>>323
ある試行においてA,B,Cそれぞれa+1,b+1,c+1回引くとする。
つまりAはa回、Bはb回、Cはc回連続で外れて、最後の1回で当たる。
(a,b,c)で引き方を表すとする。
1,2,回では終わらない。
3回で終わる引き方は(0,0,0)。
4回　　　　〃　　　　　 (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)
5回　　　　〃　　　　　 (1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)
　　　　　　　　　　　　　(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2)
　　　　　　・・・
m回で終わる引き方は
a+b+c=m-3となる0以上の整数(a,b,c)の組全て。
　　　　　（全部で(m+1)m/2通り）
p=1-1/n、q=1-(1/n)^2、r=1-(1/n)^3として、
f(x)=x^3*Σ_[i=0,∞](px)^i*Σ[j=0,∞]_(qx)^j*Σ[k=0,∞]_(rx)^k
とおいて、xのm次の項の係数t[m]とすると、(1/n)*(1/n)^2*(1/n)^3*t[m]は
ある試行がくじをm回引いて終わる確率である。
f(x)=Σ[k=0,∞]_t[m]x^k
f(x)=x^3/{(1-px)(1-qx)(1-rx)}　(等比級数を変形)　だから、
Σ[k=0,∞]_(1/n^6)*t[k]*k*x^k=(1/n^6)*x*Σ[k=0,∞]_t[m]k*x^(k-1)
　　　　　　　　　　　　 =(1/n^6)*x*f´(x)
　　　　　　　　　　　　 =(1/n^6)*x*[3x^2*(1-px)(1-qx)(1-rx)+x^3*{p(1-qx)(1-rx)+q(1-rx)(1-px)+r(1-px)(1-qx)}]/{(1-px)^2(1-qx)^2(1-rx)^2}
上式にx=1を代入して、
(試行終了までの回数の期待値)=(1/n^6)*{3(1-p)(1-q)(1-r)+p(1-r)(1-q)+q(1-r)(1-p)+r(1-p)(1-q)}/{(1-p)^2(1-q)^2(1-r)^2}
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　=n^3+n^2+n

母関数を使った。高校範囲じゃないがこれ以外思いつかない。
答えに確信も持てないけど>>332と同じだから大丈夫かな…
それと収束発散云々細かいところは多めに見てくだしあ。