>>43
a∈A とA の上界 b を選び、
区間 (a,b) 内の有理数全体に番号付けをして
c1, c2, c3,..., cn,... とする。

a1=a とし、
cn が A の上界のとき、a{n+1}=an とし、
cn が A の上界でないときは、cn<x, an≦x となる x∈A があるので、
この x を用いて a{n+1}=x と定める。

{an} は単調増加な数列で、an≦b なので極限値 s を持つ。
s が A の上界でなければ s<x∈A となる x が存在するが、
s<cn<x となる有理数 cn が存在することより、cn≦s と矛盾する。
r<s となる r に対して、r<an となる an が存在するので、r は A の上界ではない。