JMO2012
(1)
正方形ABCD上がある。点P,Q,R,Sがそれぞれ辺AB,BC,CA,AD上にあり,PR//BC,SQ//ABである。PR,SQの交点をzとする。BP=7,BQ=6,DZ=5のとき一辺の長さは？
(2)
円周上にA,B,C,Dがこの順にあり
Bでの接線とABのなす角は30度,Cでの接線とCDのなす角は10度。AB//CDで、えんの中心について反対側にある。
∠BDC=??
(3)
a-gを相異なる一桁の自然数とするとき、abc,def,ghiの最大のものをNとする。考えられる最小のNは？
(4)
Aを3の倍数だが9の倍数でない自然数とする。Aの各位の積をAに足すと9の倍数になった。最小のAはいくつ？
(5)
約数の積が24^240となる数を全て求めよ。
(6)
2･100の升目があり各マスを青か赤で塗りつぶす。次の条件を満たす塗り方は何通りある？
・赤も青も１ます以上ある。
・赤のマスも青のもつながっている。ここで、つながっているとは異なる二つのマスが辺を共有すること。
(7)
Oは△ABCの外心。AB上にD,AC上にEがある。DEの中心がOとなった。
AD=8,DB=3,AO=7のときCEは？
(8)
次を満たすように自然数列を書く方法は何通り？
・はじめに2012を書き、最後に1を書く。nの次は√n未満の自然数を書く。
(9)
A君とB君が黒板に二つずつ自然数を書いた。A君の積はBくんの和の二倍と等しく、B君の積はA君の和の二倍と等しくなった。またA君の和はB君の和より大きい。B君の書いた数の和として考えられるものを全て求めよ。
(10)
[1000000/n]-[1000000/(n+1)]=1
を満たす自然数nはいくつある？
ただし[]はガウス