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Aを整数Zとし、MをZを加算無限個直積して得られるZ加群とする。
Z準同型f:M→Mを
Mの第2要素をMの第1要素にうつす
Mの第3要素をMの第2要素にうつす

…
とする。fは全射ですが、単射ではない。
こんなんで、どうでしょ