>>764
俺数学の講師やってるからその手の解説は得意。

まず、整数問題では一見極めて不自然な変形をしているように見えることがある。例えば>>763。
そこで整数問題をたしなむにあたって、次のことを頭に入れておく。

「整数問題では、文字を一つにするのではなく、項数を一つにする方向で考える」…(＊)

もちろん、文字を消去できればすればいいし、それで簡単になるのならそれに越したことはないが、整数問題では得てして一文字消去が困難またはそれにより複雑になってしまうことが多い。
よって(＊)が原則的に有効である。

ところで今回の問題だが、二次方程式に判別式を用いることまでは理解できているので、最後の式変形について解説する。

4a+4b+ab=0が得られているが、一見すると文字二つに対し、式が一つなので、当然これは解けない。
しかし今a,bは整数である。つまり上式を解くのは整数問題である。よって(＊)が頭の中にあるべきなので、上式に対して'項数を一つにする変形'を行おうと自然に発想できる。
つまり
4a+4b+ab=(a+4)(b+4)-16=0
(a+4)(b+4)=16…①
という変形を行おうと発想できる。

もちろんこれは整数問題独特である。いくら①のように変形できても、整数問題でない、つまりa,bが整数でなく、実数としか定められていなければ、①により何も情報は得られない。
つまり右辺が0にならなければ、①は無意味なのであり、結局は文字を一つにしなければいけない。
今回は整数問題だからこそ、右辺が0でなくとも、'項数を一つにする'、それだけの発想で解けてしまうのだ。

最後に、解答を見て、感動するのはいいことだが、それで終わってしまっては意味はない。なぜならそれを自分で再現できなければ無意味であるからだ。
よって今持っている「どうしてそんな独特な変形をしたのか？」「どうしたらそんな変形を自分もしようと思えるのか？」という疑問を、大切にして欲しい。