>>874
とりあえず[0,1)×[0,1)〜[0,1)の証明なら
それで[0,1)×[0,1)→[0,1)の単射が出来たんだから
あとは逆向きの単射を作ってベルンシュタインの定理

具体的に全単射を作るなら

sを無限小数展開(無限に0が続かない方）
s=0.s_1s_2……

のところでs_kを「0個以上の0のならびと1〜9」にする
例えば
s=0.1111111111……
t=0.0999999999……
とすると
s_k=1
t_1=09, t_k=9 (k>1)
p=0.109191919191919……

次の例
p=0.111010101010101…
これをstにもどす
p_k=1,1,1,01,01,01,01,01,01…
s=0.11010101…
t=0.1010101…