>>125
純粋に数学分野だけで考えるとその疑問は永遠に解決しないと思いますよ。
例えば関数概念と写像概念を明確にわけて議論することもできますが、この場合ご自身で「関数」と「写像」を教科書にあるのと同等程度に暗唱できないと、
Σで定義するような指数関数などの初等関数なんかも関数の議論なのか写像の議論なのか混同したままで、関数は級数に展開できて（例えばテイラー)、その手順と計算方法（係数と微分)という理解で止まり、
予め用意してある極限や微分積分の典型計算問題は解けるかもしれませんがその計算式・計算手順の内部に内包されている関数・写像・級数・展開などの数学概念を永遠と会得できないでしょう。
つまり、その議論について数学分野だけのこととして考えるとその疑問は永遠に解決しないと思います。

たまたま今回は任意精度の数値計算の議論で、写像概念を具体的な道具として使うことになりますが、Σによる関数の定義は
高校3年にあるように写像じゃなくて無限等比級数や無限数列とその無限級数の部分和であり集合論（有界とか)じゃないか、
さらに伝統的には大学以降ではそこから、極限と収束、連続性と関数表現の議論になるじゃないとか、という主張ももっともな意見です。

ただ、数学理論分野でなく情報分野で実際にその概念を表現し例えば任意精度表現でその概念について議論していると、
前述の集合や有界や連続などとまったく別の方法（理論)によるアプローチもあるなってのが見えてきます。
解析や収束・数列集合以外のアプローチを簡単に書けば、f[x]:=e^xの時のスカラー値とは解析の議論でいうような収束半径や真値の近傍という概念ではないということです。
（任意精度の)指数関数なら底はeでなくとも (1+y)^(a/b) などして議論出来るので二項定理も使えるし底がeならpolyの豊富な理論も利用できるのでさらに興味深い議論に発展するでしょう。