t>0　f(x)＝(tx+1)/(x^2+t^2)の最小値g(t)がtの減少関数になることを示せ、という問いなのですが
g(t)を求めるとき解答では分母を払ってxの二次式として判別式を利用して最小値を求めているのですが、なぜ判別式を使えるのですか？

解答でD≧０なってますがどこから二次方程式が解をもつとかの条件をみつけたのかが分かんないです