>>25
まだやってたのかよ。しかも(3)が完全に間違ってるぞ。(*)から言える不等式は
0 ＜ nx[n]^2 ＜ n*(π/2)^2　だから、n→∞としても何も言えないでしょ。


かわいそうだから解いてやったぞ↓

(3)の解答：1−cos(t)＝2sin^2(t/2) に注意して、

x[n]^2＝4n*(1−cos x[n])−1＝8n*sin^2(x[n]/2)−1 となる。

よって n*sin^2(x[n]/2)＝(x[n]^2＋1)/8 となる。この等式でn→∞とすると、

右辺は 1/8 に収束するから、lim[n→∞] n*sin^2(x[n]/2)＝1/8 …(a) となる。

次に、lim[t→0] t/(sin t)＝1 及び lim[n→∞](x[n]/2)＝0 から、

lim[n→∞](x[n]/2)/(sin(x[n]/2))＝1 となる。すなわち

lim[n→∞]x[n]/(sin(x[n]/2))＝2 …(b) となる。最後に、

n*x[n]^2＝n*x[n]^2*sin^2(x[n]/2)/(sin^2(x[n]/2)) ＝ (n*sin^2(x[n]/2)) * (x[n]/(sin(x[n]/2)))^2

だから、この等式でn→∞とすると、右辺は(a),(b)より(1/8)*2^2に収束する。

すなわち 1/2 に収束する。よって lim[n→∞] n*x[n]^2＝1/2 となる。[終]