青茶･数Bベクトルの基本例題32の解答がよく分かりません

平面上に辺の長さ1の正三角形ABCがある。次の等式を満たす点Pはある
１つの円周上にある。この円の中心と半径を求めよ。
|PA↑+PB↑+PC↑|=|PA↑-2PB↑+PC↑|
（解答中略）
|p↑-(a↑+b↑+c↑)/3|=√3/3
したがって、点Pは、中心が△ABCの重心、半径√3/3の円周上にある。

というのが大まかな解答の流れなんですが･･･
円の中心が△ABCの重心であるというのはどうやって判断したんでしょうか？
正三角形の重心と外心が一致するのは知っていますが、解答にはその辺りには全く触れていないんです