>>684
k(k+1)(k+2)を、k(k+1)と(k+1)(k+2)に分ける
(同じ形にすることでΣの計算をしたとき打ち消せる)
そして1/{k(k+1)} と1/{(k+1)(k+2)}の差を取る
通分すると、分子は (k+2) - k = 2　となる
元々の分子は1なので、頭に(1/2)をつける

もう1つの質問に答えると、考え方は同じこと。
ただ、分母の差が同じじゃないと変形してもあまり意味がないから
拡張するとしても
1/{(k+a)(k+b)(k+2b-a)} = (1/2b)*[{1/(k+a)(k+b)} - {1/(k+b)(k+2b-a)}]
程度の一般化にしかならないと思われる