ax+by=0

これは
(a,b)・(x,y)=0 と見ると
ベクトル(a,b)に垂直な直線を表わすことがわかります。

ax+by=Cの時は
(a,b)・(x,y)=C と見ると
内積がCというのはどう考えたら良いですか？

(a/c,b/c)・(x,y)=1 と見ると
ベクトル(a/c,b/c)と平行な直線を表わすんですか？

(a,b,t)・(x,y,-2/t)=0 （t≠０）見ると
ベクトル(a,b,t)に垂直な直線を表わす？？