>>153
先に簡単な方から行くと、最初の例は
f(x):=1 if x\notin {\Bbb Q}\cap [0,1]
=0 if x\in {\Bbb Q}\cap [0,1]
g(x):=1 for x\in [0,1]
は有名な例ですが、これは写像としては異なりますが、でもルベーグの
意味での可測函数の範疇の中では全く同じモノです。加えて特にこの両
者共に「その全ての値を（表として）与えてしまってる」という意味で
はアッカーマン函数の場合に問題にして居られた疑問に答えていると思
います。

まあ更に追加すれば、例えばL^2(X,\mu )の元としては「測度ゼロは無
視して、その同値類で考える」ので、従って見掛けが異なる複数の函数
がその集合の中では全く同じ元を代表（というか表現）します。

次の例は（一変数の）複素解析関数で、例えばある無限級数表示を持つ
解析関数が接続公式に拠って全く別の表示を持つ場合がアリマス。でも
一致の定理から：
★★★「ある開集合上で定義さえされていれば、ソレが
　　　　　　　　　解析接続される領域までは一意的に拡張される。」★★★
という場合は関数としては違う表示が全く同じ実体を表します。（但し
多価性を持つ場合は除外。）これはあたかも多様体が、その埋め込まれ
る先のユークリッド空間の選択に依存して違って見える場合がアル事に
相当するかも知れません。また局所座標の取り方に拠って多様体の見え
方が異なるとか、そういう話とも類似しています。

（続きます）