>>39
ありがとうございます。
>>40
ありがとうございます。こういう解法をすぐに思いつくのって、本当にすごいですね。
終盤の行間を埋めるのに時間がかかり、返事が遅くなってしまいました。
こんな感じでしょうか。

Aのすべての上界からなる集合をU(A)で表す。
minU(A)の存在を示すことが目的。
数列の作り方より、任意のn,m∈Nについて an≦bm なので
　sup{an}≦inf{bn}　…(1)
が成り立つ。また、sup{an}∈U(A)なので
　infU(A)≦sup{an}　…(2)
が成り立つ。さらに、{bn}⊂U(A)より
　inf{bn}≦infU(A)　…(3)
が成り立つ。(2)と(3)より
　inf{bn}≦sup{an}
なので、これと(1)より、sup{an}=inf{bn}が得られる。さらに、
　minU(A)≦minU({an})≦sup{an}
　inf{bn}≦minmin{bn}≦minU(A)
という2つの不等式から、inf{bn}≦minU(A)≦sup{an}が得られるが、
sup{an}=inf{bn}なので、minU(A)=inf{bn}=sup{an}となる。