ルベーグ積分は

測度と積分―入門から確率論へ

が（最初の一冊としては）一番いいと思うけどね
測度論もごまかしてないし、演習問題の答えも全問あるし
全体の半分くらいのページでFubiniの定理まで述べて、残りで応用という感じ
絶版になってるのが痛いけど、今の時代なんとかすれば手に入るだろ