集合論の外側の論理学と集合論上での論理学が混同されている。

集合論の外側の1階論理の言語は元々紙の上に書かれた記号列として
論理式が定義されたり証明されたりする。
つまり集合論の外側で暗黙の了解で作られた論理。

集合論上の論理学は集合論の内部のオブジェクトへ対応する
述語として定義される。
AxiomとかBewとかProvみたいな述語もこれ。
（ただしこれに似た述語を扱いはじめたGedelの不完全性定理は、
単純な記号列を算術上に展開する方法を提供しているが、
証明過程では直接モデルの側は扱っていない。
彼は真偽値ではなく計算可能性など計算論的視点で証明してた。）

数学（ZFC）を記述する集合論Aは集合論A'上で展開可能で、
2つの集合論A,Bでの相対的無矛盾性などの証明が可能。
この議論の形式化の土台となる集合論A'がどういったものかは
あまり本などで説明されないのだが、
累積的階層や順序数全体の集まりを記述するため
Properクラスを記述可能なBGC（ZFCと無矛盾等価）などで
なければならないと言われている。

ただし1階論理では記述不可能な数学的な命題も
存在すると言われている。（江田の数理論理学など参照）
その場合2階以上の論理学は1階論理の中で形式化可能。

最近では集合論上の1階論理を自然に拡張した
Ω-論理という従来より強い論理学が考案された。
The Continuum. Hypothesis, Part I, Part II, W. Hugh Woodin