f(x) = (x-1/2)^2 -a^2+4a-1/4の最小値をm(a)とすると
(i) a >= 1/2の時 m(a) = f(a) = 3a
(ii)a < 1/2の時 m(a) = f(1/2)=-a^2+4a-1/4

とのことなのですが、これがよく分かりません。
グラフf(x)軸が1/2なので、xの値域の左端AがA>=1/2であれば最小値はf(A)になり、またA<1/2であればf(1/2)であることは分かります。
しかしどうしてm(a)のaがa>=1/2の時、xの値域の左端はx=>1/2であるとなっているのでしょうか？
論理の繋がりが見えません。