確かにそうかもしれないですが、皆さんから頂いた回答が違かったのです
一応、回答を書いて置きます

x''-2x'+x=e^t+t
この式の過渡解は
xc(t)=Ae^t+Bte^t
定常解は解の形を予想して
xp(t)=Ct^2e^t+Dt+E
と置き、与式に代入すると
2Ce^t+Dt+(-2D+E)=e^t+t
となり、上式より
C=1/2,D=1,E=2
となります
よって与式の一般解は
x(t)=Ae^t+Bte^t+0.5t^2e^t+t+2
となります