>>400
自分ではこれぐらいしか思い付かない。

R^n ⊂ R^{n+1} をx→(x, 0)で埋め込んで、
R^{n+1} \ R^nには普通の測度を入れる。

この帰納極限R^∞の中でn単体xΔ^nの体積はx^n / n!で、∞単体xΔ^∞の体積はe^x。

n単体はx倍すると体積はx^n倍になり、
∞単体はx倍すると体積はe^x倍になる。

うーん、トートロジーだけど、単位球の体積でπが出てきて、単位単体の体積でeが出てくるのか。