>>10がようやく解けましたので、解答をここに披露いたします。

(1) f'(x)=2x-4nsinx+1-4n < 2x-4n+1-4n < π+1-8n <0　（0<x<π/2）
よって、f(x)は0≦x≦π/2で単調減少である。
また、f(0)=1, f(π/2)=π^2/4+1-4n<0だから、中間値の定理より、
f(x)=0となるxが0<x<π/2に存在する。f(x)はこの区間で単調減少であることから、そのようなxはただひとつである。

(2) f(x[n])=0
x[n]^2+4ncosx[n]+1-4n=0
0<x<π/2より
4ncosx[n]+1-4n<0
0<(π/2)^2+4ncosx[n]+1-4n
∴ (4n-1-(π/2)^2)/4n<cosx[n]<(4n-1)/4n (*)
n→∞とすると、はさみうちの原理よりcosx[n]→1
cosxは連続で、0<x<π/2で一対一なので、x[n]→0

(3) nf(x[n])=0
∴ nx[n]^2=4(1-cosx[n])n^2-n
(*)より
4(1-(4n-1)/4n)n^2-n<nx[n]^2<4(1-(4n-1-(π/2)^2)/4n)n^2-n
∴ 0<nx[n]^2<(π/2)^2/n
n→∞ とすると、はさみうちの原理より、nx[n]^2→0