円周率を、径と面積/周の比と定義「しない」で、
sin(θ) と cos(θ) を無限和の式で定義して、周期性の存在をだし、その周期をπとして定義する。
sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1 を導き、
最後に 原点から等距離の点の集合が、sin/cos で表せることを提示して、
その周と面積を出す。

これが今時の証明だとおもうんだが
高校生くらいでも理解できると思う。