数学だって何だって議論の前提として無条件に認める公理無しには
何も証明できないことは当然で、数理論理は無前提の学に違いないとかいうのは
ただの思い込みに過ぎない

それに（数学的公理無しの）述語論理の無矛盾性は割と弱い自然数論から
導けるので、別に論理体系の無矛盾性自体は解決していると思って良い
弱い自然数論というのは例えば、
"0"という記号と"≠"という記号と"0"という記号を並べると"0≠0"という偽の命題になります、
みたいな感じで有限の記号列を扱う為にどうしても必要な数学なので
この程度は前提にしないと何も議論できない