高校生のための〜というスレですれ違いと指摘されたので、こちらで質問させてください。
実数の連続性について勉強しています。

公理I
部分集合A⊂Rについて、Aが上に有界ならば、supAが存在する。

公理II
上に有界な単調増加数列{x_n|n∈N}はsup{x_n|n∈N}に収束する。

公理I⇒公理IIの証明は問題ないのですが、公理II⇒公理Iの証明ができず、教科書などにものっていません。
実数の連続性に関する他の諸公理を経由せずに、公理II⇒公理Iを示したいのですが、公理IのAから
単調増加数列がつくれずに困っています。方針だけでも教えて頂けると助かります。

Rは全順序集合なので、Rのすべての要素は小さいものから大きいものへと順番に並べることができる。
Rの要素をそのように並べた上で、順序を保ったままAの要素を取り出すと、Aの要素は単調増加になっている。
こういう考え方は間違いでしょうか？