>>329
A=[[a,b],[c,d]], E=[[1,0],[0,1]]とする。

ad-bc≠0のとき、HC定理から
A^2-(a+d)A+(ad-bc)E=O
⇔A^-1A^2-(a+d)A^-1A+(ad-bc)A^-1E=A^-1O
⇔A-(a+d)E+(ad-bc)A^-1=O
⇔(ad-bc)A^-1=-A+(a+d)E]
⇔A^-1=1/(ad-bc)(-A+(a+d)E)
⇔A^-1=1/(ad-bc)([[-a,-b],[-c,-d]]+[[a+d,0],[0,a+d]])
⇔A^-1=1/(ad-bc)[[d,-b],[-c,a]]

ad-bc=0のとき、HC定理から
A^2-(a+d)A+(ad-bc)E=O
⇔A^2-(a+d)A=O
⇔A^-1A^2-(a+d)A^-1A=O
⇔A-(a+d)E=0
⇔A=(a+d)E
⇔[[a,b],[c,d]]=[[a+d,0],[0,a+d]]
⇔a=a+d, b=0, c=0, d=a+d
⇔a=b=c=d=0
このとき、 A=Oであるから、AA^-1=EなるA^-1は存在しない。