よくよく言っておくが元々のヒルベルト計画だって、
あくまで或る程度の算術＋αを出発点として認めて
そこからスタートして解析学の無矛盾性を証明しようって計画だから
これだって無前提の議論じゃないんだよ

あと何度も言ってるけど、>>4は
集合論を或る程度、強制法とまではいかなくても、
レーヴェンハイム・スコーレムの定理とか
LがZFCのクラスモデルになっていることの証明とかまで勉強した方が良い。
特に前者なら結構簡単に勉強出来る。
前者はZFCの可算なモデルを作ったりする定理。
後者にはV=LとLの住人にとっての(V=L)^Lは違うとかそういうことが出て来る。
思想的なことはともかく（元の体系を前提にしたうえでの）
独立性とかの証明には役に立つことが実感として分かると思う。