a/b=b/c=c/a ⇒ a/b=b/c=c/a=1 or a+b+c=0
であることは確かに正しい。
しかし、だからといって、逆に
a+b+c=0 かつ a/b=b/c=c/aをみたす実数a,b,cが存在するとは限らない。
実際今の場合に存在しないことは、a,b,cの符号がどうなっていなければいけないかを考えればすぐわかる。