準1級2次、522の答案
(1) cos(2π - 2c) + cos(2π - 2A) + cos(2π - 2B) = 1
-cos2c - cos2A - cos2B = 1
-2{cos(C + A)cos(C - A)} - cos2B = 1
-2{cos(2π - B)cos(C - A)} - cos2B = 1
2{cosBcos(C - A)} - 2cos^2B + 1 = 1
cosB{cos(C - A) - cosB} = 0 より
B = π/2 または C-A = ±B → A or C = π/2 の直角三角形

(2)Pの位置ベクトルは実数の定数 t を用いて OP = OA + ta = (3t+2, 2t, t+1)
同様にQは OQ = OB + sb = (s+1, -s-2, -s)
lPQl^2 = (3t - s + 1)^2 + (2t + s + 2)^2 = (t + s + 1)^2
= 14t^2 + 16t + 3s^2 + 4s + 6
= 14{t + (4/7)}^2 + 3{s + (2/3)}^2 + (2/21)
よって t = -4/7, s = -2/3 の時PQは最小値√(2/21) をとり、
その時 P(2/7, -8/7, 3/7)、Q(1/3, -4/3, 2/3)