21(土) 07:09:25.700129１３２人目の素数さん
2012/01/23(月) 21:49:15.750130１３２人目の素数さん
2012/02/02(木) 05:17:03.300131１３２人目の素数さん
2012/02/05(日) 23:24:01.080132１３２人目の素数さん
2012/02/06(月) 11:21:11.96同感。結局，ルベグ積分てなんなんだぁ！！（魂の叫び）
0133１３２人目の素数さん
2012/02/06(月) 21:43:39.78>>132
私は文系なので、数学ⅠＡⅡＢまでしか知りませんでした。
金融論では確率、微分方程式と測度論が必須ですから、
ルベーグ積分を勉強しはじめました。
しかし、当初、さっぱりわかりませんでした。
それは今から考えると、高校数学と異なる考え方に
全くついていけてなかったことが原因だと思っています。
当初は、何がわからないのかさえ自分ではわかりませんでした。
結局、地道に努力するしかないのです。
いきなりルベーグ積分や測度論の本を読んでも、
１行ずつはなんとかわかっても、全体像は、わからないと思います。
大学で使用する位相、集合、解析学の入門書をよく読んで、
ひとつずつ自分の頭でよく考えて、大学数学というものの
考え方に十分慣れていく必要があります。
がんばってください。
0135１３２人目の素数さん
2012/02/07(火) 01:05:14.56集合論では R も R^n も同相。集合論では R = 2^ω だからね。
よって ZF+DC に「R^1の部分集合は全部ルベーグ可測である」って公理を追加したら
自動的に「R^2の部分集合は全部ルベーグ可測である」となる。
当然これらは決定性公理から導かれる。
0136１３２人目の素数さん
2012/02/07(火) 08:43:26.970137１３２人目の素数さん
2012/02/07(火) 09:16:51.390138１３２人目の素数さん
2012/02/07(火) 09:19:35.900139あぼーん
NGNG0140１３２人目の素数さん
2012/02/07(火) 19:04:00.250141１３２人目の素数さん
2012/02/08(水) 01:55:38.72「R = 2^ω」と書いてあるだろうが！(2^ω)^n と 2^ω が同相なんて教養レベルの演習問題。
0142１３２人目の素数さん
2012/02/08(水) 02:02:36.63その「同相」の英訳は？仏訳でもいいや
0143１３２人目の素数さん
2012/02/08(水) 02:06:06.380144１３２人目の素数さん
2012/02/08(水) 02:11:50.320145１３２人目の素数さん
2012/02/08(水) 02:14:03.030146１３２人目の素数さん
2012/02/08(水) 02:17:47.82知っていれば、確かに教養レベルの練習問題だな。
0147１３２人目の素数さん
2012/02/08(水) 02:22:58.25要するに集合論では、R をどちらだと思っても（あるいは通常の実直線だと思っても）、
結論が同じになるような話ばかり扱っているので、扱いやすい定義を使っている。
「すべての実数の集合がルベーグ可測」はその例で、どの定義を使っても同値。
なぜならルベーグ零集合を除いて同相だから。
0148１３２人目の素数さん
2012/02/08(水) 03:06:11.230149１３２人目の素数さん
2012/02/08(水) 05:58:40.330150１３２人目の素数さん
2012/02/08(水) 07:28:04.610151１３２人目の素数さん
2012/02/08(水) 07:36:48.580152１３２人目の素数さん
2012/02/08(水) 08:35:05.57位相幾何じゃ同相じゃない、とかいうのは
どう好意的に見てもナンセンス
単に濃度にしか依存しない話を扱っているだけなのだから
そういえば良い
0153１３２人目の素数さん
2012/02/08(水) 09:01:53.92文献挙げてもらえるかな
0154１３２人目の素数さん
2012/02/08(水) 16:05:28.39測度論勉強したことある？
ルベーグ可測性は濃度にしか依存しないなんて、御バカのいうことだｗ
0155１３２人目の素数さん
2012/02/08(水) 17:04:40.840156１３２人目の素数さん
2012/02/08(水) 17:09:59.390157１３２人目の素数さん
2012/02/08(水) 19:29:25.01R^nルベーグ測度はn次元単位立方体に対して1を与え
直交するn方向の並進に対して不変な測度だから
濃度が等しいという理由だけでn=1からn>1が自動的というのは
書き過ぎだと思いますが？
0158１３２人目の素数さん
2012/02/08(水) 19:54:26.04集合論のつもりだったんだが……
0159１３２人目の素数さん
2012/02/08(水) 22:07:58.61通常とは定義が違うよと２度も注意があったにもかかわらず（しかも1度は定義変更の心の解説つきでだ）、
いまだに自分の定義で話しているバカと、数学なのに「定義がおかしい」と言ってるバカばかり。
「定義がおかしい」が数学的な批判になりうるのは ill-defined っていう批判だけだろ。
どいつもこいつも数学のリテラシーがなさすぎ。
0160１３２人目の素数さん
2012/02/08(水) 22:36:10.060161１３２人目の素数さん
2012/02/08(水) 22:41:18.39「しかも1度は定義変更の心の解説つきでだ」
0162１３２人目の素数さん
2012/02/08(水) 22:50:23.86意味があるかどうかは数学的内容を理解してから判断すべきものでは？
少なくともいまは
「R^1の部分集合は全部ルベーグ可測である」から「R^2の部分集合は全部ルベーグ可測である」が導かれるか？
という話をしているのだから、
これを示せているのなら意味のある話ってことでいいんでない？
問題はこれが示せているかどうか数学的内容を見てから判断すればいい。
0163１３２人目の素数さん
2012/02/08(水) 23:15:16.840164１３２人目の素数さん
2012/02/08(水) 23:18:06.090165１３２人目の素数さん
2012/02/08(水) 23:20:57.260166１３２人目の素数さん
2012/02/08(水) 23:25:02.09通常の定義と違う時点で興味を失う人が大半じゃねえの？
0167１３２人目の素数さん
2012/02/08(水) 23:27:07.80最終的なステートメントはどちらの定義でも同値だと>>147が説明しているだろ。
0168１６２
2012/02/08(水) 23:38:09.63>>160
意味があるかどうかは数学的内容を理解してから判断すべきものでは？
少なくともいまは
「R^1の部分集合は全部ルベーグ可測である」から「R^2の部分集合は全部ルベーグ可測である」が導かれるか（ただしRは実直線）？
という話をしているのだから、
これを示せているのなら意味のある話ってことでいいんでない？
問題はこれが示せているかどうか数学的内容を見てから判断すればいい。
0169１３２人目の素数さん
2012/02/08(水) 23:38:45.51でもその理由を説明しているなぜなら～以下が意味不明だよね
0170１３２人目の素数さん
2012/02/08(水) 23:41:04.800171１３２人目の素数さん
2012/02/08(水) 23:48:35.840172１３２人目の素数さん
2012/02/08(水) 23:49:09.81＞なぜならルベーグ零集合を除いて同相だから。
これがちょっと意味わからないよね
2^ωとω^ωと通常のRはどれも同相じゃないし
0173１３２人目の素数さん
2012/02/08(水) 23:52:17.480174１３２人目の素数さん
2012/02/08(水) 23:56:12.270175１３２人目の素数さん
2012/02/08(水) 23:59:41.38R=2^ωって意味不明なんで教えろ
0176１３２人目の素数さん
2012/02/09(木) 00:00:42.61「ルベーグ零集合を除いて同相」から induce される測度と言ってもいい。
（この場合、2^ωやω^ω側に測度がまだ定義されていないので
「ルベーグ零集合」も定義されていないが、同相から外れた部分は零集合という意味。）
0177１３２人目の素数さん
2012/02/09(木) 00:00:46.630178１３２人目の素数さん
2012/02/09(木) 00:09:10.21http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1328713470/
0179１３２人目の素数さん
2012/02/09(木) 00:32:02.79「ルベーグ零集合の任意の部分集合はルベーグ可測」という基本的知識があれば
>>147の解説で十分分かると思うんだがね。
0180１３２人目の素数さん
2012/02/09(木) 00:32:59.92議論の肝なわけだ。決定性公理が必要になるのもここなのかな？
0181１３２人目の素数さん
2012/02/09(木) 00:34:52.680182１３２人目の素数さん
2012/02/09(木) 00:36:55.57決定性公理は「R^1の部分集合は全部ルベーグ可測である」を導くというだけ。
0183１３２人目の素数さん
2012/02/09(木) 00:41:05.96(0,1)と通常のRが同相なんだからそれで終わりじゃんｗ
0184１３２人目の素数さん
2012/02/09(木) 00:42:41.86Cantor空間はコンパクトだから無理。
0185１３２人目の素数さん
2012/02/09(木) 00:43:26.560186１３２人目の素数さん
2012/02/09(木) 00:44:37.95有理数全体はルベーグ零集合なんだから、それで終ってないか？
0187１３２人目の素数さん
2012/02/09(木) 00:44:44.93なんでR=2^ωと定義する、なんて言うんだ！
0188１３２人目の素数さん
2012/02/09(木) 00:47:45.18私がそう名付けたわけじゃない。
記述集合論（測度論その他の研究）では、
そういう言い回しが定着してるんだから仕方ない。
0189１３２人目の素数さん
2012/02/09(木) 00:50:30.25どうして誰も答えてくれないの？
2＾ωって冪集合なの？
0190１３２人目の素数さん
2012/02/09(木) 00:54:32.380191１３２人目の素数さん
2012/02/09(木) 01:01:33.27ωが何かを聞いてんだから自然数だと言えばいいだろうがハゲが
0192１３２人目の素数さん
2012/02/09(木) 01:03:17.800193１３２人目の素数さん
2012/02/09(木) 01:04:46.88教えてクンかよ、おまえは。
0194１３２人目の素数さん
2012/02/09(木) 01:06:09.15は？
そうに決まってんだろハゲが
0195１３２人目の素数さん
2012/02/09(木) 01:17:05.91基礎論とかが出てくるし
ただの2＾ωとかω^ωとかをカントールだとか偉そうな名前付けてるしｗｗｗ
0196１３２人目の素数さん
2012/02/09(木) 01:20:36.340197１３２人目の素数さん
2012/02/09(木) 01:27:23.800198１３２人目の素数さん
2012/02/09(木) 04:07:36.18>位相幾何じゃ同相じゃない、とかいうのは
>どう好意的に見てもナンセンス
これって
「(N,+) は高校までは単位元がないけど、
大学じゃ単位元がある、とかいうのは
どう好意的に見てもナンセンス」
というのと同じだね。
0199１３２人目の素数さん
2012/02/09(木) 04:14:58.12殆ど全てが例外だから、同相なんだとか馬鹿な主張してるわけか。
0200１３２人目の素数さん
2012/02/09(木) 08:26:16.68誤解を呼ぶ書き方は止めてちょ
代数的整数論（可換環の研究）と書くよりもっと酷いくらい
0201１３２人目の素数さん
2012/02/09(木) 08:28:57.290202１３２人目の素数さん
2012/02/09(木) 18:27:23.16所詮は人間、見慣れない定義がでてきた途端に簡単なことも意味不明になってしまう、
そういう良い例だｗ
0203１３２人目の素数さん
2012/02/09(木) 19:29:46.17小平先生も、人の証明を読んで間違いがないことは確認できても、わかったといえないことがある、みたいなことを書いてるし。
慣れてないと、わけわからんことはあるさ。
0204１３２人目の素数さん
2012/02/09(木) 21:15:10.22＞R をどちらだと思っても（あるいは通常の実直線だと思っても）、
＞結論が同じになるような話
だと言っているという理解で良いですか？
一点付け加えて拡大したら任意の位相空間はコンパクトになる事くらい知ってるでしょう？
（ルベーグ零集合を除いて）全ての位相空間はコンパクト空間だということで良いんですか？
同相かどうかは一点取り除いたり付け加えたりしただけで保たれない性質なんだから
測度論的に意味のある違いが無くても、位相空間としても同じだとか言っちゃダメだと思うよ。
0205１３２人目の素数さん
2012/02/09(木) 22:01:06.91あほ。スレの流れから「結論」がどれだか読み取れないアスペだなｗ
0206１３２人目の素数さん
2012/02/09(木) 22:04:45.31見たことあっても、身についていないっていうか。
0207１３２人目の素数さん
2012/02/09(木) 22:30:58.15普通の全単射取るともう滅茶苦茶になって
並進不変（平行移動しても測度は同じ）じゃなくなるからまずいと思う
0208１３２人目の素数さん
2012/02/09(木) 22:49:01.54１、「非可測集合が存在するか否か」という問題は、
(※)空以外の開集合が正測度を持つ完備な測度空間
については「零集合を除いた同相」によって不変。
（ここで「零集合を除いた同相」では、測度自体は変わるが
零集合は零集合にうつることに注意。）
２、従って「非可測集合が存在するか否か」という問題の対象は、
測度空間というより、
(※)の「零集合を除いた同相」という同値関係による同値類と考えるべきである。
３、すると目的の結論は「R と R^n が同じ同値類である」となる。
（R と R^n と、それらの同値類を以下混同する。）
４、これを示す為に、R と R^n の代表元として、
ω^ω と (ω^ω)^n を（2^ω と (2^ω)^n でもいいが）取ろう。
するとこれらは同相だから当然ながら同値である。
これだけのことだ。
0209１３２人目の素数さん
2012/02/09(木) 23:01:12.78★★時と場合によって（考えている問題によって）同一視の仕方を替える★★
っていう抽象的な議論になれていないんじゃなかな。
>>207
並進不変とかってこの場合何も関係ないでしょ？
「並進」の構造はいまは無視していい。
0210１３２人目の素数さん
2012/02/09(木) 23:44:11.70どう考えてもRとR^nは同相=homeomorphicではない
card(R)=card(R^n)と間違えてる初心者君なんだろうな
しっかり勉強するまでROMってろよ
0211１３２人目の素数さん
2012/02/09(木) 23:51:16.24それネタのつもり？つまんない
0212１３２人目の素数さん
2012/02/10(金) 00:21:11.03いいねこういうの、２ｃｈらしくて素晴らしい。
0213１３２人目の素数さん
2012/02/10(金) 00:48:47.73じゃあ分かるように説明してくれ
あと参考文献もあげてくれ
勉強するから
0214１３２人目の素数さん
2012/02/10(金) 00:50:50.46抽象的な数学的議論にもっと慣れてきてから出直してね。
0215１３２人目の素数さん
2012/02/10(金) 00:56:13.85だから分かんないから参考文献挙げてって頼んでるんだよ
どの本のどの章あたりとかでいいから
俺の方で勝手に勉強しとくから
無理かどうかはそのあとで決める
取り敢えず目は通してみたい
これお願いしてるんだよ
0216１３２人目の素数さん
2012/02/10(金) 01:58:41.44そもそも君がどの程度、測度論を知っているかが分からないと。
それに、色々な結果を使ってるのだから、一つの文献にまとまって書いてあるとも限らない。
せめてどこが分からないから（例えば>>208の１～４の内のどれ、とか）
その部分の参考文献を教えて、と聞くべき。
0217１３２人目の素数さん
2012/02/10(金) 02:44:44.920218１３２人目の素数さん
2012/02/10(金) 03:08:06.10Rと2＾ωが同相のところ
同相が「連続全単射かつ逆写像も連続」ではなさそうだし
その同相の定義とRと2＾ωが同相ってのを確認できる文献
測度論は伊藤清三全部読んだからいいよ
以上よろしくおねがいします
0219１３２人目の素数さん
2012/02/10(金) 03:09:56.74間違った
RとR^nが同相、つまり4のところ
0220１３２人目の素数さん
2012/02/10(金) 03:15:23.49(2ω)^n と 2^ω が同相っていうのが分からんのか？
0221１３２人目の素数さん
2012/02/10(金) 03:26:08.44そうならRとR^nは同相じゃないじゃないか
？？
0222１３２人目の素数さん
2012/02/10(金) 03:44:22.160223１３２人目の素数さん
2012/02/10(金) 03:46:11.40通常の実数直線の意味で R と R^n が同相だなんて誰も言っていないんだけどね。分かってる？
0224１３２人目の素数さん
2012/02/10(金) 04:00:19.68Rと2＾ω、ω＾ωが零集合を除いて同相ってことじゃなかったの？
0225１３２人目の素数さん
2012/02/10(金) 08:45:45.09別にそれがメインの主張ではない。が、勿論、その主張は正しい。
0226１３２人目の素数さん
2012/02/10(金) 20:12:29.550227１３２人目の素数さん
2012/02/10(金) 22:39:41.70下手くそ、釣りならもっとうまくやれよ。
0228１３２人目の素数さん
2012/02/10(金) 23:07:29.520229１３２人目の素数さん
2012/02/11(土) 05:20:47.43零集合を除いて同相だからというより、
もっと強いことがいえて可算集合を除いて同相だからだと思う。
別に測度だけ扱っているわけじゃない、Baireの範疇とかも考えるし。
だからと言って位相幾何みたいに位相空間として扱っているわけでもない。
可算個を除いて同相、で定義されるような構造として R を見ているのだと思う。
0230１３２人目の素数さん
2012/02/11(土) 07:15:06.650231１３２人目の素数さん
2012/02/11(土) 16:00:39.34意味不明
0232１３２人目の素数さん
2012/02/12(日) 02:22:37.92「意味が分かりすぎて面白くない」とか、
そういうことを言いたいのでは？
0233１３２人目の素数さん
2012/02/12(日) 03:34:30.47「数学では答えは一つ」などという無知な一般人の誤解と同じようなものである。
0234１３２人目の素数さん
2012/02/12(日) 04:24:57.25俺様の測度と積分論
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1328713470/
0235１３２人目の素数さん
2012/02/12(日) 05:37:37.74「数学では答えは一つ」などという無知な一般人の誤解と同じようなものであるｗｗ
0236１３２人目の素数さん
2012/02/12(日) 06:45:05.88いまどき集合論くらいのものなのだから、
このスレが集合論スレの一つになるのは自然なことだな。
0237１３２人目の素数さん
2012/02/12(日) 07:15:17.750238１３２人目の素数さん
2012/02/12(日) 08:00:57.420239１３２人目の素数さん
2012/02/15(水) 04:26:20.160240１３２人目の素数さん
2012/02/15(水) 19:17:30.750241１３２人目の素数さん
2012/02/16(木) 09:43:20.54その時に可測集合族は「外測度がその集合族上で測度となるようなσ加法族」の中で最大のものと言えるのでしょうか？
0242１３２人目の素数さん
2012/02/16(木) 11:09:02.92それはたとえば有限加法的測度から測度を構成するときですね
（有限加法的測度のような「元ネタ」がないと外測度が定義できない）
Γ可測集合の定義 Γ(A∩E)+Γ(A∩E^c)≦Γ(A) for all A
だから Γ(B∩D)+Γ(B∩D^c)＞Γ(B) for some B
なる D を追加できるるかという問題とすると
外測度の定義に基づいてΓ(B)をΓ(I_n)で近似 したとき
加法性が十分大きなnで破れる（から追加不可能よって最大）
ということでどうでしょう？
0243１３２人目の素数さん
2012/02/16(木) 13:29:06.20ご回答をありがとうございます。
確かにジョルダン測度から構成された外測度なら可測集合族が｢最大｣と言えます。
それで一般の外測度ではどうかと思って質問させて頂いたのです。
0244１３２人目の素数さん
2012/02/18(土) 10:08:39.41f(x)∈L^1(R) かつ ∫_R f=1 とする
このとき lim[t→∞] ∫_R f(x)A(tx)dx はどう求めればいいですか
0245１３２人目の素数さん
2012/02/18(土) 14:20:56.97Σf(x)(2/t-(-1/t))((-1/t)^2)=3Σ(1/t)^3f(x)<SfAdx<3Σ(1/t)(2/t)^2->0
0246１３２人目の素数さん
2012/02/18(土) 14:26:14.290247１３２人目の素数さん
2012/02/18(土) 16:23:42.280248あぼーん
NGNG0249１３２人目の素数さん
2012/02/19(日) 12:05:02.620250１３２人目の素数さん
2012/02/19(日) 13:25:13.090251１３２人目の素数さん
2012/02/19(日) 19:42:14.400252１３２人目の素数さん
2012/02/21(火) 08:59:44.05それは両方あると思います
X={1,2,3} 上の外測度Γで
Γ可測集合族がΓを測度にする最大の定義域になる場合と
広げられる場合が作れる
と思います
>>243 の疑問を最初から持っていたならば
ご自身で検討できると思いますのでお任せします
忙しくてすっかり２ｃｈに来ることが無くなりました
この件ではこれで立ち去ります
0253１３２人目の素数さん
2012/02/21(火) 10:06:16.95あらためて >>241,243 さんに
「Xが有限集合のときはどうか？」という問題を提出します
私が次に戻ってくるまでこのスレがあるかどうか分かりませんが
0254１３２人目の素数さん
2012/02/21(火) 20:44:49.13お答え頂きありがとうございます。最大とならない場合をつくることまではしていなかったので考えてみようと思います。
ただ、この問いは基本的なものだと思うのですが、
測度論の本をいくつか読んでみても書いてないのは不思議です…
0255１３２人目の素数さん
2012/02/22(水) 07:27:40.990256１３２人目の素数さん
2012/03/10(土) 04:28:14.320257あぼーん
NGNG0258あぼーん
NGNG0259あぼーん
NGNG0260あぼーん
NGNG0261あぼーん
NGNG0262あぼーん
NGNG0263あぼーん
NGNG0264あぼーん
NGNG0265あぼーん
NGNG0266あぼーん
NGNG0267あぼーん
NGNG0268あぼーん
NGNG0269あぼーん
NGNG0270あぼーん
NGNG0271あぼーん
NGNG0272あぼーん
NGNG0273あぼーん
NGNG0274あぼーん
NGNG0275あぼーん
NGNG0276あぼーん
NGNG0277あぼーん
NGNG0278あぼーん
NGNG0279１３２人目の素数さん
2012/06/08(金) 08:48:44.42伊藤もそうですか？
0280あぼーん
NGNG0281１３２人目の素数さん
2012/06/14(木) 01:06:34.02吉田耕作？ 「測度と積分」だっけか。 その本は読んでないなぁ。
伊藤清三はかなり丁寧だと思うよ。丁寧すぎて読みづらい場合は
志賀さんの「ルベーグ積分30講」とかがオススメ。
0282あぼーん
NGNG0283あぼーん
NGNG0284あぼーん
NGNG0285１３２人目の素数さん
2012/07/22(日) 23:22:55.53よく記述されているのですが、コーシーの主値積分のルベーグ積分の中での
扱い・関係に関する結果ってありますか？
0286１３２人目の素数さん
2012/07/27(金) 17:09:59.79Lebesgue積分に広義積分の概念は無い。
0287あぼーん
NGNG0288あぼーん
NGNG0289あぼーん
NGNG0290あぼーん
NGNG0291１３２人目の素数さん
2012/10/12(金) 17:43:01.05２、演習問題が沢山のってて（全体で３００問とか）
３、ハール測度の解説（存在証明）までのってる
そんな素敵な本はありませんでしょうか。
0292あのこうちやんは始皇帝だった
2012/10/12(金) 20:00:07.02２０代と６０代の、ニート・無職の、女性恐怖症の、頭デッカチの虚弱児・ひ弱の、ゴミ・クズ・カス・無能・虫けらのクソガキども！
死ね！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！
0293あぼーん
NGNG0294１３２人目の素数さん
2012/11/19(月) 23:39:43.220295あぼーん
NGNG0296１３２人目の素数さん
2012/12/21(金) 21:45:33.77簡単に作れるから、やってみ
0297名無しさん
2012/12/25(火) 14:04:26.890298狢 ◆yEy4lYsULH68
2012/12/25(火) 14:50:45.29その通り。性犯罪者は何を言っても無駄だから安心して意見を書き込ん
でるのや。ワシの言う事を鵜呑みにされたら困るさかいナ。性犯罪者や
から『こそ』、自由に自分の意見が言えるのや。ソレは誰も信用せえへ
んからなんやワ。そやし意見を言うにはとても便利な立場やね。他人の
意見を鵜呑みにする奴は馬鹿。
そやし今後もガンガンと意見を書き込みまっさー
狢
>996 名前：１３２人目の素数さん ：2012/12/25(火) 13:28:35.52
> >>994
> 数学と無縁な性犯罪者が何言っても無駄だろう。
> それは日本に限らないよ。
> むしろ欧米の方がそういうゴミに厳しいぜ？
>
0299あぼーん
NGNG0300あぼーん
NGNG0301１３２人目の素数さん
2013/03/20(水) 13:35:17.35を満たすルベーグ可測集合Eは存在しますか？
0302１３２人目の素数さん
2013/03/20(水) 13:37:12.54すいませんでした
0303あぼーん
NGNG0304１３２人目の素数さん
2013/05/25(土) 15:12:52.33{ x∈[1,∞) | x^n-int(x^n) → 0 (n→∞)}
のルベーグ測度は0になりますよね？
0305１３２人目の素数さん
2013/05/25(土) 16:24:10.370306１３２人目の素数さん
2013/05/25(土) 19:00:48.58a.e.x∈[1,∞) に対して x^n－int(x^n) は[0,1)内で一様分布するらしい(証明は知らない)ので、
{ x∈[1,∞) | x^n-int(x^n) → 0 (n→∞)} のルベーグ測度は0になる
直接的に測度0を証明してみたら一応できたけど、面倒くさい
0307あぼーん
NGNG0308１３２人目の素数さん：
2013/06/13(木) 04:40:25.67ID:vk2eM44g!a.e.有限可測関数の定義を教えてください。どうしても見つけれないもので。
すいません。
0309１３２人目の素数さん
2013/06/13(木) 12:17:33.310310１３２人目の素数さん：
2013/06/14(金) 07:35:43.95ID:PYk/OtKl!&source=bl&ots=PVMgF2i3Xo&sig=7s4fWH6LnHtlAR5kJwbGM-ZgXfk&hl=en&sa=X&ei=j7i4Uc6KA8LK0gGTl
oGQCw&ved=0CFAQ6AEwBjgK#v=onepage&q=%22L0(X%22%20%22norm%22&f=false
にてL^0(X,μ)はX上のa.e.finite measurable functionsのspaceとなっていて,
初めてa.e.finite measurable functionという言葉を見かけたのですが,,,
どう解釈したらいいのでしょうか?
0311あぼーん
NGNG0312１３２人目の素数さん
2013/06/14(金) 12:51:48.26単にX上の可測関数と思えば良い
0313あぼーん
NGNG0314１３２人目の素数さん
2013/10/13(日) 00:09:00.190315１３２人目の素数さん
2013/10/13(日) 00:11:02.660316１３２人目の素数さん
2013/10/13(日) 00:13:06.870317１３２人目の素数さん
2013/10/13(日) 00:15:07.810318１３２人目の素数さん
2013/10/22(火) 03:24:12.130319１３２人目の素数さん
2013/10/22(火) 11:47:04.790320１３２人目の素数さん
2013/10/23(水) 00:48:06.55R/Qの濃度がRの濃度より大きい
のを受け入れる気にはならないな。選択公理を使わないとバナッハタルスキどころじゃなく病理的な世界が待っている。
0321１３２人目の素数さん
2013/10/23(水) 01:01:54.210322１３２人目の素数さん
2013/10/23(水) 01:26:12.370323１３２人目の素数さん
2013/10/23(水) 01:31:08.200324１３２人目の素数さん
2013/10/23(水) 07:04:51.05「任意のκ、λに対してκ≧λまたはκ＜λ」
は選択公理とたしか同値だからこれも使っちゃいけないと思うけど。
どっちかというと、
選択公理がないと濃度の大小が全順序じゃなくなる、
という言い方の方が適切だと思う。
0325１３２人目の素数さん
2013/10/23(水) 10:16:59.71>>323では使ってないね。既に片側の単射が存在するから。
card(R/Q)≧card(R)
の方は成り立っている。
0326１３２人目の素数さん
2013/10/23(水) 12:55:20.43たぶん >>324 は >>323 へではなく >>320 へのレスと思う
0327１３２人目の素数さん
2013/10/23(水) 17:39:09.290328１３２人目の素数さん
2013/10/28(月) 11:38:31.16>R/Qの濃度がRの濃度より大きい
意外と、そうかも知れない。
0329１３２人目の素数さん
2013/10/28(月) 16:28:32.860330１３２人目の素数さん
2013/10/29(火) 12:53:01.950331１３２人目の素数さん
2013/10/29(火) 15:44:07.840332１３２人目の素数さん
2013/10/29(火) 22:10:52.44だからそれは当たり前だけど、自然数のみに言及する命題でも
やたら超越性の高いものがある
0333１３２人目の素数さん
2013/10/30(水) 14:18:56.620334１３２人目の素数さん
2013/10/31(木) 12:15:45.25って幾何学的に図形を見れば明らかだからどの本も
証明もなにものってないじゃないですか。
A×Cが四角形なんて決まり無いのに勝手にしてますよね。
幾何学なしで証明って出来るんですか？
0335１３２人目の素数さん
2013/10/31(木) 12:25:37.190336１３２人目の素数さん
2013/10/31(木) 19:18:19.160337１３２人目の素数さん
2013/10/31(木) 22:55:23.61直積集合のこと？
0338１３２人目の素数さん
2013/11/05(火) 08:21:05.950339１３２人目の素数さん
2013/11/05(火) 12:55:07.990340１３２人目の素数さん
2013/11/05(火) 21:57:43.36>>334がそのつもりで書いているようには思えんのだが
0341１３２人目の素数さん
2014/01/15(水) 08:10:10.82Tを位相としますと,
T∪{∪_{k=1}^∞G;G^c∈T}はσ集合体の定義を満たすのでこれはTを含む最小のσ集合体になると思うのですがいかがでしょうか?
0342１３２人目の素数さん
2014/01/15(水) 09:21:17.730343１３２人目の素数さん
2014/01/15(水) 14:02:01.80A,B∈Tの時でしょうか?
B^c∈{∪_{k=1}^∞G;G^c∈T}なので,
A∪B^c∈T∪{∪_{k=1}^∞G;G^c∈T}でうまくいっていると思います。
0344１３２人目の素数さん
2014/01/15(水) 14:47:53.04横レスだが、A, B ∈ T に限定したら証明にならんぞ。
T∪{∪_{k=1}^∞G;G^c∈T} がσ集合体ならば、
A, B ∈ T∪{∪_{k=1}^∞G;G^c∈T} のとき
A∪補B ∈ T∪{∪_{k=1}^∞G;G^c∈T}
が成り立つはずだが、これをどうやって証明するのか？
0345１３２人目の素数さん
2014/01/15(水) 22:43:07.19一般には可算個の開集合達の共通部分は開にはならないので
そのような例をとってきてTをその位相、
{U_k}k∈Nを、∩U_kが開にならないような開集合続とする。
このときG_k=(U_k)^c、B=∪G_kとするとBは含まれてもB^cが含まれない
0346１３２人目の素数さん
2014/01/15(水) 23:31:36.64B^c＝∩G_k^c＝∩U_k であるから、もし∩U_k が
可算無限個の閉集合の和で表し直せるなら、B^c も含まれてしまう。
従って、今のままでは反例になってない。
正しい反例は、たとえば次のようにすればよい。
Rの通常の位相をTとして、有理数全体の集合をQとすれば、
Q ∈ T∪{∪_{k=1}^∞G;G^c∈T} が成り立つ(簡単に言える)。しかし、
Q^c ∈ T∪{∪_{k=1}^∞G;G^c∈T} は成り立たない(ベールのカテゴリ定理を使う)。
0347１３２人目の素数さん
2014/01/16(木) 00:01:54.59たとえば、Rの通常の位相をTとして、U_k＝(‐1/k, 1/k)∈T とすると、
∩U_k＝{ 0 } であり、これは開でないので、もし >>345 が正しいなら、
G_k＝(U_k)^c、B＝∪G_k としたとき、B は含まれるが B^c は含まれないはず。
確かに B ∈ T∪{∪_{k=1}^∞G;G^c∈T} は成り立つ(明らか)ものの、
一方で B^c ∈ T∪{∪_{k=1}^∞G;G^c∈T} もまた成り立ってしまう(よって>>345は正しくない)。
実際、B^c＝∩U_k＝{ 0 } であるから、G'_k＝{ 0 } (k＝1), φ (k≧2)
として閉集合の列 { G'_k }_k を作れば B^c＝∪G'_k と表せるので、
B^c ∈ T∪{∪_{k=1}^∞G;G^c∈T} が成り立ってしまう。
結局、>>345 の説明では反例になってない。
正しい反例の一例は >>346 の後半で既に挙げたが、
>>345 の方針で反例を記述するなら、開集合の列 { U_k }_k であって
(1) ∩U_k は開集合でなく、高々可算無限個の閉集合の和にもならない
という条件を満たすものを持ってくればよい。このとき、
G_k＝(U_k)^c、B＝∪G_k とすれば、「 B は含まれるが B^c は含まれない 」
となって反例になる。しかし、上記の(1)が満たされるように開集合の列
{ U_k }_k を作るのが非常に大変で、「高々可算無限個の閉集合の和にならない」
の場所で結局ベールのカテゴリ定理に相当する定理が必要そうに見える。
0348１３２人目の素数さん
2014/01/16(木) 12:07:31.31A,B∈T のとき、A,補B∈W だが、
A∪補B∈W ではない。
0349１３２人目の素数さん
2014/03/10(月) 12:27:59.16そのunitは常にXと考えてしまっても良いですか。
それとも、Xよりも小さな集合がunitであるようなsemi-algebra of setsも
構成し得るのでしょうか。
0350１３２人目の素数さん
2014/03/10(月) 13:13:35.120351１３２人目の素数さん
2014/03/10(月) 15:29:26.430352１３２人目の素数さん
2014/03/10(月) 16:00:06.59共通部分∩に関する単位元のことです。
つまり、semi-algebraに含まれる集合Eがunitであるとは、やはり
semi-algebraに含まれる任意の集合Aに対して、
E∩A=A
が成り立つことと定義されるのだと思います。
0353１３２人目の素数さん
2014/03/10(月) 16:05:17.47そんなもんsemi-algebraの定義になんの関係がある？考えるのはかってだが
0354１３２人目の素数さん
2014/03/10(月) 16:23:20.07測度について勉強しています。
集合Xの部分集合系であるsemi-algebra上に定義されたσ-加法的測度を用いて
外測度を定義する段において､"semi-algebra with unit E"と指定されていた
ので､unitがXではないsemi-algebraがありえるのか？という疑問を抱きました。
些末な疑問でしたらすいません。
0355１３２人目の素数さん
2014/03/10(月) 19:40:19.64Xをunitと呼ぶと書いてあるので定義だろう
0356１３２人目の素数さん
2014/03/14(金) 21:28:05.110357１３２人目の素数さん
2014/03/14(金) 22:45:19.690358１３２人目の素数さん
2014/03/15(土) 01:15:05.710359１３２人目の素数さん
2014/03/15(土) 22:54:19.380360１３２人目の素数さん
2014/03/15(土) 23:01:34.070361１３２人目の素数さん
2014/03/16(日) 12:57:03.00違ってる所から先を書く必要ねーだろ
0362１３２人目の素数さん
2014/03/23(日) 12:50:38.210363１３２人目の素数さん
2014/03/24(月) 22:28:27.530364１３２人目の素数さん
2014/04/09(水) 01:00:41.20[a,b) (-∞<a≦b<+∞)
で覆える理由が分かりません。また､仮に覆える場合､上の有界区間の長さを､
b-a
で定義するとき､Rを覆う可算個の有界区間の和が+∞になるのはなぜなんでしょうか？
0365１３２人目の素数さん
2014/04/09(水) 01:07:36.890366１３２人目の素数さん
2014/04/09(水) 07:46:53.24開集合を半開区間の直和で覆える（証明をみる限り加算個で）っていうのは
ある種の近似の感覚ですよね？ 無限に精度を上げていけるみたいな
0367１３２人目の素数さん
2014/04/09(水) 08:40:14.22a≦b ？
a＜b となるものが有限個
だったら覆えない。
アルキメデス性の話を
したいんだろうけど。
366
それは、[1/n,1) n∈自然数が
(0,1) を覆うような話を
しているのか？
覆うだけなら、[0,1) だけで
覆ってもいいはずだが。
0368１３２人目の素数さん
2014/04/09(水) 08:44:37.260369１３２人目の素数さん
2014/04/09(水) 09:18:15.080370１３２人目の素数さん
2014/04/09(水) 10:17:57.75これは失礼
当方の引用が間違っておりました
-----------------------------------------------------------------------
「開集合は交わらない半開開区間の列の結び（直和）として表すことができる．」
例えばR上の開集合Gの場合、
Ap＝∪｛ [ n/2^(p-1)，(n+1)/2^(p-1) ) | n∈Z， [ n/2^(p-1)，(n+1)/2^(p-1) ) ⊂ G-∪_{p=1}^{\infty} Ai ｝
による列、A1，A2，…，Ap，…、により
G=∪_{p=1}^{\infty} Ai
が成り立つ．
-----------------------------------------------------------------------
（善意でここに集われ、無用のフラストレーションを抱えられた皆様に深くお詫びします）
0371１３２人目の素数さん
2014/04/09(水) 10:33:39.10Ap＝∪｛ [ n/2^(p-1)，(n+1)/2^(p-1) ) | n∈Z， [ n/2^(p-1)，(n+1)/2^(p-1) ) ⊂ G-∪_{p=1}^{\infty} Ai ｝
~~~~~~~~
ココ ↑
＾{p-1} の間違いっす
さーせん
0372１３２人目の素数さん
2014/04/09(水) 10:35:05.090373１３２人目の素数さん
2014/04/09(水) 12:48:47.220374１３２人目の素数さん
2014/04/09(水) 13:25:50.800375１３２人目の素数さん
2014/04/09(水) 13:38:33.13見栄張らずにに松坂の集合・位相入門とかその類の入門書でお勉強しなさい。
0376１３２人目の素数さん
2014/04/09(水) 13:53:01.530377１３２人目の素数さん
2014/04/09(水) 20:36:35.79あまり一般位相の細かい知識ってルベーグ積分に役立たんよね
0378１３２人目の素数さん
2014/04/09(水) 20:50:32.95不謹慎にも各時代の学徒がずいぶん書き込みをしている
その内容の凡夫レベルさに
わが身と照らして親しみを感じるやら励まされるやら
0379１３２人目の素数さん
2014/04/09(水) 21:04:49.620380１３２人目の素数さん
2014/04/09(水) 22:06:29.60帰って来て開けたら私のことぼろ糞である
位相は勉強したんだけど演習とかこなしてないの見抜かれてんだなぁ
0381１３２人目の素数さん
2014/04/09(水) 22:31:31.490382１３２人目の素数さん
2014/04/09(水) 22:39:04.60何読んでんの？
0383１３２人目の素数さん：
2014/04/15(火) 06:39:48.71可測空間(Ω,Σ),E∈Σにおいて,Map(E,[-∞,+∞])∋fがE上の有限Σ可測関数であるとは
(i) fはE上のΣ可測関数, (ii) f(E)は有界.
の時のことを言う。
測度空間(Ω,Σ,μ),E∈Σにおいて,Map(E,[-∞,+∞])∋fがE上のa.e.Σ可測関数であるとは
(i) fはE上のΣ可測関数, (ii) μ({x∈E;x∈f^-1({±∞})})=0.
の時のことを言う。
0384１３２人目の素数さん
2014/04/15(火) 08:36:19.94教科書に書いてあるとおり
0385１３２人目の素数さん：
2014/04/15(火) 10:06:11.25正解ということでしょうか?
0386１３２人目の素数さん
2014/04/15(火) 11:44:07.120387１３２人目の素数さん：
2014/04/15(火) 13:41:59.09といいますと?
0388１３２人目の素数さん
2014/04/15(火) 15:53:00.990389１３２人目の素数さん
2014/04/15(火) 16:15:04.900390１３２人目の素数さん
2014/04/15(火) 21:52:36.200391１３２人目の素数さん：
2014/04/16(水) 10:41:58.97ご自身の本の流儀はどのようになっているのでしょうか?
0392１３２人目の素数さん
2014/04/16(水) 10:50:02.720393１３２人目の素数さん
2014/04/16(水) 11:40:04.76日本語を勉強しないと馬鹿に見えるよ、松坂君
0394１３２人目の素数さん
2014/04/16(水) 12:42:09.80本屋行け
0395１３２人目の素数さん：
2014/04/18(金) 11:06:49.510396１３２人目の素数さん
2014/04/18(金) 14:01:29.810397１３２人目の素数さん
2014/04/19(土) 00:05:56.310398１３２人目の素数さん
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