>>750
(2+√2)^n+(2-√2)^n
=Σ[k=0,[n/2]]C[n,2k]2^(n-2k)*(√2)^(2k)
=Σ[k=0,[n/2]]C[n,2k]2^(n-k)
となるので(2+√2)^n+(2-√2)^nは整数。
0＜2-√2＜1より0＜(2-√2)^n＜1で、
(2+√2)^n+(2-√2)^nは整数なので
(2+√2)^n+(2-√2)^nは(2+√2)^nの整数部分に1を足したものとなる。
よって(2+√2)^nの小数部分は
(2+√2)^-{(2+√2)^n+(2-√2)^n-1}=1-(2-√2)^n
n→∞で1-(2-√2)^nは1に収束する。