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> ボルツァーノ・ワイアシュトラウスの定理から、カントールの区間縮小定理

これは
A_1≦A_2≦A_3≦…≦B_3≦B_2≦B_1　　…(1)
を満たす数列{A_n}, {B_n}から収束部分列を選び，その極限をそれぞれＡ，Ｂとすると，
A_1≦A_2≦A_3≦…≦A≦B≦…≦B_3≦B_2≦B_1　　…(2)
となることが示せる．
これまた背理法で簡単．
(2)はすなわち∪[An, Bn]⊃[A,B]≠φということ．

さらに数列{An-Bn}が0に収束するときはＡ＝Ｂ．
またまた背理法で簡単．